20.2《勾股定理的逆定理》课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理的逆定理 1 前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗？ 答：题设为：直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c． 结论为：a2+b2=c2． 我们知道一个直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有：a2+b2=c2．反过程，若一个三角形的三边具有a2+b2=c2的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢？今天我们就一起来研究这个问题． （一）复习引入 前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗？ 师生活动：师生共同回忆勾股定理，请同学独立指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系． 答：题设为：直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．结论为：a2+b2=c2． 我们知道一个直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有：a2+b2=c2．反过程，若一个三角形的三边具有a2+b2=c2的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢？今天我们就一起来研究这个问题． 师生共同回忆勾股定理，请同学独立指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系． 2 问题1 据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？ 答：结论正确． （二）自主探究 播放视屏：勾股定理逆定理.swf 问题1 据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？ 学生测量课本中的三角形的角度，并计算三边长的关系． 设计意图：介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣． 3 问题2 （1）画一画：下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm）画出三角形： ①2.5，6，6.5；②6，8，10． （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数． （3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想． 问题2 （1）画一画：下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm）画出三角形：①2.5，6，6.5；②6，8，10． （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数． （3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想． 师生活动：教师指导学生按要求画出三角形，并计算三边的数量关系，如2.52+62=6.52，62+82=102．接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为90°，从而得出这些三角形为直角三角形．提出猜想：命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 设计意图：让学生进一步地从自己的实践中慢慢接近命题2． 教师指导学生按要求画出三角形，并计算三边的数量关系，如2.52+62=6.52，62+82=102．接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为90°，从而得出这些三角形为直角三角形．提出猜想：命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 4 问题3 命题2的题设和结论分别是什么？命题2和上节学过的命题1有怎样的联系？ 答：命题2的题设是三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2；结论是这个三角形是直角三角形． 我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反．我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 问题3 命题2的题设和结论分别是什么？命题2和上节学过的命题1有怎样的联系？ 师生活动：让学生根据实践探究的结果用自己的语言说出，教师再总结归纳． 答：命题2的题设是三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2；结论是这个三角形是直角三角形． 我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反．我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 设计意图：让学生初步了解互逆命题的定义，并初步感知原命题、逆命题之间的关系． 让学生根据实践探究的结果用自己的语言说出，教师再总结归纳． 5 问题4 如何证明命题2呢？ 答：如图，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2， 求证：△ABC是直角三角形． 问题4 如何证明命题2呢？ 师生活动：教师出示问题，学生分组探究，讨论如何证明． 答：如图，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，求证：△ABC是直角三角形． 教师出示问题，学生分组探究，讨论如何证明． 6 证明：如下图，画一个Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°． 根据勾股定理，A'B'2= B'C'2+ A'C'2=a2+b2=c2，得A'B'=c． 在△ABC和△A'B'C'中，BC=a=B'C'，AC=b=A'C'，AB=c=A'B'，所以△ABC≌△A'B'C'． 因此∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形． 证明：如下图，画一个Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°．根据勾股定理，A'B'2= B'C'2+ A'C'2=a2+b2=c2，得A'B'=c．在△ABC和△A'B'C'中，BC=a=B'C'，AC=b=A'C'，AB=c=A'B'，所以△ABC≌△A'B'C'．因此∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形． 教师出示问题，学生分组探究，讨论如何证明． 7 这样我们就证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据． 教师总结． 这样我们就证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据． 8 问题5 如果原命题成立，那么逆命题也成立吗？ 答：一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如本章中的命题1成立，它的逆命题命题2也成立；命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立． 问题5 如果原命题成立，那么逆命题也成立吗？ 师生活动：教师出示问题，学生分组讨论，最后师生共同得出结论． 答：一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如本章中的命题1成立，它的逆命题命题2也成立；命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立． 教师出示问题，学生分组讨论，最后师生共同得出结论． 9 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15． 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． （三）例题精讲 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15． 师生活动：教师出示例题，让学生独立完成，对于不会的学生，教师分析、引导． 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 教师出示例题，让学生独立完成，对于不会的学生，教师分析、引导． 10 解：（1）因为 ， ， 所以 ，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形． （2）因为 ， ， 所以 ，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形． 我们把像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 解：（1）因为 ， ， 所以 ，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形． （2）因为 ， ， 所以 ，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形． 我们把像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 设计意图：加深对勾股定理的逆定理的理解，并能初步应用勾股定理的逆定理． 加深对勾股定理的逆定理的理解，并能初步应用勾股定理的逆定理． 11 例2 如下图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 例2 如下图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 学生讨论如何解决问题，教师深入到学生当中，指导并帮助学生完成． 12 分析：从图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了． 解：根据题意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18 QR=30． 因为 ，即 ，所以 ∠QPR=90°． 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°．因此∠2=45°， 即“海天”号沿西北方向航行． 分析：从图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了． 解：根据题意， PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， QR=30． 因为 ，即 ，所以∠QPR=90°． 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°．因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行． 设计意图：通过交流、讨论可以培养学生发现问题和解决问题的能力，同时加深学生对例题的理解程度． 通过交流、讨论可以培养学生发现问题和解决问题的能力，同时加深学生对例题的理解程度． 13 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(a-b)=c2，则（ ）． A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．不是直角三角形 解析：∵(a+b)(a-b)=c2，∴a2-b2=c2．∴a2=b2+c2． ∴△ABC为直角三角形，∠A为直角．故选A． A 巩固练习 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(a-b)=c2，则（ ）． A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．不是直角三角形 师生活动：组织学生练习，教师巡回辅导，对于不会的学生，教师适时引导． 解析：∵(a+b)(a-b)=c2，∴a2-b2=c2．∴a2=b2+c2． ∴△ABC为直角三角形，∠A为直角．故选A． 答案：A． 组织学生练习，教师巡回辅导，对于不会的学生，教师适时引导． 14 2．若三角形的三边分别为a+1，a+2，a+3，则当a=____时，这个三角形是直角三角形． 解析：因为这个三角形的最大边是a+3， 由勾股定理的逆定理，得(a+3)2=(a+1)2+(a+2)2． 解得a=2． 2 2．若三角形的三边分别为a+1，a+2，a+3，则当a=____时，这个三角形是直角三角形． 师生活动：组织学生练习，教师巡回辅导，对于不会的学生，教师适时引导． 解析：因为这个三角形的最大边是a+3，由勾股定理的逆定理，得(a+3)2=(a+1)2+(a+2)2． 解得a=2． 答案：2． 设计意图：通过学生自主练习，可以查看学生答题的情况，统计差错及目标达成率，也可以让学生真正地动手、动脑，从而达到很好地掌握知识的目的． 组织学生练习，教师巡回辅导，对于不会的学生，教师适时引导． 15 若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是（ ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 思路分析：从已知式入手，通过配方法，求出a，b，c的值，再判断△ABC的形状． B 拓展练习 若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，那么△ABC是（ ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 思路分析：从已知式入手，通过配方法，求出a，b，c的值，再判断△ABC的形状． 学生自主练习． 16 1．勾股定理的逆定理是什么？ 答：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 2．什么是互逆命题？什么是互逆定理？ 答：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反，那么 像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． （四）归纳总结 1．勾股定理的逆定理是什么？ 答：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 2．什么是互逆命题？什么是互逆定理？ 答：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反，那么像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 教师出示问题，引导学生回答． 17 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 注意：任何一个命题都有逆命题，原命题正确，逆命题不一定正确；互为逆定理的两个定理都是真命题；称为互逆定理的两个定理一定是互逆命题． 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 注意：任何一个命题都有逆命题，原命题正确，逆命题不一定正确；互为逆定理的两个定理都是真命题；称为互逆定理的两个定理一定是互逆命题． 学生根据问题回顾本节课所学内容． 18 3．什么是勾股数？ 答：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 3．什么是勾股数？ 答：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 教师活动：教师出示问题，引导学生回答． 学生活动：学生根据问题回顾本节课所学内容． 设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 19 谢谢观看 $