11.4.2 第1课时 平面与平面垂直的判定 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）
2026-05-01
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦立体几何中的空间垂直关系与二面角计算，通过基础达标题引入平面垂直时直线位置关系，逐步过渡到折叠问题、多面体证明题，构建从基础认知到综合应用的学习支架。
其亮点在于以几何直观和逻辑推理为核心，通过折叠正方形判断三角形形状等情境培养数学眼光，结合线面垂直判定训练数学思维，规范证明步骤强化数学语言。助力学生提升空间想象与推理能力，为教师提供分层教学素材，提高课堂效率。
内容正文：
课后达标检测
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√
1．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面( )
A.垂直 B．平行
C.斜交 D．以上都有可能
解析：两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面可以平行、垂直、斜交．
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2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B-PC1-C的大小为( )
A.30° B．45°
C．60° D．90°
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1，BC1⊂平面BCC1B1，所以PC1⊥CC1，PC1⊥BC1，所以∠BC1C即为二面角B-PC1-C的平面角．又BB1＝BC，所以CC1＝BC，所以∠BC1C＝45°.
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3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则“α⊥β”的充分条件是( )
A.l⊥m，α∩β＝m，l⊂α
B.l⊥β，m∥α，l⊥m
C.l⊥β，m∥α，l∥m
D.l∥β，m∥α，l∥m
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解析：对于A，若l⊥m，α∩β＝m，l⊂α，则平面α与平面β可能相交且不垂直，故A错误；
对于B，若l⊥β，m∥α，l⊥m，则平面α与平面β可以相交或平行，故B错误；
对于C，因为l⊥β，l∥m，由线面垂直的性质，所以m⊥β，
又因为m∥α，所以α⊥β，故C正确；
对于D，若l∥β，m∥α，l∥m，则平面α与平面β可以相交或平行，故D错误．
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4．已知锐二面角α-l-β，P∈α，点P到β的距离为m，点P到l的距离为2m，则二面角的α-l-β的大小为( )
A.75° B．60°
C．45° D．30°
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5．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角(非等边)三角形
D.钝角三角形
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6．(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断正确的是( )
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
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解析：对于A，由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，BC⊂底面圆，得PA⊥BC.又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，A正确；
对于B，因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE，又AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又EF⊂平面PBC，所以AE⊥EF，B正确；
对于C，由B可知AE⊥平面PBC，AE与AC相交，因而AC与平面PBC不垂直，所以AC⊥PB不成立，C错误；
对于D，由B可知，AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC，D正确．
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7．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是____________．
解析：因为PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
垂直
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9．在大小为60°的二面角的一个面内有一个点P，若点P到另一个面的距离是10 cm，则该点到二面角的棱的距离是_______________．
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10.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝CD＝AD＝1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD.求证：
(1)AB∥平面PCE；(5分)
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(2)平面PAB⊥平面PBD.(8分)
证明：因为PA⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，
连接BE，由题意知BC∥DE，且BC＝DE，则四边形BCDE为平行四边形，
因为AD⊥DC，BC＝CD＝1，
所以平行四边形BCDE为正方形，所以BD⊥CE，
又AB∥CE，所以BD⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BD⊥平面PAB，又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
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11．(多选)在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
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解析：已知PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD，又底面ABCD为矩形，所以AD⊥AB，CD⊥AD，而 AB∩PA＝A，AD∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，AD，PA⊂平面PAD，
所以AD⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又AD⊂平面PAD，CD⊂平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，所以A，D正确；
又BC∥AD，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，所以B正确；
因为平面PCD⊥平面PAD，显然C选项不正确．故选ABD.
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12．(2025·德州期末)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6，则二面角P-BC-A的正弦值为__________．
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13．已知在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，二面角P-AB-C为45°，则该四棱锥的高的值为____________．
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(1)求证：PE⊥平面ABCD；(6分)
解：证明：在直角梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2CD，又E为AB的中点，所以DC綉EB，所以四边形DEBC为平行四边形，又AB⊥BC，所以AE⊥DE，即PE⊥DE.
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又DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD.
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(2)求二面角P-DC-B的大小．(9分)
解：由(1)知PE⊥平面ABCD，又DC⊂平面ABCD，所以PE⊥DC，
又由(1)知DE⊥DC，PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面PDE，
所以DC⊥平面PDE，又DP⊂平面PDE，
所以DC⊥PD，则∠PDE即为二面角P-DC-B的平面角．
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15.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点(不含B).
(1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由．(6分)
解：垂直．证明如下：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE.
因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.
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(2)线段BC上是否存在点F，使二面角B-AE-F的平面角的大小为45°？(9分)
解：存在．由(1)可知，AE⊥平面PBC，所以二面角B-AE-F的平面角为∠BEF.
若∠BEF＝45°，由(1)可知BC⊥平面PAB，又BE⊂平面PAB，所以BC⊥BE，
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解析：如图1，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于点O，则折成直二面角后如图2，AB＝BC＝1，AC＝＝ ＝1，则△ABC是等边三角形．
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