第12章 定义 命题 证明 习题课件 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

第12章 定义 命题 证明 12.3　证　明 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列推理正确的是(　C　) A. ∵ a<b,∴ a+2<b+1 B. ∵ a<b,∴ a-1<b-2 C. ∵ a>b,∴ a+c>b+c D. ∵ a>b,∴ a+c>b-d C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 2. 如图,下列结论正确的是(　C　) A. 若∠1=∠4,则m∥c B. 若∠1=∠2,则a∥b C. 若∠1+∠3=180°,则n∥c D. 若∠2+∠3=180°,则m∥n C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. 如图,有下列推理:① ∵ ∠B=∠BEF,∴ AB∥EF;② ∵ ∠B=∠CDE,∴ AB∥CD;③ ∵ ∠DCE+∠AEF=180°,∴ AB∥EF;④ ∵ ∠A+∠AEF=180°,∴ AB∥EF. 其中,正确的是(　B　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. (1) 如图①,∵ ∠1=60°,∠2=60°(已知), ∴  　a　∥ 　b　(　 　内错角相等,两直线平行　　).  a　 b　 内错角相等,两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 (2) 如图②,∵ ∠A+∠D=180°(已知), ∴  　AB　∥ 　DC　(　 　同旁内角互补,两直线平行　　). ∴ ∠1= 　∠C　(　 　两直线平行,内错角相等　　).  ∵ ∠1=65°(已知), ∴ ∠C= 　65°　(等量代换).  AB DC 同旁内角互补,两直线平行 ∠C　 两直线平行,内错角相等 65°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. 如图,∠1+∠ABC=180°,请你从下面三个条件中,选出两个作为已知条件,另一个作为结论,组成一个真命题. ① BE是∠ABC的平分线;② ∠E=∠2;③ DF∥AB. 你选的条件是 　①②　,结论是 　③　.请加以证明.  (第5题) ①②　 ③　 解:∵ BE是∠ABC的平分线,∴ ∠2=∠CBE. ∵ ∠E=∠2,∴ ∠CBE=∠E. ∴ AE∥BC. ∴ ∠A+∠ABC=180°.∵ ∠1+∠ABC=180°,∴ ∠A=∠1.∴ DF∥AB. (答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. 如图,有下列条件:① ∠BAD=∠ADC;② ∠DAC=∠BCA;③ ∠ABD=∠CDB;④ ∠ADC+∠BCD=180°.其中,能使AD∥BC的是(　C　) A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③④ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. 如图,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC平分∠BAD,且与EF交于点O,则与∠AOE相等的角(除∠AOE)有 　5　个.  5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. 如图,直线AB∥CD,直线EF与直线AB交于点G,与直线CD交于点H,且GN平分∠EGB. 求证:∠3= ∠1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 证明:∵ CD与EF相交于点H(已知), ∴ ∠1=∠2(　 　对顶角相等　　).  ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠2=∠EGB(　 　两直线平行,同位角相等　　).  ∵ GN平分∠EGB(已知), ∴ ∠3= 　　　∠EGB(角平分线的定义).  ∵ ∠1=∠2,∠2=∠EGB(已证), ∴ ∠1=∠EGB(　 　等量代换　　).  ∵  　∠3= ∠EGB　(已证),  ∴ ∠3= ∠1(等量代换). 对顶角相等 两直线平行,同位角相等 等量代换 ∠3= ∠EGB　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. 新考向·学科内综合 若一个四位正整数P满足千位数字比百位数字大2,十位数字比个位数字大2,千位数字与十位数字不相等且各个数位上的数字都不为零,则称P为“双减数”.将“双减数”P的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为N(P).例如:四位正整数7564,∵ 7-5=6-4=2,且7≠6,∴ 7564是“双减数”,此时N(7564)=75-64=11. (1) 判断8631是否是“双减数”?若是,请求出N(8631)的值;若不是,请说明理由. (2) 命题“对于任意‘双减数’A,N(A)都能被11整除”是真命题还是假命题?请说明理由. 解:(1) 是.∵ 8-6=3-1=2,8≠3,∴ 8631是“双减数”,此时N(8631)=86-31=55. (2) 是真命题.理由:设千位数字为a,十位数字为b,则百位数字为a-2,个位数字为b-2,且a≠b.∴ 对于“双减数”A,N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)]=11(a-b).∴ 对于任意“双减数”A,N(A)都能被11整数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. ★新考法·探究题 已知∠B,画∠E,使得DE∥AB,EF∥BC,且DE交BC于点P. 试探究∠B与∠E之间有怎样的数量关系. (1) 我们发现∠B与∠E之间有两种位置关系,如图①②所示. ① 图①中,∠B与∠E之间的数量关系为 　∠B+∠E=180°　;图②中,∠B与∠E之间的数量关系为 　∠B=∠E　.请说明理由.   ∠B+∠E=180°　 ∠B=∠E　 解:(1) ① 理由:如图①,∵ EF∥BC, ∴ ∠DPB=∠E. ∵ DE∥AB, ∴ ∠B+∠DPB=180°.∴ ∠B+∠E=180°.如图②,∵ EF∥BC,∴ ∠DPC=∠E. ∵ DE∥AB, ∴ ∠B=∠DPC. ∴ ∠B=∠E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 (2) 运用②中的真命题,解决问题: 若两个角的两边互相平行,且一个角的度数比另一个角度数的2倍少30°,求这两个角的度数. ② 由①,可得一个真命题(用文字叙述): 　如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补　.  如果两个角的两边互相平行,那么这两个 角相等或互补　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 解:(2) 设这两个角的度数分别为x和2x-30°.由题意,得x=2x-30°或x+2x-30°=180°,解得x=30°或x=70°.∴ 2x-30°=30°或110°. ∴ 这两个角的度数为30°,30°或70°,110°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $ 第12章 定义 命题 证明 12.4　定　理 第2课时　多边形的内角和、外角和定理 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. (2025·大连二模)如图,在四边形ABCD中,∠A=140°,∠B=90°,∠C=∠D=x°,则x的值是(　B　) A. 60 B. 65 C. 75 D. 130 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 2. 如果一个多边形的每个内角都相等,且内角和为1 260°,那么这个多边形的一个外角的度数为(　C　) A. 30° B. 36° C. 40° D. 45° 3. (1) 若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6,则这个四边形的四个内角的度数分别为 　60°,80°,100°,120°　.  (2) 若一个正多边形的每个外角的度数为60°,则这个正多边形的内角和是 　720°　.  C 60°,80°,100°,120°　 720°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 4. (1) 如图,以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD,则∠BAE的度数为 　150°　.  (2) 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍,则这个多边形的边数为 　12　.  150°　 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 5. 求出如图所示的图形中x的值. (第5题) 解:由图,可知70+x+(x-10)+x+(x+20)=(5-2)×180,解得x=115. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 6. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为(　B　) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 7. 如图,将正五边形纸片ABCDE折叠,使点B与点E重合,折痕为AM,展开后,再将纸片折叠,使边AB落在线段AM上,点B的对应点为B',折痕为AF,则∠AFB'的度数为(　A　) A. 45° B. 36° C. 54° D. 48° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 8. 如图,小明从点A出发,前进6m到点B处后向右转20°,再前进6m到点C处后又向右转20°……这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了 　108　m.  108　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 9. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 　360°　.  360°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 10. 新情境·现实生活 我国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则.将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图①所示的方式摆放,正五边形的五个顶点代表“五福”,具有美好的寓意,若将其抽象成如图②所示的图形,则∠1的度数为 　36　°.  36　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 11. 已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°. (1) 求该多边形的边数. 解:(1) 设该多边形的边数是n.由题意,得(n-2)×180°=360°×2-180°,解得n=5.∴ 该多边形的边数是5. (2) 若截去该多边形的一个角,求截完后所形成的新多边形的内角和. 解:(2) ∵ 截去一个角,∴ 截完后所形成的新多边形的边数可能是4或5或6.① 当新多边形为四边形时,其内角和为(4-2)×180°=360°;② 当新多边形为五边形时,其内角和为(5-2)×180°=540°;③ 当新多边形为六边形时,其内角和为(6-2)×180°=720°.综上所述,截完后所形成的新多边形的内角和为360°或540°或720°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 12. 新考法·新定义题 有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形称为“等对角四边形”. (1) 如图①,若四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C,∠A=60°,∠D=80°,则∠C的度数为 　140°　.  140°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 (2) 如图②,在△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,D,E分别是AB,AC边上的点,∠ADE=50°,试判断四边形DBCE是否为“等对角四边形”,并说明理由. 解:四边形DBCE是“等对角四边形”.理由:∵ 在△ABC中,∠B=90°,∠A=40°, ∴ ∠C=180°-∠A-∠B=50°.∵ ∠ADE=50°,∴ ∠AED=90°,∠BDE=130°. ∴ ∠DEC=90°.∴ ∠DEC=∠B,且∠BDE≠∠C. ∴ 四边形DBCE是“等对角四边形”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 13. 如图,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,CE平分∠BCD,交AB于点E,连接DE. (1) 若∠A=50°,∠B=85°,求∠BEC的度数. 解:(1) ∵ ∠B+∠ADC=180°,∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°, ∴ ∠A+∠BCD=180°.∵ ∠A=50°,∴ ∠BCD=130°.∵ CE平分∠BCD,∴ ∠BCE= ∠BCD=65°.∵ ∠B=85°, ∴ ∠BEC=180°-∠BCE-∠B=180°-65°-85°=30°. (第13题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 (2) 若∠CDE=∠DCE,求证:∠A=∠1. 解:(2) ∵ 由(1),知∠A+∠BCD=180°, ∴ ∠A+∠BCE+∠DCE=180°. ∵ ∠CDE+∠DCE+∠1=180°,∴ ∠A+∠BCE=∠CDE+∠1. ∵ CE平分∠BCD,∴ ∠DCE=∠BCE. ∵ ∠CDE=∠DCE, ∴ ∠BCE=∠CDE. ∴ ∠A=∠1. (第13题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 14. 在四边形ABCD中,∠A=98°,∠D=140°. (1) 如图①,若∠B=∠C,则∠B= 　61　°.  (2) 如图②,作∠BCD的平分线CE交AB于点E. 若CE∥AD,求∠B的度数. 解:(2) ∵ ∠D=140°,CE∥AD,∴ ∠D+∠DCE=180°.∴ ∠DCE=180°-140°=40°.∵ CE平分∠BCD,∴ ∠BCD=2∠DCE=80°.又∵ ∠A=98°, ∴ ∠B=360°-∠A-∠D-∠BCD=360°-98°-140°-80°=42°. 61　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 (3) 如图③,作∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,求∠BEC的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 解:(3) ∵ ∠A=98°,∠D=140°,∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°, ∴ ∠ABC+∠BCD=360°-98°-140°=122°.∵ ∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,∴ ∠EBC= ∠ABC,∠BCE= ∠BCD. ∴ ∠EBC+∠BCE= (∠ABC+∠BCD)= ×122°=61°.∵ ∠BEC+∠EBC+∠BCE=180°, ∴ ∠BEC=180°-61°=119°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 $ 第12章 定义 命题 证明 第12章整合拔尖 01 知识体系构建 02 高频考点突破 03 综合素能提升 目 录 返回目录 返回目录 返回目录 考点一 对定义、命题的识别 典例1　下列语句中,属于定义的是(　C　) A. 在所有连接两点的线中,线段最短 B. 两个锐角的和大于直角 C. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D. 同旁内角互补,两直线平行 C 返回目录 [变式]下列语句中,属于命题的是(　C　) A. 将27开立方 B. 画线段AB=CD C. 正数都小于零 D. 任意三角形的三条高交于一点吗 C 返回目录 考点二 命题真假的判定 典例2　有下列命题:① 有理数与数轴上的点一一对应;② 两条直线被第三条直线所截,内错角相等;③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行;④ 直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离.其中,假命题的个数是(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 B 返回目录 [变式]下列命题是假命题的为(　A　) A. 两条直线被第三条直线所截,同位角相等 B. 同旁内角互补,两直线平行 C. 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 D. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A 返回目录 考点三 逆命题真假的判定 典例3　下列命题中,其逆命题成立的是(　B　) A. 对顶角相等 B. 等边三角形的三个内角相等 C. 如果两个数是正数,那么它们的积是正数 D. 等边三角形是锐角三角形 B 返回目录 [变式]下列命题的逆命题是真命题的为(　C　) A. 若a>0,b<0,则a-b>0 B. 面积相等的两个三角形,其周长也相等 C. 两直线平行,内错角相等 D. 若m=n,则|m|=|n| C 返回目录 考点四 证明 典例4　如图,AE∥BD,∠A=∠BDC,∠AEC的平分线交CD的延长线于点F. (1) 求证:AB∥CD. 解:(1) ∵ AE∥BD,∴ ∠A+∠ABD=180°.∵ ∠A=∠BDC, ∴ ∠BDC+∠ABD=180°.∴ AB∥CD. (典例4图) 返回目录 (2) 求证:∠A+∠AEC+∠C=360°. 解:(2) 过点E向右作EH∥AB. 由(1)知AB∥CD, ∴ AB∥EH∥CD. ∴ ∠A+∠AEH=180°,∠C+∠CEH=180°. ∴ ∠A+∠AEH+∠C+∠CEH=360°,即∠A+∠AEC+∠C=360°. (3) 若∠BDC=140°,∠F=20°,求∠C的度数. (典例4图) 返回目录 解:(3) ∵ ∠AEC 的平分线交CD的延长线于点F,∴ ∠CEF= ∠AEC. 在△CEF中,∠F+∠CEF+∠C=180°,且∠F=20°, ∴ ∠AEC+∠C=160°①.∵ ∠A=∠BDC,∠BDC=140°, ∴ ∠A=140°.∵ ∠A+∠AEC+∠C=360°, ∴ ∠AEC+∠C=220°②.①×2-②,得∠C=100°. (典例4图) 返回目录 [变式]如图,EF∥CD,∠1+∠2=180°. (1) 求证:DG∥AC. 解:(1) ∵ EF∥CD,∴ ∠1+∠ECD=180°. ∵ ∠1+∠2=180°,∴ ∠ECD=∠2.∴ DG∥AC. (2) 若DG平分∠CDB,且∠A=37°,求∠CDB的度数. 解:(2) ∵ DG∥AC,∠A=37°,∴ ∠A=∠GDB=37°.∵ DG平分∠CDB, ∴ ∠CDB=2∠GDB=74°. 返回目录 考点五 反证法 典例5　玲玲在用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时,她应先假设这个三角形中(　C　) A. 有一个内角大于60° B. 有一个内角大于或等于60° C. 每一个内角都大于60° D. 每一个内角都小于60° C 返回目录 [变式] 已知五个正数的和等于5,用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于1,其中,第一步应假设 　这五个正数都小于1　.  这五个正数都小于1　 返回目录 考点六 多边形的内角和 典例6　如图,四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F. (1) 若BF∥CD,∠ABC=80°,求∠BCD的度数. 解:(1) ∵ ∠ABC=80°,∴ ∠ABE=180°-80°=100°.∵ BF平分∠ABE,∴ ∠ABF=∠EBF= ∠ABE=50°. ∵ BF∥CD,∴ ∠BCD=∠EBF=50°. (2) 在四边形ABCD中,若∠A=110°,∠D=120°,求∠F的度数. (典例6图) 返回目录 解:(2) ∵ CF平分∠BCD,BF平分∠ABE, ∴ ∠BCF=∠DCF= ∠BCD,∠EBF=∠ABF. ∵ ∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°,∠A=110°,∠D=120°, ∴ ∠ABC+∠BCD=360°-110°- 120°=130°.∴ 180°-∠ABE+2∠BCF=130°. ∵ ∠ABE=2∠EBF,∠EBF=∠F+∠BCF,∴ 180°-2(∠F+∠BCF)+2∠BCF=130°.∴ 2∠F=50°.∴ ∠F=25°. (典例6图) 返回目录 [变式]如图,在正八边形ABCDEFGH中,BG⊥GF,AE与BG交于点P,则∠APG的度数为 　112.5　°.　  112.5　 返回目录 1. 有下列命题:① 相等的两个角是对顶角;② 同旁内角互补;③ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;④ 两点之间,线段最短;⑤ 两个锐角的和是钝角.其中,假命题的个数是(　B　) A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 2. 能说明命题“对于任何有理数n,n2+n≥0”是假命题的反例可以是(　A　) A. n=- B. n=0 C. n=-1 D. n=-2 B A 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 3. 有下列命题:① 二元一次方程有无数个解;② 偶数一定能被2整除;③ 末位数字是5的数能被5整除;④ 对顶角相等.其中,逆命题是假命题的个数是(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 用反证法证明:“若a≥b>0,则a2≥b2”,应先假设 　a2<b2　.  5. 将含30°角的三角尺ABC按如图所示的方式摆放,∠C=90°,GH∥EF,顶点A,B分别落在直线GH,EF上.如果∠ABE=32°,那么∠CAD的度数为 　28°　.  C a2<b2　 28°　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 6. 如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=30°,D为边BC上一点,将△ADC沿直线AD折叠后,点C落到点E处.若DE∥AB,则∠ADE的度数为 　110°　.  110°　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 7. 已知一个正多边形的内角和比外角和多360°,求这个正多边形的边数和每个外角的度数. 解:设这个正多边形的边数为n.根据题意,得180°×(n-2)=360°+360°,解得n=6.∴ 这个正多边形的边数为6.∴ 每个外角的度数是 =60°. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 $ 第12章 定义 命题 证明 12.1　定　义 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列语句中,属于定义的是(　B　) A. 两点之间,线段最短 B. 连接两点的线段的长度,叫作这两点间的距离 C. 三角形的角平分线是一条线段 D. 同角的余角相等 2. 根据同类项的定义,下列各组单项式中,不属于同类项的是(　B　) A. 5x2y和-7x2y B. m2n和2mn2 C. -3和99 D. -abc和9abc 3. 若xk-2+1>0是关于x的一元一次不等式,则k= 　3　.  B B 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 4. 有下列语句:① 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;② 只有符号不同的两个数称为互为相反数;③ 你的作业做完了吗?④ 天空真蓝啊;⑤ 如果两个角的度数之和等于180°,那么这两个角互为补角.其中,属于定义的是 　②⑤　(填序号).  5. 画示意图表示方程、一元一次方程、二元一次方程之间的关系. 解:方程、一元一次方程、二元一次方程之间的关系示意图如图所示. ②⑤　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 6. 三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.根据定义,下列长度的各组线段能组成一个三角形的是(　D　) A. 1cm,2cm,3cm B. 3cm,8cm,5cm C. 4cm,5cm,10cm D. 4cm,5cm,6cm 7. 定义:若A-B=m,则称A与B是关于m的关联数.例如:若A-B=2,则称A与B是关于2的关联数.若3x+1与2x-4是关于3的关联数,则x的值是(　A　) A. -2 B. -1 C. 3 D. 6 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 描述数学关系可以有多种方式,比如常用的“文字语言”和“数学符号语言”,而且这二者之间是可以互相转换、建立联系的.如正数的定义:“大于0的数称为正数”,可以转换成符号语言:若a>0,则a是正数.负数有这样的符号语言描述:若a<0,则a是负数,转换成文字语言是 　小于0的数称为负数　.  9. 定义:给定两个不等式P和Q,若不等式P的任意一个解,都是不等式Q的一个解,则称不等式P为不等式Q的“子集”.例如:不等式x>4是x>2的子集.请写出不等式x<-2的一个子集: 　x<-3(答案不唯一)　.  小于0的数称为负数　 x<-3(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 (第10题) 10. 研究一类几何图形,首先需要给出这类图形的定义.如图,有这样一类凸四边形ABCD,满足AB=AD,CB=CD,这时,习惯上将这样的图形称为筝形.请用文字语言给筝形下个定义: 　有一条对角线所在的直线为对称轴的四边形是筝形　.  有一条对角线所在的直线为对称轴的四边形是筝形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 (第12题答案) 11. 定义:若一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍,则称这个方程为“妙解方程”.如方程x-1=0中,1-(-1)=2,方程的解为x=1,则方程x-1=0为“妙解方程”.若关于x的一元一次方程3x+a-b=0是“妙解方程”,则b-a= 　-9　.  12. 新考向·学科内综合 嘉淇同学对“任意一个三角形的内角和一定等于180°”说理,她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来说理.请你完成以下说理过程. - 9　 如图所示为△ABC,请对∠A+∠B+∠C=180°说理. 解:如图,过点A作DE∥BC. 因为DE∥BC,所以∠B=∠DAB,∠C=∠EAC. 因为∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,所以∠BAC+∠B+∠C=180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 分类讨论思想 定义:过角的顶点在角的内部作一条射线,得到三个角,若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍,则称这条射线为这个角的“二倍角线”.已知∠AOB=120°,射线OC为∠AOB的“二倍角线”,则∠AOC的度数为 　60°或40°或80°　.　  60°或40° 或80°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 (1) 最小的“希望数”是 　1020　.  (2) 对一个各个数位数字均不超过6的“希望数”m,设m= .若个位数字是千位数字的2倍,且十位数字和百位数字均能被2整除,定义:F(m)=|(a+b)-(c+d)|,则F(m)的最大值是 　7　.  1020　 7　 14. 对于一个四位正整数,若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的2倍,则称该四位正整数为“希望数”,例如:四位正整数3975,百位数字与十位数字之和是16,个位数字与千位数字之和是8,而16是8的2倍,则称四位正整数3975是“希望数”,类似地,四位正整数2934也是“希望数”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 定义“*”运算: (+2)*(+4)=(+4)*(+2)=+(42-22);(-7)*(-4)=(-4)*(-7)=+[(-7)2-(-4)2]; (+4)*(-2)=(-2)*(+4)=-[(+4)2-(-2)2];(+5)*(-7)=(-7)*(+5)=-[(-7)2-(+5)2]; (-2)*(+2)=(+2)*(-2)=-[(+2)2-(-2)2];(+5)*(+5)=+[(+5)2-(+5)2]; (-5)*(-5)=+[(-5)2-(-5)2]=0;0*(-5)=(-5)*0=(-5)2;(+3)*0=0*(+3)=(+3)2;0*0=02+02=0. (1) 绝对值不同的两数进行“*”运算时,结果的绝对值的确定方法是 　绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方,绝对值为正　.特别地,0和任何数进行*运算,或任何数和0进行*运算, 　结果都等于这个数的平方　.  绝对值较大 数的平方减去绝对值较小数的平方,绝对值为正　 结果都等于这个数的平方　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 (2) 计算:(-5)*[(+1)*(+3)]. 解:(2) (-5)*[(+1)*(+3)]=(-5)*[+(32-12)]=(-5)*(+8)=-[(+8)2-(-5)2]=-39. (3) 是否存在两个非零有理数m,n,使得m*n=0?若存在,请求出m,n满足的数量关系;若不存在,请说明理由. 解:(3) 存在.因为m*n=0,所以±(m2-n2)=0.所以m2-n2=0.所以m=n或m=-n,即|m|=|n|.所以存在两个非零有理数m,n,使得m*n=0,此时m,n满足|m|=|n|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $ 第12章 定义 命题 证明 12.4　定　理 第3课时　反 证 法 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 命题“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,用反证法证明时,下列各项中,最终推出与之矛盾的是(　B　) A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内,过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D. 垂直的定义 2. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时,第一步应假设(　D　) A. 底角大于90° B. 底角等于90° C. 底角小于90° D. 底角大于或等于90° B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 3. 能作为命题“若a2>4,则a>2”是假命题的反例的是(　C　) A. a=3 B. a=0 C. a=-3 D. a=2 4. 用反证法证明:“在△ABC中,已知∠B≠∠C,则AB≠AC”,应首先假设 　AB=AC　.  5. 在用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时,第一步应该假设 　一个三角形中有两个角是直角　.  C AB=AC　 一 个三角形中有两个角是直角　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (1) 写出这个命题的逆命题. 解:(1) 互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角. (2) 判断这个逆命题是真命题还是假命题,如果是假命题,请举一个反例. 解:(2) 假命题.反例:两个角都是直角. 6. 命题:一个锐角和一个钝角一定互为补角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 7. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时,应先假设(　A　) A. 没有一个角是钝角或直角 B. 至多有一个钝角或直角 C. 没有一个角是锐角 D. 没有一个角是钝角 8. 用反证法证明“若ab=0,则a,b中至少有一个为0”时,第一步应假设(　B　) A. a=0,b=0 B. a≠0,b≠0 C. a≠0,b=0 D. a=0,b≠0 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 9. 用反证法证明命题“同旁内角互补,两直线平行”时,第一步应假设(　A　) A. 两直线不平行 B. 同旁内角不互补 C. 同旁内角相等 D. 同旁内角不相等 10. 用反证法证明“已知a<b,b<c.求证:a<c.”第一步应先假设 　a≥c　.  11. (2025·北京西城期中)写出能够说明命题“如果a>b+1,那么a2>b2+1”是假命题的一组反例:a= 　0　,b= 　-2　.(答案不唯一)  12. 用反证法求证:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 解:已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角.求证:∠ACD=∠A+∠B. 证明:假设∠ACD≠∠A+∠B. ∴ ∠ACD≠180°-∠ACB. 又∵ ∠ACD+∠ACB=180°,即∠ACD=180°-∠ACB,∴ 假设不成立.∴ ∠ACD=∠A+∠B. A a≥c　 0　 -2　 (答案不唯一)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. 用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补. 已知:如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截. 求证:∠1+∠2=180°. 证明:假设∠1+∠2 　≠　180°.  ∵ l1∥l2, ∴ ∠1 　=　∠3.  ∵ ∠1+∠2 　≠　180°,  ∴ ∠3+∠2≠180°,这和 　平角为180°　矛盾.  ∴ 假设∠1+∠2 　≠　180°不成立,即∠1+∠2=180°.  ≠　 =　 ≠　 平角为180°　 ≠　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 14. 如图,AB∥CD,求证:∠B+∠E+∠D=360°(要求用反证法证明). (第14题) 解:假设∠B+∠E+∠D≠360°.延长BE交CD的延长线于点F,G为DF的延长线上的点.∵ AB∥CD,∴ ∠B=∠EFG. ∴ ∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°,这与多边形的外角和等于360°矛盾.∴ ∠B+∠BED+∠CDE=360°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 易错题 举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,错误的是(　B　) A. 设这个角是45°,它的余角是45°,但45°=45° B. 设这个角是30°,它的余角是60°,但30°<60° C. 设这个角是60°,它的余角是30°,但30°<60° D. 设这个角是50°,它的余角是40°,但40°<50° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (第16题答案) 16. 能否在如图所示的四个圆圈内填入4个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?如果能,请填出一组数;如果不能,请说明理由. 解:不能.理由:假设能.如图,设所填的互不相同的4个数为a,b,c,d. ∴ ①-②,得c2-d2=d2-c2.∴ c2=d2.∵ c≠d,∴ c=-d.同理,可得c=-b.∴ b=d,与已知条件b≠d矛盾.∴ 不能. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $ 第12章 定义 命题 证明 12.2　命　题 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. (2025·无锡江阴段考)下列语句中,属于命题的是(　B　) A. 画一条线段等于已知线段 B. 垂线段最短 C. 利用三角尺画出60°的角 D. 直角都相等吗 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 2. 命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是(　A　) A. 两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B. 两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C. 两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D. 两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 3. 把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式为 　如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余　.  4. 有下列命题:① 对顶角相等;② 同旁内角互补;③ 同底数幂相乘,底数不变,指数相加;④ 两直线平行,同位角相等.其中,属于假命题的是 　②　(填序号).  如 果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余　 ②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 解:(1) 如果三角形中有一个角是直角,那么这个三角形是直角三角形.条件:三角形中有一个角是直角.结论:这个三角形是直角三角形. (2) 内错角相等,两直线平行. 解:(2) 如果内错角相等,那么两条直线平行.条件:内错角相等.结论:两条直线平行. (3) 同角的余角相等. 解:(3) 如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等.条件:两个角是同一个角的余角.结论:这两个角相等. 5. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,然后指出命题的条件与结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (4) 锐角小于它的余角. 解:(4) 如果一个角是锐角,那么这个角小于它的余角.条件:一个角是锐角.结论:这个角小于它的余角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 6. 有下列命题:① 点到直线的距离是指这点到直线的垂线段;② 两直线被第三条直线所截,同位角相等;③ 平移时,连接对应点的线段平行且相等;④ 在同一平面内,有且只有一条直线与已知直线垂直;⑤ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中,真命题的个数为(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 7. 新考向·学科内综合 下列命题中,属于假命题的是(　D　) A. x3是单项式 B. 二元一次方程有无数个解 C. 六边形的内角和为720° D. 若|a|=6,则a=6 8. 有下列命题:① 若 >1,则a>b;② 若a>1,则(a-1)0=1;③ 如果两个角都是45°,那么这两个角相等.其中,命题与逆命题均为真命题的有(　A　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 9. (2025·北京期中)在数学课上,小明提出如下命题:“在同一平面内,如果直线l1,l2相交于点P,且l1∥l,那么l2与l一定相交.”小明提出的命题是 　真命题　(填“真命题”或“假命题”),判断的依据是 　过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行　.  10. 有下列命题:① 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;② 若ab>0且a+b<0,则a<0且b<0;③ x=2是方程2x+4=8的解.其中,原命题和逆命题都为真命题的是 　①②③　(填序号).  11. “两点确定一条直线”的条件是 　平面内有两个点　,结论是 　经过这两个点有且只有一条直线　;写成“如果……那么……”的形式为 　如果平面内有两个点,那么经过这两个点有且只有一条直线　,这是一个 　真　(填“真”或“假”)命题.  真命题　 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行　 ①②③　 平面内有两个点　 经过这两个点有 且只有一条直线　 如果平面内有两个点,那 么经过这两个点有且只有一条直线　 真　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (1) 两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补. 解:(1) 条件:两条直线被第三条直线所截.结论:同旁内角互补. (2) 等底等高的两个三角形的面积相等. 解:(2) 条件:两个三角形等底等高.结论:这两个三角形的面积相等. (3) 绝对值等于3的数是3. 解:(3) 条件:某个数的绝对值等于3.结论:这个数是3. (4) 如果∠DOE=2∠EOF,那么OF是∠DOE的平分线. 解:(4) 条件:∠DOE=2∠EOF. 结论:OF是∠DOE的平分线. 12. 指出下列命题的条件和结论: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. 先写出下列命题的逆命题,再判断每对互逆命题的真假(在括号里填“真”或“假”). (1) 已知a=b,则3a=3b. (　真　) 逆命题: 　已知3a=3b,则a=b　. (　真　)  (2) 若ac2>bc2,则a>b. (　真　) 逆命题: 　若a>b,则ac2>bc2　. (　假　)  (3) 同角的余角相等. (　真　) 逆命题: 　两个相等的角是同角的余角　. (　假　)  真 已知3a=3b,则a=b　 真 真 若a>b,则ac2>bc2　 假 真 两个相等的角是同角的余角　 假 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (4) 能被5整除的自然数的个位数字一定是5. (　假　) 逆命题: 　个位数字是5的自然数能被5整除　. (　真　)  (5) 如果∠α和∠β是邻补角,那么∠α和∠β的平分线互相垂直. (　真　) 逆命题: 　如果∠α和∠β的平分线互相垂直,那么∠α和∠β是邻补角　. (　假　)  假 个位数字是5的自然数能被5整除　 真 真 如果∠α和∠β的平分线互相垂直,那么∠α和∠β是邻补角　 假 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 14. 请写出下列命题的逆命题,并指出原命题和逆命题的真假性: (1) 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 解:(1) 逆命题:两条直线被第三条直线所截,如果这两条直线平行,那么内错角相等.原命题和逆命题都是真命题. (2) 如果一个数能被3整除,那么这个数也能被6整除. 解:(2) 逆命题:如果一个数能被6整除,那么这个数也能被3整除.原命题是假命题,逆命题是真命题. (3) 已知两数a,b.如果a+b>0,那么a-b>0. 解:(3) 逆命题:已知两数a,b.如果a-b>0,那么a+b>0.原命题和逆命题都是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 有下列命题:① 若a+3>b+3,则a>b;② 若 > ,则a>b;③ 若a>b,则ac>bc;④ 若a>b,则a+3>b+2.其中,是真命题的为 　①②④　(填序号).  ①②④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 (第16题) 解:答案不唯一,如选②③作为条件,①作为结论.如果AB∥DE,BC∥EF,那么∠B=∠E. 理由:因为AB∥DE,所以∠B=∠DOC. 因为BC∥EF,所以∠E=∠DOC. 所以∠B=∠E. 16. 如图,BC,DE相交于点O,给出下列论断:① ∠B=∠E;② AB∥DE;③ BC∥EF. 请以其中的两个论断作为条件,第三个论断作为结论,写出一个正确的命题,并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $ 第12章 定义 命题 证明 专题特训十一　三角形内、外角平分线的夹角问题 1. 如图,在△ABC中,∠ACB>∠B,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一点,PE⊥AD,交BC的延长线于点E,若∠E=25°,∠ACB=85°,求∠B的度数. (第1题) 1 2 3 4 5 解:∵ PE⊥AD,∴ ∠EPD=90°.∵ ∠E=25°,∴ ∠ADC=180°-∠EPD-∠E=180°-90°-25°=65°.在△ACD中,∠ACD=85°,∠ADC=65°, ∴ ∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-85°-65°=30°.∵ AD平分∠BAC, ∴ ∠BAC=2∠CAD=2×30°=60°.在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=85°, ∴ ∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-60°-85°=35°. 返回目录 2. (1) 如图①所示的图形我们把它称为“8字形”,求证:∠A+∠B=∠C+∠D. 解:(1) ∵ ∠A+∠B+∠AOB=180°, ∴ ∠A+∠B=180°-∠AOB. 同理,得∠C+∠D=180°-∠COD. 又∵ ∠AOB=∠COD,∴ ∠A+∠B=∠C+∠D. 1 2 3 4 5 返回目录 解:(2) ① 由(1)知,∠BAP+∠B=∠BCP+∠P,∠DAP+∠P=∠PCD+∠D,∴ ∠BAP-∠BCP=∠P-∠B,∠DAP-∠PCD=∠D-∠P. 又∵ AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD, (2) ① 如图②,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠B=36°,∠D=16°,求∠P的度数. ② AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,直接写出∠B,∠D,∠P三者之间的数量关系. ∴ ∠BAP=∠DAP,∠BCP=∠PCD. ∴ ∠BAP-∠BCP=∠DAP-∠PCD. ∴ ∠P-∠B=∠D-∠P. ∴ ∠P= .又∵ ∠B=36°,∠D=16°, ∴ ∠P= =26°.② ∠P= . 1 2 3 4 5 返回目录 3. 如图,在△ABC中,点D在AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E,DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,点F在边BC的延长线上,∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q. (1) 若∠A=48°,∠B=62°,则∠DPC= 　114　°,∠Q= 　24　°.  (2) 若∠A=m,当∠B的度数发生变化时,∠DPC,∠Q的度数是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出∠DPC,∠Q的度数(用含m的代数式表示). 114　 24　 (第3题) 1 2 3 4 5 返回目录 解:(2) 不变.∵ ∠A=m,∴ ∠ACB+∠B=180°-m. ∵ DE∥BC,∴ ∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB. ∵ DP平分∠ADE,CP平分∠ACB,∴ ∠PDE= ∠ADE= ∠B,∠PCB= ∠ACB=∠PGD. ∴ ∠DPC=180°-(∠PDE+∠PGD)=180°- (∠B+∠ACB)=180°- (180°-m)=90°+ m. ∴ ∠QPC=180°- =90°- m.∵ CQ平分∠ACF, ∴ ∠ACQ= ∠ACF. ∵ ∠ACP= ∠ACB,∠ACB+∠ACF=180°,∴ ∠ACG+∠ACQ=90°,即∠PCQ=90°.∴ ∠Q=90°-∠QPC=90°- = m. (第3题) 1 2 3 4 5 返回目录 (3) 若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的4倍,请直接写出所有符合条件的∠A的度数. 解:(3) 设∠A=α.由(2)可知,∠QPC=90°- α,∠Q= α,∠PCQ=90°.可分类讨论:① 当∠PCQ=4∠QPC时,90°- α= ×90°,解得α=135°.∴ ∠A=135°.② 当∠PCQ=4∠Q时, α= ×90°,解得α=45°.∴ ∠A=45°.③ 当∠QPC=4∠Q时,90°- α=4× α,解得α=36°.∴ ∠A=36°.④ 当4∠QPC=∠Q时,4× = α,解得α=144°. ∴ ∠A=144°.综上所述,∠A的度数为45°或135°或144°或36°. (第3题) 1 2 3 4 5 返回目录 4. 如图,作△ABC的外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q. (1) 试求出∠Q,∠A之间的数量关系. 解:(1) ∵ ∠MBC,∠NCB 的平分线交于点Q, ∴ ∠QBC+∠QCB= (∠MBC+∠NCB)= (360°-∠ABC-∠ACB)= (180°+∠A)=90°+ ∠A. ∴ ∠Q=180°-∠QBC-∠QCB=180°- =90°- ∠A. (第4题) (2) 延长BP,QC交于点E,若在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的4倍,求∠A的度数. 1 2 3 4 5 返回目录 解:(2) 延长BC至点F. ∵ CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线, ∴ CE是△ABC 的外角∠ACF 的平分线.∴ ∠ACF=2∠ECF. ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABC=2∠EBC. ∵ ∠ECF=∠EBC+∠E, ∴ 2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E. 又∵ ∠ACF=∠ABC+∠A,∴ ∠A=2∠E. ∵ ∠EBQ=∠EBC+∠CBQ= ∠ABC+ ∠MBC= (∠ABC+∠MBC)=90°,∴ 如果在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的4倍,那么分四种情况:① 若∠EBQ=4∠E=90°,则∠E=22.5°,∴ ∠A=2∠E=45°.② 若∠EBQ=4∠Q=90°,则∠Q=22.5°,∴ ∠E=90°-∠Q=67.5°.∴ ∠A=2∠E=135°.③ 若∠Q=4∠E,则∠Q+∠E=5∠E=90°,∴ ∠E=18°. ∴ ∠A=2∠E=36°.④ 若∠E=4∠Q,则∠Q+∠E= ∠E=90°, ∴ ∠E=72°.∴ ∠A=2∠E=144°.综上所述,∠A的度数是45°或135°或36°或144°. (第4题) 1 2 3 4 5 返回目录 5. 如图,在△ABC中,∠A>∠C,BD平分∠ABC,DE⊥AC于点E. (1) 若∠A=80°,∠C=40°,求∠D的度数. 解:(1) 记AC,BD交于点O. ∵ ∠A=80°,∠C=40°,∴ ∠ABC=180°-80°-40°=60°.∵ BD平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠CBD=30°.∵ DE⊥AC, ∴ ∠AED=90°. ∵ ∠AOD=∠A+∠ABD=∠DEO+∠D, ∴ 80°+30°=90°+∠D. ∴ ∠D=20°. 1 2 3 4 5 返回目录 (2) 如图①,求证:∠D= (∠A-∠C). 解:(2) 记AC,BD交于点O. 设∠A=2α,∠C=2β.∴ ∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-2α-2β.∵ BD平分∠ABC, ∴ ∠ABD=∠CBD= ∠ABC=90°-α-β.由(1)知,∠DEO=90°. ∵ ∠AOD=∠A+∠ABD=∠DEO+∠D, ∴ 2α+90°-α-β=90°+∠D. ∴ ∠D=α-β. ∵ ∠A-∠C=2α-2β,∴ ∠D= (∠A-∠C). 1 2 3 4 5 返回目录 解:(3) 记AC,BD交于点O. 设∠CDE=x. ∵ ∠BDE=24°,∴ ∠CDO=24°+x. ∵ ∠DEC=90°,∴ ∠DCE=90°-x.∵ CD平分∠ACF,∴ ∠DCE=∠DCF=90°-x. ∴ ∠ACB=180°-2(90°-x)=2x.由(2) (3) 如图②,若点D恰好在△ABC的外角∠ACF的平分线上,且∠BDE=24°,求 ∠ABC+∠EDC的度数. 知,∠BDE= (∠A-∠ACB), ∴ ∠A=2×24°+2x=48°+2x. ∴ ∠ABC=180°-∠A-∠ACB=132°-4x.∴ ∠ABC+∠EDC= (132°-4x)+x=33°. 1 2 3 4 5 返回目录 $ 第12章 定义 命题 证明 12.4　定　理 第1课时　三角形内角和定理及其推论 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图,一张三角形纸片被不小心撕掉一个角,则这个三角形是(　D　) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是 (　B　) A. ∠A>∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A C. ∠A>∠2>∠1 D. ∠2>∠A>∠1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A的度数为 　90°　.  90°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 如图,AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,∠BAC=80°,∠C=60°,则∠AOB的度数为 　110°　.  110°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 如图,在△ABC中,∠B=25°,∠BAC=31°,过点A作边BC上的高,交BC的延长线于点D,CE平分∠ACD,交AD于点E. 求: (1) ∠ACD的度数. 解:(1) ∵ ∠ACD=∠B+∠BAC,∠B=25°,∠BAC=31°, ∴ ∠ACD=25°+31°=56°. (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 (2) ∠AEC的度数. 解:(2) ∵ AD⊥BD,∴ ∠D=90°.∵ ∠ACD=56°,CE平分∠ACD,∴ ∠ECD= ∠ACD=28°. ∴ ∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118°. (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 如图,AD是∠CAE的平分线,∠B=35°,∠DAE=60°,则∠ACD的度数为(　D　) A. 25° B. 60° C. 85° D. 95° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 如图,在△ABC中,CD,BE分别是边AB,AC上的高,且CD,BE交于点P. 若∠A=60°,则∠BPC的度数为(　B　) A. 90° B. 120° C. 150° D. 160° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 如图,在△ABC中,BD是AC边上的高,CE是∠ACB的平分线,BD,CE交于点F. 若∠AEC=80°,∠DFC=52°,则∠ABC的度数是(　C　) A. 28° B. 38° C. 42° D. 62° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 如图,直线m∥n,△ABC(∠C=90°)的顶点A在直线n上.若∠β=43°,则∠α= 　47°　.  47°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 如图,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠E的度数为 　66.5°　.  66.5°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 如图,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD,F为CA的延长线上的一点,FG∥EC,交AB于点G. 若∠1=70°,∠2=30°,则∠3的度数为 　40°　.  40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解:(1) ∵ ∠ADC是△ABD的外角,∠BAD=60°,∠B=45°, ∴ ∠ADC=∠BAD+∠B=105°. ∵ ∠B=∠C=45°,∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=90°.∵ ∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°,∴ ∠ADE=∠AED=75°. ∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°. 12. 如图①,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在边BC上,点E在边AC上,连接AD,DE,∠ADE=∠AED. 　 (1) 当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解:(2) ∠BAD=2∠CDE. 理由: ∵ ∠B=∠C=45°,∴ ∠BAC=90°.设∠BAD=x. ∴ (2) 当点D在边BC(点B,C除外)上运动时,试猜想∠BAD与∠CDE之间的数量关系,并说明理由. ∠ADC=∠BAD+∠B=x+45°,∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-x. ∴ ∠ADE=∠AED= . ∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=x+45°- = x.∴ ∠BAD=2∠CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 (3) 如图②,若∠B=∠C,但∠C≠45°,其他条件不变,试探究∠BAD与∠CDE之间的数量关系. 解:(3) 设∠BAD=t. ∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+t,∠DAE=∠BAC-∠BAD=180°-2∠C-t. ∴ ∠ADE=∠AED= =∠C+ t. ∵ ∠B=∠C,∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=∠B+t- = t. ∴ ∠BAD=2∠CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 新考法·新定义题 定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的2倍,那么称这两个角互为“开心角”,这个三角形称为“开心三角形”.例如:在△ABC中,∠A=70°,∠B=35°,则∠A与∠B互为“开心角”,△ABC为“开心三角形”. (1) 若△ABC为“开心三角形”,∠A=144°,则这个三角形中最小的内角的度数为 　12°　.  (2) 若△ABC为“开心三角形”,∠A=70°,则这个三角形中最小的内角的度数为 　35°或 °　.  (3) 已知△ABC为“开心三角形”,∠A是最小的内角,并且是其中的一个“开心角”,求∠A的取值范围. 12°　 35°或 °　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解:(3) ∵ ∠A是最小的内角,并且是其中的一个“开心角”,∴ 另一个“开心角”是2∠A. ∴ 第三个内角是180°-3∠A. ∵ ∠A是最小的内角,∴ ∠A≤180°-3∠A,且∠A<2∠A. ∴ 0°<∠A≤45°. (4) 如图,AD平分△ABC的内角∠BAC,交BC于点E,CD平分△ABC的外角∠BCF,延长BA和DC交于点P,已知∠P=30°.若△ABE为“开心三角形”,∠BAE是其中的一个“开心角”,设∠BAE=α,求α的度数. (第13题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 (4) ∵ AD平分△ABC的内角∠BAC,∴ ∠CAE=∠BAE=α.∴ ∠PAC=180°-2α.设∠PCA=x.∵ CD平分△ABC的外角∠BCF,∴ ∠BCD=∠DCF=x. ∴ ∠ACB=180°-2x.∵ ∠P=30°,∴ ∠PAC+∠PCA=150°,即180°-2α+x=150°.∴ x=2α-30°.∴ ∠AEB=∠CAE+∠ACB=α+180°-2x=240°-3α. ∴ ∠B=180°-α-(240°-3α)=2α-60°.① 当∠BAE与∠B互为“开心角”时,∠BAE= ∠B或∠BAE=2∠B.若∠BAE= ∠B,则α= (2α-60°),无解,不合题意;若∠BAE=2∠B,则α=2(2α-60°),解得α=40°.② 当∠BAE与∠AEB互为“开心角”时,∠BAE= ∠AEB或∠BAE=2∠AEB. ∵ ∠AEB=∠EAC+∠ACE,∠EAC=∠BAE,∴ ∠BAE=2∠AEB舍去.∴ ∠BAE= ∠AEB,即α= (240°-3α),解得α=48°.综上所述,α的度数为40°或 48°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $