6.1.1 函数的平均变化率 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．函数f(x)＝x3在区间上的平均变化率为　(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C.由函数的平均变化率的公式，可得＝＝＝1.故选C. 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　) A．f B．f＋Δx C．f－f D．f－f 解析：选D.由题意知，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).故选D． 3．已知函数f(x)＝x2＋1的图象上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝(　　) A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 解析：选C.＝＝＝2＋Δx. 4．已知一物体的运动方程为y＝f(t)＝2t2＋1，其中t的单位是s，路程单位为m，那么物体在时间[1，1＋Δt]内的平均速度为(　　) A．4 B．4Δt C．4＋2Δt D．2Δt 解析：选C.由题意，得Δy＝f(1＋Δt)－f(1)＝2(1＋Δt)2＋1－3＝4Δt＋2(Δt)2，所以＝＝4＋2Δt. 5．某公司的盈利y(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系是y＝f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天比　(　　) A．公司亏损且亏损幅度变大 B．公司的盈利增加，增加的幅度变大 C．公司亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利增加，增加的幅度变小 解析：选D.由>0(x1>x0≥0)恒成立，可知y＝f(x)单调递增，即盈利增加，又平均变化率＝10>＝1说明盈利增加的幅度变小．故选D. 6．(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是(　　) A．直线AB的倾斜角为 B．直线AB的倾斜角为 C．直线AB的斜率为 D．直线AB的斜率为 解析：选BC.函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是直线AB的斜率，所以kAB＝，直线AB的倾斜角为.故选BC. 7．函数f(x)＝log5(x2＋1)在区间[1，7]上的平均变化率为______． 解析：由题意知，函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率为＝＝＝. 答案： 8．函数y＝x2在[1，1＋Δx]上的平均变化率为k1，在[1－Δx，1]的平均变化率为k2，则二者的大小关系是________．(用“＞”连接) 解析：由题意Δx>0，k1＝＝＝2＋Δx，k2＝＝＝2－Δx，所以k1>k2. 答案：k1>k2 9．将半径为R的球加热，若球的半径增加量为ΔR，则球的体积增量ΔV＝________． 解析：由题意得，半径为R的球的体积为V1＝πR3，若半径为R的球加热，球的半径增加量为ΔR，则此时球的半径R2＝R＋ΔR，所以球加热后的体积V2＝π(R＋ΔR)3＝π[R3＋3R2ΔR＋3R(ΔR)2＋(ΔR)3]，则球的体积增量ΔV＝V2－V1＝π[R3＋3R2ΔR＋3R(ΔR)2＋(ΔR)3－R3]＝4πR2ΔR＋4πR(ΔR)2＋π(ΔR)3. 答案：4πR2ΔR＋4πR(ΔR)2＋π(ΔR)3 10．(13分)已知函数f(x)＝3x2＋5，求： (1)f(x)从0.1到0.2的平均变化率；(6分) (2)f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．(7分) 解：(1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 ＝0.9. (2)因为f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5 ＝6x0Δx＋3(Δx)2， 所以函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx. 11．某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图．记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4，则最小平均速度是(　　) A.1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.由题意，设路程y与时间t的函数关系为y＝f(t)， 则1＝，即为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1， 同理2为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2， 3为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3， 4为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4，如图， 由图可知，k3最小，即3最小．故选C. 12．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；在区间[0，2]上的平均变化率为________． 解析：函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为 ＝＝. 由函数f(x)的图象知， f(x)＝ 所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为 ＝＝. 答案：　 13．已知函数f(x)＝x2＋3x在[0，m]上的平均变化率是函数g(x)＝2x＋1在[1，4]上的平均变化率的3倍，则实数m＝________． 解析：函数g(x)在[1，4]上的平均变化率为＝＝2.函数f(x)在[0，m]上的平均变化率为＝＝m＋3.则m＋3＝2×3，解得m＝3. 答案：3 14．(13分)某质点按规律做运动，且当t＝2 s时，位移x＝12 m，当t＝3 s时，位移x＝24 m，当t＝4 s时，位移x＝38 m. (1)求这个质点在时间段[2，3]，[3，4]内的平均速度；(6分) (2)估计出t＝3.2 s时质点的位移．(7分) 解：(1)质点在[2，3]内的平均速度为 ＝12(m/s)， 质点在[3，4]内的平均速度为＝14(m/s). (2)将x在[3，4]上的图象看成线段， 则可知该线段所在直线的斜率为14， 且直线过点(3，24)， 故x与t的关系可近似的表示为 x－24＝14(t－3)， 将t＝3.2代入得x＝26.8，即位移的估计值为26.8 m． 15．(13分)已知圆柱形容器的底面直径为2 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率． 解：设液体放出t s后液面高度为y m， 则π·12·y＝π·12×1－0.01t， 所以y＝1－t， 则液面高度的平均变化率为＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $