7.2.3 方差（同步课件，含交互动画）数学沪教版选择性必修第二册

7.2 随机变量的分布与特征 第七章 概率初步（续） 7.2.3 方差 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 3 通过生活中的实例，理解方差的概念. 经历写出一些简单随机变量的方差的过程，归纳总结分布的特征，发展数学运算、数学抽象等核心素养. 感悟随机变量的方差的含义. 1 有一种叫“天天彩”的福利彩票，每注售价2元，中奖概率为1%，且奖金为50元.你认为按此中奖规则，彩票发行方能实现通过发行福利彩票来筹猎社会公益资金的目标吗？ 情境引入 情境1 在忽略销售成本的情况下，以X记彩票发行方销售一注彩票获得的利益（单位：元），如果彩票购买者不中奖，则彩票发行方获得收益X=2元， 如果彩票购买者中奖，则彩票发行方获得收益X=2-50=-48元， 所以彩票发行方收益的期望E[X]=2元. 2 温故知新 我们不仅能够时刻感知生活中无处不在的随机性，还能够感知随机行的大小. 随机性更小 随机性较小 随机性较大 人们经常把随机性很小（概率接近0或1）的事件，即近似确定不发生或近似确定发生，此时，就模糊了确定性和随机性的界限，把“确定”当作是随机性非常小的代名词. 一注“天天彩”福利彩票发行方收益分布 系列 1 2 -48 0.99 0.01 掷一颗骰子的得到“6”与“非6”两个结果 系列 1 6 非6 0.166666666666667 0.833333333333333 抛掷一枚硬币得“正”与“反”两个结果 系列 1 正面 反面 0.5 0.5 1 从两名同学中挑出一名同学代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲同学击中目标靶的环数X的分布为 乙同学击中目标靶的环数Y的分布为， 如何评价这两名同学的水平？ 情境引入 情境2 经计算 1 情境引入 【问题1】甲、乙两人击中目标靶的环数的期望相等，是否代表他们的射击水平一样呢？ 42% 12% 比较集中，随机性小 比较分散，随机性大 期望大体上表示一个随机变量的“中间”态 甲击中目标靶的环数 系列 1 6 7 8 9 10 0.16 0.14 0.42 0.1 0.18 乙击中目标靶的环数 系列 1 6 7 8 9 10 0.19 0.24 0.12 0.28 0.17 1 情境引入 【问题2】怎样定量刻画随机变量的分散度，即度量随机性的大小呢？ 对随机变量X而言，我们用X与其期望的偏差的平方的期望，即 来衡量随机变量X 的分散度，称为X 的方差（variance），记为 D［X］ 3 新知讲授 1.方差的定义 定义 随机变量 X 的方差 D［X］定义为D［X］＝ 考虑一个极端的情况．如果X是一个常数随机变量，那么就有D［X］＝０．这说明一个确定的量的分散度为零．反之，如果D［ X ］＝０，那么X 就是一个常数随机变量．这说明分散度为零的量必是一个确定的量. 3 新知讲授 1.方差的定义 定义 随机变量 X 的方差 D［X］定义为D［X］＝ 下面推导一个更方便使用的方差公式．事实上，根据期望的线性性质，并注意到 E［ X ］是一个常数，就有 这样，就得到方差的如下计算公式： 4 举例分析 例6 掷一颗骰子，用 X 表示掷得的点数．求 X 的方差． 解: 由本节例４可知 X 的期望 E［X］＝３.５，现在需要计算 E［ X ２］，为此先计算X２ 的分布．显然，X２ 的取值是 于是 因此 操作说明： 点击引例.html打开交互式页面，最好将页面保存在U盘中，防止课上出现无法打开的现象. 3 新知讲授 1.方差的性质 １．如果 X是一个随机变量，a是一个实数，那么 ２． 如果 X 、Y分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 注： 性质１的证明是容易的，但性质２的证明超出所学的知识范围．这两个性质的证明这里均略去，只列出它们的结论． 4 举例分析 例7 分掷两颗骰子，掷得的点数分别为X、Y．求点数和X＋Y与 点数差X－Y的期望与方差． 由期望的线性性质，可得 解: 操作说明： 点击引例.html打开交互式页面，最好将页面保存在U盘中，防止课上出现无法打开的现象. 4 举例分析 例7 分掷两颗骰子，掷得的点数分别为X、Y．求点数和X＋Y与 点数差X－Y的期望与方差． 解: 因为掷两颗骰子是两个独立的随机试验，而X、Y分别是这两个独立试验所对应的随机变量，所以由方差的性质可得 4 举例分析 例7 分掷两颗骰子，掷得的点数分别为X、Y．求点数和X＋Y与 点数差X－Y的期望与方差． 综上所述，一个随机变量是以其样本空间为定义域的函数， 期望描述它的中心位置，而方差描述此随机变量对其期望的偏离度，即其随机程度．期望与方差是随机变量最重要的两个特征．它们是通过数字来描述的，也称为数字特征． 5 课本练习 1 设X 是一个随机变量，c是常数．求证：X＋c 的方差与X 的方差相等． 2 已知随机变量X 的分布为 求 X 的方差． 6 巩固练习 1 甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下: 甲班的目测误差分布列 X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断. 乙班的目测误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 解： 直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证. ∵D(X)>D(Y)，∴ X的分布离散程度较大. 7 巩固练习 2 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.分布． 解法1：随机变量X的分布列为 7 巩固练习 2 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.分布． 解法2：随机变量X的分布列为 7 巩固练习 3 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1) 投资哪种股票的期望收益大? (2) 投资哪种股票的风险较高? 解： ∵E(X)>E(Y)，∴ 投资股票A的期望收益较大. ∵D(X)>D(Y)，∴ 投资股票A的风险较高. 课堂小结 方差定义 方差的性质 定义 随机变量 X 的方差 D［X］定义为D［X］＝ １．如果 X是一个随机变量，a是一个实数，那么 ２． 如果 X 、Y分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量 ， 那么 随机变量的期望与方差 | 沪教版选择性必修二 例6 + 例7 整合交互式课件 例6：单颗骰子 例7：两颗骰子 📚 例题6：掷一颗骰子的方差计算 题目：掷一颗骰子，用 X 表示掷得的点数．求 X 的方差． 当前点数：0 投掷骰子 自动投掷 🎯 随机变量 X 的分布律 P(X=k) = 1/6 ，k = 1,2,3,4,5,6 📊 期望 E(X) E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 📉 方差 D(X) (Var(X)) D(X) = E(X²) - [E(X)]² D(X) = 35/12 ≈ 2.9167 🔢 统计结果 总投掷次数：0 平均点数：0 📊 点数频率分布 1 2 3 4 5 6 📚 例题7：两颗骰子的期望与方差 题目：分掷两颗骰子，掷得的点数分别为X、Y．求点数和X＋Y与点数差X－Y的期望与方差． 骰子X：0 骰子Y：0 点数和 X+Y = 0 点数差 X-Y = 0 投掷两颗骰子 自动投掷 🎯 基本性质 E(X+Y) = E(X) + E(Y) D(X+Y) = D(X) + D(Y)（独立） D(X-Y) = D(X) + D(Y)（独立） 📊 期望计算结果 E(X) = E(Y) = 3.5 E(X+Y) = 7 E(X-Y) = 0 📉 方差计算结果 D(X) = D(Y) = 35/12 ≈ 2.9167 D(X+Y) = 35/6 ≈ 5.8333 D(X-Y) = 35/6 ≈ 5.8333 🔢 统计结果 总投掷次数：0 平均和：0 平均差：0 📊 点数和频率分布 234567 89101112 📊 点数差频率分布 -5-4-3-2-10 沪教版高中数学选择性必修二 | 随机变量的期望与方差 交互式课件 随机变量的期望与方差 | 沪教版选择性必修二 例6 + 例7 整合交互式课件 例6：单颗骰子 例7：两颗骰子 📚 例题6：掷一颗骰子的方差计算 题目：掷一颗骰子，用 X 表示掷得的点数．求 X 的方差． 当前点数：0 投掷骰子 自动投掷 🎯 随机变量 X 的分布律 P(X=k) = 1/6 ，k = 1,2,3,4,5,6 📊 期望 E(X) E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 📉 方差 D(X) (Var(X)) D(X) = E(X²) - [E(X)]² D(X) = 35/12 ≈ 2.9167 🔢 统计结果 总投掷次数：0 平均点数：0 📊 点数频率分布 1 2 3 4 5 6 📚 例题7：两颗骰子的期望与方差 题目：分掷两颗骰子，掷得的点数分别为X、Y．求点数和X＋Y与点数差X－Y的期望与方差． 骰子X：0 骰子Y：0 点数和 X+Y = 0 点数差 X-Y = 0 投掷两颗骰子 自动投掷 🎯 基本性质 E(X+Y) = E(X) + E(Y) D(X+Y) = D(X) + D(Y)（独立） D(X-Y) = D(X) + D(Y)（独立） 📊 期望计算结果 E(X) = E(Y) = 3.5 E(X+Y) = 7 E(X-Y) = 0 📉 方差计算结果 D(X) = D(Y) = 35/12 ≈ 2.9167 D(X+Y) = 35/6 ≈ 5.8333 D(X-Y) = 35/6 ≈ 5.8333 🔢 统计结果 总投掷次数：0 平均和：0 平均差：0 📊 点数和频率分布 234567 89101112 📊 点数差频率分布 -5-4-3-2-10 沪教版高中数学选择性必修二 | 随机变量的期望与方差 交互式课件 $