内容正文:
16.3列方程解应用问题题型突破2025-2026学年
北京版八年级下册(六大题型)
题型一:传播问题
1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?设每轮传染中平均一个人传染了x个人,下列所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
2.一个同学经过培训后会做某项实验,回到班级后第一节课他教会了若干个同学,第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学,这样全班共有36人会做这项实验,若设1人每次能教会x名同学,则可列方程为( )
A.x+(x+1)x=36 B.(x+1)2=36
C.1+x+x2=36 D.x+(x+1)2=36
3.有一人患流感,经过两轮传染后共有81人患了流感,则每轮传染中平均一人传染了_____人.
4.某种植物的主干长出若干个数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是111,则每个支干长出 个小分支.
5.德尔塔(Delta)是一种全球流行的新冠病毒变异毒株,其传染性极强.某地有1人感染了德尔塔,因为没有及时隔离治疗,经过两轮传染后,一共有144人感染了德尔塔病毒,那每轮传染中平均一个人传染了____个人;如果不及时控制,照这样的传染速度,经过三轮传染后,一共有______人感染德尔塔病毒.
题型二:数字问题
1.一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大,已知十位上的数字比个位上的数字大.则这个两位数是( )
A.64 B.75 C.53或75 D.64或75
2.有一个两位数,个位数字与十位数字之和为8,把它的个位数字与十位数字对调,得到一个新数,新数与原数之积为1855,则原两位数是( )
A.35 B.53 C.62 D.35或53
3.《念奴娇•赤壁怀古》,在苏轼笔下,周瑜年少有为,文采风流,雄姿英发,谈笑间,樯橹灰飞烟灭,然天妒英才,英年早逝,欣赏下面改编的诗歌,“大江东去浪淘尽,千古风流数人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x,则可列方程为____.
4.一个两位数,其个位上的数与十位上的数的和等于6,而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一,求这个两位数.
题型二:循环问题
1.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,经统计所有人一共握了66次手,则这次会议到会的人数是( )
A.11 B.12 C.22 D.33
2.某校八年级组织一次篮球赛,各班均组队参赛,赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场),共需安排21场比赛,则八年级班级的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.学校组织一次乒乓球赛,要求每两队之间都要比赛一场.若共赛了28场,设有个球队参赛,根据题意列出满足的关系式为_______.
4.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书,每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,全组共互赠了132本图书,则全组共有______名同学.
5.组织一次排球邀请赛,采取单循环的形式,即每两个队都要打一场比赛.
(1)如果有四个队参赛,则需要打多少场比赛?
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式;
(3)经过最后统计,共打了28场比赛,求这次比赛共有多少个队参加?
题型三:变化率问题
1.某学校实践基地加大农场建设,为学生提供更多的劳动场所.该实践基地某种蔬菜2023年的年产量为60千克,2025年的年产量为135千克.设该种蔬菜年产量的平均增长率为,则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
2.某小型企业一月份的营业额为200万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额为1000万元.设月平均增长率为,可列方程为( )
A. B.
C. D.
3.为了加快发展新能源和清洁能源,助力实现“双碳”目标,大力发展高效光伏发电关键零部件制造.青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元,由于技术升级改进,生产成本逐季度下降,第三季度的生产成本为万元,设该公司每个季度的下降率都相同.则该公司每个季度的下降率是__________.
4.某农业大镇2023年猕猴桃总产量为12万吨,预计2025年猕猴桃总产量达到16万吨,求该镇猕猴桃总产量的年平均增长率,设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x,则可列方程为______.
5.在国家的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少?
(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元?请说明理由.
6.某电器商店销售某品牌冰箱,该冰箱每台的进货价为2500元,已知该商店去年10月份售出50台,第四季度累计售出182台.
(1)求该商店11,12两个月的月均增长率;
(2)调查发现,当该冰箱售价为2900元时,平均每天能售出8台;售价每降低50元,平均每天能多售出4台.该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元,求每台冰箱的售价.
题型四:图形面积问题
1.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为米,则根据题意,列方程为( )
A. B.
C. D.
2.如图,在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分种植草坪,要使草坪的面积为540平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为( )
A.32×20﹣32x﹣20x=540 B.(32﹣x)(20﹣x)+x2=540
C.32x+20x=540 D.(32﹣x)(20﹣x)=540
3.如图,用一面足够长的墙为一边,其余三边用总长34米的围栏建两个面积相同的生态园,两个生态园各留一扇宽为1米的门.由于场地限制,垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计).每个生态园的面积为48平方米,则每个生态园垂直于墙的一边长为_________.
4.如图,一农户要建一个矩形鸡舍,为了节省材料,鸡舍的一边利用长为12米的墙,另外三边用长为27米的建筑材料围成,为方便进出,在垂直墙的一边留下一个宽1米的门,所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时,鸡舍面积为90平方米?
5.如图,用篱笆靠墙围成矩形花圃,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围,墙可利用的最大长度为,篱笆长为,设平行于墙的边长为.
(1)若围成的花圃面积为时,求的长;
(2)如图,若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形,且花圃面积为,请你判断能否围成花圃,如果能,求的长;如果不能,请说明理由.
题型五:动态几何问题
1.如图,在等腰中,,,动点P从点A出发沿向点B移动,作,,当的面积为面积的一半时,点P移动的路程为( )
A. B. C. D.
2.如图,矩形中,,点E从点B出发,沿以 的速度向点C移动,同时点F从点C出发,沿以的速度向点D移动,当E,F两点中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当是以为底边的等腰三角形时,则点运动时间为( )
A. B. C.6 D.
3.如图,在等腰中,,动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动,于点Q.设运动时间为,当 s时,的面积为.
4.如图所示,在矩形中,,,点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动,点P到达终点后,P、Q两点同时停止运动.
(1)当秒时,线段__.
(2)当__秒时,的面积是24.
5.如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点,,,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以的速度向点D移动.问:
(1)P、Q两点从出发开始几秒时,四边形的面积为?
(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米?
(3)P,Q两点间距离何时最小?
题型六:销售问题
1.某网店销售运动鞋,若每双盈利40元,每天可以销售20双,该网店决定适当降价促销,经调查得知,每双运动鞋每降价1元,每天可多销售2双,若想每天盈利1200元,并尽可能让利于顾客,赢得市场,则每双运动鞋应降价( )
A.10元或20元 B.20元 C.5元 D.5元或10元
2.某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现,每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利5元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元,需要每盆增加几株花苗?设每盆增加 株花苗,下面列出的方程中符合题意的是( )
A. B.
C. D.
3.随着新年的到来,某手机店购进一批手机,第一周销售A款手机的利润率是,销售B款手机的利润率是,A款手机销量是B款手机销量的2倍,结果第一周这两款手机的总利润率是,受疫情的影响,第二周销售A款手机的利润率比第一周下降了,销售B款手机的利润率比第一周下降了,结果第二周这两款的总利润率达到,则第二周A款手机、B款手机的销量之比值是________.()
4.汽车专卖店销售某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为万元辆,销售一段时间后发现:当该型号汽车售价定为万元辆时,平均每周售出辆;售价每降低万元,平均每周多售出辆.
(1)当售价为万元辆时,求平均每周的销售利润.
(2)若该店计划下调售价,增大销量,但要确保平均每周的销售利润为万元,每辆汽车的售价定为多少合适?
5.“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而培育的一种草莓品种,因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎.今年春季,某水果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使”的新品种草莓进行销售.该商家在销售过程中发现当每盒的售价为100元时,平均每天可售出180盒.若每盒的售价每降价5元,则每天可以多售出10盒.设此种草莓每盒的售价为x元,每天销售此种草莓的利润为y元.
(1)用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为______元,每天可卖出此种草莓的数量为______盒.
(2)若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元,问此种草莓每盒的售价应定为多少元?
【答案】
16.3列方程解应用问题题型突破2025-2026学年
北京版八年级下册(六大题型)
题型一:传播问题
1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?设每轮传染中平均一个人传染了x个人,下列所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
2.一个同学经过培训后会做某项实验,回到班级后第一节课他教会了若干个同学,第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学,这样全班共有36人会做这项实验,若设1人每次能教会x名同学,则可列方程为( )
A.x+(x+1)x=36 B.(x+1)2=36
C.1+x+x2=36 D.x+(x+1)2=36
【答案】B
3.有一人患流感,经过两轮传染后共有81人患了流感,则每轮传染中平均一人传染了_____人.
【答案】8
4.某种植物的主干长出若干个数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是111,则每个支干长出 个小分支.
【答案】
5.德尔塔(Delta)是一种全球流行的新冠病毒变异毒株,其传染性极强.某地有1人感染了德尔塔,因为没有及时隔离治疗,经过两轮传染后,一共有144人感染了德尔塔病毒,那每轮传染中平均一个人传染了____个人;如果不及时控制,照这样的传染速度,经过三轮传染后,一共有______人感染德尔塔病毒.
【答案】 11 1728
题型二:数字问题
1.一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大,已知十位上的数字比个位上的数字大.则这个两位数是( )
A.64 B.75 C.53或75 D.64或75
【答案】D
2.有一个两位数,个位数字与十位数字之和为8,把它的个位数字与十位数字对调,得到一个新数,新数与原数之积为1855,则原两位数是( )
A.35 B.53 C.62 D.35或53
【答案】D
3.《念奴娇•赤壁怀古》,在苏轼笔下,周瑜年少有为,文采风流,雄姿英发,谈笑间,樯橹灰飞烟灭,然天妒英才,英年早逝,欣赏下面改编的诗歌,“大江东去浪淘尽,千古风流数人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x,则可列方程为____.
【答案】
4.一个两位数,其个位上的数与十位上的数的和等于6,而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一,求这个两位数.
【答案】24或15
【详解】试题分析:首先设个位数字为x,则十位数字为(6-x),由题意得等量关系:两个数字的积=这个两位数的,根据等量关系列出方程,再解即可.
试题解析:设个位上的数为x,则十位数字为(6-x),由题意得:
x(6-1)=[10(6-x)+x],
解得:x1=4,x2=5,
十位数字为:6-4=2,或6-5=1
这个两位数是:15或24
题型二:循环问题
1.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,经统计所有人一共握了66次手,则这次会议到会的人数是( )
A.11 B.12 C.22 D.33
【答案】B
2.某校八年级组织一次篮球赛,各班均组队参赛,赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场),共需安排21场比赛,则八年级班级的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
3.学校组织一次乒乓球赛,要求每两队之间都要比赛一场.若共赛了28场,设有个球队参赛,根据题意列出满足的关系式为_______.
【答案】
4.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书,每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,全组共互赠了132本图书,则全组共有______名同学.
【答案】12
5.组织一次排球邀请赛,采取单循环的形式,即每两个队都要打一场比赛.
(1)如果有四个队参赛,则需要打多少场比赛?
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式;
(3)经过最后统计,共打了28场比赛,求这次比赛共有多少个队参加?
【答案】(1)6;(2)(3)8
【详解】(1)如果有四个队参赛,则需要打:
场;
(2)总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式:;
(3)设比赛组织者应邀请x个队参赛,
根据题意得:,
解得:,(舍去),
这次比赛共有8个队参加.
题型三:变化率问题
1.某学校实践基地加大农场建设,为学生提供更多的劳动场所.该实践基地某种蔬菜2023年的年产量为60千克,2025年的年产量为135千克.设该种蔬菜年产量的平均增长率为,则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
2.某小型企业一月份的营业额为200万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额为1000万元.设月平均增长率为,可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
3.为了加快发展新能源和清洁能源,助力实现“双碳”目标,大力发展高效光伏发电关键零部件制造.青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元,由于技术升级改进,生产成本逐季度下降,第三季度的生产成本为万元,设该公司每个季度的下降率都相同.则该公司每个季度的下降率是__________.
【答案】
4.某农业大镇2023年猕猴桃总产量为12万吨,预计2025年猕猴桃总产量达到16万吨,求该镇猕猴桃总产量的年平均增长率,设该镇猕猴桃总产量的年平均增长率为x,则可列方程为______.
【答案】
5.在国家的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少?
(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元?请说明理由.
【答案】(1)
(2)不会,理由见解析
【详解】(1)解:设4、5两月平均每月降价的百分率是x,
,(舍)
答:4、5两月平均每月降价的百分率是.
(2)否,理由如下:
∵(元)
,
∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元.
6.某电器商店销售某品牌冰箱,该冰箱每台的进货价为2500元,已知该商店去年10月份售出50台,第四季度累计售出182台.
(1)求该商店11,12两个月的月均增长率;
(2)调查发现,当该冰箱售价为2900元时,平均每天能售出8台;售价每降低50元,平均每天能多售出4台.该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元,求每台冰箱的售价.
【答案】(1)(2)2750元
【详解】(1)解:设该商店11,12两个月的月均增长率为,则该商店去年11月份售出台,12月份售出台,
根据题意得:,
整理得:,
解得:,(不符合题意,舍去).
答:该商店11,12两个月的月均增长率为;
(2)设每台冰箱的售价为元,则每台的销售利润为元,平均每天可售出台,
根据题意得:,
整理得:,
解得:.
答:每台冰箱的售价为2750元.
题型四:图形面积问题
1.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为米,则根据题意,列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
2.如图,在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分种植草坪,要使草坪的面积为540平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为( )
A.32×20﹣32x﹣20x=540 B.(32﹣x)(20﹣x)+x2=540
C.32x+20x=540 D.(32﹣x)(20﹣x)=540
【答案】D
3.如图,用一面足够长的墙为一边,其余三边用总长34米的围栏建两个面积相同的生态园,两个生态园各留一扇宽为1米的门.由于场地限制,垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计).每个生态园的面积为48平方米,则每个生态园垂直于墙的一边长为_________.
【答案】4米
4.如图,一农户要建一个矩形鸡舍,为了节省材料,鸡舍的一边利用长为12米的墙,另外三边用长为27米的建筑材料围成,为方便进出,在垂直墙的一边留下一个宽1米的门,所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时,鸡舍面积为90平方米?
【答案】鸡舍的边长、分别是9米,10米.
【详解】解:设的长度为米,则的长度为米,的长度为米,
根据题意得:,
解得:,,
当时,,不合题意,舍去;
当时,,
即,,
答:鸡舍的边长、分别是9米,10米.
5.如图,用篱笆靠墙围成矩形花圃,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围,墙可利用的最大长度为,篱笆长为,设平行于墙的边长为.
(1)若围成的花圃面积为时,求的长;
(2)如图,若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形,且花圃面积为,请你判断能否围成花圃,如果能,求的长;如果不能,请说明理由.
【答案】(1)的长为米;
(2)不能围成花圃,理由见解析.
【详解】(1)解:根据题意得,
,
则,
∴,
因为,
所以舍去,
所以,
答:的长为米;
(2)解:不能围成花圃,理由如下:
根据题意得,
,
方程可化为,
∴,
∴方程无实数解,
∴不能围成花圃;
题型五:动态几何问题
1.如图,在等腰中,,,动点P从点A出发沿向点B移动,作,,当的面积为面积的一半时,点P移动的路程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
2.如图,矩形中,,点E从点B出发,沿以 的速度向点C移动,同时点F从点C出发,沿以的速度向点D移动,当E,F两点中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当是以为底边的等腰三角形时,则点运动时间为( )
A. B. C.6 D.
【答案】B
3.如图,在等腰中,,动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动,于点Q.设运动时间为,当 s时,的面积为.
【答案】或
4.如图所示,在矩形中,,,点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动,点P到达终点后,P、Q两点同时停止运动.
(1)当秒时,线段__.
(2)当__秒时,的面积是24.
【答案】 20 2或3/3或2
【详解】解:(1)∵当秒时,,
根据勾股定理得.
故答案为:20.
(2)设运动时间为秒,
此时,,,
∵的面积是24,
∴,
整理得,,
解得:,
∴当秒或3秒时,的面积是24.
故答案为:2或3.
5.如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点,,,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以的速度向点D移动.问:
(1)P、Q两点从出发开始几秒时,四边形的面积为?
(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米?
(3)P,Q两点间距离何时最小?
【答案】(1)5秒(2)秒或秒(3)秒
【详解】(1)解:当运动时间为t秒时,,,
依题意,得:,
解得:.
答:P,Q两点从出发开始到5秒时,四边形的面积为.
(2)设出发秒后、两点间的距离是10厘米.
则,.
作于,
则,
,
解得:或,
∴、出发或秒时,,间的距离是10厘米;
(3),
当时,即时,最小.
题型六:销售问题
1.某网店销售运动鞋,若每双盈利40元,每天可以销售20双,该网店决定适当降价促销,经调查得知,每双运动鞋每降价1元,每天可多销售2双,若想每天盈利1200元,并尽可能让利于顾客,赢得市场,则每双运动鞋应降价( )
A.10元或20元 B.20元 C.5元 D.5元或10元
【答案】B
2.某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现,每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利5元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元,需要每盆增加几株花苗?设每盆增加 株花苗,下面列出的方程中符合题意的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
3.随着新年的到来,某手机店购进一批手机,第一周销售A款手机的利润率是,销售B款手机的利润率是,A款手机销量是B款手机销量的2倍,结果第一周这两款手机的总利润率是,受疫情的影响,第二周销售A款手机的利润率比第一周下降了,销售B款手机的利润率比第一周下降了,结果第二周这两款的总利润率达到,则第二周A款手机、B款手机的销量之比值是________.()
【答案】
4.汽车专卖店销售某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为万元辆,销售一段时间后发现:当该型号汽车售价定为万元辆时,平均每周售出辆;售价每降低万元,平均每周多售出辆.
(1)当售价为万元辆时,求平均每周的销售利润.
(2)若该店计划下调售价,增大销量,但要确保平均每周的销售利润为万元,每辆汽车的售价定为多少合适?
【答案】(1)平均每周的销售利润是万元
(2)每辆汽车的售价定为万元更合适
【详解】(1)解:∵当售价为万元辆时,平均每周销量为:(辆,
∴平均每周利润为:(万元),
答:平均每周的销售利润是万元;
(2)解:设每辆汽车的售价是万元,
.
化简,得,
,
解得:,,
由于希望增大销量,定价万元售价更合适,
答:每辆汽车的售价定为万元更合适.
5.“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而培育的一种草莓品种,因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎.今年春季,某水果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使”的新品种草莓进行销售.该商家在销售过程中发现当每盒的售价为100元时,平均每天可售出180盒.若每盒的售价每降价5元,则每天可以多售出10盒.设此种草莓每盒的售价为x元,每天销售此种草莓的利润为y元.
(1)用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为______元,每天可卖出此种草莓的数量为______盒.
(2)若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元,问此种草莓每盒的售价应定为多少元?
【答案】(1);
(2)90元
【详解】(1)解:∵此种草莓每盒的售价为x元,每盒进价60元,
∴每盒此种草莓的利润为元;
又∵每盒的售价每降价5元,则每天可以多售出10盒,
∴每天可卖出此种草莓的数量为:(盒)
故答案为:;
(2)由题意得,
解得,(不符合题意舍去)
答:此种草莓每盒的售价应定为90元
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