第5章 3.核力与结合能-【优学精讲】2025-2026学年高中物理选择性必修第三册教用课件（人教版）

该高中物理课件聚焦核力与结合能，涵盖核力与四种基本相互作用、结合能和比结合能、质量亏损及质能方程等核心知识点。通过“核子聚集形成原子核”情境导入，以“质子间库仑斥力下原子核为何稳定”问题链，连接库仑力、万有引力等旧知与核力新知，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动科学探究，通过例题（如铀核衰变计算质量亏损）和即学即练强化科学推理，助力学生构建相互作用与能量观念。采用“情境-新知-深化-练习”闭环设计，既帮助学生深化概念理解与计算能力，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

3.核力与结合能 1.知道四种基本相互作用及核力的概念、特点。 2.理解结合能和比结合能的概念。 3.知道质量亏损与爱因斯坦质能方程。 4.能用爱因斯坦质能方程进行有关核能的计算。 学习目标 01 知识点一 核力与四种基本相互作用 02 知识点二 结合能和比结合能 03 知识点三 质量亏损 目 录 04 随堂演练 05 课时作业 01 PART 知识点一 核力与四种基本相互作用 目 录 　情境：如图所示，核子聚集在一块形成原子核。 物理·选择性必修第三册 目 录 问题：原子本身很小，原子核的半径更小，核子之间距离很近，质子之间 的库仑斥力一定很强。为什么原子核还能保持稳定状态？是因为万有引力 的作用吗？ 提示：原子核内部的质子都带正电，库仑斥力有使质子彼此远离并使原子 核解体的趋势，但原子核通常是稳定的。这一事实表明，原子核内一定有 一种比库仑斥力更强的力（核力），使得核子彼此吸引并紧密地结合在一 起，但又不靠得太近。虽然原子核内核子距离很近，但其质量很小，则万 有引力非常小，万有引力显然不是原子核稳定存在的原因。 物理·选择性必修第三册 目 录 1. 核力：原子核中的 之间存在一种很强的相互作用，即存在一 种 ，它使得核子紧密地结合在一起，形成稳定的原子核。这种作 用称为 ⁠。 2. 强相互作用的特点 （1）强相互作用是 力，作用范围只有约 m。 核子　 核力　 强相互作用　 （2）距离增大时，强相互作用急剧 。超过10－15 m，强相互作用 不存在。 短程　 10－15　 减小　 物理·选择性必修第三册 目 录 3. 弱相互作用 （1）弱相互作用是引起原子核 衰变的原因，即引起中子—质子转变 的原因。 （2）弱相互作用是 力，其力程只有 m。 β　 短程　 10－18　 物理·选择性必修第三册 目 录 4. 四种基本相互作用 【易错辨析】 （1）中子和质子间的作用力主要是核力。 （　√　） （2）核子之间的作用既有长程力，也有短程力。 （　√　） √ √ 物理·选择性必修第三册 目 录 1. 四种基本相互作用的理解 （1）引力相互作用：万有引力主要在宏观物体间和宏观尺度上“独领风 骚”，是万有引力使行星绕着恒星运动，万有引力是长程力。 （2）电磁相互作用：在原子核外，电磁力使电子不脱离原子核而形成原 子，是长程力。 （3）强相互作用：在原子核内，使核子紧密地结合在一起，是短程力。 （4）弱相互作用：弱相互作用是引起原子核β衰变的原因，即引起中子— 质子转变的原因。弱相互作用也是短程力，其力程比强相互作用更短，为 10－18 m，作用强度则比电磁力小。 物理·选择性必修第三册 目 录 2. 核力的理解 （1）核力是四种相互作用中的强相互作用的一种表现。 （2）核力是短程力，距离增大时，强相互作用急剧减小，作用范围只有 约10－15 m，超过这个限度时核力消失。 （3）核力具有饱和性。核子只跟相邻的核子产生较强的相互作用，而不 是与核内所有核子发生作用。 （4）核力与核子是否带电无关，质子与质子间、质子与中子间、中子与 中子间都可以有核力作用。 物理·选择性必修第三册 目 录 【例1】　（核力）关于核力，下列说法正确的是（　　） A. 在原子核内，靠核力将所有核子束缚在一起 B. 在原子核内，只有质子和中子之间有核力 C. 在原子核内，任意两个核子之间都存在核力的作用 D. 核力和万有引力是同种性质的力 解析：在原子核内，靠核力将所有核子束缚在一起，A正确；质子和质 子、质子和中子、中子和中子之间都存在核力，B错误；核力只在相邻的 核子之间起作用，C错误；核力与万有引力不是同一种性质的力，D错误。 √ 物理·选择性必修第三册 目 录 〔多选〕关于原子内的相互作用力，下列说法正确的是（　　） A. 原子核与电子之间的作用力主要是电磁力 B. 中子和质子间的作用力主要是核力 C. 质子与质子间的核力，在2.0×10－15 m的距离内远大于它们相互间的库 仑力 D. 原子核与电子之间的万有引力大于它们之间的电磁力 √ √ 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：原子核与电子之间的作用力主要是电磁力，A正确；中子和质子间的作用力主要是核力，B正确；核力与万有引力、电磁力的性质不同，核力是短程力，作用范围只有约10－15 m，C错误；原子核与电子之间的万有引力小于它们之间的电磁力，D错误。 物理·选择性必修第三册 目 录 02 PART 知识点二 结合能和比结合能 目 录 　情境：如图所示，质子和中子聚集在一块形成原子核。 问题：相邻的质子与质子之间、质子与中子之间、中子与中子之间都 存在很强的核力作用，从功和能的角度看，如果要将它们分开会付出 怎样的代价？ 提示：必须消耗能量克服核子之间强大的核力做功。 物理·选择性必修第三册 目 录 1. 结合能：把原子核中核子分开需要的能量，也是核子结合成原子核而释 放的能量。 2. 比结合能 （1）定义：原子核的结合能与 之比，也叫平均结合能。 （2）意义：比结合能越大，原子核中核子结合得越牢固，原子核越稳定。 核子数　 物理·选择性必修第三册 目 录 【易错辨析】 （1）原子核分成核子时吸收的能量叫平均结合能，核子结合成原子核释 放的能量叫比结合能。 （　×　） （2）结合能越小，原子核越稳定。 （　×　） × × 物理·选择性必修第三册 目 录 1. 结合能和比结合能 结合能 把原子核分成核子时吸收的能量或核子结合成原子核时释放的能量 比结 合能 等于原子核的结合能与原子核中核子个数的比值，它反映了原子核的稳定程度，比结合能越大，原子核越稳定 2. 比结合能曲线的意义 中等质量原子核的比结合能最大，原子核最稳定；轻核和重核的比结合能 都比中等质量的原子核的比结合能要小，原子核不太稳定。 物理·选择性必修第三册 目 录 【例2】　（比结合能）原子核的比结合能曲线如图所示。根据该曲线， 下列判断正确的有（　　） A. He核比Li核更稳定 BHe核的结合能约为14 MeV C. 两个H核结合成He核时吸收能量 DU核中核子的比结合能比Kr核中的大 √ 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：比结合能越大，原子核越稳定He核比Li核比结合能大，则更稳 定，选项A正确；根据题图知He核的比结合能约为7 MeV，所以结合能约 为ΔE＝7×4 MeV＝28 MeV，选项B错误；由题图可知H的比结合能约为1 MeV，则H核结合能为2 MeVHe核的比结合能约为7 MeV，结合能约 为28 MeV，则两个H核结合成He核时放出能量，选项C错误；由题图可 知U核中核子的比结合能比Kr核中的小，选项D错误。 物理·选择性必修第三册 目 录 下列关于结合能和比结合能的说法正确的是（　　） A. 核子结合成原子核吸收的能量或原子核拆解成核子放出的能量称为结 合能 B. 比结合能越大的原子核越稳定，因此它的结合能也一定越大 C. 重核与中等大小的原子核相比较，重核的结合能和比结合能都大 D. 中等大小的原子核的结合能和比结合能均比轻核的要大 √ 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：核子结合成原子核时放出能量，原子核拆解成核子时吸收能量，选项A错误；比结合能越大的原子核越稳定，但比结合能大的原子核，其结合能不一定大，例如中等大小的原子核的比结合能比重核的大，但由于核子数比重核少，其结合能比重核小，选项B、C错误；中等大小的原子核的比结合能比轻核的大，它的原子核内核子数又比轻核的多，因此它的结合能也比轻核的大，选项D正确。 物理·选择性必修第三册 目 录 03 PART 知识点三 质量亏损 目 录 1. 爱因斯坦质能方程：E＝ ⁠。 2. 质量亏损：原子核的质量小于组成它的核子的质量之和的现象。 【易错辨析】 （1）质量亏损，就是质量消失不见。 （　×　） mc2　 （2）1原子质量单位（u）相当于931.5 MeV的能量。 （　√　） × √ 物理·选择性必修第三册 目 录 1. 对质量亏损的理解 所谓质量亏损，并不是质量消失，而是减少的质量在核子结合成原子核的 过程中以能量的形式辐射出去了。反过来，把原子核分裂成核子，总质量 要增加，能量也要增加，增加的能量要由外部供给。 物理·选择性必修第三册 目 录 2. 对质能方程E＝mc2的理解 （1）质能方程说明一定的质量总是跟一定的能量相联系。具体地说，一 定质量的物体所具有的总能量是一定的。E＝mc2，不是单指物体的动能、 核能或其他哪一种能量，而是物体所具有的各种能量的总和。 （2）根据质能方程可知，物体的总能量与其质量成正比。物体质量增 加，则总能量随之增加；质量减少，总能量也随之减少，这时质能方程也 可写成ΔE＝Δmc2。 物理·选择性必修第三册 目 录 3. 核能的计算方法 （1）根据质量亏损计算 ①根据爱因斯坦质能方程ΔE＝Δmc2计算。其中Δm的单位是千克，ΔE的单 位是焦耳。 ②利用原子质量单位u和电子伏特计算。1原子质量单位（u）相当于931.5 MeV的能量，ΔE＝Δm×931.5 MeV，其中Δm的单位为u，ΔE的单位为 MeV。 物理·选择性必修第三册 目 录 （2）利用平均结合能来计算 原子核的结合能＝核子的平均结合能×核子数。 （3）利用核反应前后结合能之差来计算 反应后生成的所有新核的总结合能与反应前系统内所有原子核的总结合能 之差，就是该核反应所释放的核能。 物理·选择性必修第三册 目 录 【例3】　（质量亏损）一个静止的铀核U（原子质量为232.037 2 u） 放出一个α粒子（原子质量为4.002 6 u）后衰变成钍核Th（原子质量为 228.028 7 u）。u为原子质量单位，1 u相当于931.5 MeV的能量。 （1）写出核衰变反应方程式； 答案：UThHe 解析：根据质量数守恒和电荷数守恒可知核反应方程式为 UThHe。 物理·选择性必修第三册 目 录 （2）该反应中的质量亏损； 答案：0.005 9 u　 解析：质量亏损为Δm＝mU－mTh－mα＝（232.037 2－228.028 7－4.002 6）u＝0.005 9 u。 （3）释放的核能。 答案：5.5 MeV 解析：由质能方程可知释放的核能为 ΔE＝0.005 9×931.5 MeV≈5.5 MeV。 物理·选择性必修第三册 目 录 方法技巧 核能的两种单位换算技巧 （1）若以“kg”为质量亏损Δm的单位，则计算时应用公式ΔE＝Δmc2，核 能的单位为J。 （2）若以原子质量单位“u”为质量亏损Δm的单位，则ΔE＝Δm×931.5 MeV，核能的单位为MeV。 （3）两种单位的换算：1 MeV＝1×106×1.6×10－19 J＝1.6×10－13 J。 物理·选择性必修第三册 目 录 1. 下列说法正确的是（　　） A. 爱因斯坦质能方程反映了物体的质量就是能量，它们之间可以相互转化 B. 由E＝mc2可知，能量与质量之间存在着正比关系 C. 核反应中发现的“质量亏损”是消失的质量转变为能量 D. 因在核反应中能产生能量，所以系统只有质量数守恒，系统的总能量 不守恒 √ 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：E＝mc2说明能量和质量之间存在着联系，即能量与质量之间存在着正比关系，并不是能量和质量之间存在相互转化的关系，A错误，B正确；核反应中的“质量亏损”并不是质量消失，而是以能量的形式辐射出去，C错误；在核反应中，总能量守恒，只是在核反应前后能量的存在形式不同，D错误。 物理·选择性必修第三册 目 录 2. 质子的质量mp＝1.672 6×10－27 kg，中子的质量mn＝1.674 9×10－27 kg，α粒子的质量mα＝6.646 7×10－27 kg，光速c＝3.0×108 m/s。请计算α 粒子的结合能。（结果保留两位有效数字） 答案：4.3×10－12 J 解析：α粒子由两个质子和两个中子组成，根据结合能的定义及质能方程 ΔE＝Δmc2可得 ΔE＝（2mp＋2mn－mα）c2≈4.3×10－12 J。 物理·选择性必修第三册 目 录 04 PART 随堂演练 目 录 1. （核力与四种基本相互作用）〔多选〕关于核力，下列说法正确的是 （　　） A. 核力是一种特殊的万有引力 B. 原子核内只有质子和质子间有核力作用，而中子和中子之间、质子和中 子之间则没有核力作用 C. 核力是原子核稳定存在的原因 D. 核力是一种短程力 √ √ 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：核力与万有引力、库仑力的性质不同，核力是短程力，作用范围只有约10－15 m，原子核半径的数量级为10－15 m，所以核力只存在于相邻的核子之间，质子间、中子间、质子和中子间都可以有核力作用，核力是原子核能稳定存在的原因，故C、D正确。 物理·选择性必修第三册 目 录 2. （结合能与比结合能）〔多选〕关于原子核的结合能，下列说法正确的 是（　　） A. 原子核的结合能等于使其完全分解成自由核子所需的最小能量 B. 一重原子核衰变成α粒子和另一原子核，衰变产物的结合能之和一定大 于原来重核的结合能 C. 比结合能越大，原子核越不稳定 D. 自由核子组成原子核时，其质量亏损所对应的能量大于该原子核的结 合能 √ √ 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：原子核的结合能等于使其完全分解成自由核子所需吸收的最小能量，A正确；一重原子核衰变成α粒子和另一原子核，要释放能量，故衰变产物的结合能之和一定大于原来重核的结合能，B正确；比结合能越大，原子核越稳定，C错误；自由核子组成原子核时，其质量亏损所对应的能量等于该原子核的结合能，D错误。 物理·选择性必修第三册 目 录 3. （质量亏损和核能）原子质量单位为u，1 u相当于931.5 MeV的能量， 真空中光速为c，当质量分别为m1 kg和m2 kg的原子核结合为质量为M kg的 原子核时释放出的能量是（　　） A. （M－m1－m2）uc2 B. （m1＋m2－M）u×931.5 J C. （m1＋m2－M）c2 J D. （m1＋m2－M）×931.5 MeV 解析：　核反应过程中，反应前后原子核的质量亏损为Δm＝（m1＋m2－ M）kg，则释放的能量为ΔE＝Δmc2＝（m1＋m2－M）c2 J，故C正确。 √ 物理·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 物理·选择性必修第三册 目 录 05 PART 课时作业 目 录 知识点一　核力与四种基本相互作用 1. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 核力是短程力，作用范围很小，只在邻近核子间发生 B. 核力可能表现为引力，也可能表现为斥力。核力把核子紧紧束缚在核 内，形成稳定的原子核，但又不会融合在一起 C. 质子间、中子间、质子和中子之间都可能有核力 D. 核力是一种弱相互作用，在其作用范围内，核力比库仑力大得多 解析：核力作用的范围在10－15 m内，只在邻近核子间发生，是短程力，A正确；核力可能表现为引力，也可能表现为斥力，B正确；核力是核子之间的强相互作用，C正确，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ √ 物理·选择性必修第三册 目 录 2. 科学研究表明，自然界存在四种基本相互作用。我们知道分子之间也存 在相互作用的引力和斥力，那么分子力实质上是属于（　　） A. 引力相互作用 B. 电磁相互作用 C. 强相互作用和弱相互作用的共同作用 D. 四种基本相互作用的共同作用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：分子间作用力作用范围约在10－10 m数量级上。强相互作用和弱相互作用都是短程力，作用范围分别只有约10－15 m和10－18 m，在分子间作用力作用范围内强相互作用和弱相互作用都不存在，在分子间作用力作用范围内引力相互作用和电磁相互作用都存在，但由于分子间的电磁力远大于万有引力，引力相互作用可以忽略不计，因此分子间作用力本质上属于电磁相互作用，故选B。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 3. 氦原子核由两个质子与两个中子组成，这两个质子之间存在着万有引 力、库仑力和核力，则3种力从大到小的排列顺序是（　　） A. 核力、万有引力、库仑力 B. 万有引力、库仑力、核力 C. 库仑力、核力、万有引力 D. 核力、库仑力、万有引力 解析：　核力是强相互作用，它能将核子束缚在原子核内，万有引力最 弱，研究核子间相互作用时万有引力可以忽略，故选D。 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 知识点二　结合能和比结合能 4. 〔多选〕钚的一种同位素Pu衰变时释放巨大能量，如图所示，其衰 变方程为PuUHe，并伴随γ光子辐射，则下列说法中正确的是 （　　） A. 核燃料总是利用比结合能小的核 B. 核反应中γ光子的能量就是Pu核的结合能 CU核比Pu核更稳定，说明U核的结合能大 D. 由于衰变时释放巨大能量，所以Pu核比U核的比结 合能小 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：根据比结合能越大，原子核越稳定，知核燃料总是利用比结合能小的核，故A正确；核反应中γ光子的能量是由于质量亏损而释放的能量，故B错误U核比Pu核更稳定，说明U核的比结合能大，所以衰变时，会释放巨大能量，故C错误，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 知识点三　质量亏损和核能计算 5. 〔多选〕为纪念爱因斯坦对物理学的巨大贡献，联合国将2005年定为 “国际物理年”。对于爱因斯坦提出的质能方程E＝mc2，下列说法中正确 的是（　　） A. E＝mc2表明物体具有的能量与其质量成正比 B. 根据ΔE＝Δmc2可以计算核反应中亏损Δm所对应的核能 C. 一个中子和一个质子结合成氘核时释放出核能，表明此过程中出现了质 量亏损 D. E＝mc2中的E是发生核反应时释放的核能 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：E＝mc2表明物体具有的能量与其质量成正比，其中E是物体静止时的总能量，而不能理解为发生核反应时释放的核能，选项A正确，D错误；根据ΔE＝Δmc2可以计算核反应中亏损Δm所对应的核能，选项B正确；一个中子和一个质子结合成氘核时发生质量亏损，亏损的质量以能量的形式释放出来，即释放出核能，选项C正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 6. 在核反应HHHe＋X中H的质量为m1、比结合能为E1H的质 量为m2、比结合能为E2He的质量为m3、比结合能为E3，X的质量为m4、 比结合能为E4。下列说法正确的是（　　） A. X是质子 B. X是电子 C. 一次该核反应的质量亏损为Δm＝m3＋m4－m1－m2 D. 一次该核反应释放的能量为E＝4E3－3E2－2E1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：　根据质量数守恒和电荷数守恒可知X的质量数为1，电荷数为0， 可知X是中子，比结合能E4＝0，故A、B错误；一次该核反应的质量亏损 为Δm＝m1＋m2－m3－m4，故C错误；根据比结合能的概念可知，该核反应 释放的能量为E＝4E3－3E2－2E1，故D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕在某些恒星内，3个α粒子结合成一个CC原子核的质量 是12.000 0 uHe原子核的质量是4.002 6 u，已知1 u的质量对应931.5 MeV的能量，则此核反应所释放的核能约为（　　） A. 7.265 7 MeV B. 5.265 7 MeV C. 1.16×10－12 J D. 1.16×10－9 J 解析：由爱因斯坦质能方程得ΔE＝Δmc2＝（3×4.002 6－12.000 0）×931.5 MeV＝7.265 7 MeV＝1.16×10－12 J，故A、C正确。 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 8. 如图所示，图甲为原子核的比结合能与质量数关系曲线，图乙为原子核的平均核子质量与原子序数的关系曲线，根据两曲线，下列说法正确的是（　　） A. 根据图甲可知He核的结合能约为7 MeV B. 根据图甲可知U核的结合能比Kr核的结合能大 C. 根据图乙可知，核D裂变成核E和F的过程中，比结合能减小 D. 根据图乙可知，若A、B能结合成C，结合过程一定要吸收能量 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：　题图甲中He核的比结合能约为7 MeV，但图中不能看出He核 的比结合能，不能计算出He核的结合能，故A错误；分析题图甲可知 U核比Kr核的比结合能略小，但核子数远大于Kr核，根据结合能 等于比结合能与核子数的乘积可知U核的结合能比Kr核的结合能 大，故B正确；核D分裂成E、F，由题图乙可知平均核子质量减小，有质 量亏损，会释放能量，因此比结合能将增大，故C错误；若A、B能结合成 C，平均核子质量减少，会有质量亏损，释放出核能，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 9. （2023·全国乙卷16题）2022年10月，全球众多天文设施观测到迄今最 亮伽马射线暴，其中我国的“慧眼”卫星、“极目”空间望远镜等装置在 该事件观测中作出重要贡献。由观测结果推断，该伽马射线暴在1分钟内 释放的能量量级为1048 J。假设释放的能量来自物质质量的减少，则每秒钟 平均减少的质量量级为（光速为3×108 m/s）（　　） A. 1019 kg B. 1024 kg C. 1029 kg D. 1034 kg √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 解析：　由题意可知，伽马射线暴每分钟释放的能量量级为1048 J，则其 每秒钟释放的能量量级为1046 J，根据爱因斯坦质能方程ΔE＝Δmc2可知， 每秒钟平均减少的质量量级为Δm＝ kg＝ kg≈1029 kg，C 正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 10. 一个静止的镭核Ra发生衰变放出一个粒子变为氡核Rn。已知镭 核226质量为226.025 4 u，氡核222质量为222.017 5 u，放出粒子的质量为 4.002 6 u，1 u相当于931.5 MeV的能量。 （1）写出核反应方程； 答案：RaRnHe　 解析：核反应方程为RaRnHe。 （2）求镭核衰变放出的能量； 答案：4.94 MeV　 解析：镭核衰变放出的能量为ΔE＝（226.025 4－4.002 6－222.017 5） ×931.5 MeV≈4.94 MeV。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 （3）若衰变放出的能量均转变为氡核和放出粒子的动能，求放出粒子的 动能。 答案：4.85 MeV 解析：镭核衰变前静止，镭核衰变过程动量守恒，则由动量守恒定律可得 mRnvRn－mαvα＝0 又因为衰变放出的能量转变为氡核和α粒子的动能，则ΔE＝mRn＋ mα 可得Ekα＝·ΔE＝×4.94 MeV≈4.85 MeV。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理·选择性必修第三册 目 录 $