专题19 排列 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题19 排列 一、知识梳理 （1）排列的定义 排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． （2）排列数 排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A__表示． 排列数公式：A＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 排列数公式写成阶乘的形式为：A＝ 全排列数公式：A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝ n！ 这里规定0！＝__1__． 二、题型精练 题型1 排列的定义 【典例1】．下面问题中，是排列问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 【典例2】．从三个数中任选两个数：①做加法；②做减法；③一个做指数的底数，一个做指数的幂指数；④一个做被开方数，一个做根指数.上述问题是排列问题的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．②④ 题型2 排列数 【典例1】．排列数的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【典例2】．从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数是（ ） A．30种 B．11种 C．15种 D．35种 【典例3】．由可以组成无重复数字三位数的个数为（    ） A．4 B．24 C．64 D．81 【典例4】．停车场有并排的个空闲车位，现有辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有辆汽车停放在相邻车位上的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．可以表示为（    ） A． B． C． D． 【典例6】．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、知识检测 1．下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算. A． ①④ B．①② C．③④ D．①③④ 2．某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（   ） A．10 B．30 C．60 D．125 3．（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 4．五人并排站成一排，如果必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 5．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数中，所有偶数个数为（    ） A．48 B．24 C．96 D．120 6．等于（    ） A． B． C． D． 7．，则m等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．计算：________. 9．写成排列数的形式为_______. 10．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的不同排法共有_______种． 11．由1，2，3组成无重复数字的三位数的个数为__________. 12．若2名男生和3名女生任意站成一排，则男生不能相邻的概率有______. 13．计算． (1) (2) (3) 14．已知n是正整数，且．求n的值． 15．7名师生站成一排照相，其中老师1人，男同学4人，女同学2人. (1)2名女同学必须相邻，共有多少种不同的排法? (2)4名男同学互不相邻，共有多少种不同的排法? (3) 女同学不站两端的概率是多少? 16． 解关于正整数x的不等式． 17．用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数． (1)能被25整除的数； (2)十位数字比个位数字大的数． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 排列 一、知识梳理 （1）排列的定义 排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． （2）排列数 排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A__表示． 排列数公式：A＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 排列数公式写成阶乘的形式为：A＝ 全排列数公式：A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝ n！ 这里规定0！＝__1__． 二、题型精练 题型1 排列的定义 【典例1】．下面问题中，是排列问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 【答案】A 【分析】根据排列的概念判断即可. 【详解】选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，是排列问题； 选项B，C，D中需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，不是排列问题． 故选：A. 【典例2】．从三个数中任选两个数：①做加法；②做减法；③一个做指数的底数，一个做指数的幂指数；④一个做被开方数，一个做根指数.上述问题是排列问题的是（    ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据排列的概念逐项分析即可. 【详解】已知从三个数中任选两个数， 若做加法不需要排序，故①不是排列问题， 若做减法需要排序，②是排列问题， 一个做指数的底数，一个做指数的幂指数需要排序，③是排列问题， 一个做被开方数，一个做根指数需要排序，④是排列问题， 所以是排列问题的有②③④， 故选：B. 题型2 排列数 【典例1】．排列数的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题意，结合排列数的计算，即可求解. 【详解】因为. 故选：D. 【典例2】．从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法种数是（ ） A．30种 B．11种 C．15种 D．35种 【答案】A 【分析】根据题意，从6名同学中选出正、副组长各1名是个排列问题，可得答案. 【详解】由题意，从6名同学中选出正、副组长各1名 不同的选法种数是种. 故选：A. 【典例3】．由可以组成无重复数字三位数的个数为（    ） A．4 B．24 C．64 D．81 【答案】B 【分析】4个不同数字中取出3个任意排，根据排列数公式计算即可得出结论． 【详解】由题意，4个不同数字中取出3个，排成一列，共有个不同数字. 故选：B 【典例4】．停车场有并排的个空闲车位，现有辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有辆汽车停放在相邻车位上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】至少有辆汽车停放在相邻车位的对立事件是辆车互不相邻，根据古典概型及排列数的计算由此求解即可. 【详解】因为驶入的辆车随机停放有种停放方法. 又至少有辆汽车停放在相邻车位的对立事件是辆车互不相邻. 在个车位中选出个，将这个车位插空进剩余个车位中. 则辆车互不相邻的停放方法有. 所以辆车互不相邻的概率为. 因此至少有辆汽车停放在相邻车位的概率为. 故选：. 【典例5】．可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数进行表示. 【详解】， 故选：D. 【典例6】．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据排列数公式求解即可. 【详解】由，得，得， 所以或（舍去）． 故选：C. 三、知识检测 1．下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算. A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】由排列的定义逐个判断. 【详解】排列的定义是从个不同的元素中取出个元素，并按照一定顺序排成一列， ①中，选中的人有顺序地去种树和扫地，属于排列问题； ②中，选中的人都去扫地，不属于排列问题； ③中，选中的人都参加篮球队，不属于排列问题； ④中，选中的个数有顺序地作为底数和指数，属于排列问题， 故选：A. 2．某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（  ） A．10 B．30 C．60 D．125 【答案】C 【分析】利用排列数公式计算即可. 【详解】某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别， 则有种选法. 故选：C. 3．（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 【答案】D 【分析】由题意根据阶乘的含义求解即可. 【详解】. 故选：D. 4．五人并排站成一排，如果必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】由必须相邻且B在A的左边，则将捆绑看作一个元素，进行排列即可. 【详解】已知五人并排站成一排， 若必须相邻且B在A的左边， 则不同的排法共有种. 故选：D． 5．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数中，所有偶数个数为（    ） A．48 B．24 C．96 D．120 【答案】A 【分析】利用个位为偶数与排列公式可求 【详解】偶数即个位为偶数， 则个位有，两种情况， 十位百位千位无特殊要求，即剩下的四个数中排三个， 故偶数个数为； 故选：A. 6．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选:C. 7．，则m等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用排列数公式列方程求解即可. 【详解】，而， 所以，即. 故选：B 8．计算：________. 【答案】144 【分析】根据排列数公式即可求解. 【详解】. 故答案为：144. 9．写成排列数的形式为_______. 【答案】 【分析】根据排列数的定义求解. 【详解】根据排列数的定义，可得. 故答案为：. 10．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的不同排法共有_______种． 【答案】48 【分析】根据捆绑法求解，把甲乙看成一个整体，再进行排列. 【详解】甲乙必须相邻，则甲乙当成一个元素，有两种情况， 变成四个元素，则不同的排法有. 故答案为：48. 11．由1，2，3组成无重复数字的三位数的个数为__________. 【答案】6 【分析】由排列数公式计算即可. 【详解】由1，2，3组成无重复数字的三位数的个数为个. 故答案为：6. 12．若2名男生和3名女生任意站成一排，则男生不能相邻的概率有______. 【答案】/ 【分析】运用“插空法”求出男生不能相邻的基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】已知5名同学站成一排共有个基本事件， 若男生不能相邻，则需要先对女生进行排列共有种排法， 3名女生形成4个空，将两名男生排列放进4个空中，有, 所以男生不能相邻的基本事件的个数为， 所以男生不能相邻的概率有. 故答案为： 13．计算． (1) (2) (3) 【答案】(1)12 (2)90 (3)17100720 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】（1）. （2）. （3）. 14．已知n是正整数，且．求n的值． 【答案】15 【分析】根据排列数的计算公式求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，即， 整理得，解得或（舍）. 15．7名师生站成一排照相，其中老师1人，男同学4人，女同学2人. (1)2名女同学必须相邻，共有多少种不同的排法? (2)4名男同学互不相邻，共有多少种不同的排法? (3)女同学不站两端的概率是多少? 【答案】(1)1440 (2)144 (3) 【分析】（1）2名女生站在一起有种站法，视为一个元素与其余5人全排，有种排法，由分步计数原理计算可得答案； （2）先排其他3人，共有种排法，再让男生插空站，有种排法，由分步计数原理计算可得答案； （3）先求出所有的排法共有种，再求出女生不站两端的排法共有种，然后利用概率公式即可求得答案. 【详解】（1）解：因为两个女生必须相邻而站； 所以把两个女生看成一个元素， 则共有5个元素进行全排列，还有2名女同学必须相邻， 不同的排法共有（种）. （2）因为4名男同学互不相邻， 所以应用插空法， 则4名男同学互不相邻，不同的排法共有（种） （3）所有的排法共有种， 女生不站两端的排法共有种， 则女同学不站两端的概率为. 16．解关于正整数x的不等式． 【答案】 【分析】根据排列数的公式计算求解. 【详解】由，可得， 所以，整理得， 解得， 又因为，所以. 17．用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数． (1)能被25整除的数； (2)十位数字比个位数字大的数． 【答案】(1)21个 (2)150个 【分析】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，分类排前两位数即可； （2）所组成的无重复数字的四位数，十位数字比个位数字大的数占一半. 【详解】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有（个）． （2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，一共有（个）．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的数有（个）． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $