第三单元 长方体 正方体（期中知识清单）五年级数学下学期（西南大学版）

第三单元 长方体 正方体 期中复习知识清单 考点一：长方体与正方体的认识 1.长方体的特征:有 6个面（6个面都是长方形，特殊情况下有2个相对的面是正方形）,相对的面完全相同；有 12 条棱，相对的楼长度相等；有8个顶点。 2.正方体的特征：正方体的6个面是完全相同的正方形；12条棱的长度都相等；有 8个顶点。 3.长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。一个长方体有4条长、4条宽和4条高。 考点二：长方体与正方体的棱长和 长方体棱长总和=(长+宽+高)×4 即:L=(a+b+h)×4 正方体棱长总和=棱长×12 即:L=12a 考点三：长方体与正方体的表面积 1. 表面积：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积 2. 长方体表面积的计算方法: (1)长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2，用字母表示为S=2ab+2ah+2bh； (2)长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2，用字母表示为 S=2(ab+ah+bh)。 3.正方体表面积的计算方法：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=。 考点四：长方体与正方体的体积与容积 1.体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用的体积单位：立方米()立方分米()立方厘米() 3.长方体和正方体的体积公式。 (1)长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh； (2)正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为 V=(其中读作a的立方,表示3个a相乘); (3)长方体(或正方体)的体积=底面积×高,用字母表示为 V=Sh。 4.体积单位间的进率l=1000 l=1000 5.容积：容器所能容纳物体的体积，通常叫做它的容积。 6.容积的计算方法：长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。 7.容积单位间的进率1L=1000mL 8.容积单位和体积单位的关系：1L=l 1mL=1 9.不规则物体体积的测量和计算方法：一般把这些物体的体积转化为可测量、可计算的液体的体积。 题型1：长方体与正方体的认识 【例1】下列说法错误的是（　　） A．正方体是长、宽、高都相等的长方体 B．长方体是特殊的正方体 C．正方体和长方体都有6个面、8个顶点、12条棱 【答案】B 【分析】正方体和长方体都有6个面，12条棱，8个顶点；正方体是特殊的长方体，正方体可以看作是长、宽、高都相等的长方体，据此解答。 【解答】解：A．正方体是长、宽、高都相等的长方体，此说法正确； B．长方体是特殊的正方体，此说法错误，应该是正方体是特殊的长方体； C．正方体和长方体都有6个面、8个顶点、12条棱，此说法正确。 答：说法错误的是长方体是特殊的正方体。 故选：B。 【例2】如图是一款产品的参数图，根据这组数据，联系生活想象一下，它可能是（　　） A．一个文具盒 B．一部手机 C．一台微波炉 D．一台冰箱 【答案】D 【分析】根据题意，这个产品是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，则820×720×1800中的数据分别表示长、宽、高，把它们换算成以cm或m为单位的数，更容易与生活物品的实际尺寸进行比对。据此逐项分析。 【解答】解：820mm＝82cm 720mm＝72cm 1800mm＝180cm＝1.8m A．82cm×72cm×180cm，对于一个文具盒来说，尺寸太大，不符合题意； B．82cm×72cm×180cm，对于一部手机来说，尺寸太大，不符合题意； C．82cm×72cm×180cm，对于一台微波炉来说，尺寸太大，不符合题意； D．长82cm，宽72cm，高1.8m，对于冰箱来说，尺寸合适，符合题意； 故选：D。 【例3】用4个同样大的摆成下面的物体。分别画出从前面、右面和上面看到的图形。 【答案】 【分析】上面的立体图形由4个相同的小正方体组成。从前面能看到3个相同的正方形，分两层，上层1个，下层2个，左齐；从右面能看到3个相同的正方形，分两层，上层1个，下层2个，右齐；从上面能看到3个相同的正方形，分两层，上层2个，下层1个，左齐。 【解答】解： 【练1】下列说法正确的有（　　）个。 ①一个正方体的每一个面都有4条棱，它有6个面，所以这个正方体共有24条棱。 ②一个长方体（不含正方体）最多有4个面是正方形。 ③长方体是特殊的正方体。 ④一个正方体的棱长总和是24cm，则这个正方体的每条棱长都是2cm。 ⑤一个长方体最多有2个完全相同的面。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下6个面都是长方形，特殊情况时有2个面是正方形，其它4个面都是长方形，并且这4个面完全相同；长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱，长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫作长方体的长、宽、高； 正方体的特征：8个顶点，12条棱，每条棱长度相等，相邻的两条棱互相垂直；正方体是特殊的长方体，据此分析解答。 【解答】解：①一个正方体的每一个面都有4条棱，它有6个面，所以这个正方体共有12条棱，原题干说法错误； ②一个长方体（不含正方体）最多有2个面是正方形，原题干说法错误； ③正方体是特殊的长方体，原题干说法错误； ④24÷12＝2（cm） 一个正方体的棱长总和是24cm，则这个正方体的每条棱长都是2cm，原题干说法正确； ⑤一个长方体最多有4个完全相同的面，原题干说法错误。 说法正确的有1个。 故选：A。 【练2】商品标签能告诉我们关于商品的基本信息（如图）。妈妈买了一件用棉制作的商品，这件商品可能是（　　） A．洗脸方巾 B．洗碗布 C．课桌桌布 【答案】C 【分析】根据长方形的数据及生活实际解答。 【解答】解：100cm×100cm的棉制作的商品可能是课桌桌布。 故选：C。 【练3】如图，从前面、上面和右面看到的分别是什么图形？在方格纸上画一画。 【答案】 【分析】左面的立体图形由5个相同的小正方体组成。从前面能看到4个相同的正方形，分两层，下层3个，上层居中1个；从上面能看到4个相同的正方形，分两层，上层3个，下层居中1个；从右面能看到3个相同的正方形，分两层，上层1个，下层2个，右齐。 【解答】解： 题型2：长方体与正方体的棱长和 【例4】用一根长（　　）的铁丝正好可以做一个长4厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体框架。 A．7厘米 B．36厘米 C．24立方厘米 D．52平方厘米 【答案】B 【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4。 【解答】解：（4+3+2）×4 ＝9×4 ＝36（厘米） 答：用一根长36厘米的铁丝正好可以做一个长4厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体框架。 故选：B。 【例5】一根铁丝正好围成棱长是4厘米的正方体框架，如果改围成一个长6厘米、宽3厘米的长方体框架，长方体的高是（　　）厘米。 A．3 B．4 C．6 【答案】A 【分析】正方体的12条棱相等，利用4乘12求出铁丝的长度，根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，再利用铁丝的总长除以4减去长方体的长和宽即可求出长方体的高。 【解答】解：4×12÷4﹣（6+3） ＝48÷4﹣9 ＝12﹣9 ＝3（厘米） 答：长方体的高是3厘米。 故选：A。 【例6】如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长25cm，要捆扎这种礼品盒需准备（　　）m的丝带比较合理。 A．1.85 B．1.9 C．2.15 D．4 【答案】C 【分析】由图形可知：丝带的长度等于长方体的两条长+两条宽+4条高，然后再加上打结用的25厘米就是所需要的长度，列式解答即可。 【解答】解：30×2+25×2+20×4+25 ＝60+50+80+25 ＝215（厘米） 215厘米＝2.15米 答：要捆扎这种礼品盒需准备2.15m的丝带比较合理。 故选：C。 【例7】为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要　 　 m长的彩灯线。 【答案】170。 【分析】根据题意可知，地面的四条棱（两条长、两条宽）不计算，那么彩灯线的长度为剩余长方体的棱的组合，需计算四条高（连接上下底面的垂直棱）和天花板的四条边（两条长、两条宽），即总长度＝4×高+2×长+2×宽。 【解答】解：4×10+2×40+2×25 ＝40+80+50 ＝120+50 ＝170（m） 因此，工人叔叔至少需要170m长的彩灯线。 故答案为：170。 【练4】一个长方体的棱长总和是120厘米，其中长是15厘米，宽是10厘米，它的高是　 　 _______厘米． 【答案】5 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，用棱长总和除以4再减去长和宽，列式解答即可． 【解答】解：120÷4﹣15﹣10 ＝30﹣15﹣10 ＝15﹣10 ＝5（厘米） 答：它的高是5厘米． 故答案为：5． 【练5】用铁丝做一个长方体框架，长8厘米，宽6厘米，高4厘米，把铁丝重新改装成正方体框架，正方体棱长　 　 厘米。（不计损耗） 【答案】6。 【分析】根据题意可知：铁丝的长度不变，也就是长方体框架和正方体框架的棱长总和相等。先根据长方体棱长总和公式：总棱长＝（长+宽+高）×4，代入长8厘米、宽6厘米、高4厘米，求出长方体的棱长总和；再根据正方体有12条相等的棱，用棱长总和除以12，求出正方体的棱长。 【解答】解：（8+6+4）×4 ＝（14+4）×4 ＝18×4 ＝72（厘米） 72÷12＝6（厘米） 答：正方体棱长6厘米。 故答案为：6。 【练6】如图，将一个礼品盒用绸带捆扎起来，打结处需用40厘米长的绸带，捆扎这个礼品盒共需多长的绸带？ 【答案】326厘米。 【分析】绸带的总长包括2条长、2条宽、4条高及打结处的长度，据此计算解答。 【解答】解：73×2+20×2+25×4+40 ＝146+40+100+40 ＝326（厘米） 答：捆扎这个礼品盒共需326厘米的绸带。 【练7】国庆节快到了，为增添节日气氛，要给长60m、宽50m、高70m的某建筑外墙棱上挂彩灯（沿地面一圈不挂），张叔叔去商店买彩灯，每捆100m，他至少需买几捆？ 【答案】5捆。 【分析】根据长方体的棱的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，要在这个建筑外墙棱上装上彩灯（沿地面一圈不挂），也就是求两条长，两条宽和4条高的长度和；最后用长度和÷每捆线长度即可解答。 【解答】解：整个建筑物需挂灯的边长总和为： 70×4+50×2+60×2 ＝280+100+120 ＝500（米） 买彩灯捆数为： 500÷100＝5（捆） 答：他至少买5捆。 题型3：长方体与正方体的表面积 【例8】下面不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体展开图形如下情况： 【解答】解：不是正方体展开图。 故选：D。 【例9】如图是一个正方体展开图，把它折起来后与家相对应的面是（　　） A．我 B．爱 C．沛 D．县 【答案】C 【分析】根据正方体展开图知识，本题的正方体展开图属于“1﹣3﹣2”型，把它折起来后与家相对应的面是沛，据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：本题的正方体展开图属于“1﹣3﹣2”型，把它折起来后与家相对应的面是沛。 故选：C。 【例10】一个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的长方体，在这个长方体的顶点处挖去一个棱长为5厘米的小正方体（如图），剩下部分的表面积（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定 【答案】C 【分析】挖去小正方体后，原来的上面、前面、右面各自减少的面积等于1个边长5厘米的正方形面积，但增加朝前、朝右、朝上的3个边长5厘米的正方形面积，正好抵消，据此作答。 【解答】解：剩下部分的表面积＝原来长方体的表面积 故选：C。 【例11】花灯，又叫灯笼，是一种古老的中国传统工艺品。小轩的爷爷是一位手工艺人，他用木条做了一个长和宽都是16cm，高是30cm的长方体花灯框架，然后在花灯的四周和上面粘贴彩纸（如图）。做这个花灯至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 【答案】2176平方厘米。 【分析】根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。 【解答】解：16×16+16×30×2+16×30×2 ＝256+960+960 ＝2176（平方厘米） 答：做这个花灯至少需要准备2176平方厘米的彩纸。 【例12】求下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】844平方厘米。 【分析】图形由一个长方体和一个正方体组成，求其表面积时，可先分别分析长方体和正方体对表面积的贡献，长方体的表面积按公式计算，正方体由于与长方体重合了一个面，所以只需计算其4个面的面积，最后将两者相加。 【解答】解：（15×10+15×8+10×8）×2+6×6×4 ＝（150+120+80）×2+36×4 ＝（270+80）×2+144 ＝350×2+144 ＝700+144 ＝844（平方厘米） 答：该图形的表面积是844平方厘米。 【例13】用2个相同的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了18cm2，每个小正方体的表面积是（　　）cm2。 A．9 B．18 C．45 D．54 【答案】D 【分析】分析2个相同小正方体拼成一个长方体时，会有2个面重合，表面积减少的部分就是这2个重合面的面积。先求出小正方体一个面的面积，再根据正方体表面积公式（正方体表面积＝一个面的面积×6 ）计算小正方体表面积。 【解答】解：18÷2＝9（平方厘米） 9×6＝54（平方厘米） 答：每个小正方体的表面积是54平方厘米。 故选：D。 【练8】下面四幅图中，（　　）不是正方体的展开图． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A和C都属于正方体展开图的1﹣4﹣1型，能够折成一个正方体；D图属于正方体展开图的2﹣2﹣2型，也能够折成一个正方体；只有B不能，因为同侧的两个正方形在折的过程中会重叠，所以不是正方体展开图． 【解答】解：根据分析可得： A、D、C这三个图属于正方体展开图，能够折成一个正方体；而B图不是正方体展开图． 故选：B． 【练9】小明制作了一个正方体礼品盒（如图），相对的面图案相同。如果将这个礼品盒展开，可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“正方体相对的面在展开图中不相邻”的规律：已知正方体相对的面图案相同，从题目中的正方体（图中显示：有“笑脸”“爱心”“星星”三种图案），可知：笑脸的相对面是笑脸，爱心的相对面是爱心，星星的相对面是星星，据此逐一分析选项即可。 【解答】解：根据分析可得： A．笑脸、爱心、星星各出现2次，且相对的面（笑脸与笑脸、爱心与爱心、星星与星星）均不相邻，符合正方体展开图的规律； B．图中星星相邻，爱心也相邻，不符合正方体展开图的规律； C．笑脸、爱心、星星各出现2次，但笑脸相邻，不符合正方体展开图的规律； D．爱心的相对面是爱心，但展开图中两个爱心相邻了，不符合正方体展开图的规律； 所以如果将这个礼品盒展开，可能是。 故选：A。 【练10】如图所示，分别从甲、乙两个正方体①②处拿走一个小正方体后，剩下几何体的表面积相比，（　　） A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．不确定 【答案】B 【分析】根据示意图进行分析甲图在中间挖去，与原长方体的表面积相比增加了两个小正方形的面；乙图在面的中间挖去，挖去小正方体后，现在的图形的比原来表面积多出4个小正方形，由此判断即可。 【解答】解：甲：4﹣2＝2（个） 乙：5﹣1＝4（个） 4＞2 乙＞甲。 故选：B。 【练11】如图是一个无盖长方体玻璃缸，做这个玻璃缸至少需要多少平方厘米玻璃？ 【答案】2600平方厘米。 【分析】根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。 【解答】解：40×20+40×15×2+20×15×2 ＝800+1200+600 ＝2600（平方厘米） 答：做这个玻璃缸至少需要2600平方厘米玻璃。 【练12】计算下面图形的表面积。（ 单位：cm） 【答案】126平方厘米。 【分析】几何体的表面积即为长5厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体的表面积加上棱长2厘米的正方体的侧面积。 【解答】解：5×5×2+5×3×4+2×2×4 ＝50+60+16 ＝126（平方厘米） 答：图形的表面积是126平方厘米。 【练13】如图，沿与长方体底面平行的面切开，切成2个小长方体，这2个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了（　　）平方厘米。 A．48 B．60 C．80 D．120 【答案】D 【分析】由题意可知，沿与长方体底面平行的面切开，增加了两个底面的面积，运用长方形的面积＝长×宽，由此进行解答即可。 【解答】解：10×6×2＝120（平方厘米） 答：表面积增加了120平方厘米。 故选：D。 题型4：长方体与正方体的体积与容积 【例14】在横线里填“L”或“mL”。 （1）一瓶醋大约有500 　 　 ，6瓶这样的醋大约有3 　 　 。 （2）1个健康成年人的血液总量约为4～5 　 　 ，义务献血者每次献血量一般为200 　 　 。 【答案】（1）mL；L；（2）L；mL。 【分析】根据升、毫升的意义进行填空。 【解答】解：（1）一瓶醋大约有500mL，6瓶这样的醋大约有3L。 （2）1个健康成年人的血液总量约为4～5L，义务献血者每次献血量一般为200mL。 故答案为：（1）mL；L；（2）L；mL。 【例15】5.04L＝（　 　 ）mL 480dm3＝（　 　 ）m3 （　 　 ）dm2 【答案】5040；0.48；75。 【分析】1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，1m2＝100dm2，高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率，据此解答。 【解答】解：5.04L＝5040mL 480dm3＝0.48m3 m2＝75dm2 故答案为：5040；0.48；75。 【例16】金龙鱼牌花生油油桶的标签上印有“净含量5升”的字样，“5升”指的是（　　） A．油桶的容积 B．桶内花生油的体积 C．油桶的体积 D．油桶的表面积 【答案】B 【分析】金龙鱼牌花生油油桶的标签上印有“净含量5升”的字样，“5升”指桶中油的体积。 【解答】解：金龙鱼牌花生油油桶的标签上印有“净含量5升”的字样，“5升”指的是桶内花生油的体积。 故选：B。 【例17】如下图，一个长方体盒子中摆放着若干个1立方厘米的小正方体。这个长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．80 B．60 C．45 D．11 【答案】A 【分析】由图可知，长方体盒子的长可以摆放4个小正方体，宽可以摆放4个小正方体，高可以摆放5个小正方体，即长方体盒子的长、宽、高分别为4厘米、4厘米、5厘米；根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可。 【解答】解：4×4×5×1 ＝16×5 ＝80（立方厘米） 答：这个长方体的体积是80立方厘米。 故选：A。 【例18】一个棱长6厘米的正方体容器装满水，将水全部倒入一个长9厘米、宽8厘米的长方体空容器中，水深（　　）厘米。 A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】已知正方体容器的棱长是6厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出容器内水的体积；又已知长方体容器长9厘米、宽8厘米，根据“长方形面积＝长×宽”求出长方体容器的底面积，将这些水倒入长方体容器中，水的体积保持不变，最后用这个体积除以长方体容器的底面积，即可求出水在长方体容器中的深度。 【解答】解：6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 216÷（9×8） ＝216÷72 ＝3（厘米） 所以将水全部倒入一个长9厘米、宽8厘米的长方体空容器中，水深3厘米。 故选：B。 【例19】一个长6dm、宽4dm、高5dm的长方体盒子，容积是　 　 dm3，最多能放（　 　 个棱长2dm的正方体木块（盒子厚度忽略不计）。 【答案】120；12。 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出长方体盒子的容积；分别用长、宽、高除以2，分别求出长、宽、高能放的个数，结果不是整数的取整数，再把长、宽、高能放的个数相乘即可解答。 【解答】解：6×4×5 ＝24×5 ＝120（立方分米） 6÷2＝3（个） 4÷2＝2（个） 5÷2＝2.5（个），由于小正方体必须完整，所以2.5取2。 3×2×2 ＝6×2 ＝12（个） 答：容积是120立方分米，最多能放12个棱长2分米的正方体木块。 故答案为：120；12。 【例20】把3米长的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加3.6平方分米，原来这根木料的体积是 　 　 立方分米。 【答案】27。 【分析】长方体材料平均锯成3段，需要锯（3﹣1）次，每锯一次增加2个面，据此确定增加的截面数量，增加的表面积÷增加的截面数量＝截面积，根据长方体体积＝截面积×长，列式计算即可，注意统一单位。 【解答】解：（3﹣1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 3米＝30分米 3.6÷4×30＝27（立方分米） 答：原来这根木料的体积是27立方分米。 故答案为：27。 【例21】把一个不规则的石块全部放入在一个底面长30厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体水箱中，水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】450立方厘米。 【分析】根据题意可知，把石块放入有水的容器中，上升部分水的体积就等于石块的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】解：30×10×1.5 ＝300×1.5 ＝450（立方厘米） 答：这个石块的体积是450立方厘米。 【练14】在横线上填上“升”或“毫升”。 《中国居民膳食指南（2022）》建议，成年人每天总饮水量约为2　 　 。李叔叔的水杯容量约为500　 　 。（填“升”或“毫升”）李叔叔每天至少要喝　 　 杯水才能达到建议标准。 【答案】升，毫升，4。 【分析】根据题意，结合实际，选择合适的容积单位，明确1升＝1000毫升，成年人每天饮水量建议通常为1.5～2升，2毫升太小不合理，因此单位是“升”。水杯容量一般为几百毫升（如普通水杯约250～500毫升），500升相当于大桶，不适合水杯，因此单位是“毫升”。建议饮水量2升＝2000毫升，水杯容量500毫升，用除法计算。所以杯数：2000÷500＝4（杯）。王叔叔每天至少喝4杯水才能达到标准。 【解答】解：1升＝1000毫升 2升＝2000毫升 2000÷500＝4（杯） 《中国居民膳食指南（2022）》建议，成年人每天总饮水量约为2升。王叔叔的水杯容量约为500毫升。（填“升”或“毫升”）王叔叔每天至少要喝4杯水才能达到建议标准。 故答案为：升，毫升，4。 【练15】在横线上填上合适的数。 1.05升＝ 　 　 毫升 立方米＝ 　 　 立方分米 80平方分米平方米 【答案】1050；750；。 【分析】根据1升＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米，1平方米＝100平方分米，解答此题即可。 【解答】解：1.05升＝1050毫升 立方米＝750立方分米 80平方分米平方米 故答案为：1050；750；。 【练16】保险箱的体积和容积相比（　　） A．一样大 B．容积大 C．体积大 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据体积和容积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积；某容器所能容纳别的物体的体积叫做容器的容积；容器的壁是有一定的厚度的，据此解答． 【解答】解：根据体积和容积的意义，一般容器的容积和体积相比，体积稍大些，所以保险箱的体积和容积相比，体积大； 故选：C。 【练17】一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，它的体积是（　　） A．12cm3 B．60cm3 C．94cm3 D．120cm3 【答案】B 【分析】利用长方体的体积公式去解答。 【解答】解：5×4×3＝60（cm3） 答：长方体的体积是60cm3。 故选：B。 【练18】在一个长15cm、宽10cm、高8cm的长方体容器中注满水，然后将水全部倒入一个棱长为20cm的空的正方体容器中，这时水面高（　　）cm。 A．3 B．0.3 C．1.5 D．0.15 【答案】A 【分析】根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式求出长方体容器内水的体积，然后用水的体积除以正方体容器的底面积即可求出水面的高。 【解答】解：15×10×8÷（20×20） ＝150×8÷400 ＝1200÷400 ＝3（cm） 答：这时正方体容器中的水面高3cm。 故选：A。 【练19】一个长12dm，宽6dm，高5dm的长方体纸箱，最多能装棱长是2dm的化妆品（　　）盒． A．10 B．6 C．45 D．36 【答案】D 【分析】以长为边，最多能装12÷2＝6（块），以宽为边，最多能装6÷2＝3（块），以高为边，最多能装5÷2＝2（块）…1分米，再利用长方体的体积公式即可计算． 【解答】解：12÷2＝6（块）， 6÷2＝3（块）， 5÷2＝2（块）…1分米， 所以最多能装：6×3×2＝36（块）， 答：最多能装36块． 故选：D． 【练20】如图，将一根长6分米的长方体木料锯成6段，表面积比原来增加了90平方分米。这根木料原来的体积是（　　）立方分米。 A．15 B．36 C．54 D．540 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，把这根长方体木料横截成6段后表面积比原来增加了（2×5）个截面的面积，已知表面积增加了90平方分米，据此可以求出每个截面的面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。 【解答】解：90÷（2×5）×6 ＝90÷10×6 ＝9×6 ＝54（立方分米） 答：这根木料原来的体积是54立方分米。 故选：C。 【练21】（1）一个长方体水箱长8分米，宽3分米，高4分米，原有水深1.8分米，放入一个体积为36立方分米的石块后，水面上升了　 　 分米。 （2） 一个正方体容器棱长3分米，装有2.4分米深的水，放入一个体积为6立方分米的石块后，水会溢出　 　 升。 【答案】（1）1.5；（2）0.6。 【分析】（1）石块的体积等于上升的水的体积，而上升的水的体积可以用“底面积×上升高度”来计算，据此用石块体积除以底面积求出上升的高度即可。 （2）正方体棱长为3分米，水有2.4分米深，可以知道剩余部分的高为（3﹣2.4）分米；据此按底面积×高＝体积求出容器剩余的体积，进而用石块的体积减去剩余的体积得解。 【解答】解：（1）36÷（8×3） ＝36÷24 ＝1.5（分米） 答：水面上升1.5分米。 （2）3×3×（3﹣2.4） ＝3×3×0.6 ＝9×0.6 ＝5.4（立方分米） 6﹣5.4＝0.6（立方分米） 0.6立方分米＝0.6升 答：水会溢出0.6升。 故答案为：（1）1.5；（2）0.6。 一．选择题 1．下列展开图中，不能围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的11种特征，即可确定哪个图形是正方体展开图，哪个图形不是正方体展开图。 【解答】解：A.是正方体展开图的“1﹣3﹣2”型。 B.不是正方体展开图。 C.是正方体展开图的“2﹣2﹣2”型。 D.是正方体展开图的“3﹣3”型。 故选：B。 2．如图三个图形中，（　　）是从左面看到的。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据观察物体的方法，从左面看几何体可以看到2层，底层3个小正方形，上层1个小正方形居中，据此解答即可。 【解答】解：分析可知，观察几何体，选项中三个图形中，是从左面看到的。 故选：B。 3．最少用（　　）个同样的小正方体，才能拼成一个较大的正方体． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，可设小正方体的棱长为1，那么把8个同样的小正方体可以拼成棱长为2的大正方体． 【解答】解：8个同样的小正方体可以拼成棱长是2的正方体； 故选：D． 4．如图中的两个物体是用相同数量的小正方体摆成的，比较它们的表面积和体积，说法正确的是（　　） A．体积相等，正方体的表面积大 B．体积相等，长方体的表面积大 C．表面积相等，正方体的体积大 D．表面积相等，长方体的体积大 【答案】B 【分析】根据图得出它们的体积都是8个小正方体的体积；假设小正方体的棱长是1，由此分别求出正方体与长方体的表面积即可，再进行选择． 【解答】解：两个图形的体积相等；正方体的表面积：2×2×6＝24； 长方体的表面积：（4×1+4×2+1×2）×2， ＝（4+8+2）×2， ＝28； 长方体的表面积大些； 故选：B． 5．从由8个棱长是1厘米的小正方体拼成的大正方体中拿走一个小正方体（如图），这时它的表面积是（　　）平方厘米。 A．18 B．21 C．24 D．56 【答案】C 【分析】拿走1个小正方体后，它的表面积与没有拿走前几何体的表面积相等，8个棱长是1厘米的小正方体拼成的大正方体的表面积是一个边长是2厘米的正方形的面积的6倍。 【解答】解：（1+1）×（1+1）×6 ＝2×2×6 ＝24（平方厘米） 答：它的表面积是24平方厘米。 故选：C。 6．在一个长6dm，宽3dm，高2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（　　）dm。 A．2 B．8 C．24 D．36 【答案】B 【分析】长方体中割一个最大的正方体，正方体的棱长＝长方体最短的棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答即可。 【解答】解：2×2×2 ＝4×2 ＝8（dm3） 答：这个正方体的体积是8dm3。 故选：B。 7．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍后，它的体积是64立方分米，原来正方体的体积是（　　）立方分米。 A．32 B．16 C．8 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据体积公式：V＝a3，再根据因数与积的变化规律，积扩大到原来的倍数等于因数扩大到原来的倍数的乘积，由此可知，正方体的棱长扩大到原来的2倍，正方体的体积就扩大到原来的（2×2×2）倍，据此解答。 【解答】解：64÷（2×2×2） ＝64÷8 ＝8（立方厘米） 答：原来正方体的体积是8立方厘米。 故选：C。 8．一个棱长为3dm的正方体水箱中装有半箱水，现在把一块石块完全浸没在水中，水面上升了6cm，这块石块的体积是（　　）dm3。 A．2.6 B．4.5 C．5.4 D．54 【答案】C 【分析】由题意得出：石块的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于高为6厘米、长和宽都是3分米的长方体的体积，利用长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【解答】解：6厘米＝0.6分米 3×3×0.6 ＝9×0.6 ＝5.4（立方分米） 答：这块石块的体积是5.4立方分米。 故选：C。 二．填空题 9．在横线里填上合适的单位名称。 ①一个烧水壶的容积约为2.2 升　 ； ②一个奶瓶的容积约是450 　毫升　 ； ③一本课本的体积约是210 立方厘米　 ； ④一块橡皮的体积约是6 　立方厘米　 。 【答案】①升；②毫升；③立方厘米；④立方厘米。 【分析】棱长1米的正方体，体积是1立方米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，1立方分米＝1升，1立方厘米＝1毫升，据此根据体积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。 【解答】解： ①一个烧水壶的容积约为2.2升； ②一个奶瓶的容积约是450毫升； ③一本课本的体积约是210立方厘米； ④一块橡皮的体积约是6立方厘米。 故答案为：升；毫升；立方厘米；立方厘米。 10．在横线里填合适的单位。 一个眼药水瓶的容积是20 　毫升　 。 一个蓄水池的体积是4.2 　立方米　 。 一个微波炉的容量是16 　升　 。 一个空调外机的体积是400 　立方分米　 。 【答案】毫升，立方米，升，立方分米。 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【解答】解：一个眼药水瓶的容积是20毫升。 一个蓄水池的体积是4.2立方米。 一个微波炉的容量是16升。 一个空调外机的体积是400立方分米。 故答案为：毫升，立方米，升，立方分米。 11．横线上填合适的数。 120g＝ 　0.12　 kg 8.003L＝ 　8003　 mL 80分＝ 　1　 时 7002立方厘米＝ 　7.002　 立方分米 【答案】0.12；8003；1；7.002。 【分析】根据1千克＝1000克，1升＝1000毫升，1小时＝60分，1立方分米＝1000立方厘米，解答此题即可。 【解答】解： 120g＝0.12kg 8.003L＝8003mL 80分＝1时 7002立方厘米＝7.002立方分米 故答案为：0.12；8003；1；7.002。 12．　600　 dm3 70mL＝　　 L（填分数） 27dm3＝　27000　 mL 1500dm3＝　1.5　 m3（填小数） 【答案】600，，27000，1.5。 【分析】单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。 【解答】解：600dm3 70mLL 27dm3＝27000mL 1500dm3＝1.5m3 故答案为：600，，27000，1.5。 13．一根长方体木材（如图），棱长总和是92cm，长和高分别为12cm和6cm。它的宽是 　5　 cm，体积是 　360　 cm3。如果将这根木材削成一个最大的正方体，削去部分的体积是 　235　 cm3。 【答案】5，360，235。 【分析】已知长方体的棱长总和是92cm，根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，可知长、宽、高之和＝长方体的棱长总和÷4，求出长、宽、高之和，再减去长、高，即是长方体的宽；根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出这个长方体的体积；如果将这根木材削成一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长等于长方体最短的棱长；根据正方体的体积公式：V＝a3，求出最大正方体的体积；再用原来长方体的体积减去最大正方体的体积，即是削去部分的体积。 【解答】解：92÷4﹣12﹣6 ＝23﹣12﹣6 ＝5（cm） 12×5×6 ＝60×6 ＝360（cm3） 360﹣5×5×5 ＝360﹣125 ＝235（cm3） 答：这个长方体的宽是5cm，体积是360cm3。如果将这根木材削成一个最大的正方体，削去部分的体积是235cm3。 故答案为：5，360，235。 14．用一根铁丝正好焊接成一个长8cm，宽6cm，高4cm的长方体框架。这根铁丝长 　72　 cm，在这个长方体框架外面糊一层纸，糊纸的面积是 　208　 cm2，若用这根铁丝焊接成一个正方体框架，则这个正方体的棱长是 　6　 cm，这个正方体的体积是 　216　 cm3（损耗忽略不计） 【答案】72；208；6；216。 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4代入数据计算即可； 在框架外面糊一层纸就是求长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数据计算即可； 根据长方体的棱长和是72cm，根据正方体的棱长和＝棱长×12，得出棱长＝正方体的棱长和÷12； 最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【解答】解：铁丝长：4×（8+6+4） ＝4×18 ＝72（cm） 糊纸面积：2×（8×6+6×4+8×4） ＝2×（48+24+32） ＝2×104 ＝208（cm2） 棱长：72÷12＝6（cm） 体积：6×6×6＝216（cm3） 答：用一根铁丝正好焊接成一个长8cm，宽6cm，高4cm的长方体框架。这根铁丝长72cm，在这个长方体框架外面糊一层纸，糊纸的面积是208cm2，若用这根铁丝焊接成一个正方体框架，则这个正方体的棱长是6cm，这个正方体的体积是216cm3。 故答案为：72；208；6；216。 15．一个正方体的棱长和是24dm，表面积是 　24　 平方分米。 【答案】24。 【分析】正方体有12条棱且每条棱长度相等，可先根据棱长总和求出棱长，再根据正方体表面积公式求出表面积。 【解答】解：棱长为24÷12＝2（分米） 表面积为2×2×6＝24（平方分米） 答：表面积是24平方分米。 故答案为：24。 16．李叔叔想焊一个无盖的长方体水槽，现有四块长12dm、宽10dm的长方形铁皮。为使焊成的水槽容积最大（铁皮厚度忽略不计），他又配了一块铁皮。此时这个水槽的长是 　12　 dm，宽是 　12　 dm，高是 　10　 dm。 【答案】12；12；10。 【分析】依据题意可知，焊成的水槽容积最大，则水槽的底边长12分米，所以水槽的长是12分米，宽是12分米，高是10分米，由此解答本题。 【解答】解：由分析可知：水槽的长是12分米，宽是12分米，高是10分米。 故答案为：12；12；10。 17．若把4个棱长是8厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积可能是 　1152　 平方厘米或 　1024　 平方厘米。 【答案】1152；1024。 【分析】把4个正方体拼成一个长方体，有两种拼法；一种四个正方体排成一列，拼成的是长是（8×4）厘米，宽是8厘米，高是8厘米的长方体；一种上、下各2个正方体，拼成的长是（8×2）厘米，宽是8厘米，高是（8×2）厘米的长方体，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】解：四个正方体排成一列组成的长方体：长是8×4＝32（厘米），宽是8厘米，高是8厘米。 表面积：（32×8+32×8+8×8）×2 ＝（256+256+64）×2 ＝（512+64）×2 ＝576×2 ＝1152（平方厘米） 四个正方形拼成上、下各2个正方体组成的长方体：长是8×2＝16（厘米），宽是8厘米，高是8×2＝16（厘米）。 表面积：（16×8+16×16+8×16）×2 ＝（128+256+128）×2 ＝（384+128）×2 ＝512×2 ＝1024（平方厘米） 答：这个长方体的表面积可能是1152平方厘米或1024平方厘米。 故答案为：1152；1024。 18．把一个棱长是40cm的正方体钢坯，锻成长50cm，宽20cm的长方体钢材，锻成的长方体钢材的高是 　64　 cm。 【答案】64厘米。 【分析】根据正方体的体积公式V＝a×a×a，求出正方体钢坯的体积，再根据长方体的体积公式V＝abh，表示出长方体钢坯的体积，利用体积相等，列方程解答即可。 【解答】解：设这块长方体钢材的高是x厘米。 50×20×x＝40×40×40 1000x＝64000 x＝64000÷1000 x＝64 答：锻成的长方体钢材的高是64厘米。 19．明明家有一个长方体玻璃鱼缸，从里面量，长7分米，宽4分米，深5分米。一天，明明不小心把鱼缸的一个面打碎了，为了保护金鱼，需要把鱼缸转过来盛水（如图所示）。算一算，用这个坏的鱼缸，最多能盛水 　70　 升。 【答案】70。 【分析】根据图示可知，用这个坏的鱼缸，最多能盛水的体积是原来鱼缸容积的一半，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；代入数据，即可解答。 【解答】解：7×4×5÷2 ＝28×5÷2 ＝140÷2 ＝70（立方分米） 70立方分米＝70升 答：明明家用这个坏的鱼缸，最多能盛水70升。 故答案为：70。 三．判断题 20．长方体的6个面中不可能有正方形．　×　 （判断对错） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等．据此判断． 【解答】解：一般情况长方体的6个都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形． 因此，长方体的6个面中不可能有正方形．此说法错误． 故答案为：×． 21．把两块棱长是2分米的正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是48平方分米。 　×　 （判断对错） 【答案】×。 【分析】两个正方体拼接后，长变为原来的两倍，宽和高不变，计算两个正方体拼接后的表面积，求出结果即可判断正误。 【解答】解：两个正方体拼接后，长：2+2＝4（分米），宽是2分米、高是2分米， 4×2×4+2×2×2 ＝32+8 ＝40（平方分米） 拼成的长方体的表面积是40平方分米，所以原题说法错误。 故答案为：×。 22．将一块正方体橡皮泥捏成长方体，正方体和长方体相比，体积相等，表面积不一定相等。 　√　 （判断对错） 【答案】√ 【分析】根据体积、表面积的意义，将一块正方体橡皮泥无论捏成什么形状体积都不变，表面积变了，据此判断。 【解答】解：将一块正方体橡皮泥捏成长方体，正方体和长方体相比，体积相等，表面积不一定相等。这种说法是正确的。 故答案为：√。 四．操作题 23．画出如图物体从上面、右面看到的图形。 【答案】 【分析】从上面看，上层2个小正方形，下层1个小正方形，靠左；从右面看，下层是“田”字形，上层1个小正方形，靠右；据此解答即可。 【解答】解： 五．解答题 24．求图中丝带总长度，其中打结处为20厘米。 【答案】340厘米。 【分析】根据图示，丝带总长度＝2个长+2个宽+4个高+打结处的20厘米，据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：60×2+40×2+30×4+20 ＝120+80+120+20 ＝340（厘米） 答：图中丝带总长度340厘米。 25．计算如图形的表面积和体积。 【答案】1700平方厘米，4000立方厘米。 【分析】由于长方体与正方体粘合在一起，所以求这个组合图形的表面积时，长方体求出表面积，正方体只求4个面的面积，然后合并起来就是该图形的表面积，这个组合图形的体积等于长方体与正方体的体积和。据此解答即可。 【解答】解：（20×10+20×15+10×15）×2+10×10×4 ＝（200+300+150）×2+100×4 ＝650×2+400 ＝1300+400 ＝1700（平方厘米） 20×10×15+10×10×10 ＝3000+1000 ＝4000（立方厘米） 答：这个组合图形的表面积是1700平方厘米，体积是4000立方厘米。 26．求图中长方体的表面积和体积。 【答案】94平方分米，60立方分米。 【分析】长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，已知长是8厘米，宽是4厘米，高是5厘米．把数据分别代入公式解答。 【解答】解：（5×3+4×3+4×5）×2 ＝（15+12+20）×2 ＝47×2 ＝94（平方分米） 5×4×3＝60（立方分米） 答：这个长方体的表面积是94平方分米，体积是60立方分米。 27．求如图图形的棱长和与表面积。 （1） （2） 【答案】（1）120分米；600平方分米；（2）76厘米；232平方厘米。 【分析】（1）正方体的棱长和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×12，代入数据计算即可解答。 （2）这个图形是长方体展开图，长方体的高为：（24﹣2×8）÷2＝4（厘米），长方体棱长和＝（长十宽+高）×4，长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数据计算即可解答。 【解答】解：（1）棱长和：10×12＝120（dm） 表面积：10×10×6 ＝100×6 ＝600（dm2） 答：这个正方体的棱长和是120分米，表面积是600平方分米。 （2）（24﹣8×2）÷2 ＝（24﹣16）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 棱长和：（8+7+4）×4 ＝19×4 ＝76（cm） 表面积：（8×4+8×7+4×7）×2 ＝（32+56+28）×2 ＝116×2 ＝232（cm2） 答：长方体的棱长和是76厘米，表面积是232平方厘米。 28．求如图几何体的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】490平方厘米，575立方厘米。 【分析】由于正方体与长方体粘合在一起，所以求表面积时上面的正方体只求4个侧面的面积，下面的长方体求出表面积，然后合并起来就是这个组合的图形表面积，这个组合图形的体积等于正方体与长方体的体积和。据此解答即可。 【解答】解：（15×5+15×6+5×6）×2+5×5×4 ＝（75+90+30）×2+25×4 ＝195×2+100 ＝390+100 ＝490（平方厘米） 15×5×6+5×5×5 ＝450+125 ＝575（立方厘米） 答：这个组合图形的表面积是490平方厘米，体积是575立方厘米。 29．两根同样长的铁丝焊一个长方体和正方体，长方体长7厘米，宽5厘米，高3厘米，正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，由此求出铁丝的长度，正方体的棱长总和＝棱长×12，由此可以求出正方体的棱长． 【解答】解：正方体的棱长： （7+5+3）×4÷12 ＝15×4÷12 ＝5（厘米） 答：正方体的棱长是5厘米． 30．妈妈买了一盒糕点，这盒糕点的包装盒有两层，如图，外层为没有上面的长方体，内层为一个无盖的长方体。如果把内层的长、宽、高看作与外层的长、宽、高相同来计算，那么包装盒所用硬纸板的面积是多少平方厘米？（粘接处不计） 【答案】5424平方厘米。 【分析】包装盒有两层，外层为没有上面的长方体，内层为一个无盖的长方体，内层的长、宽、高看作与外层的长、宽、高相同来计算，所以外层少了以6为宽，以50为长的长方形的面积，内层少了以50为长，以26宽的长方形的面积，由此根据长方体的表面积公式进行求解即可。 【解答】解：26×50×3+50×6×3+26×6×4 ＝3900+900+624 ＝5424（平方厘米） 答：包装盒所用硬纸板的面积是5424平方厘米。 31．老师上课时拿出这样一个长方体，让同学们观察并测量. 小刘说：“这个长方体的棱长总和是68厘米.” 小李说：“这个长方体如果截去两厘米高度的话，就是一个正方体.” 小张说：“它的底面周长是2分米.” 小陈说：“长方体的前面和右面两个面的面积之和是70平方厘米.” 这四个人得到的数据都是正确的，筛选出必要的数据作为条件，求出长方体的体积. 【答案】175。 【分析】已知底面周长是2分米，根据正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，据此可以求出底面边长，这个长方体如果截去两厘米高度的话，就是一个正方体，由此可知这个长方体的高比底面边长多2厘米，底面边长加上2厘米就是高，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据的如果是解答。 【解答】解：2分米＝20厘米 20÷4＝5（厘米） 5×5×（5+2） ＝25×7 ＝175（立方厘米） 答：这个长方体的体积是175立方厘米。 32．如图是一个长方体形状的孔明灯，它的底面是边长为30cm的正方形，高为50cm。除一个底面外，其他面都要糊上安全阻燃棉纸，制作这个孔明灯至少需要多少平方厘米的安全阻燃棉纸？这个孔明灯的体积是多少立方厘米？ 【答案】6900平方厘米，45000立方厘米。 【分析】根据长方体表面积公式＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，结合孔明灯没有底面的实际情况解答即可。 【解答】解：30×30+30×50×4 ＝900+6000 ＝6900（平方厘米） 30×30×50＝45000（立方厘米） 答：制作这个孔明灯至少需要6900平方厘米的安全阻燃棉纸。这个孔明灯的体积是45000立方厘米。 33．一个长方体玻璃缸，尺寸如图所示，往玻璃缸里倒入2.8dm高的水，接着往缸里投入一个正方体铁块。请问当分别投入正方体铁块A和正方体铁块B时，缸里溢出的水相差多少升？ 【答案】36升。 【分析】观察图形可知，长方体玻璃缸的高是4分米，正方体A的棱长是4分米，正方体B是棱长是5分米，当把正方体B放入玻璃缸中还露出（5﹣4）分米，所以溢出水的体积等于底面边长是5分米，高4分米的长方体的体积减去棱长是4分米的正方体的体积。 【解答】解：5×5×4﹣4×4×4 ＝100﹣64 ＝36（立方分米） 36立方分米＝36升 答：缸里溢出的水相差36升。 34．数学课上，小华要测量一块不规则石块的体积，他将石块放入盛有水的长方体容器里，根据如图中的信息，石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】176立方厘米。 【分析】根据用排水法测量实物体积的方法，石块的体积等于长方体容器内水下降的体积，结合长方体的体积公式V＝abh，解答即可。 【解答】解：10×8×（7.5﹣5.3） ＝80×2.2 ＝176（立方厘米） 答：石块的体积是176立方厘米。 六．应用题 35．一个房间长6米，宽4米，高3米，如果在房间四周贴墙纸，除去门窗7平方米，每平方米墙纸14元，共要多少元的墙纸？ 【答案】742元。 【分析】要求共要多少元的墙纸，需知道贴墙纸的面积，求贴墙纸的面积就是求房间的前、后、左、右4个面的面积减去门窗面积，依条件列式解答问题。 【解答】解：贴墙纸的面积： （6×3+4×3）×2﹣7 ＝60﹣7 ＝53（平方米） 需要的钱数：14×53＝742（元） 答：共要742元的墙纸。 36．如图，一块长方形铁皮长30厘米，宽20厘米，如果在这块铁皮的四个角都剪下一个边长5厘米的正方形，焊接成一个无盖长方体铁盒（忽略铁皮厚度）。铁盒的容积是多少升？ 【答案】1升。 【分析】这个长方体的高是5厘米，长是（30﹣5×2）厘米，宽是（20﹣5×2）厘米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”，结合题中数据计算即可。 【解答】解：（30﹣5×2）×（20﹣5×2）×5 ＝20×10×5 ＝1000（立方厘米） 1000立方厘米＝1升 答：铁盒的容积是1升。 37．把一个长10dm、宽8dm、高5dm的长方体玻璃缸装满水，将缸里的水倒入一个棱长10dm的正方体空玻璃缸里，水面距缸口多高？ 【答案】6分米。 【分析】利用“长方体的体积＝长×宽×高”计算出水的体积，然后利用这个公式计算水深，再计算水面距缸口多高。 【解答】解：10×8×5＝400（立方分米） 400÷（10×10）＝4（分米） 10﹣4＝6（分米） 答：水面距缸口6分米。 38．一个密封的长方体容器如图，长4分米、宽1分米、高2分米，里面水深16厘米。如果以这个容器的左侧面为底放在桌上。 （1）这时水深多少分米？ （2）此时，水与容器接触的面积是多少平方分米？ 【答案】（1）3.2分米； （2）21.2平方分米。 【分析】（1）根据题意可知，因为容器是密封的，所以无论横放还是竖放，容器内水的体积不变，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出容器内水的体积，然后用这些水的体积除以左侧面的面积。 （2）此时水与容器有5个接触面，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出水与容器5个接触面的面积。 【解答】解：（1）16厘米＝1.6分米 4×1×1.6÷（2×1） ＝6.4÷2 ＝3.2（分米） 答：这时水深3.2分米。 （2）2×1+2×3.2×2+1×3.2×2 ＝2+12.8+6.4 ＝21.2（平方分米） 答：此时，水与容器接触的面积是21.2平方分米。 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 长方体 正方体 期中复习知识清单 考点一：长方体与正方体的认识 1.长方体的特征:有 6个面（6个面都是长方形，特殊情况下有2个相对的面是正方形）,相对的面完全相同；有 12 条棱，相对的楼长度相等；有8个顶点。 2.正方体的特征：正方体的6个面是完全相同的正方形；12条棱的长度都相等；有 8个顶点。 3.长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。一个长方体有4条长、4条宽和4条高。 考点二：长方体与正方体的棱长和 长方体棱长总和=(长+宽+高)×4 即:L=(a+b+h)×4 正方体棱长总和=棱长×12 即:L=12a 考点三：长方体与正方体的表面积 1. 表面积：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积 2. 长方体表面积的计算方法: (1)长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2，用字母表示为S=2ab+2ah+2bh； (2)长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2，用字母表示为 S=2(ab+ah+bh)。 3.正方体表面积的计算方法：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=。 考点四：长方体与正方体的体积与容积 1.体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用的体积单位：立方米()立方分米()立方厘米() 3.长方体和正方体的体积公式。 (1)长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh； (2)正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为 V=(其中读作a的立方,表示3个a相乘); (3)长方体(或正方体)的体积=底面积×高,用字母表示为 V=Sh。 4.体积单位间的进率l=1000 l=1000 5.容积：容器所能容纳物体的体积，通常叫做它的容积。 6.容积的计算方法：长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。 7.容积单位间的进率1L=1000mL 8.容积单位和体积单位的关系：1L=l 1mL=1 9.不规则物体体积的测量和计算方法：一般把这些物体的体积转化为可测量、可计算的液体的体积。 题型1：长方体与正方体的认识 【例1】下列说法错误的是（　　） A．正方体是长、宽、高都相等的长方体 B．长方体是特殊的正方体 C．正方体和长方体都有6个面、8个顶点、12条棱 【例2】如图是一款产品的参数图，根据这组数据，联系生活想象一下，它可能是（　　） A．一个文具盒 B．一部手机 C．一台微波炉 D．一台冰箱 【例3】用4个同样大的摆成下面的物体。分别画出从前面、右面和上面看到的图形。 【练1】下列说法正确的有（　　）个。 ①一个正方体的每一个面都有4条棱，它有6个面，所以这个正方体共有24条棱。 ②一个长方体（不含正方体）最多有4个面是正方形。 ③长方体是特殊的正方体。 ④一个正方体的棱长总和是24cm，则这个正方体的每条棱长都是2cm。 ⑤一个长方体最多有2个完全相同的面。 A．1 B．2 C．3 D．4 【练2】商品标签能告诉我们关于商品的基本信息（如图）。妈妈买了一件用棉制作的商品，这件商品可能是（　　） A．洗脸方巾 B．洗碗布 C．课桌桌布 【练3】如图，从前面、上面和右面看到的分别是什么图形？在方格纸上画一画。 题型2：长方体与正方体的棱长和 【例4】用一根长（　　）的铁丝正好可以做一个长4厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体框架。 A．7厘米 B．36厘米 C．24立方厘米 D．52平方厘米 【例5】一根铁丝正好围成棱长是4厘米的正方体框架，如果改围成一个长6厘米、宽3厘米的长方体框架，长方体的高是（　　）厘米。 A．3 B．4 C．6 【例6】如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长25cm，要捆扎这种礼品盒需准备（　　）m的丝带比较合理。 A．1.85 B．1.9 C．2.15 D．4 【例7】为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要　 　 m长的彩灯线。 【练4】一个长方体的棱长总和是120厘米，其中长是15厘米，宽是10厘米，它的高是　 　 _______厘米． 【练5】用铁丝做一个长方体框架，长8厘米，宽6厘米，高4厘米，把铁丝重新改装成正方体框架，正方体棱长　 　 厘米。（不计损耗） 【练6】如图，将一个礼品盒用绸带捆扎起来，打结处需用40厘米长的绸带，捆扎这个礼品盒共需多长的绸带？ 【练7】国庆节快到了，为增添节日气氛，要给长60m、宽50m、高70m的某建筑外墙棱上挂彩灯（沿地面一圈不挂），张叔叔去商店买彩灯，每捆100m，他至少需买几捆？ 题型3：长方体与正方体的表面积 【例8】下面不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 【例9】如图是一个正方体展开图，把它折起来后与家相对应的面是（　　） A．我 B．爱 C．沛 D．县 【例10】一个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的长方体，在这个长方体的顶点处挖去一个棱长为5厘米的小正方体（如图），剩下部分的表面积（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定 【例11】花灯，又叫灯笼，是一种古老的中国传统工艺品。小轩的爷爷是一位手工艺人，他用木条做了一个长和宽都是16cm，高是30cm的长方体花灯框架，然后在花灯的四周和上面粘贴彩纸（如图）。做这个花灯至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 【例12】求下面图形的表面积。（单位：cm） 【例13】用2个相同的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了18cm2，每个小正方体的表面积是（　　）cm2。 A．9 B．18 C．45 D．54 【练8】下面四幅图中，（　　）不是正方体的展开图． A． B． C． D． 【练9】小明制作了一个正方体礼品盒（如图），相对的面图案相同。如果将这个礼品盒展开，可能是（　　） A． B． C． D． 【练10】如图所示，分别从甲、乙两个正方体①②处拿走一个小正方体后，剩下几何体的表面积相比，（　　） A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．不确定 【练11】如图是一个无盖长方体玻璃缸，做这个玻璃缸至少需要多少平方厘米玻璃？ 【练12】计算下面图形的表面积。（ 单位：cm） 【练13】如图，沿与长方体底面平行的面切开，切成2个小长方体，这2个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了（　　）平方厘米。 A．48 B．60 C．80 D．120 题型4：长方体与正方体的体积与容积 【例14】在横线里填“L”或“mL”。 （1）一瓶醋大约有500 　 　 ，6瓶这样的醋大约有3 　 　 。 （2）1个健康成年人的血液总量约为4～5 　 　 ，义务献血者每次献血量一般为200 　 　 。 【例15】5.04L＝（　 　 ）mL 480dm3＝（　 　 ）m3 （　 　 ）dm2 【例16】金龙鱼牌花生油油桶的标签上印有“净含量5升”的字样，“5升”指的是（　　） A．油桶的容积 B．桶内花生油的体积 C．油桶的体积 D．油桶的表面积 【例17】如下图，一个长方体盒子中摆放着若干个1立方厘米的小正方体。这个长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．80 B．60 C．45 D．11 【例18】一个棱长6厘米的正方体容器装满水，将水全部倒入一个长9厘米、宽8厘米的长方体空容器中，水深（　　）厘米。 A．2 B．3 C．4.5 D．6 【例19】一个长6dm、宽4dm、高5dm的长方体盒子，容积是　 　 dm3，最多能放（　 　 个棱长2dm的正方体木块（盒子厚度忽略不计）。 【例20】把3米长的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加3.6平方分米，原来这根木料的体积是 　 　 立方分米。 【例21】把一个不规则的石块全部放入在一个底面长30厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体水箱中，水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少立方厘米？ 【练14】在横线上填上“升”或“毫升”。 《中国居民膳食指南（2022）》建议，成年人每天总饮水量约为2　 　 。李叔叔的水杯容量约为500　 　 。（填“升”或“毫升”）李叔叔每天至少要喝　 　 杯水才能达到建议标准。 【练15】在横线上填上合适的数。 1.05升＝ 　 　 毫升 立方米＝ 　 　 立方分米 80平方分米平方米 【练16】保险箱的体积和容积相比（　　） A．一样大 B．容积大 C．体积大 D．无法比较 【练17】一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，它的体积是（　　） A．12cm3 B．60cm3 C．94cm3 D．120cm3 【练18】在一个长15cm、宽10cm、高8cm的长方体容器中注满水，然后将水全部倒入一个棱长为20cm的空的正方体容器中，这时水面高（　　）cm。 A．3 B．0.3 C．1.5 D．0.15 【练19】一个长12dm，宽6dm，高5dm的长方体纸箱，最多能装棱长是2dm的化妆品（　　）盒． A．10 B．6 C．45 D．36 【练20】如图，将一根长6分米的长方体木料锯成6段，表面积比原来增加了90平方分米。这根木料原来的体积是（　　）立方分米。 A．15 B．36 C．54 D．540 【练21】（1）一个长方体水箱长8分米，宽3分米，高4分米，原有水深1.8分米，放入一个体积为36立方分米的石块后，水面上升了　 　 分米。 （2） 一个正方体容器棱长3分米，装有2.4分米深的水，放入一个体积为6立方分米的石块后，水会溢出　 　 升。 一．选择题 1．下列展开图中，不能围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 2．如图三个图形中，（　　）是从左面看到的。 A． B． C． 3．最少用（　　）个同样的小正方体，才能拼成一个较大的正方体． A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图中的两个物体是用相同数量的小正方体摆成的，比较它们的表面积和体积，说法正确的是（　　） A．体积相等，正方体的表面积大 B．体积相等，长方体的表面积大 C．表面积相等，正方体的体积大 D．表面积相等，长方体的体积大 5．从由8个棱长是1厘米的小正方体拼成的大正方体中拿走一个小正方体（如图），这时它的表面积是（　　）平方厘米。 A．18 B．21 C．24 D．56 6．在一个长6dm，宽3dm，高2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（　　）dm。 A．2 B．8 C．24 D．36 7．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍后，它的体积是64立方分米，原来正方体的体积是（　　）立方分米。 A．32 B．16 C．8 D．不能确定 8．一个棱长为3dm的正方体水箱中装有半箱水，现在把一块石块完全浸没在水中，水面上升了6cm，这块石块的体积是（　　）dm3。 A．2.6 B．4.5 C．5.4 D．54 二．填空题 9．在横线里填上合适的单位名称。 ①一个烧水壶的容积约为2.2 　 　 ； ②一个奶瓶的容积约是450 　 　 ； ③一本课本的体积约是210 　 　 ； ④一块橡皮的体积约是6 　 　 。 10．在横线里填合适的单位。 一个眼药水瓶的容积是20 　 　 。 一个蓄水池的体积是4.2 　 　 。 一个微波炉的容量是16 　 　 。 一个空调外机的体积是400 　 　 。 11．横线上填合适的数。 120g＝ 　 　 kg 8.003L＝ 　 　 mL 80分＝ 　 　 时 7002立方厘米＝ 　 　 立方分米 12．　 　 dm3 70mL＝　 　 L（填分数） 27dm3＝　 　 mL 1500dm3＝　 　 m3（填小数） 13．一根长方体木材（如图），棱长总和是92cm，长和高分别为12cm和6cm。它的宽是 　 　 cm，体积是 　 　 cm3。如果将这根木材削成一个最大的正方体，削去部分的体积是 　 　 ________cm3。 14．用一根铁丝正好焊接成一个长8cm，宽6cm，高4cm的长方体框架。这根铁丝长 　 　 cm，在这个长方体框架外面糊一层纸，糊纸的面积是 　 　 cm2，若用这根铁丝焊接成一个正方体框架，则这个正方体的棱长是 　 　 cm，这个正方体的体积是 　 　 cm3（损耗忽略不计） 15．一个正方体的棱长和是24dm，表面积是 　 　 平方分米。 16．李叔叔想焊一个无盖的长方体水槽，现有四块长12dm、宽10dm的长方形铁皮。为使焊成的水槽容积最大（铁皮厚度忽略不计），他又配了一块铁皮。此时这个水槽的长是 　 　 _________dm，宽是 　 　 dm，高是 　 　 dm。 17．若把4个棱长是8厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积可能是 　 　 平方厘米或 　 　 平方厘米。 18．把一个棱长是40cm的正方体钢坯，锻成长50cm，宽20cm的长方体钢材，锻成的长方体钢材的高是 　 　 cm。 19．明明家有一个长方体玻璃鱼缸，从里面量，长7分米，宽4分米，深5分米。一天，明明不小心把鱼缸的一个面打碎了，为了保护金鱼，需要把鱼缸转过来盛水（如图所示）。算一算，用这个坏的鱼缸，最多能盛水 　 　 升。 三．判断题 20．长方体的6个面中不可能有正方形．　 　 （判断对错） 21．把两块棱长是2分米的正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是48平方分米。 　 　 （判断对错） 22．将一块正方体橡皮泥捏成长方体，正方体和长方体相比，体积相等，表面积不一定相等。 　 　 （判断对错） 四．操作题 23．画出如图物体从上面、右面看到的图形。 五．解答题 24．求图中丝带总长度，其中打结处为20厘米。 25．计算如图形的表面积和体积。 26．求图中长方体的表面积和体积。 27．求如图图形的棱长和与表面积。 （1） （2） 28．求如图几何体的表面积和体积。（单位：cm） 29． 两根同样长的铁丝焊一个长方体和正方体，长方体长7厘米，宽5厘米，高3厘米，正方体的棱长是多少厘米？ 30．妈妈买了一盒糕点，这盒糕点的包装盒有两层，如图，外层为没有上面的长方体，内层为一个无盖的长方体。如果把内层的长、宽、高看作与外层的长、宽、高相同来计算，那么包装盒所用硬纸板的面积是多少平方厘米？（粘接处不计） 31．老师上课时拿出这样一个长方体，让同学们观察并测量. 小刘说：“这个长方体的棱长总和是68厘米.” 小李说：“这个长方体如果截去两厘米高度的话，就是一个正方体.” 小张说：“它的底面周长是2分米.” 小陈说：“长方体的前面和右面两个面的面积之和是70平方厘米.” 这四个人得到的数据都是正确的，筛选出必要的数据作为条件，求出长方体的体积. 32．如图是一个长方体形状的孔明灯，它的底面是边长为30cm的正方形，高为50cm。除一个底面外，其他面都要糊上安全阻燃棉纸，制作这个孔明灯至少需要多少平方厘米的安全阻燃棉纸？这个孔明灯的体积是多少立方厘米？ 33．一个长方体玻璃缸，尺寸如图所示，往玻璃缸里倒入2.8dm高的水，接着往缸里投入一个正方体铁块。请问当分别投入正方体铁块A和正方体铁块B时，缸里溢出的水相差多少升？ 34．数学课上，小华要测量一块不规则石块的体积，他将石块放入盛有水的长方体容器里，根据如图中的信息，石块的体积是多少立方厘米？ 六．应用题 35．一个房间长6米，宽4米，高3米，如果在房间四周贴墙纸，除去门窗7平方米，每平方米墙纸14元，共要多少元的墙纸？ 36．如图，一块长方形铁皮长30厘米，宽20厘米，如果在这块铁皮的四个角都剪下一个边长5厘米的正方形，焊接成一个无盖长方体铁盒（忽略铁皮厚度）。铁盒的容积是多少升？ 37． 把一个长10dm、宽8dm、高5dm的长方体玻璃缸装满水，将缸里的水倒入一个棱长10dm的正方体空玻璃缸里，水面距缸口多高？ 38．一个密封的长方体容器如图，长4分米、宽1分米、高2分米，里面水深16厘米。如果以这个容器的左侧面为底放在桌上。 （1）这时水深多少分米？ （2）此时，水与容器接触的面积是多少平方分米？ 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $