6.2.1 第1课时 导数与函数的单调性 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．函数f(x)＝x＋sin x在R上是(　　) A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 解析：选D.f(x)＝x＋sin x，则f＝－x－sin x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，f′(x)＝1＋cos x≥0，所以f(x)在R上是增函数．故选D. 2．已知函数y＝f(x)(x∈R)的导函数f′(x) 的图象如图所示，则函数y＝f(x)(　　) A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 解析：选D.由题图可知，当x<－2 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－2<x<3 时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x>3 时，f′(x)<0，f(x)单调递减．故选D. 3．函数f(x)＝x3＋x2的单调递增区间是　(　　) A．， B．∪ C． D．∪ 解析：选A.由题意得f′(x)＝x2＋x＝x(x＋1)，令f′(x)>0，解得x>0或x<－1，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞).故选A. 4．函数f(x)＝的大致图象为(　　) 解析：选A.f′(x)＝＝＝－＝－≤0恒成立，所以函数f(x)＝在定义域R上单调递减，且对任意x∈R，都有x2＋1>0，ex>0，所以对任意x∈R，都有f(x)>0，所以结合选项可知A满足．故选A. 5．函数f(x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为　(　　) A．(－∞，1) B．(0，1) C．(0，2) D．(2，＋∞) 解析：选C.f(x)＝x－2ln (2x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1－2··2＝1－＝， 由f′(x)<0，可得x∈(0，2)， 故f(x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为(0，2).故选C. 6．(多选)已知函数f(x)＝(x2－5x＋7)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　　) A．(－∞，1) B．(1，2) C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：选AC.因为f(x)的定义域为R， f′(x)＝(x2－5x＋7＋2x－5)ex＝(x2－3x＋2)ex ＝(x－1)(x－2)ex， 令f′(x)>0，得x<1或x>2， 所以f(x)在区间(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增．故选AC. 7．f(x)＝x＋的单调递减区间是________． 解析：f(x)＝x＋的定义域是{x|x≠0}， f′(x)＝1－＝， 令f′(x)<0，解得x∈(－，0)∪(0，)， 故f(x)的单调递减区间是(－，0)，(0，). 答案：(－，0)，(0，) 8．已知定义域为[0，e]的函数y＝f(x)，它的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递减区间是________． 解析：观察题中图象可得当0≤x<b时，f′(x)>0， 当b<x<d时，f′(x)<0， 当d<x≤e时，f′(x)>0， 所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(b，d). 答案：(b，d) 9．已知函数f(x)＝，若f(a＋3)>f(2a)，则实数a的取值范围是__________． 解析：由函数f(x)＝， 可得f′(x)＝>0， 即f(x)为R上的增函数， 故由f(a＋3)>f(2a)可得a＋3>2a，所以a<3， 即实数a的取值范围是(－∞，3). 答案：(－∞，3) 10．(13分)求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2－ln x；(4分) (2)f(x)＝；(4分) (3)f(x)＝－x3＋3x2.(5分) 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－＝. 令f′(x)>0，得x>； 令f′(x)<0，得0<x<， 所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)， 单调递减区间为(0，). (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， f′(x)＝， 令f′(x)>0，得x>3； 令f′(x)<0，得x<2，或2<x<3. 所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)和(2，3). (3)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)， 令f′(x)>0，得0<x<2；令f′(x)<0，得x<0或x>2. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞). 11．若双曲正切函数为tanh x＝，则tanh x(　　) A．是偶函数，且在R上单调递减 B．是偶函数，且在R上单调递增 C．是奇函数，且在R上单调递减 D．是奇函数，且在R上单调递增 解析：选D.令f(x)＝，定义域为R， 因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数， 又因为f′(x)＝＝>0 ，所以f(x)在R上单调递增．故选D. 12．(多选)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 解析：选BD.从导函数的图象可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除C，再由导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数切线斜率应该慢慢变小，排除A，选项B，D中的图象，都符合题意．故选BD. 13．(15分)(2025·大连期末)已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求实数k的值；(7分) (2)求函数f(x)的单调区间．(8分) 解：(1)由f(x)＝， 可得f′(x)＝(x>0). 因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行， 所以f′(1)＝＝0，解得k＝1. (2)由(1)知，f′(x)＝(x＞0)， 设h(x)＝－ln x－1(x＞0)， 则h′(x)＝－－＜0. 可知h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，故f′(x)＞0； 当x＞1时，h(x)＜0，故f′(x)＜0. 综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞). 14．(15分)已知函数f(x)＝，其图象在x＝e处的切线过点(2e，2e2). (1)求a的值；(5分) (2)讨论f(x)的单调性．(10分) 解：(1)因为函数f(x)＝， 所以f(e)＝ae2－1， f′(x)＝， 则f′(e)＝ae＋， 所以函数图象在x＝e处的切线方程为 y－(ae2－1)＝(ae＋)(x－e)， 又因为切线过点(2e，2e2)， 所以2e2－(ae2－1)＝(ae＋)(2e－e)， 即2ae2＝2e2，解得a＝1. (2)由(1)知，f(x)＝，则f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝， 令g(x)＝2x2ln x－x2＋1，则g′(x)＝4x ln x， 当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，画出y＝g(x)的图象(图略)， 易知g(x)>g(1)＝0， 即当0<x<1时，f′(x)>0； 当x>1时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递增． 15．(多选)(2025·威海期末)若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上单调递增，且F(x)＝在区间I上也单调递增，则称y＝f(x)是I上的“一致递增函数”．已知f(x)＝x＋，若函数f(x)是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选AD.f(x)＝x＋，则f′(x)＝；F(x)＝＝1＋，则F′(x)＝，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＝＞＞0，函数f(x)单调递增，F′(x)＝＞0，函数F(x)单调递增，A满足题意；f′(－)＝＜0，故B不满足题意；F′(1)＝－e＜0，故C不满足题意；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝＞0，函数f(x)单调递增，F′(x)＝＞0，函数F(x)单调递增，故D满足题意． 学科网（北京）股份有限公司 $