精品解析：湖南岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

2026年3月高二数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 2. 以下说法中，正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】对于①，若，则，反向共线，充分性成立， 但当非零向量，同向共线时，不存在，必要性不成立， 则“”是“，共线”的充分不必要条件，故①正确； 对于②，当为零向量，不为零向量时，不存在，故②错误； 对于③，由，，则，， 不能得到，故③错误； 对于④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， 即不共面，构成空间的另一个基底，故④正确； 对⑤，，故⑤错误． 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 4. 设数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据首项和递推式求出，观察归纳得出是周期为3的周期数列，再确定除以3的余数，进而求解． 【详解】已知，则，， ，， 可见此数列为周期是3的周期数列， ， ，故D正确． 故选：D． 5. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意有，解得的取值范围. 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即，即对都成立， 所以． 6. 已知函数，则 A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减 C. 的图像关于直线x=1对称 D. 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C． 【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心． 7. 设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 8. 过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 分析】设出直线方程，由焦半径公式得到，从而根据求出，从而通过焦半径公式转化得到，由几何关系得到距离和最小值， 【详解】设直线的方程为，与联立可得， 设，则， 因为，则， 则， 因为，所以直线的直线方程为， 故可得， 因为，所以， 即，解得， 故抛物线方程，故焦点为，准线方程为， 设P到准线的垂线段为，为垂足， 则，故， 表示点到准线的距离与到点的距离之和， 故当三点共线时，距离和最小， 此时点坐标为，故， 即，的最小值为4. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知函数，则（ ） A. 恒成立 B. 是上的减函数 C. 在得到极大值 D. 在区间内只有一个零点 【答案】CD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，由此可判断BC，取可判断A选项的正误，根据函数的单调性及可判断D. 【详解】，该函数的定义域为， 所以， 由，可得，由，可得， 所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， ，故B选项错误，C选项正确； 当时，，此时，A选项错误； 由题可知函数在区间内单调递减，而，故在区间内只有一个零点，D选项正确. 故选：CD. 10. 在递增的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为的等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据题干条件判断并计算得到和的值，可得到等比数列的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项. 【详解】选项A，，①， ，②， ①②联立方程组，得到或， 是递增的等比数列， ，故选项A正确； 选项B，将代入②，解得， ，， ，， 数列是等比数列，故选项B正确； 选项C，，，故选项C错误； 选项D，，，，， ，，故选项D正确. 11. 已知正方体的棱长为，是线段的中点，是底面正方形内的动点（包含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若点在线段上运动，则与平面所成角正弦的最大值为 D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线的一部分 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面平面，得到点到平面的距离为定值，结合锥体的体积公式，可判定A正确；连接,交于点，证得平面，当为底面正方形中心时，得到平面，可判定B正确；以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，结合向量的夹角公式，可判定C错误；设，由与所成的角为，列出方程，得到动点的轨迹为双曲线的一部分，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为平面平面，所以点到平面的距离为定值， 所以为定值，所以A正确； 对于B中，连接,交于点，连接， 则为的中点，因为为的中点，所以， 在正方体中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，当为底面正方形中心时，平面，所以B正确. 对于C中，以原点，所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 则, , ，可得，， 设，其中，则， 可得平面的法向量， 设直线与平面所成角为，当时，与重合，此时，； 当时，， 当且仅当时取等号， 综上可得，与平面所成角的正弦值最大为，所以C错误. 对于D中，设，则,， 因为与所成的角为，所以， 所以，可得，所以动点的轨迹为双曲线的一部分，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】乙队以获胜的概率，则甲队可能在第一场到第四场中任意胜一场，再根据各场比赛结果相互独立计算出乙队获胜的概率，再相加可求出乙队以获胜的概率. 【详解】由题可知乙在甲主场取胜概率为，乙在甲客场取胜概率为， 前五场主客安排为：（甲）主主客客主 则甲胜第一场（主）：， 则甲胜第二场（主）：， 则甲胜第三场（客）：， 则甲胜第四场（客）：， 乙队以获胜的概率. 故答案为： 13. 已知数列满足，定义使（）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_____． 【答案】2036 【解析】 【分析】先用换底公式化简之后，将表示出来，找出满足条件的“幸福数”，然后求和即可. 【详解】当时，， 所以， 若满足为正整数，则，即， 所以在内的所有“幸福数”的和为： , 故答案为：2036. 14. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用题意求出，然后再求出，再利用递推关系结合单调性可得到不等式恒成立，最后可求出参数的范围. 【详解】由题意得： ， 又因为， 所以有， 因为数列单调递减，所以有对于恒成立， 即对于恒成立， 再取，则由， 可知数列单调递减，则， 所以要使得不等式对于恒成立， 则满足，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共80分） 15. 已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． （1）当点P的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； 【小问2详解】 ， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为，  最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 16. 记为数列的前n项和.已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）根据裂项求和可得的表达式，进而利用单调性求解的取值，即可求解. 【小问1详解】 由可得， 当时，， 故， 化简可得， 由于，故，即为常数， 因此为等差数列， 【小问2详解】 由（1）知为等差数列，且公差为， 又，，成等比数列，故，解得， 故， 故， 故， 单调递减，故单调递增，因此， 恒成立，故，解得， 17. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； 【小问2详解】 连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点． （1）P为椭圆C上一动点，求的最大值； （2）设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，可得，代入两点间距离公式结合二次函数的性质即可求解. （2）设直线，，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，，进而结合直线斜率公式，一元二次方程的根与系数关系、等差数列的性质进行求解即可. 【小问1详解】 设为椭圆上一点， 则，且 ， 则 ， 所以当时，. 【小问2详解】 椭圆右焦点，设直线，，， 联立直线与椭圆方程，可得， 由韦达定理得，， 而直线的方程为，把代入方程中，得， 所以，于是，，， 因为，，成等差数列， 所以， 化简得， 把代入化简，得， 把代入， 得，因为，所以有，即. 19. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点． （1）若，求抛物线的方程； （2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和． ①求的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用直线与抛物线相交，通过联立方程，借助弦长公式求出抛物线方程； （2）①依题意可知直线垂直平分线段，设方程为，与抛物线方程联立，利用中点在直线上以及判别式大于零求出的取值范围即可；②解法一，利用向量数量积的坐标表示结合韦达定理求解即可；解法二，设以为直径的圆为，结合韦达定理证明点在圆上即可. 【小问1详解】 设，， 联立方程消去得， 则， 所以， 解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为 【小问2详解】 ①依题意可知直线垂直平分线段， 所以直线的斜率为，设其方程为， 代入中消去可得到：（*）， 设，，则， 因为的中点在直线上，所以， 又因为在直线上，所以， 因为方程（*）有两个相异实根，所以，解得， 故所求的取值范围是 ②设，，，， 方法一：，， 则 ， 因为，， 所以，， 则， 又因为，即， 所以 . 方法二：以为直径的圆为， 即， 由（1），因为，所以， 所以代入方程， 可化为， 即， 记以为直径的圆的圆心为， 因为线段的中点，所以， 又 ， 所以， 所以以为直径的圆过点， 所以，的值为0. 【点睛】直线与抛物线位置关系，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月高二数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 以下说法中，正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 设数列满足，则（ ） A B. C. D. 2 5. 设数列通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则 A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减 C. 的图像关于直线x=1对称 D. 的图像关于点（1，0）对称 7. 设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知函数，则（ ） A. 恒成立 B. 是上的减函数 C. 在得到极大值 D. 在区间内只有一个零点 10. 在递增的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为的等差数列 11. 已知正方体棱长为，是线段的中点，是底面正方形内的动点（包含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若点在线段上运动，则与平面所成角正弦的最大值为 D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线的一部分 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是______． 13. 已知数列满足，定义使（）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_____． 14. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（共80分） 15. 已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． （1）当点P的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 16. 记为数列的前n项和.已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点． （1）P为椭圆C上一动点，求的最大值； （2）设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值． 19. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点． （1）若，求抛物线的方程； （2）已知抛物线上存在关于直线对称相异两点和． ①求的取值范围； ②求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $