题号猜押3+18题 计数原理与概率统计（抢分专练）（北京专用） 2026年高考数学终极冲刺讲练测

题号猜押3+18题 计数原理与概率统计 溯源：近5年真题显示，计数原理中二项式定理考查的比较多，是考查的重中之重，难度属于“低档”。一般前几道题中出现．概率统计每年必出一道大题，可能是古典概型与方差结合问题也可能是分布列与期望的问题． 预测：二项式定理预测和之前每年一样在小题前面出来，考查系数或者系数和等简单的问题，统计概率还是在大题中出现，计算量稍大，要在稳中求胜，不要对计算大意，这两题争取满分． 备考核心：主要是二项式定理中的项数，系数，系数和，与二项式系数，与系数和，要区分好系数与二项式系数的区别．概率中的条件概率，分布列中要区分好二项分布与超几何分布的区别，而且计算要快准稳． 考点1 二项式定理 1．在的展开式中，的系数为15，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解即可. 【详解】二项展开式的通项， 因为的系数为15，所以，解得，. 故选：A. 2．设，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值. 【详解】展开式第项， ∵，∴， ∴. 故选：A. 3．已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由，即，利用组合数的性质即可求解. 【详解】由，根据题意有，由组合数的性质有. 故选：B. 4．（2026·北京密云·一模）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 【答案】 24 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. 考点2 古典概型应用 1．（2026·北京平谷·一模）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4~7.5 8.1~8.6 及格 7.6~9.5 8.7~10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取15名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生 7.0 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.5 7.5 7.5 8.6 9.6 9.7 9.7 9.8 女生 7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.1 8.8 9.0 9.2 9.7 10.4 10.4 10.5 10.8 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)估计该校高一男生50米跑单项及格及以上的概率； (2)从该校高一男生和女生中各随机抽取2人，估计4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有的男生达到良好及以上的成绩，又有的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的概率分别为，判断的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过求解； （2）通过对立事件、独立事件、互斥事件概率公式求解； （3）根据题目信息，利用古典概率的意义判断即得. 【详解】（1）样本中50米跑单项等级获得优秀的男生人数为5，获得良好的男生人数为5，获得及格的男生人数为1， 所以估计该校高一男生50米跑单项的及格及以上的概率； （2）记4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的事件为 记“高一男生50米跑单项等级是优秀”为事件； “高一女生50米跑单项等级是优秀”为事件； 其中是独立事件 由（1）得；． 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是男同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是女同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人有1名是男同学1名是女同学的事件为 则． （3）男生及格及以下成绩人数为5人，再次测试后良好及以上成绩约1人， 女生及格及以下成绩8人，再次测试后良好及以上成绩为2人， 两次测试后，良好及以上成绩的总人数男生多于女生， 所以． 2．投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算； （2）分别计算壶1、壶2投中和未投中的概率，再利用乘法公式和加法公式计算； （3）利用二项分布的概率最值计算. 【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率， 则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为. （3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则， 则， 假设投中壶2的次数为时最大，则 ，即， 解得，因，则， 故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大. 考点3 离散型随机变量期望与方差 1．（2026·北京密云·一模）随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表： 等级 优等品 非优等品 甲车床加工的零件数 75 25 乙车床加工的零件数 80 20 假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率； (2)从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等品的个数，估计的数学期望； (3)在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）利用频率估计概率求解； （2）求出的可能取值，分别求出的每个可能取值的概率，利用离散型随机变量的期望公式求出期望； （3）甲、乙两台车床加工的零件数之比为，求出和得到与的大小. 【详解】（1）甲车床：抽取100个零件，优等品有75个，则， 乙车床：抽取100个零件，优等品有80个，则. （2）为这3个零件中优等品的个数， 则的可能取值为， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， 或从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， 或甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， ， . （3）， 甲、乙两台车床加工的零件数之比为， 现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为， 则， ，，. 2．（2026·北京延庆·一模）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线坐落于北京老城中心，全长7.8公里，始建于13世纪，是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体．它共包含15处遗产点，可分为A、B、C、D、E五种类型，具体如下表： 类 型 A古代皇家宫苑建筑 B古代皇家 祭祀建筑 C古代城市管理设施 D国家礼仪和公共建筑 E居中道路遗存 中轴线遗产点 故宫 景山 太庙 社稷坛 天坛 先农坛 钟鼓楼 万宁桥 端门 天安门 外金水桥 天安门广场及建筑群 正阳门 永定门 中轴线南段道路遗存 某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动． (1)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为D类的概率； (2)若从A、B、C这三类遗产点中随机选取3处，设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人数比值为，同时，这三个群体选择参观A类或D类遗产点的频率分布如下表： 人群 老年人 中年人 青少年 只参观A类型遗产点 60％ 25％ 30％ 只参观D类型遗产点 20％ 45％ 30％ 两类遗产点都参观 20％ 30％ 40％ 用频率估计概率，若从所有参观A类或D类遗产点的人群中随机选取1人，记“只参观A类型遗产点”的概率为，“只参观D类型遗产点”的概率为，请根据表中信息，判断与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： 1 2 3 (3) 【详解】（1）从15处遗产点中随机选取，选取的3处遗产点均为D类的概率为： . （2）由题意，的值可能为1,2,3， 且， ， . 所以的分布列为： 1 2 3 所以. （3）由题意, . 所以. 3．为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3)答案见解析 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）法一：确定的每一个取值，求得对应概率即可求解；法二：用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数，得到，，再由即可求解； （3）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， 由全概率计算公式求得比较大小即可. 【详解】（1）记软件能正确解答数学问题为事件， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得． （2）解法一：使用软件解答函数试题正确的概率为， 使用软件解答几何试题正确的概率为； 的可能取值为0、1、2、3， ， ， ， ， 则其分布列为： 0 1 2 3 其期望为：； 解法二：函数试题用软件解答，几何试题用软件解答． 用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数， 因为，， 0 1 2 0 1 的可能取值为0、1、2、3， ，， ，， 则其分布列为： 0 1 2 3 由二项分布的期望公式可得， 因为，相互独立，则 ． （3）小明应该使用软件来解决这道试题． 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件． 则，，， ，，， 由全概率公式可得 ． ． 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用软件来解决这道试题． 一、单选题 1．若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】令得：， 令得：， 所以， 故选：D. 2．若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（   ） A．-240 B．240 C．15 D．-15 【答案】B 【分析】根据已知条件确定值，再根据二项式展开式的通项确定常数项为第几项，即可求解. 【详解】根据题意有，解得， 故二项式展开式的通项公式为： ， 令，求得， 则展开式的常数项为：. 故选：B 二、填空题 3．在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答） 【答案】 6 135 【分析】利用二项式系数的和等于，求解值，利用通项公式求解的系数. 【详解】由二项式系数的和等于，则，； 通项公式为， 令，所以的系数为. 故答案为：；. 4．的展开式中各项系数的和为___________． 【答案】0 【分析】令即可得到展开式各项系数和. 【详解】二项式为，令则各项的项的系数之和为. 故答案为： 0 5．若，则______． 【答案】 【分析】根据二项式定理中的二项展开式通项公式即可求解 【详解】由题意可知，， 则，解得， 故. 故答案为：. 6．已知，则实数_____ 【答案】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 三、解答题 7．某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分． ①从该地区男教师中抽取4名教师，求这4名教师得分总和为8分的概率； ②统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)140 (2)①；② 【分析】（1）首先完善表格，然后求出抽取的100人中认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率，最后即可计算该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； （2）对于①，首先求出男教师认为人工智能对于教学“没有帮助”、“有一些帮助”、“很有帮助”的概率，然后确定4名教师得分总和为8分的情况并计算出概率；对于②，首先根据平均值公式求出，然后比较它们的关系即可. 【详解】（1）根据表格中数据，完善表格， 可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为； （2）①男教师认为人工智能对于教学“没有帮助”的概率为， 男教师认为人工智能对于教学“有一些帮助”的概率为， 男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 因为， 所以 . ②， ， ， 因为，所以. 8．为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由古典概型得到答案； （2）由二项分布得到分布列和数学期望； （3）由方差的计算公式得到答案. 【详解】（1）由表格得，抽出的名学生中，男女生各有名，所以男女生各随机选取一人，共有种组合， 设“男生成绩高于女生成绩”为事件，则 ，共有种组合，所以， 即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为； （2）由表格知，在抽取的名学生中，成绩为优秀（分）的有人， 由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为， 因此，从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数，的取值范围为， ， ， 所以的分布列为： 数学期望； （3），原因如下： 男生的平均成绩为， 则， 女生的平均成绩为， 则， 从参加活动的男生中抽取成绩为87分的男生与表中男生组成新的男生样本， 则， ， 所以. 9．某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．为了调查用户对不同模式的使用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近提出的共10000个问题作为样本，得到如下表格． 问题类别模式 生活类问题 学习类问题 其他类问题 深度思考 1100 600 300 联网搜索 1200 1500 300 兼用 1500 2500 1000 假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率． (1)在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率． (2)在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，估计生活类问题个数不超过学习类问题个数的概率． (3)不同模式处理问题的时间可以大致分为三组：，，（单位：秒）．在网络正常的时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．假设小明已经使用该AI大模型的同一种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理时间，另一个问题的处理时间．若不考虑其他因素干扰，判断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)； (3)小明使用兼用模式的概率最大． 【分析】（1）根据给定数据，应用频率估计概率即可； （2）根据不同方法，综合应用独立事件乘法公式、互斥事件加法及对立事件的概率求法求概率； （3）法一：分别求出不同模式的对应概率，比较大小，即可得结论；法二：记事件：“小明处理两个问题，其中一个用时在，另一个用时在”；事件分别表示“小明使用深度思考模式”，“小明使用联网搜索模式”，“小明使用兼用模式”，依次求出，比较大小得结论. 【详解】（1）由表，样本数量为10000，问题处理模式是“兼用”模式的样本数量为． 在样本中随机抽取一个问题，设事件：“该问题的处理模式是‘兼用’”，则； （2）在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取1个，该问题是生活类问题的概率估计为，是学习类问题的概率估计为，是其他类问题的概率估计为． 在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，设事件：“生活类问题的个数不超过学习类问题的个数” 方法1：事件包含两种情况：①0个生活类问题和2个非生活类问题；②1个生活类问题，1个学习类问题，0个其他类问题， 所以． 方法2：事件包含两种情况：①0个生活类问题和0个学习类问题，2个其他类问题；②0个生活类问题和1个学习类问题，1个其他类问题；③0个生活类问题和2个学习类问题，0个其他类问题；④1个生活类问题，1个学习类问题，0个其他类问题， ； 方法3：事件包含两种情况：①2个生活类问题和0个非生活类问题；②1个生活类问题，0个学习类问题，1个其他类问题， ； （3）法一：由图可知，用深度思考模式处理两个问题分别用时在和的概率为； 用联网搜索模式处理两个问题分别用时在和的概率为； 用兼用模式处理两个问题分别用时在和的概率为． 所以用兼用模式处理两个问题分别用时在和的概率最大，故小明最有可能使用兼用模式． 法二：记事件：“小明处理两个问题，其中一个用时在，另一个用时在”； 事件分别表示“小明使用深度思考模式”，“小明使用联网搜索模式”，“小明使用兼用模式”． 则有，，，， 则， 同理， ， 所以， 即已知事件发生的条件下，小明使用兼用模式的概率最大． 10．某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表： 甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5 乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9 已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立. (1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率； (2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望： (3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分别列见详解，期望 (3)相等 【分析】（1）先算出甲同学“得分达到良好”的个数，再利用古典概型求解即可； （2）先算出乙同学“得分达到优秀”的个数，用样本估计总体，发现X服从二项分布，计算相关情况概率，写出分布列并计算期望； （3）分别求出甲乙样本的均值与方差比较即可. 【详解】（1）根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共6个， 所以从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率为. （2）乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9共4个， 所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为， 从中随机抽取3份，随机变量X服从二项分布， ，， ，， 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 期望. （3）根据题意样本中甲同学成绩的均值 ， 乙同学成绩的均值， 所以甲同学成绩的方差， 乙同学成绩的方差， 所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等. 11．已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示. (1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； (2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率； (3)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不能预测，理由见解析 【分析】（1）由图结合古典概型的概率计算公式求解即可； （2）先确定满足的冬季周期的个数，然后利用组合数计算即可求解； （3）根据图表中数据的特点分析即可. 【详解】（1）由图可知从2016年至2024年12月平均高温和平均低温都低于前一年的有2017，2018，2020，2022， 所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率为； （2）由已知可得从2015年至2024年这10个冬季周期分别为， 满足的有个， 从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中的概率为； （3）不能预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度，理由如下： 从图2可以看出，1月平均高温数据虽有波动，但没有明显的单调递增或递减的线性趋势，数据的波动是随机的，没有足够的依据能从过去10年的数据直接推断2026年1月平均高温低于4摄氏度. 12．年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 【答案】(1) (2)，，， (3)<， 【分析】（1）由图得出电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数结合古典概型即可求解； （2）先由图得出两部电影综合票房占比均超过％的天数，接着得随机变量的取值，再由古典概型即可计算各个取值的概率，结合数学期望公式计算期望即可得解； （3）由图中数据大小分布情况即可得解. 【详解】（1）由图电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数有7天， 所以从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，该天电影综合票房比前一天增多的概率为； （2）由图可知两部电影综合票房占比均超过的天数共有4天， 所以的取值有，所以的分布列为， 所以的分布列数学期望； （3）因为， ， 又由图可知《哪吒之魔童降世》除个别数据外综合票房数据大小比较变化幅度较小，所以， 所以，. 13．某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 (1)从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； (2)对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分. ①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系. 【答案】(1)； (2)①分布列见解析，数学期望为185；②. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算. （2）①根据表格中数据，原始成绩不低于的学生赋分成绩，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列求出期望；②求出课程甲、乙的赋分成绩，再求出期望北比较大小. 【详解】（1）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件， 依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同， 由古典概型，得. （2）①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于的学生共有6人， 赋分依次为100，100，100，85，85，85，则的所有可能值为170，185，200， ， 所以的分布列如下： 170 185 200 . ②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60， 对课程乙进行赋分，赋分依次为：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60， 因此， ； ， ， 所以. 14．某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算概率即可；           （2）应用超几何分布计算概率，再写出分布列，最后计算数学期望即可；                  （3）根据频率分布直方图的特征得出平均值关系即可. 【详解】（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分． 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为， 所以． （2）B地区评分为的样本用户共有人， 其中评分不低于分的人数为5人． 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望. （3）． 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为， B地区评分的平均值为， 所以A，B两地区评分的平均值； 15．某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表： 编号正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60% 试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90% 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率p 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． (1)正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； (2)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计X的分布列和数学期望； (3)在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 【分析】（1）先根据给出的数据，求出居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率，可估计相关的概率. （2）先明确正式讲座前，垃圾分类水平为“一般”和 “良好”的人在试讲讲座后达到“优秀”的概率，再求对应的概率，可得的分布列，并求其期望. （3）利用条件概率求解判断. 【详解】（1）正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：， 所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：. （2）由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：； 正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：. 由题意，的值可以为：0,1,2,3 且：， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则. 因为，，. 所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 16．2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)不能，建议见解析 【分析】（1）利用比例关系即可求出概率. （2）利用二项分布求出的分布列，利用期望公式即可得到答案. （3）利用条件概率求出今年冰块的利用率约为0.67，即可得到判断给出建议. 【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块 中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的. 因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5， 所以若只取1块，它是B队所采的概率为. （2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响， 即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取. 设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的， 与（1）同理可求得若只取1块，则， 由B，C两队所采的概率为. 依题意可知的取值为0，1，2，且. 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 P 数学期望. （3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，. 所以，，. 又 ，即今年冰块的利用率约为0.67. 可见，今年冰块的利用率比往年提升了约. 但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著， 可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断. 17．某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 甲生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04 乙生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 0.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． (1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； (2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望； (3)已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望； (3)甲生产线上的产品质量更好，理由见解析. 【分析】（1）根据给定数据，利用频率估计概率即得； （2）先分别得出甲、乙的项指标值大于2的产品的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式分别求解相应概率，列出分布列，最后求解期望即可； （3）比较甲乙两生产线上值的平均值大小可得.(其他理由也可，如:求出甲生产品的值小于乙的概率，再比较该概率值与的大小.) 【详解】（1）记表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足且”． 用频率估计概率，则． 所以该产品满足且的概率为． （2）由表格数据，用频率估计概率， 可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为； “从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为. 由题意，的所有可能取值为． ， ． 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为． （3）甲生产线上的产品质量更好， 因为甲生产线上值的平均值， 乙生产线上值的平均值， 所以甲生产线上值的平均值明显比乙小， 所以甲生产线上的产品质量更好． 其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则 甲生产品的值小于乙的概率为， 所以甲生产线上的产品质量更好． 18．在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表： 使用次数分组区间 初中生人 高中生人 4 3 38 29 48 28 17 6 3 假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率． (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可； （2）根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可； （3）根据二项分布求得方差判断即可. 【详解】（1）根据题中数据，，得． 样本中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的频率为． 因此近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数估计为：． （2）参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中，初中生有4人，高中生有3人． 所以的取值范围为． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． （3），理由如下： 根据分层抽样定义知，随机抽取200名学生中，初中生为120名，高中生为80名， 抽到初中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 抽到高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生中英语口语自主练习次数位于的人数服从二项分布， 即， 所以，， 因为，所以. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押3+18题 计数原理与概率统计 参考答案 押题预测 考点1 二项式定理 1．【答案】A 【分析】写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解即可. 【详解】二项展开式的通项， 因为的系数为15，所以，解得，. 故选：A. 2．【答案】A 【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值. 【详解】展开式第项， ∵，∴， ∴. 故选：A. 3．【答案】B 【分析】由，即，利用组合数的性质即可求解. 【详解】由，根据题意有，由组合数的性质有. 故选：B. 4．【答案】 24 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. 考点2 古典概型应用 1．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过求解； （2）通过对立事件、独立事件、互斥事件概率公式求解； （3）根据题目信息，利用古典概率的意义判断即得. 【详解】（1）样本中50米跑单项等级获得优秀的男生人数为5，获得良好的男生人数为5，获得及格的男生人数为1， 所以估计该校高一男生50米跑单项的及格及以上的概率； （2）记4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的事件为 记“高一男生50米跑单项等级是优秀”为事件； “高一女生50米跑单项等级是优秀”为事件； 其中是独立事件 由（1）得；． 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是男同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是女同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人有1名是男同学1名是女同学的事件为 则． （3）男生及格及以下成绩人数为5人，再次测试后良好及以上成绩约1人， 女生及格及以下成绩8人，再次测试后良好及以上成绩为2人， 两次测试后，良好及以上成绩的总人数男生多于女生， 所以． 2．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算； （2）分别计算壶1、壶2投中和未投中的概率，再利用乘法公式和加法公式计算； （3）利用二项分布的概率最值计算. 【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率， 则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为. （3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则， 则， 假设投中壶2的次数为时最大，则 ，即， 解得，因，则， 故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大. 考点3 离散型随机变量期望与方差 1．【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）利用频率估计概率求解； （2）求出的可能取值，分别求出的每个可能取值的概率，利用离散型随机变量的期望公式求出期望； （3）甲、乙两台车床加工的零件数之比为，求出和得到与的大小. 【详解】（1）甲车床：抽取100个零件，优等品有75个，则， 乙车床：抽取100个零件，优等品有80个，则. （2）为这3个零件中优等品的个数， 则的可能取值为， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， 或从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， 或甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， ， . （3）， 甲、乙两台车床加工的零件数之比为， 现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为， 则， ，，. 2．【答案】(1) (2)的分布列为： 1 2 3 (3) 【详解】（1）从15处遗产点中随机选取，选取的3处遗产点均为D类的概率为： . （2）由题意，的值可能为1,2,3， 且， ， . 所以的分布列为： 1 2 3 所以. （3）由题意, . 所以. 3．【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3)答案见解析 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）法一：确定的每一个取值，求得对应概率即可求解；法二：用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数，得到，，再由即可求解； （3）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， 由全概率计算公式求得比较大小即可. 【详解】（1）记软件能正确解答数学问题为事件， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得． （2）解法一：使用软件解答函数试题正确的概率为， 使用软件解答几何试题正确的概率为； 的可能取值为0、1、2、3， ， ， ， ， 则其分布列为： 0 1 2 3 其期望为：； 解法二：函数试题用软件解答，几何试题用软件解答． 用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数， 因为，， 0 1 2 0 1 的可能取值为0、1、2、3， ，， ，， 则其分布列为： 0 1 2 3 由二项分布的期望公式可得， 因为，相互独立，则 ． （3）小明应该使用软件来解决这道试题． 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件． 则，，， ，，， 由全概率公式可得 ． ． 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用软件来解决这道试题． 一、单选题 1．【答案】D 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】令得：， 令得：， 所以， 故选：D. 2．【答案】B 【分析】根据已知条件确定值，再根据二项式展开式的通项确定常数项为第几项，即可求解. 【详解】根据题意有，解得， 故二项式展开式的通项公式为： ， 令，求得， 则展开式的常数项为：. 故选：B 二、填空题 3．【答案】 6 135 【分析】利用二项式系数的和等于，求解值，利用通项公式求解的系数. 【详解】由二项式系数的和等于，则，； 通项公式为， 令，所以的系数为. 故答案为：；. 4．【答案】0 【分析】令即可得到展开式各项系数和. 【详解】二项式为，令则各项的项的系数之和为. 故答案为： 0 5．【答案】 【分析】根据二项式定理中的二项展开式通项公式即可求解 【详解】由题意可知，， 则，解得， 故. 故答案为：. 6．【答案】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 三、解答题 7．【答案】(1)140 (2)①；② 【分析】（1）首先完善表格，然后求出抽取的100人中认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率，最后即可计算该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； （2）对于①，首先求出男教师认为人工智能对于教学“没有帮助”、“有一些帮助”、“很有帮助”的概率，然后确定4名教师得分总和为8分的情况并计算出概率；对于②，首先根据平均值公式求出，然后比较它们的关系即可. 【详解】（1）根据表格中数据，完善表格， 可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为； （2）①男教师认为人工智能对于教学“没有帮助”的概率为， 男教师认为人工智能对于教学“有一些帮助”的概率为， 男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 因为， 所以 . ②， ， ， 因为，所以. 8．【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由古典概型得到答案； （2）由二项分布得到分布列和数学期望； （3）由方差的计算公式得到答案. 【详解】（1）由表格得，抽出的名学生中，男女生各有名，所以男女生各随机选取一人，共有种组合， 设“男生成绩高于女生成绩”为事件，则 ，共有种组合，所以， 即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为； （2）由表格知，在抽取的名学生中，成绩为优秀（分）的有人， 由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为， 因此，从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数，的取值范围为， ， ， 所以的分布列为： 数学期望； （3），原因如下： 男生的平均成绩为， 则， 女生的平均成绩为， 则， 从参加活动的男生中抽取成绩为87分的男生与表中男生组成新的男生样本， 则， ， 所以. 9．【答案】(1)； (2)； (3)小明使用兼用模式的概率最大． 【分析】（1）根据给定数据，应用频率估计概率即可； （2）根据不同方法，综合应用独立事件乘法公式、互斥事件加法及对立事件的概率求法求概率； （3）法一：分别求出不同模式的对应概率，比较大小，即可得结论；法二：记事件：“小明处理两个问题，其中一个用时在，另一个用时在”；事件分别表示“小明使用深度思考模式”，“小明使用联网搜索模式”，“小明使用兼用模式”，依次求出，比较大小得结论. 【详解】（1）由表，样本数量为10000，问题处理模式是“兼用”模式的样本数量为． 在样本中随机抽取一个问题，设事件：“该问题的处理模式是‘兼用’”，则； （2）在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取1个，该问题是生活类问题的概率估计为，是学习类问题的概率估计为，是其他类问题的概率估计为． 在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，设事件：“生活类问题的个数不超过学习类问题的个数” 方法1：事件包含两种情况：①0个生活类问题和2个非生活类问题；②1个生活类问题，1个学习类问题，0个其他类问题， 所以． 方法2：事件包含两种情况：①0个生活类问题和0个学习类问题，2个其他类问题；②0个生活类问题和1个学习类问题，1个其他类问题；③0个生活类问题和2个学习类问题，0个其他类问题；④1个生活类问题，1个学习类问题，0个其他类问题， ； 方法3：事件包含两种情况：①2个生活类问题和0个非生活类问题；②1个生活类问题，0个学习类问题，1个其他类问题， ； （3）法一：由图可知，用深度思考模式处理两个问题分别用时在和的概率为； 用联网搜索模式处理两个问题分别用时在和的概率为； 用兼用模式处理两个问题分别用时在和的概率为． 所以用兼用模式处理两个问题分别用时在和的概率最大，故小明最有可能使用兼用模式． 法二：记事件：“小明处理两个问题，其中一个用时在，另一个用时在”； 事件分别表示“小明使用深度思考模式”，“小明使用联网搜索模式”，“小明使用兼用模式”． 则有，，，， 则， 同理， ， 所以， 即已知事件发生的条件下，小明使用兼用模式的概率最大． 10．【答案】(1) (2)分别列见详解，期望 (3)相等 【分析】（1）先算出甲同学“得分达到良好”的个数，再利用古典概型求解即可； （2）先算出乙同学“得分达到优秀”的个数，用样本估计总体，发现X服从二项分布，计算相关情况概率，写出分布列并计算期望； （3）分别求出甲乙样本的均值与方差比较即可. 【详解】（1）根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共6个， 所以从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率为. （2）乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9共4个， 所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为， 从中随机抽取3份，随机变量X服从二项分布， ，， ，， 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 期望. （3）根据题意样本中甲同学成绩的均值 ， 乙同学成绩的均值， 所以甲同学成绩的方差， 乙同学成绩的方差， 所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等. 11．【答案】(1) (2) (3)不能预测，理由见解析 【分析】（1）由图结合古典概型的概率计算公式求解即可； （2）先确定满足的冬季周期的个数，然后利用组合数计算即可求解； （3）根据图表中数据的特点分析即可. 【详解】（1）由图可知从2016年至2024年12月平均高温和平均低温都低于前一年的有2017，2018，2020，2022， 所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率为； （2）由已知可得从2015年至2024年这10个冬季周期分别为， 满足的有个， 从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中的概率为； （3）不能预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度，理由如下： 从图2可以看出，1月平均高温数据虽有波动，但没有明显的单调递增或递减的线性趋势，数据的波动是随机的，没有足够的依据能从过去10年的数据直接推断2026年1月平均高温低于4摄氏度. 12．【答案】(1) (2)，，， (3)<， 【分析】（1）由图得出电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数结合古典概型即可求解； （2）先由图得出两部电影综合票房占比均超过％的天数，接着得随机变量的取值，再由古典概型即可计算各个取值的概率，结合数学期望公式计算期望即可得解； （3）由图中数据大小分布情况即可得解. 【详解】（1）由图电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数有7天， 所以从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，该天电影综合票房比前一天增多的概率为； （2）由图可知两部电影综合票房占比均超过的天数共有4天， 所以的取值有，所以的分布列为， 所以的分布列数学期望； （3）因为， ， 又由图可知《哪吒之魔童降世》除个别数据外综合票房数据大小比较变化幅度较小，所以， 所以，. 13．【答案】(1)； (2)①分布列见解析，数学期望为185；②. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算. （2）①根据表格中数据，原始成绩不低于的学生赋分成绩，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列求出期望；②求出课程甲、乙的赋分成绩，再求出期望北比较大小. 【详解】（1）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件， 依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同， 由古典概型，得. （2）①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于的学生共有6人， 赋分依次为100，100，100，85，85，85，则的所有可能值为170，185，200， ， 所以的分布列如下： 170 185 200 . ②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60， 对课程乙进行赋分，赋分依次为：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60， 因此， ； ， ， 所以. 14．【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算概率即可；           （2）应用超几何分布计算概率，再写出分布列，最后计算数学期望即可；                  （3）根据频率分布直方图的特征得出平均值关系即可. 【详解】（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分． 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为， 所以． （2）B地区评分为的样本用户共有人， 其中评分不低于分的人数为5人． 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望. （3）． 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为， B地区评分的平均值为， 所以A，B两地区评分的平均值； 15．【答案】(1) (2)答案见解析 (3)他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 【分析】（1）先根据给出的数据，求出居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率，可估计相关的概率. （2）先明确正式讲座前，垃圾分类水平为“一般”和 “良好”的人在试讲讲座后达到“优秀”的概率，再求对应的概率，可得的分布列，并求其期望. （3）利用条件概率求解判断. 【详解】（1）正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：， 所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：. （2）由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：； 正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：. 由题意，的值可以为：0,1,2,3 且：， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则. 因为，，. 所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 16．【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)不能，建议见解析 【分析】（1）利用比例关系即可求出概率. （2）利用二项分布求出的分布列，利用期望公式即可得到答案. （3）利用条件概率求出今年冰块的利用率约为0.67，即可得到判断给出建议. 【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块 中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的. 因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5， 所以若只取1块，它是B队所采的概率为. （2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响， 即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取. 设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的， 与（1）同理可求得若只取1块，则， 由B，C两队所采的概率为. 依题意可知的取值为0，1，2，且. 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 P 数学期望. （3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，. 所以，，. 又 ，即今年冰块的利用率约为0.67. 可见，今年冰块的利用率比往年提升了约. 但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著， 可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断. 17．【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望； (3)甲生产线上的产品质量更好，理由见解析. 【分析】（1）根据给定数据，利用频率估计概率即得； （2）先分别得出甲、乙的项指标值大于2的产品的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式分别求解相应概率，列出分布列，最后求解期望即可； （3）比较甲乙两生产线上值的平均值大小可得.(其他理由也可，如:求出甲生产品的值小于乙的概率，再比较该概率值与的大小.) 【详解】（1）记表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足且”． 用频率估计概率，则． 所以该产品满足且的概率为． （2）由表格数据，用频率估计概率， 可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为； “从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为. 由题意，的所有可能取值为． ， ． 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为． （3）甲生产线上的产品质量更好， 因为甲生产线上值的平均值， 乙生产线上值的平均值， 所以甲生产线上值的平均值明显比乙小， 所以甲生产线上的产品质量更好． 其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则 甲生产品的值小于乙的概率为， 所以甲生产线上的产品质量更好． 18．【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可； （2）根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可； （3）根据二项分布求得方差判断即可. 【详解】（1）根据题中数据，，得． 样本中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的频率为． 因此近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数估计为：． （2）参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中，初中生有4人，高中生有3人． 所以的取值范围为． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． （3），理由如下： 根据分层抽样定义知，随机抽取200名学生中，初中生为120名，高中生为80名， 抽到初中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 抽到高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生中英语口语自主练习次数位于的人数服从二项分布， 即， 所以，， 因为，所以. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押3+18题 计数原理与概率统计 溯源：近5年真题显示，计数原理中二项式定理考查的比较多，是考查的重中之重，难度属于“低档”。一般前几道题中出现．概率统计每年必出一道大题，可能是古典概型与方差结合问题也可能是分布列与期望的问题． 预测：二项式定理预测和之前每年一样在小题前面出来，考查系数或者系数和等简单的问题，统计概率还是在大题中出现，计算量稍大，要在稳中求胜，不要对计算大意，这两题争取满分． 备考核心：主要是二项式定理中的项数，系数，系数和，与二项式系数，与系数和，要区分好系数与二项式系数的区别．概率中的条件概率，分布列中要区分好二项分布与超几何分布的区别，而且计算要快准稳． 考点1 二项式定理 1．在的展开式中，的系数为15，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．设，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2026·北京密云·一模）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 考点2 古典概型应用 1．（2026·北京平谷·一模）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4~7.5 8.1~8.6 及格 7.6~9.5 8.7~10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取15名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生 7.0 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.5 7.5 7.5 8.6 9.6 9.7 9.7 9.8 女生 7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.1 8.8 9.0 9.2 9.7 10.4 10.4 10.5 10.8 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)估计该校高一男生50米跑单项及格及以上的概率； (2)从该校高一男生和女生中各随机抽取2人，估计4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有的男生达到良好及以上的成绩，又有的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的概率分别为，判断的大小．（结论不要求证明） 2．投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 考点3 离散型随机变量期望与方差 1．（2026·北京密云·一模）随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表： 等级 优等品 非优等品 甲车床加工的零件数 75 25 乙车床加工的零件数 80 20 假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率； (2)从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等品的个数，估计的数学期望； (3)在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明） 2．（2026·北京延庆·一模）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线坐落于北京老城中心，全长7.8公里，始建于13世纪，是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体．它共包含15处遗产点，可分为A、B、C、D、E五种类型，具体如下表： 类 型 A古代皇家宫苑建筑 B古代皇家 祭祀建筑 C古代城市管理设施 D国家礼仪和公共建筑 E居中道路遗存 中轴线遗产点 故宫 景山 太庙 社稷坛 天坛 先农坛 钟鼓楼 万宁桥 端门 天安门 外金水桥 天安门广场及建筑群 正阳门 永定门 中轴线南段道路遗存 某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动． (1)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为D类的概率； (2)若从A、B、C这三类遗产点中随机选取3处，设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人数比值为，同时，这三个群体选择参观A类或D类遗产点的频率分布如下表： 人群 老年人 中年人 青少年 只参观A类型遗产点 60％ 25％ 30％ 只参观D类型遗产点 20％ 45％ 30％ 两类遗产点都参观 20％ 30％ 40％ 用频率估计概率，若从所有参观A类或D类遗产点的人群中随机选取1人，记“只参观A类型遗产点”的概率为，“只参观D类型遗产点”的概率为，请根据表中信息，判断与的大小关系．（结论不要求证明） 3．为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 一、单选题 1．若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 2．若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（   ） A．-240 B．240 C．15 D．-15 二、填空题 3．在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答） 4．的展开式中各项系数的和为___________． 5．若，则______． 6．已知，则实数_____ 三、解答题 7．某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分． ①从该地区男教师中抽取4名教师，求这4名教师得分总和为8分的概率； ②统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 8．为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题. (1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论） 9．某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．为了调查用户对不同模式的使用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近提出的共10000个问题作为样本，得到如下表格． 问题类别模式 生活类问题 学习类问题 其他类问题 深度思考 1100 600 300 联网搜索 1200 1500 300 兼用 1500 2500 1000 假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率． (1)在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率． (2)在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，估计生活类问题个数不超过学习类问题个数的概率． (3)不同模式处理问题的时间可以大致分为三组：，，（单位：秒）．在网络正常的时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．假设小明已经使用该AI大模型的同一种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理时间，另一个问题的处理时间．若不考虑其他因素干扰，判断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结论不要求证明） 10．某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表： 甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5 乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9 已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立. (1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率； (2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望： (3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）. 11．已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示. (1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； (2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率； (3)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由. 12．年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 13．某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 (1)从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； (2)对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分. ①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系. 14．某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 15．某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表： 编号正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60% 试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90% 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率p 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． (1)正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； (2)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计X的分布列和数学期望； (3)在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 16．2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 17．某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 甲生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04 乙生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 0.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． (1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； (2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望； (3)已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． 18．在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表： 使用次数分组区间 初中生人 高中生人 4 3 38 29 48 28 17 6 3 假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率． (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $