专题02 二元一次方程组（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材华东师大版

专题02 一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义 题型02 代入消元法解方程组 题型03 加减消元法解方程组 题型04 复杂方程组化简求解 题型05 已知方程组的解求参数 题型06 已知解的关系求参数 题型07 整体代入/换元法解方程组 题型08 和差倍分实际应用 题型09 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 题型10 工程/经济/方案选择问题 题型11 几何问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 标准形式：（，，为常数） 三大判定条件（缺一不可）： 整式方程：分母不含未知数，根号下不含未知数 两个未知数：未知数个数为2，不能多也不能少 次数为1：含未知数的项的最高次数是1，无未知数的平方、乘积项 示例：、是二元一次方程 易错点：：分母含未知数，不是整式方程 ：未知数次数为2，不符合次数要求 ：未知数乘积项，次数为2，属于二元二次方程 ：只有一个未知数，是一元一次方程 知识点02 二元一次方程组的概念 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组. 标准形式： 其中,,,,,为常数。 示例：标准二元一次方程组： 特殊二元一次方程组：（含一元一次方程，仍符合定义） 知识点03 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）。 易错点：二元一次方程有无数组解，切勿当成唯一解；解要写成的形式，不能单独写一个数值。 示例：方程的解有、、等无数组 知识点04 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组的两个公共解叫作二元一次方程组的解. 2. 检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解. 知识点05 代入消元法解二元一次方程组 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程；③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 示例：解方程组 解：由(1)得： (3) 把(3)代入(2)： 展开： → → 把代入(3)： ∴ 方程组的解为 易错点：代入时漏乘常数项、符号出错；回代时代入原方程而非变形后的方程，导致计算复杂出错。 知识点06 加减消元法解二元一次方程组 加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 知识点07 列方程组解应用题步骤 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 易错点：找错等量关系、设未知数漏单位、检验环节缺失（如人数、物品数不能为负数和小数）。 实际应用中未检验解的合理性，答非所问 知识点08 分析数量关系的常用方法 直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 知识点09 三元一次方程组 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。 三元一次方程组的解：三元一次方程组中三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解，必须同时满足三个方程。 易错点：① 只满足其中1个或2个方程的解，不是方程组的解； ② 解的书写必须规范，三个未知数的值一一对应，用大括号包裹，不能遗漏； ③ 切勿把“三个方程”当作判定三元一次方程组的唯一条件，忽略“三个未知数”“一次整式方程”两个核心条件。 题型一 二元一次方程的定义 解｜题｜技｜巧 必须同时满足3个条件：①整式方程（分母不能有未知数）；②有两个未知数；③所有未知项的次数都是1。 【典例1】下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 【变式2】若方程是二元一次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 题型二 代入消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 1. 选系数简单的方程，变形为 y=ax+b 或 x=ay+b 2. 将变形式代入另一方程，消去一个未知数 3. 解一元一次方程得一个未知数，再回代求另一个 易｜错｜点｜拨 变形时符号出错（如 错写成） 代入时漏乘常数项（如 错写成 ） 回代时选原复杂方程，增加计算错误概率 【典例1】关于x，y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】用适当的方法解方程组： (1)； (2)． 【变式2】在二元一次方程中，若x、y互为相反数，则___________． 题型三 加减消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 把某未知数系数化为相等或互为相反数 系数相等用减法，互为相反数用加法，消去该未知数 解一元一次方程后回代求另一个未知数 易｜错｜点｜拨 方程两边同乘时漏乘某一项（如 乘 2 时，只乘前两项） 加减时符号搞反（系数互为相反数时误用减法，相等时误用加法） 常数项未同步参与加减运算 【典例1】解方程组：． 【变式1】用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】解方程组： 题型四 复杂方程组化简求解 解｜题｜技｜巧 先去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式 ax+by=c 再根据系数特点选择代入法或加减法 易｜错｜点｜拨 去分母时漏乘不含分母的项 去括号时符号处理错误（尤其是括号前是负号） 【典例1】解二元一次方程组： (1) (2) 【典例2】解方程组： (1)； (2)． 【变式1】解方程组或不等式组： (1)； (2)． 题型五 已知方程组的解求参数 解｜题｜技｜巧 将已知解代入方程组 得到关于参数的一元一次方程或二元一次方程组 解新方程/组，求出参数值 易｜错｜点｜拨 代入时把参数和未知数混淆，计算方向错误 解参数方程时符号出错 【典例1】方程组的解为则被遮盖和的两个数分别为（   ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 【典例2】已知关于、的二元一次方程组的解是，则______． 【变式1】甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 题型六 已知解的关系求参数 解｜题｜技｜巧 先把参数当常数，用消元法解出 （用参数表示） 根据题目条件（如 ）列新方程 解新方程，求出参数值 易｜错｜点｜拨 解含参数方程组时消元方向错误，导致表达式复杂 未将 用参数表示，直接联立原方程与条件式，增加计算量 【典例1】若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【典例2】关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 题型七 整体代入/换元法解方程组 解｜题｜技｜巧 观察方程组中是否有重复出现的代数式（如 ） 将该代数式设为新未知数（换元），转化为简单二元一次方程组 求出新未知数后，再回代求原未知数 易｜错｜点｜拨 找不到可整体代入的代数式，强行拆分为单个未知数 换元后忘记回代求原未知数，导致答案不完整 【典例1】如果方程组的解，则方程组的解为______． 【典例2】已知关于的方程组的解满足，则的值为___________． 【变式1】已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 题型八 和差倍分实际应用 解｜题｜技｜巧 圈画关键词（“共”“比… 多”“是… 倍”），找出两组等量关系 设两个未知数，列方程组 求解后检验解是否为正整数 / 正数（符合实际意义） 易｜错｜点｜拨 找错等量关系，列错方程 忽略实际意义，接受负数 / 小数解（如人数、物品数） 【典例1】3月12日植树节当天，某校组织学生参加植树活动，践行绿色环保理念．如果每人种2棵树苗，则最后还剩5棵树苗；如果每人种3棵树苗，则还缺40棵树苗．求参加植树的人数和这批树苗的总数． 【典例2】某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【变式1】DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？ 题型九 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 解｜题｜技｜巧 核心公式：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：路程和 = 速度和 × 时间 追及问题：路程差 = 速度差 × 时间 顺逆水问题：顺流速度 = 船速 + 水速，逆流速度 = 船速 - 水速 易｜错｜点｜拨 混淆相遇与追及的路程关系 顺逆水速度公式记反，导致方程列错 【典例1】一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 【典例2】骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【变式1】一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 题型十 工程/经济/方案选择问题 解｜题｜技｜巧 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常设工作总量为 1） 经济问题：利润 = 售价 - 成本，折扣后价格 = 原价 × 折扣率 方案选择：分别列方程组计算各方案成本 / 收益，再比较大小 易｜错｜点｜拨 工程问题中未统一工作时间单位 方案选择时只计算不比较，或比较时逻辑错误 【典例1】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【典例2】“端午节”是中华民族的传统节日，某社区计划在今年“端午节”期间采购“砂糖馅”和“鲜肉馅”两种粽子到乡镇敬老院慰问老人．已知购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，求“砂糖馅”粽子和“鲜肉馅”粽子的单价． 【变式1】从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 题型十一 几何问题 解｜题｜技｜巧 1. 结合几何公式（周长、面积、边长关系）列方程 2. 联立方程组求解几何量（边长、角度等） 3. 结合几何性质（如三角形三边关系）检验解的合理性 易｜错｜点｜拨 几何公式记错（如长方形周长=2×(长+宽)，而非长×宽） 忽略几何图形对边长的限制（如边长必须为正数） 【典例1】用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则每个小长方形的面积是（    ） A．800 B．1200 C．1600 D．2400 【变式1】如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，已知大的长方形的周长为，求小长方形的长和宽？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，用x的代数式表示y，则________． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．如果是二元一次方程，则＝_____． 5．已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 8．选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 9．若和是方程的两组解，求之值． 10．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 12．若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 13．某车间有78名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均生产甲种零件24个或乙种零件46个．已知每3个甲种零件和4个乙种零件成一套．设分配x名工人生产甲种零件，名工人生产乙种零件，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 14．对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 15．因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义 题型02 代入消元法解方程组 题型03 加减消元法解方程组 题型04 复杂方程组化简求解 题型05 已知方程组的解求参数 题型06 已知解的关系求参数 题型07 整体代入/换元法解方程组 题型08 和差倍分实际应用 题型09 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 题型10 工程/经济/方案选择问题 题型11 几何问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 标准形式：（，，为常数） 三大判定条件（缺一不可）： 整式方程：分母不含未知数，根号下不含未知数 两个未知数：未知数个数为2，不能多也不能少 次数为1：含未知数的项的最高次数是1，无未知数的平方、乘积项 示例：、是二元一次方程 易错点：：分母含未知数，不是整式方程 ：未知数次数为2，不符合次数要求 ：未知数乘积项，次数为2，属于二元二次方程 ：只有一个未知数，是一元一次方程 知识点02 二元一次方程组的概念 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组. 标准形式： 其中,,,,,为常数。 示例：标准二元一次方程组： 特殊二元一次方程组：（含一元一次方程，仍符合定义） 知识点03 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）。 易错点：二元一次方程有无数组解，切勿当成唯一解；解要写成的形式，不能单独写一个数值。 示例：方程的解有、、等无数组 知识点04 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组的两个公共解叫作二元一次方程组的解. 2. 检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解. 知识点05 代入消元法解二元一次方程组 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程；③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 示例：解方程组 解：由(1)得： (3) 把(3)代入(2)： 展开： → → 把代入(3)： ∴ 方程组的解为 易错点：代入时漏乘常数项、符号出错；回代时代入原方程而非变形后的方程，导致计算复杂出错。 知识点06 加减消元法解二元一次方程组 加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 知识点07 列方程组解应用题步骤 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 解应用题的一般步骤为：①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；④解答。 易错点：找错等量关系、设未知数漏单位、检验环节缺失（如人数、物品数不能为负数和小数）。 实际应用中未检验解的合理性，答非所问 知识点08 分析数量关系的常用方法 直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 知识点09 三元一次方程组 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。 三元一次方程组的解：三元一次方程组中三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解，必须同时满足三个方程。 易错点：① 只满足其中1个或2个方程的解，不是方程组的解； ② 解的书写必须规范，三个未知数的值一一对应，用大括号包裹，不能遗漏； ③ 切勿把“三个方程”当作判定三元一次方程组的唯一条件，忽略“三个未知数”“一次整式方程”两个核心条件。 题型一 二元一次方程的定义 解｜题｜技｜巧 必须同时满足3个条件：①整式方程（分母不能有未知数）；②有两个未知数；③所有未知项的次数都是1。 【典例1】下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数，所含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，项的次数是2，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； B、，同时满足三个条件，是二元一次方程，符合题意； C、，只含有一个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； D、，不是整式，不属于整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意． 【变式1】若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 【变式2】若方程是二元一次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为，据此分析即可． 【详解】解：方程是二元一次方程，方程中已有未知数， “”应为次数为的含另一个未知数的项， A、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意； B、含未知数，的次数为，满足二元一次方程的定义，符合题意； C、的次数为，不符合题意； D、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意． 题型二 代入消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 1. 选系数简单的方程，变形为 y=ax+b 或 x=ay+b 2. 将变形式代入另一方程，消去一个未知数 3. 解一元一次方程得一个未知数，再回代求另一个 易｜错｜点｜拨 变形时符号出错（如 错写成） 代入时漏乘常数项（如 错写成 ） 回代时选原复杂方程，增加计算错误概率 【典例1】关于x，y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，只需把第一个方程中的表达式代入第二个方程，去括号整理即可得到对应方程。 【详解】解： ∵用代入法消去， ∴把①代入②，得， 去括号得：． 【变式1】用适当的方法解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可． （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 将代入得，解得， 将代入，得， 方程组的解为； （2）解：， 得，解得， 将代入，得，解得， 方程组的解为． 【变式2】在二元一次方程中，若x、y互为相反数，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，相反数的定义，根据相反数的定义得到，再把代入原方程得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三 加减消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 把某未知数系数化为相等或互为相反数 系数相等用减法，互为相反数用加法，消去该未知数 解一元一次方程后回代求另一个未知数 易｜错｜点｜拨 方程两边同乘时漏乘某一项（如 乘 2 时，只乘前两项） 加减时符号搞反（系数互为相反数时误用减法，相等时误用加法） 常数项未同步参与加减运算 【典例1】解方程组：． 【答案】 【分析】首先把可消去未知数，解方程可得的值，进而得到方程组的解． 【详解】解：， ，得， 把代入①，得， 所以原方程的解为． 【变式1】用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每个选项的方法计算出来即可判断． 【详解】解：A、得，，不符合题意，该选项错误； B、得，，不符合题意，该选项错误； C、得，，符合题意，该选项正确； D、得，，不符合题意，该选项错误． 【变式2】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法 熟练掌握加减消元法是解题的关键．观察方程组可知的系数互为相反数，可通过相加消去，先求出再求即可． 【详解】解： 由，得 解得 把代入②，得 解得 ∴原方程组的解是． 题型四 复杂方程组化简求解 解｜题｜技｜巧 先去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式 ax+by=c 再根据系数特点选择代入法或加减法 易｜错｜点｜拨 去分母时漏乘不含分母的项 去括号时符号处理错误（尤其是括号前是负号） 【典例1】解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组整理为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 【典例2】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）将方程组去分母整理，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得， 把代入得， 解得， 把代入得， ∴方程组的解为； （2）解： ， 两边同乘去分母得，展开整理得， 两边同乘去分母得，展开整理得， 得，解得：， 把代入得，解得：， ∴方程组的解为． 【变式1】解方程组或不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可． （2）整理后，应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可． 【详解】（1）解：， ① ②，可得， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是； （2）解：整理得：， ①②，可得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． 题型五 已知方程组的解求参数 解｜题｜技｜巧 将已知解代入方程组 得到关于参数的一元一次方程或二元一次方程组 解新方程/组，求出参数值 易｜错｜点｜拨 代入时把参数和未知数混淆，计算方向错误 解参数方程时符号出错 【典例1】方程组的解为则被遮盖和的两个数分别为（   ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键．把代入求出值，将，代入，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：将代入得：， 将，代入得：， ∴，． 【典例2】已知关于、的二元一次方程组的解是，则______． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于a、b的方程，解方程求解a、b，再计算即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得， 将代入得： ， 解得， 则． 【变式1】甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的m，解得，乙解题时看错了②中的n，解得，试求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的错解问题，甲乙都看错了一个方程，但是所得的解还是另一个正确方程的解，据此代入求出，，最后再利用加减法解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵甲解题时看错了①中的m，解得， ∴把代入得，， 解得； ∵乙解题时看错了②中的n，解得， ∴把代入得， 解得， ∴原方程组为， 得，， 解得， 把代入，解得， ∴原方程组的解． 题型六 已知解的关系求参数 解｜题｜技｜巧 先把参数当常数，用消元法解出 （用参数表示） 根据题目条件（如 ）列新方程 解新方程，求出参数值 易｜错｜点｜拨 解含参数方程组时消元方向错误，导致表达式复杂 未将 用参数表示，直接联立原方程与条件式，增加计算量 【典例1】若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 【典例2】关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 【变式1】当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 【答案】12 【分析】由方程组的解互为相反数得到，即，代入方程组求解即可求出的值． 【详解】由题意得，把代入方程组得， 整理得， 把②代入①，得， 代入①得， ∴时，原方程组的解互为相反数． 题型七 整体代入/换元法解方程组 解｜题｜技｜巧 观察方程组中是否有重复出现的代数式（如 ） 将该代数式设为新未知数（换元），转化为简单二元一次方程组 求出新未知数后，再回代求原未知数 易｜错｜点｜拨 找不到可整体代入的代数式，强行拆分为单个未知数 换元后忘记回代求原未知数，导致答案不完整 【典例1】如果方程组的解，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据题意，易得方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解 ∴方程组得解为，解得 故答案为：． 【典例2】已知关于的方程组的解满足，则的值为___________． 【答案】 【分析】原方程组两个方程相减，得，构成新方程组，求解即可． 【详解】解： ，得， 解方程组， ，得， 解得， 将代入③得， 解得， 故． 【变式1】已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解的情况求参数． 通过将两个方程相减，得到的表达式，再根据，即可得的取值范围． 【详解】解：， 得， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 题型八 和差倍分实际应用 解｜题｜技｜巧 圈画关键词（“共”“比… 多”“是… 倍”），找出两组等量关系 设两个未知数，列方程组 求解后检验解是否为正整数 / 正数（符合实际意义） 易｜错｜点｜拨 找错等量关系，列错方程 忽略实际意义，接受负数 / 小数解（如人数、物品数） 【典例1】3月12日植树节当天，某校组织学生参加植树活动，践行绿色环保理念．如果每人种2棵树苗，则最后还剩5棵树苗；如果每人种3棵树苗，则还缺40棵树苗．求参加植树的人数和这批树苗的总数． 【答案】参加植树的人数为45人，这批树苗总数为95棵 【详解】解：设参加植树的人数为人，这批树苗总数为棵， 根据题意，得， 解得， 答：参加植树的人数为45人，这批树苗总数为95棵． 【典例2】某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 【变式1】DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？ 【答案】增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元 【分析】设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元， 则，解得， 答：增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元． 题型九 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 解｜题｜技｜巧 核心公式：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：路程和 = 速度和 × 时间 追及问题：路程差 = 速度差 × 时间 顺逆水问题：顺流速度 = 船速 + 水速，逆流速度 = 船速 - 水速 易｜错｜点｜拨 混淆相遇与追及的路程关系 顺逆水速度公式记反，导致方程列错 【典例1】一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决流水行船问题，根据顺水速度、逆水速度与静水速度、水流速度的关系列出方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， ∵顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 ∴根据题意列方程组得： 将两个方程相加得：， 解得。 把代入得：，解得。 ∴轮船在静水中的速度是，水流速度是。 故选：C 【典例2】骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 【变式1】一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 题型十 工程/经济/方案选择问题 解｜题｜技｜巧 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常设工作总量为 1） 经济问题：利润 = 售价 - 成本，折扣后价格 = 原价 × 折扣率 方案选择：分别列方程组计算各方案成本 / 收益，再比较大小 易｜错｜点｜拨 工程问题中未统一工作时间单位 方案选择时只计算不比较，或比较时逻辑错误 【典例1】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 【典例2】“端午节”是中华民族的传统节日，某社区计划在今年“端午节”期间采购“砂糖馅”和“鲜肉馅”两种粽子到乡镇敬老院慰问老人．已知购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，求“砂糖馅”粽子和“鲜肉馅”粽子的单价． 【答案】“砂糖馅”粽子的单价为5元，“鲜肉馅”粽子的单价为6元 【分析】设“砂糖馅”粽子的单价为元，“鲜肉馅”粽子的单价为元．根据“购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设“砂糖馅”粽子的单价为元，“鲜肉馅”粽子的单价为元．根据题意得： ， 解得， 答：“砂糖馅”粽子的单价为5元，“鲜肉馅”粽子的单价为6元． 【变式1】从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【答案】(1)打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； (2)打折后购买比不打折节省3700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元，根据题意得：，求解即可得出答案； （2）分别算出每种商品节省的钱，再相加得到总节省金额． 【详解】（1）解：设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元， 根据题意得：， 解得 答：打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； （2）解：跳绳每根节省：元，100 根共省：元 手球每个节省：元，40 个共省： 元 总计节省： 元 答：共节省 3700 元． 题型十一 几何问题 解｜题｜技｜巧 1. 结合几何公式（周长、面积、边长关系）列方程 2. 联立方程组求解几何量（边长、角度等） 3. 结合几何性质（如三角形三边关系）检验解的合理性 易｜错｜点｜拨 几何公式记错（如长方形周长=2×(长+宽)，而非长×宽） 忽略几何图形对边长的限制（如边长必须为正数） 【典例1】用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 【典例2】如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则每个小长方形的面积是（    ） A．800 B．1200 C．1600 D．2400 【答案】B 【分析】根据图形观察，大长方形的高度由两部分组成：上面是两块横放砖的宽，下面是一块竖放砖的长；同时，观察图形内部结构，一块竖放砖的长等于三块横放砖的宽之和，据此列出方程组求解即可． 【详解】设小长方形的长为 厘米，宽为 厘米 依题意得： 解得： ∴ 每个小长方形的面积为 （平方厘米） 【变式1】如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，已知大的长方形的周长为，求小长方形的长和宽？ 【答案】这个长方形地砖的长是10，宽是6． 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的周长等于长加宽的和的2倍，列二元一次方程组解答． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 则有， 解得， 答：这个长方形地砖的长是10，宽是6． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，用x的代数式表示y，则________． 【答案】 / 【分析】根据等式的性质，通过移项运算即可求解． 【详解】解：． 移项得，． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组中应只含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1．根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．含二次项，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； B．含三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； C．中不是整式方程，故该选项不符合题意； D．是二元一次方程组，故该选项符合题意． 故选：D． 3．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组及解的概念，可通过加减消元法求解二元一次方程组，消去y后求x，再代入求y． 【详解】解：∵方程组为， 将两方程相加，得， 解得 将代入，得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：A． 4．如果是二元一次方程，则＝_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，只含有个未知数且含有未知数的项的最高次数为一次的整式方程是二元一次方程，据此解答即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知方程组的解为，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义及利用方程组的解求未知参数，解题的关键是理解方程组的解能使方程组中每个方程都成立，将解代入含未知参数的方程求解． 根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足其中每个方程，将代入含有的方程，得到关于的一元一次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴该解满足方程， 将，代入 得：， 化简得：， 解得：， 故选：A． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据“马四匹、牛六头共价四十八两，马三匹、牛五头共价三十八两”为等量关系列方程组即可． 【详解】解：∵设马每匹x两，牛每头y两， ∴列出方程组为． 7．二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用消元法求解二元一次方程组，得到解后对应选项即可． 【详解】解：， ∵将，消去，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为，对应选项为C． 8．选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一个方程已经用含x的式子表示出y，适合用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 因此方程组的解为； （2）解： 得：， 把代入②得：， 解得， 因此方程组的解为． 9．若和是方程的两组解，求之值． 【答案】． 【分析】根据题意列出关于的二元一次方程组，然后用加减消元法求出的值即可；解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程． 【详解】解：由题意可得方程组， ，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以关于的方程组的解为． 10．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据现有30钱，买得2斗酒，列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，由题意，得： ； 故选A． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每人出8钱，还盈余3钱，可得，根据每人出6钱，还差5钱，可得，然后即可列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得：． 12．若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接将两个方程作差，得到关于的表达式，结合已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：， 得， 化简得． ∵， ∴， 解得． 13．某车间有78名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均生产甲种零件24个或乙种零件46个．已知每3个甲种零件和4个乙种零件成一套．设分配x名工人生产甲种零件，名工人生产乙种零件，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总人数和零件配套的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵共有78名工人，x名工人生产甲，y名工人生产乙， ∴总人数满足，据此直接排除第一个方程错误的选项C， ∵每人每天平均生产甲24个，乙46个， ∴每天生产甲零件总数为，乙零件总数为， ∵3个甲零件和4个乙零件配成一套，刚好配套时甲、乙数量比为， 根据比例性质交叉相乘得，整理得，选项A符合总人数方程，结构匹配，故A正确． 14．对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于常数、的二元一次方程组，解方程组得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知条件得， 解得， 则． 15．因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 【答案】(1)甲、乙两种挖掘机各需5台，3台 (2)两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台 【分析】（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解，然后分别计算支付租金，选择符合要求的租金方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台． 依题意得：， 解得 ． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； （2）解：设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机． 依题意得：， 化简得：． ∴， ∴方程的解为或． 当，时，支付租金：元元，符合要求； 当，时，支付租金：元元，符合要求． 答：两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台． 【点睛】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出相应方程并正确求解是解题关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $