精品解析：2021年吉林省高职高专院校单独招生统一考试数学试卷

2021年吉林省高职高专院校单独招生统一考试 数 学 试 题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共33小题，满分150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的0.5毫米签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 选择题（共120分） 一、选择题：共30小题，每小题4分，共120分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1. 4的平方根是（     ） A. 16 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解. 【详解】因为，所以4的平方根是， 故选：D. 2. 已知集合，，则 （     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合并集的定义即可得解. 【详解】集合，，则， 故选：. 3. “”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】，解得或， 当时，无法推出，故充分性不成立； 当时，成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：. 4. 函数的定义域是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域及一元二次不等式的解法求解. 【详解】函数有意义，需满足， 即，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：B. 5. 不等式的解集是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法求解. 【详解】不等式可转化为， 所以不等式的解集是. 故选：B. 6. 函数的图像大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，以及特殊点，即可求解. 【详解】由题意知函数 所以当时，，所以排除A、B； 又因为函数在上单调增， 所以排除D选项. 故选：C. 7. 指数式写成对数式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对数的互换即可求解. 【详解】指数式写成对数式为. 故选：B. 8. （     ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】运用同角三角函数的平方关系公式求解. 【详解】根据同角三角函数的平方关系，可得. 故选：D. 9. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,由三角函数的诱导公式及特殊角的正切值即可求解. 【详解】解: 故选:A 10. 已知，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角函数的平方关系求出的值，再利用两角和的正弦公式计算. 【详解】已知，且， 可得：， 所以. 故选：C. 11. 函数的图像可以由函数的图像（     ）得到. A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合三角函数图像的平移变换规律即可得解. 【详解】将函数的图像左平移个单位得到， 故选：. 12. 在中，若 ，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，若 ， 由正弦定理，，得， 因为，所以，又， 所以. 故选：B. 13. 已知无穷数列的前4项为，，，，则其通项公式可为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的前几项确定其规律即可. 【详解】已知无穷数列的前4项为，，，， 即为，，则，， 可得， 故选：A. 14. 在等比数列中，若，则（     ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质求解. 【详解】因为，所以， 故选：D. 15. 在等差数列中，若，公差，则（     ） A. 45 B. 48 C. 51 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式求出首项，再利用通项公式求出. 【详解】已知，公差， 可得：，解得， 所以， 故选：B. 16. 已知数列的前n项和，则（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的前项和定义结合题意即可求解. 【详解】由得，，又， 解得. 故选：D. 17. 已知，且，且，则（     ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 18. 已知向量，，若，则（     ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标关系列出等式，进而求解出的值. 【详解】因为向量，，， 所以，解得， 故选：C. 19. 的顶点分别为，，，则边上的中线的长度为（     ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据中点坐标公式求出边的中点的坐标，再利用两点间距离公式求出中线的长度. 【详解】已知，，则边的中点的坐标为，即， 已知，则的长度为， 故选：C. 20. 已知圆与直线相切，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆相切的性质，即圆心到直线的距离等于圆的半径进行求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 直线的方程可化为， 可得圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以， 所以，即，解得， 故选：D. 21. 已知函数，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入解析式，得出，再将代入求值即可. 【详解】已知函数， 由，得， 则，则， 故选：D. 22. 已知圆锥的底面半径为，圆锥的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式求值即可. 【详解】已知圆锥的底面半径为，圆锥的高为， 则其体积为， 故选：A. 23. 已知某林场有树苗棵，其中杨树苗有棵．为调查在树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则该样本中杨树苗的数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求解. 【详解】已知林场有树苗棵，抽取一个容量为的样本，则抽样比例为， 因为杨树苗有棵，所以该样本中杨树苗的数量为， 故选：A. 24. 已知双曲线方程为，则其离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定的值，再由离心率公式求值即可. 【详解】已知双曲线方程为， 则， 则，所以离心率为. 故选：C. 25. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数幂的运算及指数函数与对数函数的单调性求解. 【详解】选项A，，，所以，故选项A错误； 选项B，函数在上单调递增， 因为，所以，故选项B错误； 选项C，函数在上单调递增， 因为，所以，故选项C正确； 选项D，因为，，所以，故选项D错误， 故选：C. 26. 已知函数在区间内为减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数的图像开口向上，对称轴为， 又函数在区间内为减函数， 所以，解得. 故选：A. 27. 已知x，y正实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】因为x，y为正实数， 所以，故B项正确，A、C项错误； 又因为，故D项错误. 故选：B. 28. 已知抛物线上的点到焦点的距离为，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】抛物线，焦点在轴正半轴，且焦点坐标为，则准线方程为， 设点的横坐标为，，解得， 故选：. 29. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件得出的值，再将所求式子化为关于的表达式进行计算. 【详解】已知， 因为（若，则，不合题意）， 所以， 所以 . 故选：C. 30. 下列命题正确的是（ ） ①如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A. ①②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行，面面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质即可求解. 【详解】对①，由线面平行的判定可得，平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 那么这条直线与这个平面平行，故①正确. 对②，由线面垂直的判定可得，平面外一条直线与平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线与这个平面垂直，故②错误. 对③，两平面垂直，一平面内垂直于两平面交线的直线垂直于另一个平面，故③错误. 对④，由面面平行的判定可得，平面内的两条相交直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面平行，故④正确. 综上，①④正确. 故选：D. 非选择题（共分） 二、解答题：共小题.共分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案写在（此处原文可能有遗漏，保留原样）相对应的位置上. 31. 甲乙两人各进行次射击，若甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，求： （1）恰有1人击中目标的概率； （2）两人都击中目标的概率； （3）至少有1人击中目标概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式以及互斥事件概率的加法公式进行求解； （2）利用相互独立事件概率的乘法公式进行求解； （3）利用相互独立事件概率的乘法公式以及对立事件的概率公式进行求解. 【小问1详解】 设“甲击中目标”事件，“乙击中目标”为事件， 已知，，则，， “恰有人击中目标”包含“甲击中乙没击中”和“甲没击中乙击中”这两个互斥事件. “甲击中乙没击中”的概率为， “甲没击中乙击中”的概率为， 所以恰有人击中目标的概率为. 【小问2详解】 因为与是相互独立事件， 所以两人都击中目标的概率为. 【小问3详解】 “至少有人击中目标”的对立事件是“两人都没击中目标”， “两人都没击中目标”的概率为， 所以至少有人击中目标的概率为. 32. 如图，已知平面，四边形是边长为的正方形，且. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明过程见详解 （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合直线与平面垂直的性质及正方形的性质得出，，利用直线与平面垂直的判定定理即可得解. （）根据题意找到与平面所成角，求出所需线段的长度即可得解. 【小问1详解】 因为平面，平面，则， 又因为底面为正方形，所以， 因为平面，， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以与平面所成角为， 因为平面，则， 四边形是边长为的正方形，则， 又因为，， 所以与平面所成角的正切值为. 33. 椭圆的两个焦点分别为，，其短轴长与焦距相等. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）椭圆上是否存在点，使得若存在，求此时的面积；若不存在请说明理由. 【答案】（1）椭圆方程为，离心率为. （2）存在，面积为. 【解析】 【分析】（）根据题意判断出焦点位置，利用求出的值，结合离心率公式即可得解. （）根据题意利用椭圆的定义及勾股定理求出的值，代入三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 椭圆的两个焦点分别为，， 所以椭圆的焦点在轴上，则， 因为长与焦距相等，则， 则，解得，所以， 所以椭圆方程为，离心率为. 【小问2详解】 由（）可知，，则， 假设椭圆上存在点，使， 则，解得， 因为， 所以椭圆上存点，使得， 此时的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年吉林省高职高专院校单独招生统一考试 数 学 试 题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共33小题，满分150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的0.5毫米签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 选择题（共120分） 一、选择题：共30小题，每小题4分，共120分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1. 4的平方根是（     ） A. 16 B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则 （     ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域是（     ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（     ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致是（　　） A. B. C. D. 7. 指数式写成对数式为（     ） A. B. C. D. 8. （     ） A. B. C. D. 1 9. 的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（     ） A. B. C. D. 11. 函数图像可以由函数的图像（     ）得到. A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 12. 在中，若 ，则（ ） A. B. C. D. 或 13. 已知无穷数列的前4项为，，，，则其通项公式可为（     ） A. B. C. D. 14. 在等比数列中，若，则（     ） A. 8 B. C. 4 D. 15. 在等差数列中，若，公差，则（     ） A. 45 B. 48 C. 51 D. 54 16. 已知数列的前n项和，则（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 17. 已知，且，且，则（     ） A. B. 1 C. D. 18. 已知向量，，若，则（     ） A. B. C. 6 D. 19. 的顶点分别为，，，则边上的中线的长度为（     ） A. B. 5 C. D. 20. 已知圆与直线相切，则（     ） A. B. C. D. 21. 已知函数，且，则 （ ） A. B. C. D. 22. 已知圆锥的底面半径为，圆锥的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 23. 已知某林场有树苗棵，其中杨树苗有棵．为调查在树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则该样本中杨树苗的数量为（ ） A. B. C. D. 24. 已知双曲线方程为，则其离心率（ ） A. B. C. D. 25. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 26. 已知函数在区间内为减函数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 27. 已知x，y为正实数，则（ ） A. B. C. D. 28. 已知抛物线上的点到焦点的距离为，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 29. 已知，则（ ） A. B. C. D. 30. 下列命题正确的是（ ） ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A. ①②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①④ 非选择题（共分） 二、解答题：共小题.共分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案写在（此处原文可能有遗漏，保留原样）相对应的位置上. 31. 甲乙两人各进行次射击，若甲击中目标概率为，乙击中目标的概率为，求： （1）恰有1人击中目标概率； （2）两人都击中目标的概率； （3）至少有1人击中目标概率. 32. 如图，已知平面，四边形是边长为的正方形，且. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值. 33. 椭圆的两个焦点分别为，，其短轴长与焦距相等. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）椭圆上是否存在点，使得若存在，求此时的面积；若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $