第10章 专题强化3 带电粒子在电场中的运动轨迹 功能关系和图像问题（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中物理必修第三册（人教版）

该高中物理讲义通过专题框架系统梳理了带电粒子在电场中的运动轨迹、功能关系及图像问题，将电场线与轨迹综合、功能关系分析、φ-x/E-x/Ep-x图像应用等核心内容分层呈现，用例题解析和方法技巧表格归纳重难点，构建知识内在逻辑。 讲义亮点在于“问题情境-规律应用-图像分析”的递进式练习设计，如通过带电粒子在电场线中的轨迹例题（例1）培养科学推理能力，结合φ-x图像分析电场强度和电势能变化（例4）深化能量观念。每个专题配有方法技巧和规范解答，帮助学生掌握解题思路，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

专题强化3　带电粒子在电场中的运动轨迹　功能关系和图像问题 学习目标 1.会根据电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹判断粒子的受力情况及能量的变化情况。 2.能应用动能定理、能量守恒定律等分析静电场中的功能关系。 3.理解φ-x、E-x和Ep-x等图像的意义并会应用图像解决静电场问题。 强化点一　电场线、等势线（面）与运动轨迹的综合 1.电场线和等势面互相垂直，根据等势线可以大体画出电场线，反之亦可。 2.带电粒子运动轨迹的三条规律 （1）带电粒子运动的速度方向为轨迹的切线方向； （2）带电粒子所受合力方向应指向轨迹的凹侧； （3）在运动过程中，若合力与速度方向的夹角小于90°，则合力做正功，速度增加；若夹角大于90°，则合力做负功，速度减小；若夹角等于90°，则合力不做功，速度不变。 【例1】　（电场线与轨迹结合）如图所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是（　　） A.vM＜vN，aM＞aN B.vM＜vN，φM＜φN C.φM＜φN，EpM＜EpN D.aM＜aN，EpM＜EpN 答案：D 解析：由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向向右偏，因粒子带负电，故电场线方向向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN＜φM，EpM＜EpN；N点附近电场线比M点密集，故电场强度EM＜EN，可知aM＜aN，若粒子从N点运动到M点，则静电力做正功，电势能减少，动能增加，故vM＞vN，若粒子从M点运动到N点同样可得vM＞vN。综上所述，选项D正确。 【例2】　（等势面与轨迹结合）两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列判断正确的是（　　） A.粒子带正电 B.b点和d点的电场强度相同 C.粒子的动能先减小后增大 D.粒子在a点的电势能大于在c点的电势能 答案：C 解析：根据两个固定的等量异种点电荷所形成的电场的等势面的特点可得，该图中正电荷在上方，负电荷在下方，因粒子运动轨迹向上弯曲，可知带电粒子受到了向上的力的作用，所以粒子带负电，A错误；在电场中等势面与电场线是垂直的，由图可知，b、d两点弯曲的方向不同，则过b、d两点，与－5 V的等势面垂直的电场线的方向是不同的，所以b、d两点电场强度是不同的，B错误；粒子从a到c的过程中，静电力做负功，电势能增大，从c到e的过程中，静电力做正功，电势能减小，则粒子在静电场中，电势能先增大后减小，动能先减小后增大，C正确，D错误。 方法技巧 利用等势面分析轨迹问题的思路 涉及等势面的问题常与带电粒子的运动轨迹相结合，分析这类问题的思路如下： （1）根据带电粒子的轨迹判断静电力的方向（带电粒子只受静电力，则静电力指向曲线的凹侧且垂直于等势面）。 （2）由等势面的电势高低判断电场线的方向，再结合带电粒子所受静电力的方向判断粒子的电性（或由带电粒子所受静电力方向及电性判断电场线方向，继而判断等势面的电势高低）。 （3）由动能定理判断带电粒子的动能变化，由静电力做功情况判断电势能的变化。 （4）由等差等势面的疏密程度判断电场强度的大小，继而判断带电粒子加速度的变化。 强化点二　电场中的功能关系 　电场中常见的几种功能关系 （1）静电力做功等于带电体电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。 （2）合外力做功等于带电体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力做的功。 （3）若只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者总和不变，即ΔEk＝－ΔEp。 【例3】　（10分）（静电力和重力做功的功能关系）如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0①。若此带电小球在A点的加速度大小为g②，g取10 m/s2，静电力常量为k，试求： （1）此带电小球在B点的加速度大小； （2）A、B两点间的电势差（用k、Q和h表示）。 教您审题 提升破题能力 信息读取 信息加工 从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0① 带电小球初、末速度为零，先向下做加速运动后做减速运动 带电小球受到向上的排斥力，库仑力做负功 从A点到B点应用动能定理求电势差 在A点的加速度大小为g② 在A点时，受重力和库仑力，重力大于库仑力，根据牛顿第二定律可求库仑力的大小 在B点时，库仑力大于重力，根据牛顿第二定律可求加速度 答案：（1）30 m/s2　（2）－ 规范解答：（1）由题意可知该带电小球带正电，设小球所带电荷量为q，小球在B点的加速度大小为aB。由牛顿第二定律得，在A点时，有mg－＝m·g　（2分） 在B点时，有－mg＝maB　（2分） 解得aB＝3g＝30 m/s2。　（2分） （2）带电小球从A点运动到B点的过程中，由动能定理得mg（h－0.25h）＋qUAB＝0，　（2分） 解得UAB＝－。　（2分） 强化点三　电场中的图像问题 类型一｜φ-x图像 1.φ-x图像的意义：反映了电势φ随位置x变化的规律。在φ-x图像中根据纵坐标值可以直接判断各点电势的高低。 2.φ-x图线的斜率绝对值表示沿x轴方向电场强度的大小；电场强度为零处，其切线的斜率为零。 3.设电场强度的方向与x轴平行，图像中沿x轴，电势降低的方向即为电场强度方向。图中A点电势高于B点电势，故A、B间电场方向沿x轴正方向，C点电势低于D点电势，故C、D间电场方向沿x轴负方向。 【例4】　两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中C为ND段上电势最低的点，则下列说法正确的是（　　） A.q1、q2为等量异种电荷 B.N、C两点间电场强度方向沿x轴负方向 C.N、D两点间的电场强度大小先减小后增大 D.将一正点电荷从N点移到D点，电势能先增大后减小 答案：C 解析：若q1、q2是异种电荷，电势应该逐渐减小或逐渐增大，由题图可以看出，q1、q2都是正电荷，故A错误；沿x轴正方向从N到C的过程，电势降低，N、C两点间电场强度方向沿x轴正方向，C点电场强度为0，故B错误；φ-x图线的斜率表示电场强度大小，由题图可知，N、D两点间的电场强度大小先减小后增大，故C正确；NC段电场方向沿x轴正方向，CD段电场方向沿x轴负方向，将一正点电荷从N点移到D点，静电力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，故D错误。 类型二｜E-x图像 1.E-x图像的意义：反映了沿x轴方向电场强度E随x变化的规律。 2.设x轴正方向为电场强度的正方向，E＞0表示电场强度沿x轴正方向；E＜0表示电场强度沿x轴负方向。 3.图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。 【例5】　〔多选〕静电场在x轴上的电场强度E随坐标x的变化关系如图所示，x轴正方向为电场强度的正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，那么点电荷（　　） A.由x1运动到x3的过程中电势能一直增大 B.由x1运动到x4的过程中静电力先增大后减小 C.由x1运动到x4的过程中电势能先增大后减小 D.在x2和x4处电势相等 答案：AB 解析：由题意可知，x1运动到x4的过程中电场方向沿x轴负方向，则带正电的点电荷由x1运动到x4的过程中，静电力一直做负功，电势能一直增大，根据沿电场线方向电势降低，可知x2处电势高于x4处电势，A正确，C、D错误；根据E-x图像，点电荷由x1运动到x4的过程中电场强度大小先增大后减小，静电力先增大后减小，B正确。 类型三｜Ep-x图像 1.Ep-x图像的物理意义：反映了电势能Ep随x变化的规律。 2.Ep-x图像切线的斜率绝对值表示静电力大小。Ep-x图像切线斜率为零时静电力为零，该点的电场强度的大小也为零。 【例6】　〔多选〕（2025·北京市首都师范大学附属中学高二期中）如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，O为坐标原点，A点坐标为x1，一电子仅在静电力作用下沿x轴运动，其电势能Ep随其坐标x变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A.过O点的电场线一定与x轴重合 B.A点电场强度的方向沿x轴负方向 C.该电子在A点受到的静电力大于其在O点受到的静电力 D.该电子在O点的动能大于其在A点的动能 答案：ACD 解析：因为电子仅在静电力作用下沿x轴运动，则静电力方向一定与x轴重合，电场强度方向一定与x轴重合，所以过O点的电场线一定与x轴重合，A正确；电子在A点的电势能比O点大，根据负电荷在电势越低处电势能越大可知，A点的电势低于O点的，即电场强度的方向由O指向A，沿x轴正方向，B错误；由EkA＋EpA＝EkO＋EpO和EpA＞EpO得EkA＜EkO，D正确；Ep-x图像斜率表示电子受到的静电力，斜率越大电子受到的静电力越大，则电子在A点受到的静电力大于其在O点受到的静电力，C正确。 1.如图所示，实线为电场线，虚线表示电场中一簇等势面，相邻等势面之间电势差相等，一个正电荷以一定的初速度进入电场中，仅在静电力作用下从M点运动到N点（轨迹在图中没有画出），此过程中静电力对正电荷做负功，由此可以判断（　　） A.M点的电场强度大于N点的电场强度 B.M点的电场强度等于N点的电场强度 C.M点的电势低于N点的电势 D.M点的电势等于N点的电势 解析：C　根据电场线或等差等势面的疏密程度可知，M点的电场强度小于N点的电场强度，A、B错误；由EpM－EpN＝WMN，得静电力做负功时电势能增加，则正电荷在M点的电势能小于在N点的电势能，由Ep＝qφ知M点的电势低于N点的电势，C正确，D错误。 2.如图所示，实线为某一点电荷所形成的一簇电场线，a、b、c三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，其中虚线b为一垂直电场线的圆弧，AB＝BC，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力及相互作用力。以下说法正确的是（　　） A.由于AB＝BC，故UAB＝UBC B.a对应粒子的速度在减小，电势能在增大 C.b、c对应粒子的动能都在增大，电势能都在减小 D.a对应粒子的加速度越来越小，c对应粒子的加速度越来越大，b对应粒子的加速度大小不变 解析：D　根据公式U＝Ed，又因为AB＝BC，且A、B间电场强度较小，所以UAB＜UBC，A错误；a对应粒子，静电力做正功，动能在增大，电势能在减小，B错误；b对应粒子，做圆周运动，静电力不做功，动能和电势能均不变，C错误；a对应粒子，电场强度逐渐减小，静电力减小，加速度减小，c对应粒子，电场强度逐渐增大，静电力增大，加速度增大，b对应粒子，电场强度大小不变，静电力大小不变，加速度大小不变，D正确。 3.一个负电荷从电场中的A点由静止释放，仅在静电力作用下沿电场线由A点运动到B点，它运动的v-t图像如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下列选项中的（　　） 解析：C　由v-t图像可知，负电荷在电场中做加速度增大的加速运动，故负电荷所受的静电力由A指向B且增大，说明从A到B电场强度越来越大，电场线逐渐密集，且负电荷受力方向与电场方向相反，故电场线方向由B指向A，故C正确，A、B、D错误。 4.（2025·上海市洋泾中学期中）如图，空间存在足够大的水平方向的匀强电场，绝缘的曲面轨道处于匀强电场中，曲面上有一带电金属块在力F的作用下沿曲面向上移动。已知金属块在向上移动的过程中，力F做功40 J，金属块克服静电力做功10 J，金属块克服摩擦力做功20 J，重力势能改变了30 J，则（　　） A.电场方向水平向左 B.电场方向水平向右 C.在此过程中金属块电势能减少20 J D.在此过程中金属块机械能增加10 J 解析：D　因为不知道带电金属块的电性，所以无法判断电场方向，故A、B错误；克服静电力做功为10 J，则电势能增加10 J，故C错误；机械能的改变量等于除重力和弹力以外的其他力所做的总功，故应ΔE＝40 J－10 J－20 J＝10 J，故D正确。 5.〔多选〕如图，在粗糙绝缘水平面上固定一点电荷Q，在M点无初速释放一带有恒定电荷量的小物块，小物块在Q的电场中运动到N点静止，则小物块从M点运动到N点的过程中（　　） A.小物块所受静电力逐渐减小 B.小物块具有的电势能逐渐减小 C.M点的电势一定高于N点的电势 D.小物块电势能的减少量一定等于克服摩擦力做的功 解析：ABD　小物块从M运动到N的过程中，一定受到向右的摩擦力，所以库仑力一定向左，随着小物块由M运动到N，与电荷Q距离越来越大，所以小物块受到的静电力逐渐减小，A正确；由动能定理可得WE－μmgx＝0，即WE＝μmgx，静电力做正功，小物块具有的电势能减小，其减少量等于克服滑动摩擦力做的功，B、D正确；因为点电荷Q的电性未知，所以不能判断M、N两点电势的高低，C错误。 6.〔多选〕如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块下滑的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是（　　） A.金属块带正电荷 B.金属块的机械能减少12 J C.金属块克服静电力做功8 J D.金属块的电势能减少4 J 解析：AB　在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，根据动能定理得WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得W电＝－4 J，所以金属块克服静电力做功4 J，金属块的电势能增加4 J，由于金属块下滑，静电力做负功，所以金属块带正电荷，故A正确，C、D错误；在金属块滑下的过程中，重力做功24 J，重力势能减少24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故B正确。 7.在x轴上关于坐标原点对称的a、b两点处固定两个电荷量相等的点电荷，如图所示的E-x图像描绘了x轴上部分区域的电场强度（以x轴正方向为电场强度的正方向）。对于该电场中x轴上关于原点对称的c、d两点，下列结论正确的是（　　） A.两点电场强度相同，c点电势更高 B.两点电场强度相同，d点电势更高 C.两点电场强度不同，两点电势相等，均比O点电势高 D.两点电场强度不同，两点电势相等，均比O点电势低 解析：A　题图中a点左侧，b点右侧的电场强度方向都沿x轴负方向，则a点处为正点电荷，b点处为负点电荷，又两点电荷的电荷量相等，由等量异种点电荷电场特点知c、d两点的电场强度相同，c点电势更高，A正确，B、C、D错误。 8.（2025·辽宁抚顺高二上期中）在O点处固定一个带正电的点电荷，从A点由静止释放一个质量为m、可视为质点的带负电小球，小球的运动轨迹为如图所示的实线，它与以O点为圆心、R为半径的圆相交于B、C两点，O、C两点在同一竖直线上，OB与水平方向的夹角θ＝30°，A点距B点的竖直高度为R，小球经过C点时的速度大小为，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求： （1）小球经过B点时的速度大小vB； （2）小球从A点运动到B点的过程中，静电力对小球做的功W。 答案：（1）　（2） 解析：（1）B、C两点位于同一等势面上，根据动能定理有mg（R＋Rsin θ）＝m－m 解得vB＝。 （2）小球从A点运动到B点的过程中，根据动能定理有mgR＋W＝m 解得W＝。 9.〔多选〕空间中一静电场的某物理量沿x轴的分布情况如图所示，其中OA＝OB，图线关于未知轴对称，则（　　） A.若为E-x图像，则φA＝φB B.若为E-x图像，则将一电子由A沿x轴移向B，静电力先做负功再做正功 C.若为φ-x图像，则A、B两点处沿x轴方向的电场强度大小相等 D.若为φ-x图像，则将一电子由A沿x轴移向B，静电力先做负功再做正功 解析：CD　由E-x图像与x轴所围“面积”表示电势差可知A、B两点电势一定不相等，故A错误；若为E-x图像，由于沿x轴方向的电场强度方向不变，所以静电力一直做负功或做正功，故B错误；若为φ-x图像，其斜率代表沿x轴方向的电场强度，则A、B两点沿x轴方向的电场强度大小相等，方向相反，故C正确；由Ep＝qφ，q＜0，可知由A到B电子电势能先增大后减小，即静电力先做负功后做正功，故D正确。 10.（2025·四川宜宾期末）如图所示为电子束焊接机简易原理图，图中带箭头的虚线表示电场线，一电子在图中H点从静止开始只在静电力的作用下运动。设电子在该电场中的运动时间为t，位移为x，速度为v，受到的静电力为F，电势能为Ep，运动经过的各点电势为φ，则下列四个图像可能合理的是（　　） 解析：D　由于电子所受的静电力的方向与电场强度方向相反，所以电子向圆心运动，电场强度逐渐增大，根据F＝eE可知，电子受到的静电力逐渐增大；静电力对电子做正功，动能增大，故电子的速度逐渐增大，根据牛顿第二定律可知a＝，电子的加速度也是逐渐增大，v-t图像斜率在增大，A、B均错误；根据Ep＝eEx，电子向圆心运动，电场强度增大，Ep-x图线的斜率绝对值在增大，C错误；根据φ＝，Ep＝eEx，解得φ＝Ex，电子向圆心运动，逆电场线运动电势升高，电场强度增大，φ-x图线的斜率增大，图线向上弯曲，D正确。 11.（2025·天津高二上期中）如图所示，带电荷量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为37°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电荷量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知A、C间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： （1）O、B间的距离L； （2）从A到C，静电力对小滑块做功W； （3）A、C之间的电势差UAC。 答案：（1）2q　（2）－0.6mgs　（3）－ 解析：（1）依题意得，在B点对小滑块受力分析如图 由于小球加速度为零，由平衡条件可知mgsin θ＝Fcos θ＝cos θ 解得L＝2q。 （2）从A到C过程，由动能定理可知mgssin θ＋W＝0 解得W＝－0.6mgs。 （3）由功能关系可知W＝qUAC 联立以上公式UAC＝－。 1 / 9 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