专题7.2 排列（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

本讲义聚焦高中数学排列核心知识点，从排列定义（含元素取出与顺序两要素）切入，系统梳理排列数公式推导（分步乘法计数原理）、全排列及阶乘概念，通过“即学即练”构建概念-公式-应用的学习支架。 资料特色在于题型分类系统（8类典型问题），渗透等价转换思想，如排列数证明培养推理能力，相邻问题用捆绑法锻炼数学思维。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升数学抽象与运算素养。

专题7.2 排列 教学目标 1.能理解排列的意义，能用树状图正确地写出一些简单排列问题的所有排列．； 能运用排列数公式进行计算． 2.能运用所学的排列知识正确地解决简单的实际问题． 3.过对排列数的探究，渗透等价转换和化归的数学思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力，提高推理论证能力；在运用排列方法解决实际问题过程中，提升数学抽象和数学运算素养 教学重难点 1.重点 排列数公式的推导；排列知识的应用． 2.难点 排列数公式的推导；排列知识的应用。 知识点01 排列 1．排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 注： ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. 【即学即练】 1．下列问题是排列问题的是（  ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 2．已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母; ④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*)，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 【即学即练】 1．（  ） A．8 B．13 C．63 D．66 2．计算下列各式． (1)； (2)． 知识点03 全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 【即学即练】 1．下列数中，与不相等的是（  ） A． B． C． D． 2．（多选）下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 题型01 排列数的计算 【典例1】（  ） A．0 B．56 C．1 D．42 1.记排列数公式均为正整数），明确题干中n、m的值及运算类型，确认符合公式适用条件。 2.直接代入数值计算，或通过阶乘性质化简，复杂运算分步拆解，最后整理结果，确保阶乘约分、数值计算准确。 【变式1】可表示为（  ） A． B． C． D． 【变式2】下列数中，与不相等的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 题型02 排列数公式的证明 【典例1】求证： (1)； (2)． 1.确定证明等式或不等式的两端表达式，将含排列数的部分用公式转化为阶乘形式，标注n≥m正整数的前提条件。 2.利用阶乘性质（如）对一端或两端同步化简，通过代数变形（约分、展开）推导至两端相等，或结合约束条件论证不等式成立。 【变式1】（多选）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】求证：（1）； （2）. 【变式3】证明下列等式． (1)； (2)． 【变式4】求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 题型03 排列数方程与不等式问题 【典例1】（1）已知，则等于（  ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 （2）不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 1.用排列数公式正整数）替换方程或不等式中的，结合阶乘性质化简（如），转化为普通代数方程或不等式。 2.解代数式得初步解，再根据n≥m、正整数等约束条件筛选，剔除无效解，最终确定符合条件的正整数解或解集。 【变式1】若，则（  ） A．1 B．6 C．7 D．8 【变式2】不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（1）解不等式：. (2)解方程：. 题型04 全排列问题 【典例1】现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有 种. 1.排列的判断： 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2.确定全排列的元素集合（如1、2、3），检查是否有重复元素及特殊限制（如某元素固定位置），明确全排列核心是“所有元素均参与排列”。 3.无约束时用公式)；约束时优先排特殊元素，或有序列举，最后统计得全排列总数。 【变式1】A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（  ） A．240 B．120 C．96 D．60 【变式2】A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（  ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【变式3】甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 题型05 元素（位置）有限制的排列问题 【典例1】2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有（  ） A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种 1.明确限制元素（如“甲不能排首位”）及约束规则（如相邻、不相邻、固定位置），区分元素限制与位置限制，梳理清楚限制边界。 2.“特殊优先”排限制元素（如先排甲的合法位置），再排无限制元素，用乘法原理计算；复杂时分类（如甲在A位/甲在B位），最后汇总得总排列数。 【变式1】某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（  ） A．720 B．120 C．144 D．192 【变式2】某次航展中，空中梯队的五架战机进行特技表演，需保持呈“人”字形飞行（如图所示）．已知执飞小组共6人，每架战机由一人执飞，其中领头战机只能由甲或乙执飞，其余四个位置每个人都能执飞，则不同的执飞方法共有（　　） A．192种 B．208种 C．224种 D．240种 【变式3】某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为（  ） A．9 B．18 C．21 D．24 【变式4】某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（  ）． A．72种 B．66种 C．42种 D．36种 【变式5】老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有 种． 题型06 相邻问题的排列问题 【典例1】某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（  ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 1.明确需相邻的元素组（如“甲、乙必须相邻”），将其视为一个“整体捆绑体”，同时确认整体与其他元素的排列对象，明确是否有额外约束。 2.先排捆绑体与其他元素（视捆绑体为一个元素），再排捆绑体内元素，两步均用排列数计算，最后将两步结果相乘，得总排列数，如甲、乙捆绑后与丙排再排甲、乙。 【变式1】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（  ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【变式2】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（  ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【变式3】将这5名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有1名同学的排法有（  ） A．10种 B．20种 C．18种 D．15种 【变式4】甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为____________ 题型07 不相邻问题的排列问题 【典例1】某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（  ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 1.明确不相邻元素（如“甲、乙不相邻”），先排列无约束的其他元素，计算排列数，同时确定这些元素间及两端产生的空位数量（n个元素留n+1个空位）。 2.从空位中选对应数量的位置排不相邻元素，计算选位排列数，最后将两步结果相乘，得总排列数，如先排丙丁留空位再插甲乙。 【变式1】某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（  ） A．24 B．48 C．144 D．240 【变式2】三名男生、三名女生站在一排，且男女生间隔排，则共有不同的排法种数为（  ） A．144种 B．108种 C．72种 D．35种 【变式3】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（  ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【变式4】3名男生和2名女生站成一排朗诵，其中女生不能站在一起的排法种数为（  ） A．72 B．60 C．36 D．30 【变式5】某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（  ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【变式6】某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（  ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【变式7】2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（  ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 题型08 数字排列问题 【典例1】用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； （2）个位数字不是5的六位数； （3）不大于4 310的四位偶数. 1.确定数字范围、位数及特殊规则（如首位非0、数字不重复），明确排列对象（如用0-5排三位数），标注关键限制避免疏漏。 2.优先排特殊位置（如首位）用乘法原理；含重复数字用除法，复杂时分类（含0/不含0），排除无效排列，最后汇总得总排列数。 【变式1】将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻有（  ）种 A． B． C． D． 【变式3】将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（  ） A．240 B．192 C．120 D．72 题型09 定序问题 【典例1】让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 用倍缩法直接计算求解该定序问题即可 【变式1】重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（  ） A．10 B．20 C．60 D．30 【变式2】才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有 种插入方法（用数字作答）. 【变式3】4名男生和3名女生站成一排，其中甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，共有 种不同的排法（用数字作答）． 1．（  ） A． B．3 C． D． 2．若，则正整数m的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 4．有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（  ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 5．将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（  ） A．6 B．12 C．18 D．24 6．为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（  ） A．72 B．84 C．120 D．150 7．（多选）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（  ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 9．若，则 . 10．甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有 . 11．为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为__________ 12．如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有 种. 13．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ 14.三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ (5)如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 排列 教学目标 1.能理解排列的意义，能用树状图正确地写出一些简单排列问题的所有排列．； 能运用排列数公式进行计算． 2.能运用所学的排列知识正确地解决简单的实际问题． 3.过对排列数的探究，渗透等价转换和化归的数学思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力，提高推理论证能力；在运用排列方法解决实际问题过程中，提升数学抽象和数学运算素养 教学重难点 1.重点 排列数公式的推导；排列知识的应用． 2.难点 排列数公式的推导；排列知识的应用。 知识点01 排列 1．排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 注： ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. 【即学即练】 1．下列问题是排列问题的是（  ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 【答案】B 【分析】排列问题是与顺序问题有关的问题，只有B选项涉及顺序，由此可得结果. 【解析】对于A，名同学中选取名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确； 对于C，个点中任取点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，个数字中任取个，根据乘法交换律知结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误. 故选：B. 2．已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母; ④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据排列的定义，逐项判定，即可求解. 【解析】①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题； ②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题； ③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题； ④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题. 故选：B. 知识点02 排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*)，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 【即学即练】 1．（  ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【分析】根据排列数公式计算即可. 【解析】. 故选：D. 2．计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)480；(2)16 【分析】（1）（2）利用排列数的计算公式直接计算即可得结果. 【解析】（1）； （2）. 知识点03 全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 【即学即练】 1．下列数中，与不相等的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列数公式可逐项验证. 【解析】．对于选项A，． 对于选项B，． 对于选项C，． 对于选项D，． 故选：B． 2．（多选）下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 【答案】ACD 【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可． 【解析】对于A，，选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，•，选项D正确． 故选：ACD． 题型01 排列数的计算 【典例1】（  ） A．0 B．56 C．1 D．42 【答案】A 【分析】根据排列数计算公式，化简求值. 【解析】由题意得， 故选：A. 1.记排列数公式均为正整数），明确题干中n、m的值及运算类型，确认符合公式适用条件。 2.直接代入数值计算，或通过阶乘性质化简，复杂运算分步拆解，最后整理结果，确保阶乘约分、数值计算准确。 【变式1】可表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数的计算公式进行判断. 【解析】中总共有个数连乘， 故． 故选：A. 【变式2】下列数中，与不相等的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列数公式可逐项验证. 【解析】．对于选项A，． 对于选项B，． 对于选项C，． 对于选项D，． 故选：B． 【变式3】（多选）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据排列数的计算公式计算即可. 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 【答案】(1)5040；(2)5；(3)6 【分析】（1）（2）（3）根据排列数的计算公式即可求解. 【解析】（1） （2） （3）若，则 所以 解得或（舍），所以. 题型02 排列数公式的证明 【典例1】求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【解析】（1）证明：. （2）证明：. 1.确定证明等式或不等式的两端表达式，将含排列数的部分用公式转化为阶乘形式，标注n≥m正整数的前提条件。 2.利用阶乘性质（如）对一端或两端同步化简，通过代数变形（约分、展开）推导至两端相等，或结合约束条件论证不等式成立。 【变式1】（多选）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 【变式2】求证：（1）； （2）. 【答案】见解析. 【分析】（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立； （2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立. 【解析】（1）左边 右边， ∴结论成立，即； （2）当时， 左边 右边， ∴结论成立，即. 【变式3】证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【解析】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【变式4】求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【答案】(1)1；(2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数公式计算可得左右两边相等. 【解析】（1）. （2），. 题型03 排列数方程与不等式问题 【典例1】（1）已知，则等于（  ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【答案】D 【分析】根据排列数公式，化简计算，结合的取值范围，即可得答案. 【解析】由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选：D. （2）不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式化简并求解不等式. 【解析】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 1.用排列数公式正整数）替换方程或不等式中的，结合阶乘性质化简（如），转化为普通代数方程或不等式。 2.解代数式得初步解，再根据n≥m、正整数等约束条件筛选，剔除无效解，最终确定符合条件的正整数解或解集。 【变式1】若，则（  ） A．1 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案. 【解析】由已知，. 因为， . 则由可得，， 整理可得，解得. 故选：D. 【变式2】不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，求的解集，先根据排列数的公式对不等式进行变形，进而求出的取值范围. 【解析】解：由，得：， 整理得，解得：， 由题可知，且， 则或， 即原不等式的解集为：. 故选：C. 【变式3】（1）解不等式：. (2)解方程：. 【答案】(1)；(2)6 【分析】（1）根据排列数公式运算求解即可； （2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案. 【解析】（1）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 题型04 全排列问题 【典例1】现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有 种. 【答案】60 【分析】根据全排列公式计算即可求解. 【解析】由题意知，一个7，两个3，三个5共6个数字全排列，共种方法， 又因为6个数字中有两个3和三个5是重复的， 所以共有种方法. 故答案为：60. 1.排列的判断： 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2.确定全排列的元素集合（如1、2、3），检查是否有重复元素及特殊限制（如某元素固定位置），明确全排列核心是“所有元素均参与排列”。 3.无约束时用公式)；约束时优先排特殊元素，或有序列举，最后统计得全排列总数。 【变式1】A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（  ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】B 【分析】应用排列数求不同排法数即可. 【解析】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B 【变式2】A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（  ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【分析】根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案. 【解析】由题意所有排列的方法种数为， 故答案为：C 【变式3】甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 【答案】 【分析】依题意只需另外三个人在､､三个位置进行全排列，利用排列数公式计算可得. 【解析】当甲､乙两人同时参加岗位服务时，另外三个人在､､三个位置进行全排列， 满足条件的事件数是，即甲､乙两人同时参加岗位服务的排法有6种. 故答案为：. 题型05 元素（位置）有限制的排列问题 【典例1】2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有（  ） A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种 【答案】B 【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案． 【解析】根据题意，分3种情况讨论： ①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况； 甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况； ②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况； ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况； 综上，则共有种不同的站法． 故选：B. 1.明确限制元素（如“甲不能排首位”）及约束规则（如相邻、不相邻、固定位置），区分元素限制与位置限制，梳理清楚限制边界。 2.“特殊优先”排限制元素（如先排甲的合法位置），再排无限制元素，用乘法原理计算；复杂时分类（如甲在A位/甲在B位），最后汇总得总排列数。 【变式1】某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（  ） A．720 B．120 C．144 D．192 【答案】D 【分析】先排数学，再排体育，最后排剩下的4科，即可得答案. 【解析】由题意可得数学一共有种排法， 体育一共有种排法， 剩下的4科共有种排法， 所以一共有种排法. 故选：D. 【变式2】某次航展中，空中梯队的五架战机进行特技表演，需保持呈“人”字形飞行（如图所示）．已知执飞小组共6人，每架战机由一人执飞，其中领头战机只能由甲或乙执飞，其余四个位置每个人都能执飞，则不同的执飞方法共有（　　） A．192种 B．208种 C．224种 D．240种 【答案】D 【分析】由领头机甲执飞和领头机乙执飞两类情况分别计算求和即可. 【解析】领头战机由甲执飞，此时其余四个位置由种， 领头战机由乙执飞，此时其余四个位置由种， 共计种， 故选：D 【变式3】某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为（  ） A．9 B．18 C．21 D．24 【答案】A 【分析】因为拔河排在最后一场，先排第一场，再排剩余三场，再根据对称性即可得结果. 【解析】因为拔河排在最后一场，且多人多足不排在第一场， 先排第一场，有种，再排剩余三场，有种， 共有种， 又因为踢毽在跳绳的前面，根据对称性可知不同的安排方案种数为. 故选：A. 【变式4】某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（  ）． A．72种 B．66种 C．42种 D．36种 【答案】A 【分析】分选甲和不选甲两种情况讨论，结合排列知识，或分步乘法计数原理即可求解 【解析】若没有选甲，不同的安排方法有种；若选甲，则有种安排方法，故一共有种安排方法. 故选：A 【变式5】老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有 种． 【答案】474 【分析】先从节课中任意安排，再排除上午和下午连上3节的情况即可. 【解析】从节课中任意安排节共有：种， 其中前节课连排节共有：种；后节课连排3节共有：种， 老师一天课表的所有排法共有：种. 故答案为：474 题型06 相邻问题的排列问题 【典例1】某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（  ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】A 【分析】利用捆绑法即可求解. 【解析】利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种. 故选：A. 1.明确需相邻的元素组（如“甲、乙必须相邻”），将其视为一个“整体捆绑体”，同时确认整体与其他元素的排列对象，明确是否有额外约束。 2.先排捆绑体与其他元素（视捆绑体为一个元素），再排捆绑体内元素，两步均用排列数计算，最后将两步结果相乘，得总排列数，如甲、乙捆绑后与丙排再排甲、乙。 【变式1】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（  ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【分析】应用捆绑法及特殊位置优先处理计算求解 【解析】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演， 若甲和乙相邻，则有种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法， 所以不同的排列方式有种排法. 故选：D. 【变式2】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（  ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【分析】分乙在甲、丙之间，乙不在甲、丙之间两种情况讨论即可. 【解析】根据题意，可分成两类情况： 第一类：乙在甲、丙之间，有种； 第二类：乙不在甲、丙之间，有种； 由分类加法计数原理，共有种方案. 故选：C. 【变式3】将这5名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有1名同学的排法有（  ） A．10种 B．20种 C．18种 D．15种 【答案】B 【分析】由题意相邻采用捆绑法，分与之间为或与之间不是讨论即可求解. 【解析】根据题意，分两种情况： 若与之间为，即在中间且三人相邻，共有种情况， 将三人看成一个整体，与两人全排列，共有种情况，则此时有种排法． 若与之间不是，先从中选取1人，安排在之间，有种选法， 此时在的另一侧，将4人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况， 将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法， 所以总共有种情况， 故选：B． 【变式4】甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为____________ 【答案】144 【分析】根据捆绑法、间接法求解即可. 【解析】先甲、乙相邻，有种不同排法， 其中丁站两端的站法有种， 故甲、乙必须相邻，丁不能站在两端的站法有种， 故答案为：144 题型07 不相邻问题的排列问题 【典例1】某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（  ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【解析】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 1.明确不相邻元素（如“甲、乙不相邻”），先排列无约束的其他元素，计算排列数，同时确定这些元素间及两端产生的空位数量（n个元素留n+1个空位）。 2.从空位中选对应数量的位置排不相邻元素，计算选位排列数，最后将两步结果相乘，得总排列数，如先排丙丁留空位再插甲乙。 【变式1】某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（  ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【解析】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C. 【变式2】三名男生、三名女生站在一排，且男女生间隔排，则共有不同的排法种数为（  ） A．144种 B．108种 C．72种 D．35种 【答案】C 【分析】先让男生排好，再让女上插空去排，同时左右两端只能选择一段，计算即可得. 【解析】先让男生排好有种排法，在让女生插空必须选择中间的2个空和左、右2端中的一个， 所以排法分别是，再根据分步计算原理的总的排法. 故选：C 【变式3】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（  ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【分析】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【解析】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C. 【变式4】3名男生和2名女生站成一排朗诵，其中女生不能站在一起的排法种数为（  ） A．72 B．60 C．36 D．30 【答案】A 【分析】根据条件，先排3名男生，有种排法，再将女生插入4个空，有种排法，再利用分步计数原理，即可求出结果. 【解析】因为排3名男生，有种排法，再将女生插入4个空，有种排法 所以女生不能站在一起的排法种数为， 故选：A. 【变式5】某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（  ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【答案】A 【分析】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序. 【解析】先捆绑再和排列，然后插入 共有种排法． 故选：A. 【变式6】某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（  ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【解析】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C 【变式7】2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（  ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算. 【解析】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B 题型08 数字排列问题 【典例1】用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； （2）个位数字不是5的六位数； （3）不大于4 310的四位偶数. 【答案】（1）288；（2）504；（3）110. 【分析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理； （2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0； （3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4，当百位小于3，当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得． 【解析】（1）先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有； （2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有， 当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有； （3）当千位小于4时，有种， 当千位是4，百位小于3时，有 种， 当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 所以不大于4310的四位偶数4有. 1.确定数字范围、位数及特殊规则（如首位非0、数字不重复），明确排列对象（如用0-5排三位数），标注关键限制避免疏漏。 2.优先排特殊位置（如首位）用乘法原理；含重复数字用除法，复杂时分类（含0/不含0），排除无效排列，最后汇总得总排列数。 【变式1】将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0的排列，1的后一项是9的排列，再加上2的后一项是0同时1的后一项是9的排列，可得答案. 【解析】将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，由于首位不能为0，则有个， 其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有种， “19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有种， “20”和“19”都出现2次的排法有种， 因此满足条件的位数的个数为：. 故选：A. 【变式2】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻有（  ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率. 【解析】任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论： 当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种； 2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种； 所以个位是偶数共有20种； 同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种， 故选：C. 【变式3】将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（  ） A．240 B．192 C．120 D．72 【答案】A 【分析】考虑到该六位数中有两个2，故按照分类加法计数原理计算，对于个位是4或6的两类，只需排好另外三个数字即可，对于个位是2的一类，则可以考虑另5个数字全排即得. 【解析】依题意，因这个六位数中有两个“2”，故不能直接将其与其他数字全排，否则会出现重复.可将这样的偶数分成三类： 第一类，个位排4，在前面五位数位中，只需选三个排上数字3，6，9即可（剩下两个数位即排2），有种方法； 第二类，个位排6，与第一类相同，有种方法； 第三类个位排2，则前面五个数位只需将另外5个数字全排即可，有种方法. 由分类加法计数原理，不同的偶数个数为. 故选：A. 题型09 定序问题 【典例1】让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 【答案】(1)360；(2)120 【分析】（1）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. （2）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. 【解析】（1）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙顺序，有种排法，甲、乙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边的排法共有（种）． ［方法二］空位法：从6个位置中选择4个位置把除甲、乙外的其余4人放入，共有种排法， 再将甲、乙按序排入余下的2个位置，因此共有（种）排法． （2）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙、丙顺序，有种排法，甲、乙、丙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边，乙在丙的左边共有（种）排法． ［方法二］空位法：从6个位置中选择3个位置把除甲、乙、丙外的其余3人放入，共有种排法， 再将甲、乙、丙按序排入余下的3个位置，因此共有（种）排法． 用倍缩法直接计算求解该定序问题即可 【变式1】重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（  ） A．10 B．20 C．60 D．30 【答案】D 【分析】用倍缩法直接计算求解该定序问题即可. 【解析】6人全排有中排序方法， 所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法. 故选：D 【变式2】才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有 种插入方法（用数字作答）. 【答案】 【分析】利用倍缩法解决定序问题即可. 【解析】对全部的9个节目全排列，有种，已排定顺序的5个舞蹈节目的全排列数有种，所以满足题意的插入方法有（种）. 故答案为：. 【变式3】4名男生和3名女生站成一排，其中甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，共有 种不同的排法（用数字作答）． 【答案】840种 【分析】用定序倍缩法进行求解. 【解析】甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有种． 故答案为：. 1．（  ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【解析】. 故选：B 2．若，则正整数m的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意结合排列数公式列方程求解即可. 【解析】因为， 所以， 所以， 所以，得. 故选：C 3．不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【解析】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 4．有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（  ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【答案】D 【分析】由分步乘法原理，特殊的先排可得. 【解析】先选男生甲的位置，有2种； 再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种； 由分步乘法原理可得共有种. 故选：D. 5．将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（  ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【解析】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放， 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故选：B. 6．为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（  ） A．72 B．84 C．120 D．150 【答案】C 【分析】由计数原理结合排列组合知识即可求解. 【解析】当班干部是第一个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第二个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第三个发言的时候，满足题意的排法有， 根据对称性可知，让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，满足题意的发言顺序有. 故选：C. 7．（多选）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据排列数公式计算可得. 【解析】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以，故D错误. 故选：BC 8．（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（  ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【分析】根据题意，由分布、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【解析】对于选项A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故A正确； 对于选项B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故B正确； 对于选项C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故C错误； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D正确. 故选：ABD. 9．若，则 . 【答案】6 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【解析】由可得，所以， 故答案为：6 10．甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有 . 【答案】18种 【分析】先定受限元素的选择数，再算剩余元素的排列数，最后用乘法原理求总数即可. 【解析】因为甲不去重庆动物园，所以甲有三种不同的去处， 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同， 所以这三人的不同选择方法共有. 故答案为：18. 11．为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为__________ 【答案】120 【分析】相邻节目捆绑，然后捆绑的节目与器乐固定顺序，其余三个节目选三个位置排列，再按固定顺序插入捆绑的节目与器乐节目，再由分步乘法原理计算． 【解析】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共种排列顺序； 歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位，共种排列顺序， 所以满足题意的排列顺序种数为， 故答案为：120． 12．如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有 种. 【答案】 【分析】将有阴影的圆中填入的数字用 表示，则为 ； 这几种情况讨论，求出相应填法种数，即可求得结果. 【解析】将三个有阴影的圆中填入的数字用 表示， 当 为9，8，7时，有 种填法； 当 为9，8，6时，则7不能与6相邻， 故7有种填法，剩余的五个数字可以任意填在空白圆中，有 种情况，有2160 种填法； 当 为9，8，5时，则与5相邻的只能是4，3，2，1中的三个数字， 有 种填法； 当 为9，8，4时，则与4相邻的只能是3，2，1，有 种填法； 当 为9，7，6时，则8与9相邻且8只有1种位置，有 种填法； 当 为9，7，5时，则8与9相邻且8只有1种位置， 6不与5相邻有2种位置选择，有 种填法； 当 为9，7，4时，则8与9相邻且8只有1种位置， 与4相邻的只能是3，2，1，故有 种填法. 所以填法共有： (种). 故答案为： 13．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？ 【答案】(1)14400；(2)37440 【分析】（1）特殊元素优先考虑，先排好有条件限制的首尾两个位置，再全排，再利用分步计数原理即可得出结果. （2）利用“正难则反”，先全排，再去掉不符合条件的排法数即可求出结果. 【解析】（1）先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有种排法，故共有不同排法(种). （2）先不考虑排列要求，有种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(种). 14.三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ (5)如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？ 【答案】(1)4320；(2)14400；(3)14400；(4)36000；(5)1440 【分析】（1）利用捆绑法进行求解； （2）插空法进行求解； （3）方法一，先安排两端的位置，剩余位置进行全排列，得到答案； 方法二，间接法进行求解，先安排三个女生和五个男生排成一排的总数，再减去不合要求的方法数； 方法三，先从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，再考虑其他位置，从而得到答案； （4）分首位排了男生和首位排了女生两种情况，分别求出方法数，相加后得到答案‘ （5）安排好男生甲、乙，再安排甲和乙之间的两个女生，再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成一队，利用全排列知识求出答案. 【解析】（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体， 这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法， 对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法． 因此共有（种）不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好， 每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位， 加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中， 只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻， 由于五个男生排成一排有种不同排法， 对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法， 因此共有（种）不同的排法． （3）方法一（位置分析法），因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个， 有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法， 从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法， 但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次， 在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次， 由于两端都是女生有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． 方法三（元素分析法），从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法， 对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法， 所以共有（种）不同的排法． （4）方法一（位置分析法），因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生， 那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法； 如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法， 因此共有（种）不同的排法． 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法， 从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数． 因此共有（种）不同的排法． （5）男生甲、乙排好有种排法，从三个女生中选两人排在甲、乙之间有种排法， 再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成一队有种排法， 所以共有（种）不同的排法． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $