第6章 专题课 利用导数研究不等式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦利用导数研究不等式这一核心知识点，系统梳理证明不等式（作差构造函数求最值）、恒成立问题（求函数最值或分离参数）、能成立问题（转化为值域包含关系）的方法，构建从基础方法到综合应用的学习支架。 该资料以例题解析为载体，通过解题策略总结培养数学思维中的推理能力（如例1用导数判断单调性求最值），以跟踪训练强化数学眼光中的抽象能力，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，巩固导数应用方法。

专题课　利用导数研究不等式 类型一　利用导数证明不等式 [例1] 已知函数f(x)＝2ex－ex.求证：f(x)≥e(ln x＋1). 【证明】　设函数h(x)＝f(x)－e(ln x＋1)＝2ex－ex－e(ln x＋1)(x>0)，则h′(x)＝2ex－e－， 因为在(0，＋∞)上，y＝ex单调递增，y＝－单调递增， 可得h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h′(1)＝0， 所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)min＝h(1)＝0， 故2ex－ex－e(ln x＋1)≥0， 即f(x)≥e(ln x＋1)得证． 　 作差法构造函数证明不等式的解题策略 证明f(x)<(或>)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，即证明F(x)<(或>)0；如果F(x)在(a，b)上的最大值小于0(最小值大于0)，那么即证得f(x)<(或>)g(x)，x∈(a，b). 一般步骤：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论． [跟踪训练1] 已知函数f(x)＝1－cos x，证明：f(x)≤. 证明：令h(x)＝f(x)－＝1－cos x－， 则h′(x)＝sin x－x，令m(x)＝h′(x)＝sin x－x， 则m′(x)＝cos x－1≤0，所以m(x)在R上单调递减， 又m(0)＝0，所以当x<0时，m(x)>0， 即h′(x)>0， 所以h(x)在(－∞，0)上单调递增， 当x>0时，m(x)<0，即h′(x)<0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以h(x)max＝h(0)＝0，即h(x)≤0恒成立， 所以f(x)≤，原式得证． 类型二　利用导数研究不等式恒成立问题 [例2] 已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a＞0).若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围． 【解】　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝，令f′(x)＝0， 得x1＝－(舍去)，x2＝， 所以x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表， x f′(x) ＋ 0 － f(x)  －ln a  所以f(x)max＝－ln a＜0，所以a＞1. 所以实数a的取值范围是(1，＋∞). 　 由不等式恒成立求参数的取值范围的策略 (1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题； (2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的取值范围． [跟踪训练2] 已知函数f(x)＝x ln x，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围． 解：依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤ln x＋在[1，＋∞)上恒成立， 即a≤，x∈[1，＋∞). 设g(x)＝ln x＋(x≥1)， 则g′(x)＝－＝. 当x≥1时，g′(x)≥0，故g(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝1. 故实数a的取值范围是(－∞，1]. 类型三　利用导数研究不等式能成立问题 [例3] 已知f(x)＝xex－ex，g(x)＝mx－m(m＞0)，若对任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]，使得f(x1)＝g(x2)，求实数m的取值范围． 【解】　因为f(x)＝xex－ex＝ex(x－1)， 所以f′(x)＝ex(x－1)＋ex＝xex， 令f′(x)＞0，得x＞0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 令f′(x)＜0，得x＜0， 故f(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝－1， 又f(－2)＝－3e-2，f(2)＝e2， 所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－1，e2]， 又g(x)＝mx－m(m＞0)在[－2，2]上是增函数， 所以g(x)在[－2，2]上的值域为[－3m，m]. 若对任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]， 使得f(x1)＝g(x2)，则[－1，e2]⊆[－3m，m]， 所以－3m≤－1＜e2≤m， 解得m≥e2，即实数m的取值范围是[e2，＋∞). 　 若关于x的不等式f(x)＜a在某区间上能成立，则有f(x)min＜a；若关于x的不等式f(x)＞a在某区间上能成立，则有f(x)max＞a. [跟踪训练3] 已知函数f(x)＝2x＋－4，函数g(x)＝－m，若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈，使得f(x1)≤g(x2)，则实数m的取值范围为______________． 解析：f′(x)＝2－，当x∈[1，2]时，f′(x)≥0，故f(x)在[1，2]上单调递增，f(x)max＝f(2)＝.g′(x)＝，当x∈时，g′(x)＞0，当x∈(e，e2]时，g′(x)＜0，故g(x)在上单调递增，在(e，e2]上单调递减，g(x)max＝g(e)＝－m. 故≤－m，解得m∈. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $