专题16 中心投影和平行投影-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题16 中心投影和平行投影 一、知识梳理 1. 投影的定义 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2. 中心投影 由同一点发出的光线形成的投影叫作中心投影。 3. 平行投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影，分为正投影和斜投影。 (1) 投影线垂直于投影面，所得投影称为正投影。 (2) 投影线斜着照射投影面，所得投影称为斜投影。 4. 平行投影与中心投影的区别与联系 对比维度 平行投影 中心投影 投影线 互相平行 交于一点 光源 平行光（如太阳光） 点光源（如灯光） 投影变化 投影大小与物体到投影面距离无关 投影大小随物体到光源距离变化而变化 联系 均为投影的基本形式，中心投影可看作平行投影的极限情况（光源在无穷远处） 2、 题型精练 题型1 平行投影与中心投影的判断 【典例1】下列光线形成的投影属于平行投影的是____ A. 台灯光线 B. 手电筒光线 C. 太阳光线 D.路灯光线 【典例2】下列现象中，利用中心投影的是（） A. 太阳光下的树影 B. 皮影戏 C. 投影仪投影课件 D. 太阳光下的人影 题型2 平面图形的平行投影特征 【典例3】正方形在太阳光下的投影不可能是（） A. 正方形 B. 菱形 C. 梯形 D. 线段 【典例4】下列说法正确的是（） A. 矩形的中心投影一定是矩形 B. 两条相交直线的平行投影不可能平行 C. 梯形的中心投影一定是梯形 D. 平行四边形的中心投影一定是梯形 题型3 投影的实际应用 【典例5】小刚走路时发现自己的影子越走越短，其原因是（） A. 小刚离路灯越来越远 B. 小刚离路灯越来越近 C. 人与路灯的距离与影子长短无关 D. 路灯的灯光越来越亮 题型4 空间点/几何体的投影特征 【典例6】P为正方体的中心，则P在该正方体各个面上的射影不可能是（） A. 线段 B. 三角形 C. 点 D. 正方形 题型5 三棱锥的投影与三角形心的判定 【典例7】如果一个三棱锥的三条侧棱相等，那么它的顶点在底面的射影是底面三角形的（） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 三、知识检测 1．在太阳光的照射下，正方形在底面上的投影不可能是（） A．正方形 B．菱形 C．线段 D．梯形 2．小刚走路时发现自己的影子越走越短，这是因为（） A．小刚离路灯越来越远 B．小刚离路灯越来越近 C．人与路灯的距离与影子长短无关 D．路灯的灯光越来越亮 3. 如图，P为正方体的中心，则在该正方体各个面上的射影可能是（） A．①②③④ B．①③ C．①④ D．②④ 4．如果一个三棱锥的三条侧棱相等，那么它的顶点在底面的射影是底面三角形的（） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 5．下列说法正确的是（） A．矩形的中心投影一定是矩形 B．两条相交直线的平行投影不可能平行 C．梯形的中心投影一定是梯形 D．平行四边形的中心投影一定是梯形 6．下列哪种光线形成的投影不是中心投影的是（） A．台灯 B．太阳 C．手电筒 D．路灯 7．下列投影中，属于正投影的是（） A．手电筒照射物体的投影 B．太阳光垂直照射地面的物体投影 C．路灯照射行人的投影 D．投影仪照射课件的投影 8．梯形的平行投影不可能是（） A．梯形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 9．已知一个长方体在太阳光下的投影为一个矩形，那么该长方体的摆放方式为（） A．长方体的一个面平行于地面 B．长方体的一条棱平行于地面 C．长方体的一个面垂直于太阳光 D．长方体的一条棱垂直于太阳光 10．中心投影的投影线具有的特征是（） A．互相平行 B．互相垂直 C．交于一点 D．任意分布 11．下列几何体的三视图均为平行投影的是（） A．圆柱的直观图 B．圆锥的透视图 C．正方体的三视图 D．棱台的立体图 12．若一个三角形的平行投影为一个等边三角形，则原三角形的形状为（） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．任意三角形 D．无法确定 13．在中心投影中，物体的投影大小与下列哪个因素有关（） A．物体的形状 B．物体到投影面的距离 C．物体到光源的距离 D．投影面的大小 14．两条平行直线的中心投影的位置关系是（） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 15．三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心，说明三棱锥的特征是（） A．三条侧棱相等 B．三条侧棱两两垂直 C．侧棱与底面垂直 D．相对棱互相垂直 判断对错 16．空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。( ) 17．太阳光下的投影为中心投影，灯光下的投影为平行投影。() 18．正方形的正投影一定是正方形。() 19．相交直线的平行投影一定是相交直线。() 20．几何体的三视图是利用平行投影中的正投影绘制的。() 21．若一个点在平面内的射影为该平面内的一点，则该点与射影的连线垂直于该平面。() 22．梯形的中心投影一定是梯形。() 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 中心投影和平行投影 一、知识梳理 1. 投影的定义 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 2. 中心投影 由同一点发出的光线形成的投影叫作中心投影. 3. 平行投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影，分为正投影和斜投影. (1) 投影线垂直于投影面，所得投影称为正投影. (2) 投影线斜着照射投影面，所得投影称为斜投影. 4. 平行投影与中心投影的区别与联系 对比维度 平行投影 中心投影 投影线 互相平行 交于一点 光源 平行光（如太阳光） 点光源（如灯光） 投影变化 投影大小与物体到投影面距离无关 投影大小随物体到光源距离变化而变化 联系 均为投影的基本形式，中心投影可看作平行投影的极限情况（光源在无穷远处） 2、 题型精练 题型1 平行投影与中心投影的判断 【典例1】下列光线形成的投影属于平行投影的是____ A. 台灯光线 B. 手电筒光线 C. 太阳光线 D.路灯光线 答案：C 分析：本题考查平行投影和中心投影的定义及判定，根据投影线的特征区分两种投影. 详解：平行投影的投影线互相平行，太阳光线可近似看作平行光线，形成的投影为平行投影；台灯、手电筒、路灯的光线均为点光源发出，投影线交于一点，属于中心投影. 故选C. 【典例2】下列现象中，利用中心投影的是（） A. 太阳光下的树影 B. 皮影戏 C. 投影仪投影课件 D. 太阳光下的人影 答案：B 分析：本题考查中心投影的实际应用，结合生活场景判断投影类型. 详解：皮影戏是利用灯光（点光源）照射皮影形成的投影，投影线交于一点，属于中心投影；太阳光下的树影、人影为平行投影；投影仪的光线虽为人工光源，但近似平行，属于平行投影. 故选B. 题型2 平面图形的平行投影特征 【典例3】正方形在太阳光下的投影不可能是（） A. 正方形 B. 菱形 C. 梯形 D. 线段 答案：C 分析：本题考查正方形的平行投影特征，根据平行投影的性质判断平面图形的投影情况. 详解：当正方形所在平面平行于太阳光（投影线）时，投影为线段；当正方形所在平面与太阳光相交时，投影为平行四边形（正方形、菱形、矩形均为特殊的平行四边形）；平行投影中，对边始终保持平行，因此不可能为梯形（梯形只有一组对边平行）. 故选C. 【典例4】下列说法正确的是（） A. 矩形的中心投影一定是矩形 B. 两条相交直线的平行投影不可能平行 C. 梯形的中心投影一定是梯形 D. 平行四边形的中心投影一定是梯形 答案：B 分析：本题考查平面图形的投影特征，结合平行投影和中心投影的性质分析各选项. 详解：选项A，矩形的中心投影受物体到光源距离影响，可变为平行四边形、线段等，不一定是矩形，错误； 选项B，相交直线的投影线互相平行，其平行投影仍会相交（或重合），不可能平行，正确； 选项C，梯形的中心投影可变为平行四边形、线段等，不一定是梯形，错误； 选项D，平行四边形的中心投影可变为平行四边形、线段等，不一定是梯形，错误. 故选B. 题型3 投影的实际应用 【典例5】小刚走路时发现自己的影子越走越短，其原因是（） A. 小刚离路灯越来越远 B. 小刚离路灯越来越近 C. 人与路灯的距离与影子长短无关 D. 路灯的灯光越来越亮 答案：B 分析：本题考查中心投影的实际应用，结合中心投影的影长变化规律求解. 详解：路灯的灯光为中心投影，设路灯为点光源，人影的长度与人体到路灯的距离成正比，即离路灯越近，影长越短；离路灯越远，影长越长.因此影子越走越短的原因是小刚离路灯越来越近. 故选B. 题型4 空间点/几何体的投影特征 【典例6】P为正方体的中心，则P在该正方体各个面上的射影不可能是（） A. 线段 B. 三角形 C. 点 D. 正方形 答案：D 分析：本题考查正方体中心在面内的射影特征，根据平行投影的方法确定射影形状. 详解：正方体的中心到各面的距离相等，从上/下/左/右/前/后方向作平行投影时，中心P在面内的射影要么是面内的线段（如上下投影落在底面对角线上），要么是面内的点（如前后投影落在面的中心），也可形成以面的边为底边的三角形，不可能为正方形（正方形中心的射影无法形成边长与面相同的正方形）. 故选D. 题型5 三棱锥的投影与三角形心的判定 【典例7】如果一个三棱锥的三条侧棱相等，那么它的顶点在底面的射影是底面三角形的（） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 答案：B 分析：本题考查三棱锥的结构特征及三角形外心的定义，结合投影的性质判定射影的位置. 详解：设三棱锥为，顶点在底面的射影为，则底面，故、、.已知三条侧棱，由勾股定理得，，，因此，根据三角形外心的定义（到三个顶点距离相等的点），为底面的外心. 故选B. 三、知识检测 1．在太阳光的照射下，正方形在底面上的投影不可能是（） A．正方形 B．菱形 C．线段 D．梯形 答案：D 分析：本题考查正方形的平行投影特征及几何体三视图的概念及辨析. 详解：当正方形所在平面平行于太阳光时，其投影为线段;当正方形所在平面与太阳光相交时，其投影为平行四边形;正方形在地面上的投影不可能是梯形； 故选：D. 2．小刚走路时发现自己的影子越走越短，这是因为（） A．小刚离路灯越来越远 B．小刚离路灯越来越近 C．人与路灯的距离与影子长短无关 D．路灯的灯光越来越亮 答案：B 分析：本题考查中心投影的实际应用及几何体三视图的概念及辨析. 详解： 如图，设AB是路灯，CD是小刚，BD是小刚离路灯的距离，DE是影长，由与相似，可得，即.因为、是定值，所以影长与小刚离路灯的距离成正比，即影子越走越短时，小刚离路灯越来越近. 故选：B. 3. 如图，P为正方体的中心，则在该正方体各个面上的射影可能是（） A．①②③④ B．①③ C．①④ D．②④ 答案：C 分析：本题考查正方体中心的射影特征及几何体三视图的概念、画几何体的三视图. 详解：由题知，P为正方体的中心，则从上向下投影时，点的投影落在对角线上，故在下底面上的射影是线段，①符合要求；从前向后/左向右投影时，点的投影落在面的中心上，故在面上的射影是底边与棱重合的三角形，④符合要求； 故选：C. 4．如果一个三棱锥的三条侧棱相等，那么它的顶点在底面的射影是底面三角形的（） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 答案：B 分析：本题考查三棱锥的结构特征和分类及投影的性质. 详解：设三棱锥为，在底面的射影为O，连接， ∵三棱锥的三条侧棱相等，即，由勾股定理得， ∴O为的外心. 故选：B. 5．下列说法正确的是（） A．矩形的中心投影一定是矩形 B．两条相交直线的平行投影不可能平行 C．梯形的中心投影一定是梯形 D．平行四边形的中心投影一定是梯形 答案：B 分析：本题考查平面图形的投影特征及几何体三视图的概念及辨析. 详解：选项A，矩形的中心投影不一定是矩形，可变为平行四边形、线段等，故错误； 选项B，两条相交直线的平行投影一定不可能平行，故正确； 选项C，梯形的中心投影不一定是梯形，故错误； 选项D，平行四边形的中心投影不一定是梯形，故错误. 故选：B. 6．下列哪种光线形成的投影不是中心投影的是（） A．台灯 B．太阳 C．手电筒 D．路灯 答案：B 分析：本题考查平行投影和中心投影的定义及几何体三视图的概念及辨析. 详解：中心投影是指所有光线从同一光源发出的投影，台灯、手电筒、路灯等发出的光线都可以形成中心投影；太阳光线是平行光线，形成的投影是平行投影，不是中心投影. 故选：B. 7．下列投影中，属于正投影的是（） A．手电筒照射物体的投影 B．太阳光垂直照射地面的物体投影 C．路灯照射行人的投影 D．投影仪照射课件的投影 答案：B 分析：本题考查正投影的定义及平行投影的分类. 详解：正投影是平行投影中投影线垂直于投影面的投影，太阳光垂直照射地面时，投影线与地面垂直，形成的投影为正投影；手电筒、路灯的投影为中心投影，投影仪的投影为斜平行投影. 故选：B. 8．梯形的平行投影不可能是（） A．梯形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 答案：D 分析：本题考查梯形的平行投影特征及几何体三视图的概念及辨析. 详解：梯形有一组对边平行，平行投影中平行的对边仍保持平行（或重合），因此其投影可为梯形、平行四边形（两底平行且腰也平行时）、线段（所在平面平行于投影线时），不可能为三角形（三角形无平行对边）. 故选：D. 9．已知一个长方体在太阳光下的投影为一个矩形，那么该长方体的摆放方式为（） A．长方体的一个面平行于地面 B．长方体的一条棱平行于地面 C．长方体的一个面垂直于太阳光 D．长方体的一条棱垂直于太阳光 答案：A 分析：本题考查长方体的平行投影特征及几何体三视图的概念及辨析. 详解：当长方体的一个面平行于地面时，太阳光的平行投影会与该面形状一致，为矩形；若棱平行于地面，投影可能为平行四边形；面/棱垂直于太阳光时，投影可能为线段或窄矩形. 故选：A. 10．中心投影的投影线具有的特征是（） A．互相平行 B．互相垂直 C．交于一点 D．任意分布 答案：C 分析：本题考查中心投影的定义及几何体三视图的概念及辨析. 详解：根据中心投影的定义，投影线交于一点的投影为中心投影，其投影线的核心特征是交于一点. 故选：C. 11．下列几何体的三视图均为平行投影的是（） A．圆柱的直观图 B．圆锥的透视图 C．正方体的三视图 D．棱台的立体图 答案：C 分析：本题考查三视图的投影类型及画几何体的三视图. 详解：几何体的三视图均为平行投影中的正投影，正方体的三视图是从正面、左面、上面作正投影得到；圆柱直观图、圆锥透视图、棱台立体图均为中心投影绘制. 故选：C. 12．若一个三角形的平行投影为一个等边三角形，则原三角形的形状为（） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．任意三角形 D．无法确定 答案：D 分析：本题考查三角形的平行投影特征及几何体三视图的概念及辨析. 详解：平行投影会根据投影线的角度改变图形的形状和大小，一个任意三角形在特定的平行投影下可变为等边三角形，因此无法根据投影形状确定原三角形的形状. 故选：D. 13．在中心投影中，物体的投影大小与下列哪个因素有关（） A．物体的形状 B．物体到投影面的距离 C．物体到光源的距离 D．投影面的大小 答案：C 分析：本题考查中心投影的性质及几何体三视图的概念及辨析. 详解：中心投影中，投影线交于点光源，物体离点光源越近，投影越大，离点光源越远，投影越小，因此投影大小与物体到光源的距离有关. 故选：C. 14．两条平行直线的中心投影的位置关系是（） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 答案：C 分析：本题考查平行直线的中心投影特征及几何体三视图的概念及辨析. 详解：两条平行直线的中心投影，若直线与投影线不平行，投影仍平行；若直线的延长线过点光源，投影会交于一点，因此位置关系为平行或相交. 故选：C. 15．三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心，说明三棱锥的特征是（） A．三条侧棱相等 B．三条侧棱两两垂直 C．侧棱与底面垂直 D．相对棱互相垂直 答案：D 分析：本题考查三棱锥的结构特征和分类及投影的性质. 详解：三棱锥顶点在底面的射影为垂心，说明顶点与底面顶点的连线垂直于底面的对边，即三棱锥的相对棱互相垂直；三条侧棱相等时射影为外心，侧棱与底面垂直时射影为垂足，三条侧棱两两垂直时射影不一定为垂心. 故选：D. 判断对错 16．空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.( ) 答案：正确 分析：本题考查平行投影与中心投影的区别及画几何体的三视图. 详解：平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点，所以空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式， 故答案为：正确. 17．太阳光下的投影为中心投影，灯光下的投影为平行投影.() 答案：错误 分析：本题考查平行投影和中心投影的判定及几何体三视图的概念及辨析. 详解：太阳光可近似看作平行光线，形成的投影为平行投影；灯光为点光源，形成的投影为中心投影， 故答案为：错误. 18．正方形的正投影一定是正方形.() 答案：错误 分析：本题考查正方形的正投影特征及几何体三视图的概念及辨析. 详解：正方形的正投影，当正方形与投影面平行时为正方形，当正方形与投影面成一定角度时为矩形或菱形， 故答案为：错误. 19．相交直线的平行投影一定是相交直线.() 答案：错误 分析：本题考查相交直线的平行投影特征及几何体三视图的概念及辨析. 详解：相交直线的平行投影，若交点在投影面上，投影为相交直线；若相交直线所在平面平行于投影线，投影为重合的线段， 故答案为：错误. 20．几何体的三视图是利用平行投影中的正投影绘制的.() 答案：正确 分析：本题考查三视图的投影原理及画几何体的三视图. 详解：三视图的绘制要求投影线垂直于投影面，属于平行投影中的正投影， 故答案为：正确. 21．若一个点在平面内的射影为该平面内的一点，则该点与射影的连线垂直于该平面.() 答案：正确 分析：本题考查点在平面内的射影定义及投影的性质. 详解：根据点的射影定义，点到平面的垂线段的垂足为该点在平面内的射影，因此该点与射影的连线垂直于该平面， 故答案为：正确. 22．梯形的中心投影一定是梯形.() 答案：错误 分析：本题考查梯形的中心投影特征及几何体三视图的概念及辨析. 详解：梯形的中心投影，若离点光源较近，可变为平行四边形，若所在平面过点光源，可变为线段，不一定是梯形， 故答案为：错误. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $