专题18 斜二测法-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题18 斜二测画法 一、知识梳理 1. 斜二测画法的核心规则 斜二测画法是绘制水平放置的平面图形直观图的常用方法，核心变换规则围绕平面直角坐标系转换为斜坐标系展开： （1）坐标轴夹角：斜坐标系中或； （2）线段长度：平行于轴的线段，在直观图中长度不变；平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半； （3）位置关系：原图中平行、相交的线段，在直观图中保持平行、相交；原图中共点的线段，在直观图中仍共点； 2. 原图与直观图的面积关系 若设原平面图形的面积为，其斜二测画法得到的直观图面积为，则两者满足固定比例： 逆用公式可得原图形面积：. 2、 题型精练 题型1 斜二测画法的规则判断 【典例1】关于斜二测法画的平面图形的直观图，下列说法正确的是（） A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图可能不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 题型2 原图与直观图的面积换算 【典例2】边长为2的正方形，利用斜二测画法得到其直观图的面积为（） A．4 B． C．2 D． 题型3 由直观图还原原图并计算 【典例3】水平放置的的斜二测直观图为，已知轴，轴，，，则中边上的中线长度为（） A． B．5 C． D． 三、知识检测 1．如图，是的直观图，其中轴，轴，则是（） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 2．边长为2的正方形，利用斜二测画法得到其直观图的面积为（） A．4 B．2 C．2 D． 3．下列空间图形画法错误的是（） A． B． C． D． 4． 如图所示，已知是边长为2的正三角形，那么它的平面直观图的面积为（） A． B． C． D． 5．关于用斜二测法画的平面图形的直观图，下列说法正确的是（） A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图可能不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 6．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（） （1）三角形的直观图一定是三角形 （2）正方形的直观图一定是菱形 （3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形 （4）菱形的直观图一定是菱形 A．（1）（2） B．（1） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 7．下列结论正确的是（） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．水平放置的三角形的直观图是三角形 D．水平放置的菱形的直观图是菱形 8．用斜二测画法画平面图形的直观图，下列对其中的线段说法错误的是（）． A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 9．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则中边上的中线的长度为（） A． B． C．5 D． 10．若长方形的长为，宽为，则直观图的面积为（）. A．6 B．3 C． D． 11．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（） A．2 B． C．4 D．6    12．若某一水平放置的正方形的直观图是一边边长为4cm的平行四边形，则该正方形的面积是（） A．16 B．64 C．16或64 D．32 13．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是（） A． B． C． D． 14．如图，，，则直观图所示的平面图形是（） A．任意三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 15．用斜二测画法画一个边长为的正方形（水平放置），其直观图的面积为（） A． B． C． D． 16．圆的直观图为 __________ 17．已知正方形的直观图是平行四边形，若平行四边形某一边的边长为4，则正方形的边长为_______________． 18． 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是___. 19． 在如图所示的直观图中，四边形为菱形，边长为2cm，且，则在原坐标系中，四边形为__________，面积为__________. 判断： 20．一个三角形用斜二测画法所作的直观图是一个边长为2的正三角形，则原三角形的面积为_________. 21．平行于轴的线段，在直观图中长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．( ) 22．斜二测画法中，原来相交的直线在直观图中仍然相交，原来平行的直线在直观图中仍然平行. ( ) 23．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为. ( ) 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 斜二测画法 一、知识梳理 1. 斜二测画法的核心规则 斜二测画法是绘制水平放置的平面图形直观图的常用方法，核心变换规则围绕平面直角坐标系转换为斜坐标系展开： （1）坐标轴夹角：斜坐标系中或； （2）线段长度：平行于轴的线段，在直观图中长度不变；平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半； （3）位置关系：原图中平行、相交的线段，在直观图中保持平行、相交；原图中共点的线段，在直观图中仍共点； 2. 原图与直观图的面积关系 若设原平面图形的面积为，其斜二测画法得到的直观图面积为，则两者满足固定比例： 逆用公式可得原图形面积：. 2、 题型精练 题型1 斜二测画法的规则判断 【典例1】关于斜二测法画的平面图形的直观图，下列说法正确的是（） A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图可能不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 答案：B 分析：本题考查斜二测画法的图形变换特征，需掌握不同平面图形经斜二测画法后的形状变化规律. 详解：根据斜二测画法的平行性不变、长度和角度变换规则： A.等腰三角形的直观图，因轴方向线段减半、角度改变，不再是等腰三角形，A错误； B.正方形的边分别平行于、轴，经变换后邻边不再垂直，成为平行四边形，B正确； C.梯形的上下底保持平行，直观图仍为梯形，C错误； D.正三角形的直观图角度和边长比例改变，为钝角一般三角形，不再等腰，D错误. 故选：B. 题型2 原图与直观图的面积换算 【典例2】边长为2的正方形，利用斜二测画法得到其直观图的面积为（） A．4 B． C．2 D． 答案：B 分析：本题考查斜二测画法中原图与直观图的面积比例关系，需熟记面积换算公式并准确计算. 详解：首先计算原正方形的面积：； 根据斜二测画法面积关系，代入得： . 故选：B. 题型3 由直观图还原原图并计算 【典例3】水平放置的的斜二测直观图为，已知轴，轴，，，则中边上的中线长度为（） A． B．5 C． D． 答案：A 分析：本题考查斜二测画法的逆向还原，需根据直观图的坐标轴特征还原原图的边长和角度，再结合中线公式计算. 详解：由斜二测画法还原原图： 轴，故，且轴； 轴，故，且轴，即为直角三角形，； 边的中点到的距离为，根据勾股定理，中线长度为：. 故选：A. 三、知识检测 1．如图，是的直观图，其中轴，轴，则是（） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 答案：B 分析：本题考查斜二测画法的逆向还原，根据直观图的坐标轴平行特征判断原图的角度关系. 详解：因为轴，轴， 所以，； 又， 是直角三角形，不是等腰三角形. 故选：B. 2．边长为2的正方形，利用斜二测画法得到其直观图的面积为（） A．4 B．2 C．2 D． 答案：D 分析：本题考查斜二测画法中原图与直观图的面积比例关系，掌握面积换算公式是关键. 详解：易知原图面积为， 而斜二测画法的面积是原图面积的倍， 所以斜二测画法的面积是. 故选：D. 3．下列空间图形画法错误的是（） A． B． . C． D． 答案：D 分析：本题考查空间图形斜二测画法的可见性规则，明确“看得见画实线，看不见画虚线”的要求. 详解：D选项：遮挡部分应画成虚线， 故选:D. 4． 如图所示，已知是边长为2的正三角形，那么它的平面直观图的面积为（） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查斜二测画法中原图与直观图的面积换算，需先计算原正三角形面积，再利用面积比例关系求解. 详解：设原图的面积为，直观图的面积为，则； 依题意，原图正三角形面积为， 所以直观图的面积为. 故选：B. 5．关于用斜二测法画的平面图形的直观图，下列说法正确的是（） A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图可能不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 答案：B 分析：本题考查斜二测画法的图形变换特征，掌握不同平面图形经斜二测画法后的形状变化规律. 详解：根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，平行于轴和轴的线段的平行性不变, 所以可得： 等腰三角形的直观图不再是等腰三角形， 正方形的直观图是平行四边形， 梯形的直观图还是梯形， 正三角形的直观图是一个钝角三角形. 6．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（） （1）三角形的直观图一定是三角形 （2）正方形的直观图一定是菱形 （3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形 （4）菱形的直观图一定是菱形 A．（1）（2） B．（1） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 答案：B 分析：本题考查斜二测画法的基本规则，逐一分析图形变换后的形状特征. 详解：（1）由斜二测画法规则知：三角形的直观图一定是三角形；故（1）正确. （2）正方形的直观图一般是平行四边形，故（2）不正确. （3）因为斜二测画法平行关系不变，所以等腰梯形的直观图不可能是平行四边形，故（3）错误. （4）菱形的直观图不一定是菱形，可能是矩形，故（4）错误. 综上只有（1）正确. 故选：B 7．下列结论正确的是（） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．水平放置的三角形的直观图是三角形 D．水平放置的菱形的直观图是菱形 答案：C 分析：本题考查斜二测画法的变换特征，对比原图与直观图的角、线段、图形形状的变化规律. 详解：对于A，相等的角在直观图中不一定相等，如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故A选项错误； 对于B，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故B选项错误； 对于C，三角形的直观图仍然是三角形，C选项正确． 对于D，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故D选项错误； 故选：C． 8．用斜二测画法画平面图形的直观图，下列对其中的线段说法错误的是（）． A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 答案：B 分析：本题考查斜二测画法的线段位置关系变换，明确平行、相交、共点关系不变，垂直关系不一定保持. 详解：根据斜二测画法可知，在原图中平行或相交的线段，在直观图中也平行或相交，但相对应的角度会改变． 故选：B. 9．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则中边上的中线的长度为（） A． B． C．5 D． 答案：A 分析：本题考查斜二测画法的逆向还原，结合勾股定理和中线公式求解. 详解： 由斜二测画法将直观图还原，可得， 由轴，得轴，故，， 所以边上的中线的长度为. 故选：A. 10．若长方形的长为，宽为，则直观图的面积为（）. A．6 B．3 C． D． 答案：C 分析：本题考查斜二测画法的直观图面积计算，可直接根据直观图的形状（平行四边形）计算面积. 详解： 根据斜二测画法，长方形画成直观图后，变成邻边分别为和的平行四边形，且夹角为，所以直观图的面积为：. 故选：C. 11．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（） A．2 B． C．4 D．6 答案：D 分析：本题考查斜二测画法的逆向还原，计算原四边形各边长度并比较. 详解：已知，， 则，， 所以，， 所以 且， 所以原四边形ABCD中最长边的长度为6， 故选：D.    12．若某一水平放置的正方形的直观图是一边边长为4cm的平行四边形，则该正方形的面积是（） A．16 B．64 C．16或64 D．32 答案：C 分析：本题考查斜二测画法的边长变换，分“边平行于轴”和“边平行于轴”两种情况讨论. 详解：由斜二测画法可知， 当长为4cm的边平行于x轴时， 此时正方形的边长则为4cm，所以面积为4×4=16； 当长为4cm的边平行于y轴时， 此时正方形的边长则为4×2=8cm，所以面积为8×8=64； 所以该正方形的面积是16或64， 故选：C. 13．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是（） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查正方形的斜二测直观图画法. 详解：由斜二测画法可知，正方形的底边长度不变，高的长度减半，并且与底面所成角是45°，由此可知，选项C的直观图正确. 故选：C. 14．如图，，，则直观图所示的平面图形是（） A．任意三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 答案：C 分析：本题考查斜二测画法的逆向还原，根据直观图的坐标轴平行特征判断原图的角度. 详解：因为，， 由斜二测画法的概念可知，原平面图形， 所以原平面图形中， 所以为直角三角形. 故选：C. 15．用斜二测画法画一个边长为的正方形（水平放置），其直观图的面积为（） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查斜二测画法的面积换算，利用原图与直观图的面积比例关系求解. 详解：在斜二测画法中，对于水平放置的平面图形，其直观图的面积与原图形的面积之间的关系为. 已知正方形的边长为2cm，可得原正方形的面积， 可得直观图的面积. 故选：C. 16．圆的直观图为 __________ 答案：椭圆 分析：本题考查常见图形的斜二测直观图特征，掌握圆的直观图变换结果. 详解：由斜二测画法的变换规则可知，圆的直观图为椭圆.故答案为：椭圆. 17．已知正方形的直观图是平行四边形，若平行四边形某一边的边长为4，则正方形的边长为_______________． 答案：4或8 分析：本题考查斜二测画法的边长变换，分“边平行于轴”和“边平行于轴”两种情况计算. 详解： ①若直观图中平行四边形的边，则原正方形的边长； ②若直观图中平行四边形的边，则原正方形的边长. 综上所述，正方形的边长为4或8. 故答案为：4或8. 18． 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是___. 答案：16或64 分析：本题考查斜二测画法的边长与面积换算，结合正方形面积公式分情况求解. 详解：根据直观图的画法，与轴平行或重合的线段，在直观图中保持原长度不变， 与轴平行或重合的线段等于原长度的一半； 若，则正方形边长为4，其面积为16；若，则正方形边长为8，面积为64. 故答案为：16或64. 19． 在如图所示的直观图中，四边形为菱形，边长为2cm，且，则在原坐标系中，四边形为__________，面积为__________. 答案：矩形；8 分析：本题考查斜二测画法的逆向还原，根据直观图的形状和角度还原原图，并计算面积. 详解： 因为四边形为菱形，且， 由题意结合斜二测画法，可得四边形ABCO为矩形， 其中OA=2cm,OC=4cm， 所以四边形ABCO的面积为S=2×4=8 故答案为：矩形；8. 20．一个三角形用斜二测画法所作的直观图是一个边长为2的正三角形，则原三角形的面积为_________. 答案： 分析：本题考查斜二测画法的面积逆运算，先求直观图面积，再利用面积比例关系还原原图面积. 详解：因为直观图中三角形的高为， 所以由斜二测画法的规则可得原三角形中三角形的高为， 所以原三角形的面积为． 故答案为： 21．平行于轴的线段，在直观图中长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．( ) 答案：正确 分析：本题考查斜二测画法的核心线段长度变换规则，熟记、轴方向线段的变换要求. 详解：斜二测画法中，平行于轴的线段，在直观图中长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. 故答案为：正确. 22．斜二测画法中，原来相交的直线在直观图中仍然相交，原来平行的直线在直观图中仍然平行. ( ) 答案：正确 分析：本题考查斜二测画法的线段位置关系变换，明确平行、相交关系的不变性. 详解：斜二测画法只是对线段的长度和角度进行了特定的变换，而平行关系是保持不变的，原来相交的直线在直观图中仍然相交，原来平行的直线仍然平行. 故答案为：正确. 23．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为. ( ) 答案：正确 分析：本题考查正方形的斜二测直观图面积计算，利用面积比例关系或直观图形状直接计算. 详解：将边长为2的正方形OEFG建系（如左图）， 根据斜二测画法的原则可知：OC=2,OA=1如右图），      所以对应直观图的面积为:. 故答案为：正确 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $