第7章 万有引力与宇宙航行（高效培优·单元讲义）物理人教版必修第二册

该高中物理单元复习讲义以“万有引力与宇宙航行”为核心，通过题型分类系统梳理知识体系，用表格对比（如不同卫星参数）、公式推导（如黄金代换）等工具呈现开普勒定律、万有引力定律等要点，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于情境化典例设计（如《流浪地球》轨道问题）和分层练习（能力培优+高考真题），通过卫星追及、变轨等题型培养科学思维中的模型建构与推理能力，帮助学生掌握解题方法，支持教师实施精准化分层教学。

第七章 万有引力与宇宙航行 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 行星的运动 1 题型2 万有引力定律 4 题型3 万有引力理论的成就 9 题型4 宇宙航行 16 题型5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 26 【能力培优练】 31 【链接高考】 42 【重难题型讲解】 题型1 一、开普勒三定律 1、开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。 2、开普勒第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 3、开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等；即：=k,k是一个与行星无关的常量。 4、在中学阶段，我们将椭圆轨道按照圆形轨道处理，则开普勒定律描述为： （1）行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。 （2）对于某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）不变，即行星做匀速圆周运动。 （3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即：=k。 二、天体运动的探索历程 1、托勒密：地心宇宙，即认为地球是宇宙的中心，一切天体围绕地球运行。 2、哥白尼：日心说，即认为太阳是宇宙的中心，一切天体围绕太阳运行。 3、伽利略：发明天文望远镜，证实了日心说的正确性。 4、布鲁诺：日心说的支持者与推动者，哥白尼死后极大的发展了日心说的理论。 5、第谷：观测星体运动，并记录数据。 6、开普勒：潜心研究第谷的观测数据，以20年的时间提出了开普勒三定律。 7、牛顿：在前人的基础上整理总结得出了万有引力定律。 【探究归纳】行星绕太阳沿椭圆轨道运动，遵循开普勒三大定律。 【典例1-1】如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由开普勒第三定律得 设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，即 又由A是地球同步卫星知TA＝T0，联立解得，故选C。 【典例1-2】（多选）电影《流浪地球》是中国科幻作家刘慈欣的代表作，他作品的丰富想象力引起了大家对地球如何离开太阳系的热烈讨论。其中有一种方法是通过不断加速地球上几万座行星发动机使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系，假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，则下列说法正确的是（　　） A．太阳的球心与椭圆的焦点重合 B．地球在近日点的速率小于在远日点的速率 C．地球在远日点的加速度小于在近日点的加速度 D．地球与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积 【答案】AC 【详解】A．太阳的球心与椭圆的焦点重合，选项A正确； B．根据开普勒第二定律可知，地球在近日点的速率大于在远日点的速率，选项B错误； C．根据万有引力定律和牛顿运动定律可知，地球在远日点的加速度小于在近日点的加速度，选项C正确； D．根据开普勒定律可知，地球与太阳中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积，选项D错误。 故选AC。 跟踪训练1哈雷彗星从a点运行到b点、从c点运行到d点的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和，且，则彗星从a运行到b的时间与从c运行到d的时间关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【详解】根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，根据可知从运行到的时间大于从运行到的时间，即。 故选A。 跟踪训练2 （多选）海王星是离地球最远的行星，如图所示为海王星绕太阳做椭圆运动的轨迹图，为近日点，点到太阳中心距离为，海王星在点加速度大小为，线速度大小为；为远日点，点到太阳中心距离为，海王星在点加速度大小为，线速度大小为；为短轴，海王星绕太阳运动的周期为，关于海王星的运动，下列说法正确的是（　　） A．海王星从运动到的时间为 B．海王星从运动到和从运动到比较，海王星与日心连线扫过的面积相等 C． D．，由太阳的质量决定 【答案】CD 【详解】A．根据开普勒第二定律可知，海王星在近日点A的速度最大，远日点D的速度最小，根据对称性可知，海王星从C运动到D的时间大于，故A错误； B．由于从C运动到D的时间大于从D运动到A的时间，因此海王星从C运动到D与日心连线扫过的面积大于从D运动到A与日心连线扫过的面积，故B错误； C．根据牛顿第二定律，有， 可得 故C正确； D．根据开普勒第三定律可知， 由中心天体太阳的质量决定，故D正确。 故选CD。 题型2 一、万有引力定律的内容、推导及适用范围 1、万有引力定律内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2、万有引力定律表达式：；其中G为引力常量，大小为G=6.67×10-11N・m2/kg2；r是两个质点间的距离。如果已知两个物体（可视为质点）的质量和距离就可以计算他们之间的万有引力。 3、万有引力定律的公式适用条件 （1）公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，物体可视为质点。 （2）质量分布均匀的球体间的相互作用力，式中r是两个球体球心间的距离。 （3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体的球心到质点的距离。 4、万有引力的四个特性 （1）普遍性：它存在于宇宙中任何客观存在的两个物体之间。 （2）相互性：任何两物体间的相互引力，都是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。 （3）宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与天体附近的物体间，它的作用才有实际的物理意义。 （4）特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。 二、引力常量及其测定 1、引力常量：引力常量是由英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测定的，其数值为G=6.67×10-11N・m2/kg2。 2、扭称装置实验（实验思想微小量放大法）示意图 （1）扭秤装置把微小力通过杠杆旋转明显反映出来（一次放大）； （2）扭转角度（微小形变）通过光标的移动来反映（二次放大），从而确定物体间的万有引力。 3、测定引力常量的意义 （1）证明了万有引力的存在。 （2）使得万有引力定律有了真正的实用价值，可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等。 三、月—地检验及万有引力的基本计算 1、月—地检验的核心目的：验证地球对月球的引力、地球对地面物体（如苹果）的引力、太阳与行星间的引力，是同一种性质的力，即遵循万有引力定律。 检验的理论推导 （1）假设前提：地球与月球、太阳与行星、地球与苹果间的引力均满足万有引力公式。 （2）月球的向心加速度：月球绕地球做圆周运动，向心加速度其中r是地月中心距离。 苹果的自由落体加速度：苹果的自由落体加速度其中 R 是地球半径。 （2）加速度比值关系：两式相除得已知r≈60R，因此a苹。 数据验证 （1）已知自由落体加速度g=9.8m/s2，地月距离 r=3.8×108m，月球公转周期T=2.36×106s。 （2）计算月球向心加速度： （3）理论预期比值：计算结果与理论预期高度吻合，验证了引力的普适性。 结论与意义：月—地检验证明了地面物体、月球、行星所受引力遵循相同的万有引力定律，为万有引力定律的建立提供了关键实验依据，也体现了 “天上” 与 “地上” 的力具有统一性。 【探究归纳】任意两个质点间存在相互吸引的力，大小与质量乘积成正比、与距离平方成反比。 【典例2-1】有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用“割补法”可知，剩余部分对m1的万有引力为， 联立可得，故选C。 【典例2-2】（多选）物理学家通过艰辛的实验和理论研究，探索出自然规律，为人类的进步做出巨大贡献，值得我们敬仰，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿在前人的研究基础上得出了万有引力定律 B．第谷根据观测行星运动记录提出日心说 C．开普勒总结归纳得出行星运动三定律 D．卡文迪什通过扭秤实验第一次测出了引力常量，被誉为“第一个称量地球的人” 【答案】ACD 【详解】A．牛顿在前人的研究基础上得出了万有引力定律，故A正确； B．哥白尼提出日心说，故B错误； C．开普勒通过第谷观测行星运动的数据总结归纳得出行星运动三定律，故C正确； D．卡文迪什通过扭秤实验第一次测出了引力常量，结合引力公式可求出地球的质量，被誉为“第一个称量地球的人”，故D正确。 故选ACD。 跟踪训练1中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承，被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国2024年的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为、，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球由春分运行到秋分的时间等于年 D．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐增大 【答案】B 【详解】A．开普勒第二定律（面积定律）指出，行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等。因此，地球在近日点（冬至）的速度最大，在远日点（夏至）的速度最小，故A错误； B．根据开普勒第二定律，地球从轨道的冬至位置经过足够短的时间t，与太阳连线扫过的面积可看作很小的扇形其面积 同理，在夏至位置经过足够短的时间t， 由于 故B正确； C．由开普勒第二定律可知，远地点附近速度慢，时间长，所以时间大于公转周期的，故C错误； D．由万有引力公式 解得 地球由春分运行到夏至的过程中r变大，故该过程加速度减小，故D错误。 故选B。 跟踪训练2（多选）中国科幻电影《流浪地球2》热播。电影中设想的地球逃离太阳系过程如图所示，地球现在绕太阳在圆轨道I上运行，运动到A点加速变轨进入椭圆轨道II在椭圆轨道Ⅱ上运动到远日点B时再次加速变轨，从而摆脱太阳的束缚，则地球（　　） A．沿轨道II运行时，由A 点运动到 B 点的过程中，动能逐渐减小 B．沿轨道II运行比沿轨道I的运行周期小 C．沿轨道II运行时，由B 点运动到A点的过程中，太阳对地球的万有引力做正功 D．沿轨道I运行时，太阳对地球的万有引力做负功 【答案】AC 【详解】A．根据开普勒第二定律可知，地球沿轨道Ⅱ运行时，由A点运动到B点的过程中，速度逐渐减小，动能逐渐减小，故A正确； B．根据开普勒第三定律 题图可知轨道Π的半长轴大于轨道I的半径，所以沿轨道Π运行比沿轨道I的运行周期大，故B错误； C．沿轨道Π运行时，由B点运动到A点的过程中，地球靠近太阳，太阳对地球的万有引力做正功，故C正确； D．沿轨道I运行时，地球做匀速圆周运动，太阳对地球的万有引力方向始终与速度方向垂直，万有引力不做功，故D错误。 故选AC。 题型3 一、计算天体的质量 1、天体质量的计算 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 2、万有引力与重力的关系（黄金代换）：对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即，化简得到：GM=gR2，其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，GM=gR2这个式子的应用非常广泛，被称为黄金代换公式。 注意： （1）黄金代换式不止适用于地球，也试用于其他一切天体，其中g表示天体表面的重力加速度、R表示天体半径、M表示天体质量。 （2）应用黄金代换时要注意抓住如“忽略天体自转”、“万有引力近似等于重力”、“天体表面附近”等关键字。 二、天体密度的计算 1、天体密度计算的核心公式为：若天体的半径为R，则，。所有计算方法的本质都是利用万有引力提供圆周运动向心力推导M，再结合天体半径R计算密度，主要分近地环绕法、卫星环绕法、中心天体表面重力法三类。 2、近地环绕法 （1）适用场景：卫星/飞行器贴近天体表面做匀速圆周运动（轨道半径r≈天体半径R，可忽略天体半径与轨道半径的差值）。 （2）公式推导 万有引力提供向心力： 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式，约去R3得：。 （3）关键结论：近地环绕时，天体密度仅与近地卫星的环绕周期T有关，与天体半径、卫星质量均无关，是最常用的简化公式。 3、卫星环绕法（通用法，r=R时使用） （1）适用场景：卫星/行星在天体外任意轨道做匀速圆周运动（轨道半径r>天体半径R，不可近似相等），已知轨道半径r、环绕周期T（或线速度v、角速度ω、向心加速度a）。 （2）公式推导（以周期T为例，其他物理量可换算） 万有引力提供向心力 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式得：。 （3）关键注意：必须区分轨道半径r（卫星到天体球心的距离）和天体自身半径R，不可混淆，这是易错点。 3、中心天体表面重力法（已知表面重力加速度g） （1）适用场景：已知天体表面的重力加速度g和天体自身半径R（无需卫星数据，直接利用天体表面的万有引力近似等于重力）。 （2）公式推导 天体表面的物体，万有引力近似等于重力： 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式得：。 （3）拓展：天体表面附近的重力与圆周运动结合：若已知天体表面重力加速度g，同时知道近地卫星周期T，可通过换算，最终回到近地环绕法公式，本质一致。 4、三类方法对比表（清晰区分适用场景） 方法 核心公式 已知条件 适用场景 关键易错点 近地环绕法 近地卫星环绕周期T、G 卫星贴近天体表面运动 不可用于r≫R的远轨道 卫星环绕法 ​ 轨道半径r、环绕周期T、天体半径R、G 卫星在任意轨道运动 区分r（轨道）和R（天体） 表面重力法 天体表面g、天体半径R、G 已知天体表面重力加速度 g是表面的，非轨道处的 三、发现未知天体与预言哈雷彗星回归 1、发现未知天体：到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。 2、海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。 3、冥王星的发现：海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。 4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。 【归纳总结】万有引力定律可计算天体质量、发现未知天体、统一解释天体与地面运动规律。 【典例3-1】已知北斗导航系统中A、B两个卫星绕地球做圆周运动，距离地面的高度分别为hA、hB，周期分别为TA、TB，根据以上信息，能求出下列哪个量（   ） A．万有引力常量 B．地球的质量 C．地球的平均密度 D．地球的半径 【答案】D 【详解】D．由开普勒第三定律，对两个卫星有 即 该方程可解出地球半径，故D正确； AB．根据万有引力定律和圆周运动公式，卫星绕地球运动满足 解得 由公式只能求得，无法单独求万有引力常量和地球质量，故AB错误； C．根据，地球的质量未知，地球的平均密度不能求出，故C错误。 故选D。 【典例3-2】（多选）一颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，线速度为v，万有引力引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．该人造卫星的轨道半径为 B．该人造卫星的轨道半径为 C．地球的质量为 D．地球的质量为 【答案】AC 【详解】AB．因为得，该人造卫星的轨道半径为，故A正确，B错误； CD．由万有引力提供向心力得， 解得，故C正确，D错误。 故选AC。 【典例3-3】宇航员在地球表面将小球以一定的水平初速度向斜面抛出，斜面倾角，地球表面重力加速度为，小球经（未知）时间恰好垂直撞在斜面上。现宇航员站在某质量分布均匀的星球表面，将小球以相同的初速度向该斜面抛出，小球经的时间落在斜面上，其位移恰与斜面垂直，已知该星球的半径为，引力常量为。求： (1)小球在地球表面运动的时间； (2)该星球表面的重力加速度； (3)该星球的密度。 【详解】（1）在地球表面，根据平抛运动规律得 其中，解得 （2）在星球表面，星球表面重力加速度为，根据平抛运动规律得 ，， 联立解得 （3）在星球表面，根据万有引力和重力的关系可得 解得该星球的质量为 则该星球的密度 跟踪训练1如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一条线，地球位于太阳与土星之间，此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的9倍，则（　　） A．土星绕太阳的公转周期为54年 B．在相同时间内，土星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等 C．土星表面重力加速度的数值比地球表面的小 D．距下一次出现土星冲日现象所需时间约为1.04年 【答案】D 【详解】A．地球绕太阳的公转周期为，设土星绕太阳公转的周期为，根据开普勒第三定律则有 解得，A错误； B．根据开普勒第二定律可知，对同一行星而言，它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等，B错误； C．行星表面物体的重力由万有引力提供，则有 行星表面重力加速度为 土星和地球的质量以及半径未知，无法比较其表面重力加速度的大小，C错误； D．根据题意则有， 整理可得，D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）2024年8月6日，千帆极轨01组卫星一箭18星发射升空，此次发射的千帆极轨01组卫星是我国低轨“千帆星座”的首批组网星，卫星运行的轨道高度距地面约500km到2000km，已知地球半径约为6400km，引力常量，静止卫星的轨道距地面高度约为36000km，运行周期24h，A卫星是01组中轨道最低的，B卫星是01组中轨道最高的，下列说法正确的是（　　） A．A卫星的运行周期约为1.6h B．A、B卫星的运行周期之比约为 C．根据以上信息可以求出地球的质量 D．千帆极轨01组卫星的发射速度大于11.2km/s 【答案】AC 【详解】A．对A卫星和地球的静止卫星，由开普勒第三定律可知 解得 TA≈1.6h 选项A正确； B．由开普勒第三定律可知，A、B卫星的运行周期之比约为 选项B错误； C．根据静止卫星的周期和轨道半径由 可以求出地球的质量，选项C正确； D．千帆极轨01组卫星没有脱离地球的引力，则发射速度小于11.2km/s，选项D错误。 故选AC。 跟踪训练3 假如你将来成为一名航天员并成功登陆火星，你驾驶一艘宇宙飞船飞临火星表面轨道，当你关闭动力装置后，你的飞船紧贴着火星表面做匀速圆周运动飞行一周的时间为T，已知火星的半径为R，引力常量为G，火星可视为质量分布均匀的球体，不考虑火星自转影响。已知球的体积公式为，求： (1)飞船绕火星表面做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)火星的密度； (3)火星表面重力加速度g。 【详解】（1）由向心加速度公式， 联立解得 （2）由 万有引力提供向心力 联立解得 （3）由万有引力提供向心力可知 且 联立解得 题型4 一、宇宙速度 1、第一宇宙速度（环绕速度）大小：7.9km/s；第一宇宙速度是卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度；同时也是使卫星绕地球做匀速圆周运动的最小地面发射速度。 2、第二宇宙速度（脱离速度）大小：11.2 km/s。 （1）意义：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度。 （2）在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v=11.2 km/s。 3、第三宇宙速度（逃逸速度）大小：16.7km/s。 （1）意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度。 （2）在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为v=16.7km/s。 4、第一宇宙速度的计算：地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v，地球半径R。（r=R）。 （1）方法一：由万有引力提供向心力得：（r=R）➯。 （2）方法二：由重力提供万有引力得：（r=R）➯。 二、人造卫星 1、人造卫星的加速度、周期和轨道的关系 （1）向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，即F＝，再根据牛顿第二定律可得，随着轨道半径的增加，卫星的向心力和向心加速度都减小。 （2）线速度v：由得，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。 （3）角速度ω：由得，随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小。 （4）周期T：由得，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。 2、卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律 三、同步卫星、极地卫星和近地卫星 1、同步卫星：位于地面上方高度约36000km处，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103m/s，同步卫星又分为静止卫星和倾斜轨道“同步”卫星。 2、静止卫星：指相对于地面静止的人造卫星，它跟着地球做匀速圆周运动，周期T=24h。静止卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条；所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着。 3、静止卫星的几个定值 （1）轨道平面一定：赤道平面。 （2）周期与角速度一定：T=24h。 （3）轨道半径一定:r=6.6R。 （4）线速度大小一定:v=3.08km/s。 （5）运转方向一定:自西向东，与地球自转的角速度相同。 （6）向心加速度的大小一定:。 （7）绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 （8）同步卫星高度：同步卫星的高度约为36000千米，它们位于赤道上方，保持相对于地面静止。 4、静止卫星的用途：主要用于通信，故也称通信卫星。3颗同步卫星可实现全球覆盖,为了使同步卫星之间不相互干扰，大约3°左右才能放置一颗同步卫星，也就是说，地球上空只能放下120颗同步卫星。截止2012年，已发射100多颗。 5、倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。 6、极地卫星和近地卫星 （1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。 线速度推断：由、（地球半径）；得 （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。 四、不同轨道人造卫星的参数比较 1、卫星运行的一般规律如下： （1）→ （2）→ （3）→ （4）→ 由此可知，当运行半径r增大时，卫星运行的线速度v减小，角速度ω减小，加速度a减小，周期T变大。所以可总结出一条规律为“高轨低速长周期”。即轨道大时，速度（“所有的速度”：线速度、角速度、加速度）较小、周期较大。 2、三种不同轨道卫星的参数对比 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去重力 轨道半径 r2＞r3＝r1 角速度 由＝mω2r，得ω＝ ，故ω1＞ω2 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω2＝ω3 ω1＞ω2＝ω3 线速度 由＝，得v＝，故v1＞v2 由v＝rω，得v2＞v3 v1＞v2＞v3 向心加速度 由＝man，得an＝，故a1＞a2 由an＝ω2r，得a2＞a3 a1＞a2＞a3 4、人造卫星与月球参数对比 离地面距离（h） 离地心距离（r） 线速度（v） 公转周期（T） 月球 3.8×108m 约3.8×108m 1km/s 27.3天 同步卫星 3.6×107m 4.2×107m 3.08km/s 24h 近地卫星 约0 6.4×106m 7.9km/s 84分钟 五、的应用（、多星等问题） 1、卫星的发射及变轨问题：卫星从发射到入轨运行不是一蹴而就的，要经过多次的轨道变化才能实现。 （1）发射地球卫星，如下图 a、先进入近地轨道Ⅲ b、在B点加速进入椭圆轨道Ⅱ c、在远地点A加速进入高轨道Ⅰ （2）发射其他行星的卫星，如下图（以月球为例） a、先进入近地轨道 b、加速进入椭圆轨道 c、多次在近地点加速增加远地点高度，从而进入地月转移轨道 d、在地月转移轨道上的某点被月球引力俘获进入月球轨道 e、在近地点减速减小远地点高度 f、进入环月轨道 2、航天器中的失重现象 （1）完全失重状态：人造地球卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后，其中的人和物将处于失重状态。航天器进入轨道后可以近似认为是绕地球做圆周运动，做圆周运动的物体的速度方向是时刻改变的，因而具有加速度，它的大小等于卫星所在高度处的重力加速度的大小。这跟在以重力加速度下降的升降机中发生的情况类似，航天器中的人和物都处于完全失重状态。 （3）在宇宙飞船中就会发生什么现象呢？ 物体将飘在空中，液滴呈绝对球形，气泡在液体中将不会上浮，食物要做成块状或牙膏似的糊状，以免食物的碎渣“漂浮”在空中，进入宇航员的眼睛、鼻孔等等。 （3）在太空中一切与力有关的仪器都将无法使用。比如弹簧测力计、电子秤等都将不能再使用了。 3、双星系统模型特点：众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星。 （1）两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。 （2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 （3）两星的运动周期、角速度相同。 （4）两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1+r2=L。 （5）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即。 （4）两个结论： ①运动半径：m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。 ②质量之和与周期：由于，r1+r2=L，所以两恒星的质量之和为； 周期 5、多星系统定义：由多个天体组成的系统叫作多星系统；由三个天体组成的系统叫作三星系统。常见的三星系统有两种： （1）三颗恒星在一条直线上，一起绕着某个点运行。 （2）三个恒星不在一条直线上，一起绕着某个点运行。 （3）研究多星系统的基本思路是，每一颗恒星都仅受到其它恒星的引力作用，这些引力的合力要么提供它做圆周运动的向心力，要么使它处于平衡状态。 【归纳总结】达到第一、二、三宇宙速度，可分别实现绕地飞行、脱离地球、飞出太阳系。 【典例4-1】如图所示，a、b是绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星，两卫星运动轨道在同一平面内，且绕地球做圆周运动的绕行方向相同，a、b绕行的周期分别为和T，已知a、b卫星最近距离为d，地球半径为R，引力常量为G，忽略地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．a、b两卫星的半径之比为 B．a、b两卫星的线速度之比为 C．a、b两卫星的角速度之比为 D．a、b两卫星的万有引力之比为 【答案】A 【详解】A．绕同一中心天体运动，由开普勒第三定律，得 变形得 代入、，得 解得，故A正确； B．卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，得 解得 因此 即线速度之比为，故B错误； C．角速度，因此 即角速度之比为​，故C错误； D．万有引力​​，题目未给出两颗卫星的质量关系，无法计算万有引力之比，故D错误。 故选A。 【典例4-2】（多选）如图所示，甲、乙两颗卫星分别绕地球做圆周运动和椭圆运动，为两轨迹的交点，、是椭圆轨道的近地点和远地点，、是圆轨道上的两点。已知、、、四点在同一直线上，且，则下列说法正确的是（　　） A．两卫星运动到点时，线速度相同 B．两卫星运动到点时，加速度相同 C．卫星甲从运动到的时间与卫星乙从运动到的时间相等 D．卫星甲与地心连线与卫星乙与地心连线在相等时间内扫过的面积相等 【答案】BC 【详解】A．两卫星在P点的速度方向一定不同，因此线速度一定不同，故A错误； B．根据牛顿第二定律可得，解得 可知两卫星运动到P点时，加速度相同，故B正确； C．由于，则有 可知图中圆轨道的直径等于椭圆轨道的长轴，即图中圆轨道的半径等于椭圆轨道的半长轴，根据开普勒第三定律可知，两卫星运动的周期相等；则卫星甲从运动到的时间与卫星乙从运动到的时间相等，均等于半个周期，故C正确； D．由于图中圆轨道的直径等于椭圆轨道的长轴，可知图中圆轨道的面积大于椭圆轨道的面积，由于两卫星运动的周期相等，两卫星与地心连线在一个周期内扫过的面积不相等，所以卫星甲与地心连线与卫星乙与地心连线在相等时间内扫过的面积不一定相等，故D错误。 故选BC。 【典例4-3】如图所示为两颗地球卫星的轨道示意图，卫星1圆轨道半径为R，卫星2的轨道是椭圆，且与卫星1的轨道相切于A点，B为其远地点。某时刻两颗卫星同时经过A点，当卫星2第一次运动到B时，卫星1恰好第4次返回A。已知引力常量为G，地球的质量为M，求： (1)卫星1的速度大小； (2)A、B间距离L。 【详解】（1）对卫星1，由万有引力提供向心力有 解得 （2）由题意可知 设轨道2的半长轴为a，由开普勒第三定律公式可得 解得 故A、B间距离 跟踪训练12025年11月14日，神舟二十一号载人飞船顺利地接回了陈冬、陈中瑞、王杰3位航天员。这三位航天员在过去的6个月时间里在轨道高度约为的空间站天和核心舱进行“太空出差生活”。下列说法正确的是（　　） A．若神舟二十一号飞船运行速度超过，将会在离心力作用下离开地球 B．神舟二十一号飞船为了与在较高轨道的天和核心舱对接，需做加速运动进行变轨 C．原计划6个月的太空生活中，三名宇航员应环绕地球运动约1800圈 D．核心舱内可以购置一台普通家用跑步机供宇航员每天跑步进行有效地锻炼身体 【答案】B 【详解】A．7.9km/s是最小的发射速度，若飞船速度超过7.9km/s但小于11.2km/s，轨道会变为椭圆而非圆，但不会脱离地球引力离开地球，故A错误； B．根据卫星变轨原理，飞船要从较低轨道运动到较高轨道，需要在低轨道上进行加速，使得万有引力不足以提供所需的向心力，飞船将做离心运动，故神舟二十一号飞船为了与在较高轨道的天和核心舱对接，需做加速运动进行变轨，故B正确； C．6个月的太空生活中，对三名宇航员有 因高度远小于地球半径，故周期约为1.5小时，代入数据可得三名宇航员将环绕地球运动约为，故C错误； D．核心舱内处于完全失重状态，宇航员在普通家用跑步机上无法“跑”起来，故D错误。 故选B。 跟踪训练2（多选）发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图），则以下判断正确的是（　　） A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道2经过Q点的速度大于它在轨道1经过Q点的速度 C．卫星在轨道2经过Q点的加速度大于它在轨道1经过Q点的加速度 D．卫星在轨道3经过P点的加速度等于它在轨道2经过P点的加速度 【答案】BD 【详解】A．卫星在轨道1和3上均做匀速圆周运动，由万有引力可知 解得 半径大，则速度小，故A错误； B．卫星在轨道1运动经过点时，所受万有引力 卫星在轨道2运动经过点时，卫星做离心运动，所受万有引力 因此有，故B正确； CD．卫星经过同一点时，因所受万有引力相等，所以加速度相等，故C错误，D正确。 故选BD。 跟踪训练3 假设宇航员登上某星球后，用长度为的细绳拴住一个质量为的小球，发现要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，小球通过最高点的最小速度为。 (1)求宇航员所处位置的重力加速度的大小； (2)若该星球的半径为，求该星球的第一宇宙速度。 【详解】（1）由题可知，小球在最高点速度最小时，只受到重力的作用，设小球的质量为m，该星球的重力加速度为g，根据牛顿第二定律可得 解得该星球表面的重力加速度大小为 （2）在该星球表面，重力的大小等于物体万有引力的大小，根据牛顿第二定律可得 解得该星球的第一宇宙速度 题型5 一、相对论时空观 1、狭义相对论的两个基本假设 （1）狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的。 （2）光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的。  2、“同时”的相对性：同时是相对的，与参考系的运动有关。 3、钟慢效应（时间间隔的相对性） （1）一般来说，在一个相对我们做高速运动的惯性系中发生的物理过程，在我们看来，他所经历的时间比在这个惯性系中直接观察到的时间长。惯性系的速度越大，我们观察到的过程所经历的时间也就越长。对于化学反应、生命过程等，这一结论也是正确的。这就是时间延缓效应，又叫做钟慢效应。 （2）钟慢效应的计算公式（时间间隔的相对性）：。 4、尺缩效应（长度的相对性） （1）尺缩效应产生原因：尺缩效应，又称长度收缩效应，是相对论性效应之一。它产生的原因是由于同时性的相对性。在狭义相对论中，两个事件从一个参考系来看是同时的，但从另一个相对运动的参考系来看则不再是同时的。这种对牛顿绝对时空观的破坏导致了尺缩效应的出现。具体来说，当测量一根沿其方向作匀速直线运动的杆子的长度时，必须同时记下它两端的空间位置，而这两个空间位置之间的距离就定义为运动杆子的长度。狭义相对论预言，沿杆子方向运动的杆子的长度会比它静止时的长度短。 （2）尺缩效应实验验证方法：虽然直接验证尺缩效应的实验在宏观尺度上难以实现，但可以通过一些间接的实验来支持这一理论。例如，Rossi and Hall（1941）进行的μ子实验，他们比较了位于山顶和位于海平面的由宇宙射线制造出的μ子数量。尽管μ子从山顶到地面所需的时间已经是几个半衰期，但在海面的μ子数量却只是少了一点。这是由于μ子相对于测试者以高速运动，导致了可观的时间膨胀效应（与尺缩效应相关的一种现象），从而间接支持了尺缩效应的存在。 （3）尺缩效应的应用实例：尺缩效应作为相对论的一个重要效应，其理论意义远大于实际应用。然而，它对于理解高速运动物体的物理行为以及时空的相对性具有重要意义。在理论物理、天体物理以及粒子物理等领域，尺缩效应都是不可或缺的概念。例如，在粒子加速器中，当粒子接近光速运动时，其长度的收缩效应需要考虑在内，以确保实验结果的准确性。 （4）尺缩效应的计算公式（长度的相对性）：。 5、相对论速度的变换公式 以高速火车为例，设车对地面的速度为v，车上的人以速度u'沿着火车前进的方向相对火车运动，那么他相对地面的速度u为如果车上人的运动方向与火车的运动方向相反，则u'取负值。当这两个速度的方向垂直或成其他角度时，情况比较复杂，上式不适用，我们不讨论这种情况。 按照经典的时空观，u=u'+v。而从上式来看，实际上人对地面的速度u比u'与v之和要小，不过只有在u'和u的大小可以与c相比时才会观察到这个差别。 6、相对论质量：按照牛顿力学，物体的质量是不变的，因此一定的力作用在物体上，产生的加速度也是一定的，这样，经过足够长的时间以后物体就会达到任意的速度。 但是相对论的速度叠加公式表明，物体的运动速度不能无限增加，这个矛盾启发我们思考：物体的质量是否随物体速度的增加而增大？ 严格的论证证实了这一点，实际上，物体以速度v运动时的质量m与静止时的质量m0之间有如下关系： 。 由于物体的速度c不可能达到光速，所以总有v＜c，1-＜1；所以物体运动时的质量m总是大于静止时的质量m0。这个方程叫做质增方程。 7、广义相对相对性原理和等效原理 （1）广义相对性原理：在任何参考系中物理规律都是相同的。 （2）等效原理：一个均匀引力场与一个做匀加速运动的参考系等价。 8、广义相对论的几个结论 （1）物质的引力使线弯曲。 （2）引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别。与这一结论相关的现象是引力红移。 二、牛顿力学的局限性 1、牛顿力学的成就：从地面上物体的运动到天体的运动，从拦河筑坝、修建桥梁到设计各种机械，从自行车到汽车、火车、飞机等现代交通工具的运动，从投出篮球到发射导弹、人造地球卫星、宇宙飞船……所有这些都服从牛顿力学的规律。 2、牛顿力学的局限性：牛顿力学对于高速运动的物体和电子、质子、中子等微观粒子是不适用的。 （1）量子力学的建立能够很好地描述宏观低速运动的规律，并在现代科学技术中发挥了重要作用。 （2）相对论与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在一定条件下的特殊情形。 3、经典力学与相对论、量子力学的比较 项目 经典力学 相对论、量子力学 形成时期 物理学形成的初期阶段，受历史发展限制，理论较肤浅、片面 形成于物理学充分发展的现代，理论较完善、科学 适用范围 低速运动、宏观世界 任何情况都适用 速度的合成 时间与空间互不相干，关系式v船岸=v船水十v水岸成立 速度与位移、时间的测量有关，v船岸=v船水十v水岸不成立 联系 （1）以下两种情况，相对论与经典力学的结论没有区别: ①物体的速度远小于光速c(3×108m/s)时。 ②普朗克常量(6.63X10~34J·s)可以忽略不计时。 （2）相对论和量子力学都没有否定经典力学，经典力学是相对论、量子力学的特殊情况。 三、宇宙起源与恒星的演化 1、宇宙起源（宇宙大爆炸理论） （1）宇宙大爆炸理论是目前广泛接受的宇宙起源理论，它表明宇宙起源于一个极度热密的初始状态，然后经历了急剧膨胀。 （2）这一理论解释了宇宙中各种天体的分布、宇宙背景辐射以及宇宙的演化历史。 （3）它是由比利时天文学家乔治•勒梅特和美国天文学家埃德温•哈勃等人提出的。 2、恒星的演化 （1）恒星初级阶段：由星云向外辐射能量，所形成的的反向推力聚集而成，类似于水的冷凝。 （2）恒星阶段：当初始星云，具备了向内运动的动力，并且聚集之后，突破星云物质分子、原子，释放大量热能的同时释放出十分巨大的空间。 （3）恒星衰老之后的演变取决于恒星的质量：当质量足够大能够压破原子核，就能形成中子星；大到能够压迫中子就可能形成所谓的黑洞；当然恒星质量不足，最终无法进入下一个阶段，只能衰变为白矮星。 【归纳总结】牛顿力学适用于低速宏观物体，相对论揭示高速下时空相对，揭示其局限。 【典例5-1】下列运动不能用牛顿力学描述的是（　　） A．电子以接近光速的速度运动 B．火箭携带卫星飞向太空 C．飞机从跑道上起飞 D．高铁列车从广州向北京飞驰 【答案】A 【详解】A．电子是微观粒子且速度接近光速，需考虑相对论效应，牛顿力学不适用，故A正确； B．火箭属于宏观物体且速度远低于光速，可用牛顿力学描述，故B错误； C．飞机是宏观物体且速度较低，牛顿力学适用，故C错误； D．高铁是宏观低速运动，牛顿力学完全适用，故D错误。 故选A。 【典例5-2】（多选）下列说法正确的是（　　） A．家用燃气灶的点火装置用到了尖端放电原理 B．“月地检验”表明地面上的物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从不同的规律 C．快速旋转雨伞时，雨滴从伞边缘甩出，是因为受到背向轴线的离心力 D．在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的 【答案】AD 【详解】A．家用燃气灶的点火装置用到了尖端放电原理，选项A正确； B．“月地检验”表明地面上的物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从相同的规律，选项B错误； C．快速旋转雨伞时，雨滴从伞边缘甩出，是因为水的附着力小于雨滴做圆周运动所需的向心力，从而雨滴做离心运动，选项C错误； D．根据爱因斯坦相对论可知，在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的，选项D正确。 故选AD。 跟踪训练1下列说法正确的是（　　） A．爱因斯坦发现了相对论并成功推翻牛顿力学体系 B．开普勒将第谷的几千个数据归纳出简洁的行星运动三定律，并在此基础上提出了万有引力定律 C．牛顿根据大量实验数据得出了万有引力定律中的比例系数的大小 D．卡文迪许采用“微小量放大法”测出万有引力常量，被称为“第一个称出地球的人” 【答案】D 【详解】A．爱因斯坦的相对论是对牛顿力学的拓展而非推翻，牛顿力学在宏观、低速条件下仍适用，故A错误； B．开普勒总结出行星运动三定律，但万有引力定律由牛顿提出，故B错误； C．万有引力定律中的比例系数由卡文迪许通过实验测定，而非牛顿，故C错误； D．卡文迪许利用“微小量放大法”测出万有引力常量，并据此计算地球质量，故D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）关于万有引力定律发现过程中的科学史，下列说法正确的是（　　） A．托勒密和哥白尼都坚持日心说 B．开普勒发现三定律利用了第谷的观测数据 C．卡文迪许测定了万有引力常量 D．牛顿发现了万有引力定律，说明经典力学适用于任何物体的运动 【答案】BC 【详解】A．托勒密坚持地心说，哥白尼坚持日心说，故A错误； B．开普勒发现三定律利用了第谷的观测数据，故B正确； C．卡文迪许测定了万有引力常量，故C正确； D．牛顿发现了万有引力定律，但经典力学仅适用于宏观、低速运动，不适用于微观、高速运动，故D错误。 故选BC。 【能力培优练】 1．地球的第一宇宙速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一宇宙速度是物体绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度，也是近地轨道的运行速度。 由 可得公式或 （g为地表重力加速度，R为地球半径），代入g=9.8m/s2、R=6400km，计算得v=7.9km/s。 即第一宇宙速度为7.9km/s；11.2km/s为第二宇宙速度（脱离地球引力）；16.7km/s为第三宇宙速度（脱离太阳系）。 故选A。 2．神舟十七号载人飞船在我国酒泉卫星发射中心点火发射成功。若“神舟十七号”在地面时受地球的万有引力为F，则当其上升到离地距离等于两倍地球半径时所受地球的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据万有引力定律，飞船在地面时，到地心的距离等于地球半径，此时受万有引力为 其中为地球质量，为飞船质量，当飞船上升到离地距离等于两倍地球半径时，到地心的距离，此时所受万有引力为 故选C。 3．北京时间2025年9月9日10时00分，我国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭，成功将遥感四十五号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设遥感四十五号卫星在距离地球表面高度为（大约）的轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为。则关于遥感四十五号卫星在轨道上运动时，下列说法正确的是（　　） A．遥感四十五号卫星的向心加速度大于地球表面的重力加速度 B．遥感四十五号卫星的公转周期小于月球的绕地球运行的周期 C．遥感四十五号卫星的角速度等于 D．遥感四十五号卫星的线速度大于第一宇宙速度 【答案】B 【详解】A．根据 可得 由于遥感四十五号卫星绕地球做圆周运动的半径大于地球半径，其向心加速度小于地球表面的重力加速度，故A错误； B．根据 可得 由于遥感四十五号卫星绕地球做圆周运动的半径小于月球绕地球运行的半径，所以其公转周期小于月球的绕地球运行的周期，故B正确； C．根据 又 联立解得遥感四十五号卫星的角速度为，故C错误； D．根据 可得 地球第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度，所以遥感四十五号卫星的线速度小于第一宇宙速度，故D错误。 故选B。 4．在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动的宇宙飞船为实现变轨，在P点向图中箭头所指径向方向极短时间内喷射气体，使飞船获得一定的反冲速度，从而实现变轨，变轨后的轨道如虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。下列说法正确的是（　　） A．飞船变轨前的速度小于变轨后在近地点的速度 B．飞船变轨后在P点的加速度大于变轨前在P点的加速度 C．飞船变轨后在P点的速度小于变轨前在P点的速度 D．飞船变轨后的周期小于变轨前的周期 【答案】A 【详解】AC．变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得指向地心的速度，原切线方向的线速度不变，因此合速度变大；由于飞船变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则飞船变轨前的速度小于变轨后在近地点的速度，故A正确，C错误； B．飞船变轨前、后，在P点受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律 解得 可知飞船变轨前、后在P点的加速度相同，故B错误； D．变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，飞船变轨后的周期大于变轨前的周期，故D错误。 故选A。 5．火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，下列关于火星、地球公转的说法正确的是（　　） A．火星公转的线速度比地球的大 B．火星公转的角速度比地球的大 C．火星公转的半径比地球的小 D．火星公转的加速度比地球的小 【答案】D 【详解】AC．由题意可知，火星冬季时长是地球的1.88倍，因此火星公转周期 即 根据万有引力提供向心力， 解得， 所以 则，故AC错误； B．根据角速度公式， 因此，故B错误； D．根据万有引力提供向心力 可得加速度 由于 所以，故D正确。 故选D。 6．某航天探测任务中，探测器抵达某未知行星后，t＝0时刻将一个小球从行星表面某高处由静止释放，通过遥感设备记录小球的运动状态，得到小球离该行星表面的高度h随时间t变化的图像如图所示。已知该行星半径为R＝45km，下列说法正确的是（　　） A．该行星表面重力加速度大小为8 B．该行星第一宇宙速度大小为m/s C．小球落到行星表面时的速度大小为16m/s D．该行星的“近地”卫星运行周期为s 【答案】B 【详解】A．根据自由下落规律 代入图中数据有 解得行星表面重力加速度大小，故A错误； B．由第一宇宙速度表达式 可知行星第一宇宙速度大小为，故B正确； C．小球落到行星表面时的速度大小为，故C错误； D．该行星的“近地”卫星运行周期为，故D错误。 故选B。 7．如图所示，一探测器绕类地行星Gliese12b做周期为T的椭圆运动，P、Q是轨道上两点，P点距行星球心最近且距离为a、Q点距行星球心最远且距离为b。已知引力常量为G，不考虑其他星球对探测器的引力作用，则下列说法正确的是（　　） A．探测器在P、Q两点的速度之比为 B．该行星的质量为 C．由题目的信息可求出该行星的第一宇宙速度 D．若知道行星表面的重力加速度，则可准确求出在较高的h处由静止释放的小球落地的时间 【答案】B 【详解】A．由开普勒第二定律可得 可得，A项错误； B．根据开普勒第三定律可得， 假设为圆轨道，则 可得 解得，B项正确； C．由牛顿第二定律可得 由于行星的半径R未知，故无法求出该行星的第一宇宙速度，C项错误； D．由于高度h较大，重力加速度不是恒量，同时考虑到空气阻力，小球的运动不能确定，无法准确求出下落时间， D项错误。 故选B。 8．（多选）如图所示，、两颗卫星环绕地球运动，其中绕地球做圆周运动，周期为，卫星经过圆轨道上点时的速度为，绕地球做椭圆运动，周期为，卫星经过远地点点时的速度为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．B的半长轴比A运动的半径大，根据开普勒第三定律可知 故A错误，B正确； CD．根据开普勒第二定律可知，故C正确，D错误； 故选BC。 9．（多选）轨道I和轨道II为载人飞船运行的椭圆轨道和圆形轨道。两轨道相切于B点，A为椭圆轨道的近地点，B为远地点，CD为椭圆轨道的短轴，（已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s2，万有引力常量为），则下列判断正确的是（　　） A．载人飞船从A运动到D的时间等于从B运动到C的时间 B．载人飞船在轨道II上的向心加速度一定小于10m/s2 C．根据已有条件，估算地球的质量约为6×1026kg D．载人飞船沿轨道II通过B点时的速度比沿轨道I通过B点时的速度大 【答案】BD 【详解】A．载人飞船从A运动到D的时间小于从B运动到C的时间，因为近地点周围速度大，故A错误； B．根据万有引力提供向心力可知 解得 可知载人飞船在轨道Ⅱ上的向心加速度一定小于，故B正确； C．根据万有引力提供向心力可知 解得，故C错误； D．从轨道I通过B点进入轨道II，从低轨道进入高轨道需要加速，所以载人飞船沿轨道II通过B点时的速度比沿轨道I通过B点时的速度大，故D正确。 故选BD。 10．（多选）如图所示，飞船从预定轨道I的A点第一次变轨进入椭圆轨道II，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道III，与空间站实现对接。下列说法中正确的是（　　） A．在轨道I和轨道III上飞船与地心连线在相等的时间内扫过的面积相等 B．飞船在圆轨道I的速度不可能大于7.9km/s C．飞船在椭圆轨道II上经过A点时的机械能小于经过B点时的机械能 D．飞船在圆轨道III经过B点时的加速度大小等于飞船在椭圆轨道II经过B点时的加速度大小 【答案】BD 【详解】A．设飞船轨道半径为r，根据万有引力提供向心力 相等的时间t内扫过的面积表达式 两者轨道半径不同，则在相等的时间内扫过的面积不相等，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 飞船在圆轨道I的半径大于地球半径，所以速度不可能大于7.9km/s，故B正确； C．飞船在椭圆轨道II上运动时只受引力作用，机械能守恒，故C错误； D．根据 可知飞船在圆轨道III经过B点时的加速度大小等于飞船在椭圆轨道II经过B点时的加速度大小，故D正确。 故选BD。 11．（多选）根据SpaceStats的统计数据，截止到年月日之前，中国在轨卫星共颗，位居世界第二位，在通信、导航、遥感等领域服务千行百业、走进千家万户。如图所示，某卫星绕地球的运动轨迹为椭圆，是椭圆的长轴，是椭圆的短轴，是椭圆中心，已知、之间的距离为且卫星绕地球一周的时间为，引力常量为。下列说法正确的是（　　） A．卫星在点和点的速度相同 B．卫星从运动到所用的时间等于 C．卫星从运动到的过程中，地球对卫星的万有引力做正功 D．地球的质量为 【答案】CD 【详解】AB．根据开普勒第二定律可知，卫星在点速度最大，点速度最小，卫星在点和点的速度大小相等，但速度方向不同，卫星从A运动到B所用时间小于，AB错误； C．卫星从A运动到B的过程中，万有引力方向与速度方向夹角为锐角，地球对卫星的万有引力做正功，C正确； D．根据开普勒第三定律有，若绕地球轨迹为圆，则有 则有 解得，D正确。 故选CD。 12．（多选）中国计划于2025年5月发射“天问二号”火星探测器，其变轨过程如图所示，探测器在近日点M短暂加速后进入霍曼转移轨道，接着沿着这个轨道抵达远日点P，又在P点短暂加速进入火星轨道。已知引力常量为G，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R。若只考虑太阳对探测器的作用力。下列正确的是（　　） A．探测器在霍曼转移轨道上经过P点的速率小于在地球轨道上经过M点的速率 B．探测器在地球轨道上的线速度与在火星轨道上的线速度之比为 C．探测器运行中在霍曼转移轨道上P点的加速度与在火星轨道上P点的加速度之比为 D．探测器在霍曼转移轨道上的运行周期与在火星轨道的运行周期之比为 【答案】AD 【详解】A．根据 可得 所以，探测器在地球轨道的线速度大于火星轨道的线速度，即v地 > v火，探测器从霍曼转移轨道到火星轨道需在P点点火加速则v火 > v霍P，综上所述v地 > v霍P，故A正确； B．根据 可得 即探测器在地球轨道上的线速度为 同理，可得探测器在火星轨道上的线速度大小 则探测器在地球轨道上的线速度与在火星轨道上的线速度之比为，故B错误； C．探测器运行中在霍曼转移轨道上过P点与在火星轨道上过P点时，根据 可得 则探测器运行中在霍曼转移轨道上P点的加速度与在火星轨道上P点的加速度相等，故C错误； D．探测器在霍曼转移轨道上与在火星轨道上运行时，根据开普勒第三定律有 其中 联立探测器在霍曼转移轨道上的运行周期与在火星轨道的运行周期之比为，故D正确。 故选AD。 13．某资源侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面的高度为，其侦察的最大张角为（未知），如图所示。已知地球半径为，地球表面的重力加速度大小为。 (1)若，求侦察卫星离地高度与地球半径的关系； (2)求侦察卫星的运行周期。 【详解】（1）若，由几何关系有 解得 （2）由万有引力提供向心力得 在地球表面有 联立解得 14．我国计划2028年前后实现火星样品的返回，我国探索火星的脚步不会停止。假设某航天员登上火星后在火星表面进行如图实验：不可伸长的轻绳一端系一质量为的小球（可视为质点），另一端固定在点。当小球绕点在竖直面内做圆周运动通过最低点时速度为，此时绳的弹力的大小为小球重力的7倍。已知火星的半径为，引力常量为，不计阻力。求： (1)火星表面的重力加速度大小； (2)火星的质量； (3)已知火星的自转周期为，若航天器在火星的同步轨道运行，则航天器距火星表面的高度。 【详解】（1）小球用绳连接在火星表面做竖直面内的变速圆周运动，在最低点有 而，解得 （2）物体在火星表面所受的万有引力等于重力，有 可得火星的质量为 （3）设火星的同步卫星轨道半径为，由万有引力提供向心力有 由于 联立解得航天器距火星表面的高度为 15．2020年7月23日，天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射，探测器经过约7个月的飞行抵达火星，中国航天开启了走向深空的新旅程。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，如图所示，假设在火星表面附近，一个在轻绳约束下的质量为m=1kg的小球在光滑的斜面上做半径为r=10m的圆周运动，斜面与水平面夹角为θ=37°，假设火星是均匀球体，已知万有引力常量为G，不计一切阻力。（地球表面重力加速度为10m/s2） (1)求火星表面重力加速度g火及通过斜面最高点时小球的最小速度为多少？ (2)当小球通过斜面最高点的速度为5m/s时，轻绳受到的拉力为多少？ 【详解】（1）在地球表面附近 在火星表面附近 可得 因为火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，所以 可得 在斜面上做圆周运动，当以最小速度通过最高点时，是重力沿斜面向下的分力充当向心力 解得 （2）当通过最高点的速度为5m/s时，有 解得T=0.1N 根据牛顿第三定律可得轻绳所受拉力为0.1N，方向沿斜面向上。 【链接高考】 1．（2025·浙江·高考真题）2025年4月30日，“神舟十九号载人飞船”返回舱安全着陆，宇航员顺利出舱。在其返回过程中，下列说法正确的是（　　） A．研究返回舱运行轨迹时，可将其视为质点 B．随着返回舱不断靠近地面，地球对其引力逐渐减小 C．返回舱落地前，反推发动机点火减速，宇航员处于失重状态 D．用返回舱的轨迹长度和返回时间，可计算其平均速度的大小 【答案】A 【详解】A．当物体的大小和形状对所研究的问题影响可忽略时可将其视为质点，研究返回舱的运行轨迹时，其尺寸远小于轨迹长度，形状和结构不影响轨迹分析，可将其视为质点，故A正确； B．地球对返回舱的引力由公式 决定，其中为返回舱到地心的距离，返回舱靠近地面时，减小，引力增大，故B错误； C．反推发动机点火减速时，返回舱的加速度方向向上。根据牛顿第二定律，宇航员受到的支持力大于重力，处于超重状态，而非失重状态，故C错误； D．平均速度的定义是位移与时间的比值，而轨迹长度为路程，轨迹长度与时间的比值是平均速率，而非平均速度的大小，故D错误。 故选A。 2．（2025·天津·高考真题）2025年5月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、B两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径，则卫星A比B（　　） A．线速度小、角速度小 B．线速度小、运行周期小 C．加速度大、角速度大 D．加速度大、运行周期大 【答案】A 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有 解得，，， 由于轨道半径 可得，，， 故选A。 3．（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得 故C正确，D错误。 故选BC。 4．（2024·天津·高考真题）（多选）卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为R。卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，轨道半径为r。则卫星未发射时和在轨道上运行时（　　） A．角速度之比为 B．线速度之比为 C．向心加速度之比为 D．受到地球的万有引力之比为 【答案】AC 【详解】A．卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，角速度与地球自转角速度相等，卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，角速度与地球自转角速度相等，则卫星未发射时和在轨道上运行时角速度之比为，故A正确； B．根据题意，由公式可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则线速度之比为轨道半径之比，故B错误； C．根据题意，由公式可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则向心加速度之比为轨道半径之比，故C正确； D．根据题意，由公式可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，受到地球的万有引力之比与轨道半径的平方成反比，即，故D错误。 故选AC。 5．（2023·北京·高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。    【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有 解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力定律和向心力公式有 解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 万有引力与宇宙航行 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 行星的运动 1 题型2 万有引力定律 3 题型3 万有引力理论的成就 6 题型4 宇宙航行 11 题型5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 19 【能力培优练】 22 【链接高考】 27 【重难题型讲解】 题型1 一、开普勒三定律 1、开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。 2、开普勒第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 3、开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等；即：=k,k是一个与行星无关的常量。 4、在中学阶段，我们将椭圆轨道按照圆形轨道处理，则开普勒定律描述为： （1）行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。 （2）对于某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）不变，即行星做匀速圆周运动。 （3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即：=k。 二、天体运动的探索历程 1、托勒密：地心宇宙，即认为地球是宇宙的中心，一切天体围绕地球运行。 2、哥白尼：日心说，即认为太阳是宇宙的中心，一切天体围绕太阳运行。 3、伽利略：发明天文望远镜，证实了日心说的正确性。 4、布鲁诺：日心说的支持者与推动者，哥白尼死后极大的发展了日心说的理论。 5、第谷：观测星体运动，并记录数据。 6、开普勒：潜心研究第谷的观测数据，以20年的时间提出了开普勒三定律。 7、牛顿：在前人的基础上整理总结得出了万有引力定律。 【探究归纳】行星绕太阳沿椭圆轨道运动，遵循开普勒三大定律。 【典例1-1】如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选）电影《流浪地球》是中国科幻作家刘慈欣的代表作，他作品的丰富想象力引起了大家对地球如何离开太阳系的热烈讨论。其中有一种方法是通过不断加速地球上几万座行星发动机使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系，假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，则下列说法正确的是（　　） A．太阳的球心与椭圆的焦点重合 B．地球在近日点的速率小于在远日点的速率 C．地球在远日点的加速度小于在近日点的加速度 D．地球与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积 跟踪训练1哈雷彗星从a点运行到b点、从c点运行到d点的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和，且，则彗星从a运行到b的时间与从c运行到d的时间关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 跟踪训练2 （多选）海王星是离地球最远的行星，如图所示为海王星绕太阳做椭圆运动的轨迹图，为近日点，点到太阳中心距离为，海王星在点加速度大小为，线速度大小为；为远日点，点到太阳中心距离为，海王星在点加速度大小为，线速度大小为；为短轴，海王星绕太阳运动的周期为，关于海王星的运动，下列说法正确的是（　　） A．海王星从运动到的时间为 B．海王星从运动到和从运动到比较，海王星与日心连线扫过的面积相等 C． D．，由太阳的质量决定 题型2 一、万有引力定律的内容、推导及适用范围 1、万有引力定律内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2、万有引力定律表达式：；其中G为引力常量，大小为G=6.67×10-11N・m2/kg2；r是两个质点间的距离。如果已知两个物体（可视为质点）的质量和距离就可以计算他们之间的万有引力。 3、万有引力定律的公式适用条件 （1）公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，物体可视为质点。 （2）质量分布均匀的球体间的相互作用力，式中r是两个球体球心间的距离。 （3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体的球心到质点的距离。 4、万有引力的四个特性 （1）普遍性：它存在于宇宙中任何客观存在的两个物体之间。 （2）相互性：任何两物体间的相互引力，都是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。 （3）宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与天体附近的物体间，它的作用才有实际的物理意义。 （4）特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。 二、引力常量及其测定 1、引力常量：引力常量是由英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测定的，其数值为G=6.67×10-11N・m2/kg2。 2、扭称装置实验（实验思想微小量放大法）示意图 （1）扭秤装置把微小力通过杠杆旋转明显反映出来（一次放大）； （2）扭转角度（微小形变）通过光标的移动来反映（二次放大），从而确定物体间的万有引力。 3、测定引力常量的意义 （1）证明了万有引力的存在。 （2）使得万有引力定律有了真正的实用价值，可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等。 三、月—地检验及万有引力的基本计算 1、月—地检验的核心目的：验证地球对月球的引力、地球对地面物体（如苹果）的引力、太阳与行星间的引力，是同一种性质的力，即遵循万有引力定律。 检验的理论推导 （1）假设前提：地球与月球、太阳与行星、地球与苹果间的引力均满足万有引力公式。 （2）月球的向心加速度：月球绕地球做圆周运动，向心加速度其中r是地月中心距离。 苹果的自由落体加速度：苹果的自由落体加速度其中 R 是地球半径。 （2）加速度比值关系：两式相除得已知r≈60R，因此a苹。 数据验证 （1）已知自由落体加速度g=9.8m/s2，地月距离 r=3.8×108m，月球公转周期T=2.36×106s。 （2）计算月球向心加速度： （3）理论预期比值：计算结果与理论预期高度吻合，验证了引力的普适性。 结论与意义：月—地检验证明了地面物体、月球、行星所受引力遵循相同的万有引力定律，为万有引力定律的建立提供了关键实验依据，也体现了 “天上” 与 “地上” 的力具有统一性。 【探究归纳】任意两个质点间存在相互吸引的力，大小与质量乘积成正比、与距离平方成反比。 【典例2-1】有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】（多选）物理学家通过艰辛的实验和理论研究，探索出自然规律，为人类的进步做出巨大贡献，值得我们敬仰，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿在前人的研究基础上得出了万有引力定律 B．第谷根据观测行星运动记录提出日心说 C．开普勒总结归纳得出行星运动三定律 D．卡文迪什通过扭秤实验第一次测出了引力常量，被誉为“第一个称量地球的人” 跟踪训练1中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承，被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国2024年的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为、，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球由春分运行到秋分的时间等于年 D．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐增大 跟踪训练2（多选）中国科幻电影《流浪地球2》热播。电影中设想的地球逃离太阳系过程如图所示，地球现在绕太阳在圆轨道I上运行，运动到A点加速变轨进入椭圆轨道II在椭圆轨道Ⅱ上运动到远日点B时再次加速变轨，从而摆脱太阳的束缚，则地球（　　） A．沿轨道II运行时，由A 点运动到 B 点的过程中，动能逐渐减小 B．沿轨道II运行比沿轨道I的运行周期小 C．沿轨道II运行时，由B 点运动到A点的过程中，太阳对地球的万有引力做正功 D．沿轨道I运行时，太阳对地球的万有引力做负功 题型3 一、计算天体的质量 1、天体质量的计算 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 2、万有引力与重力的关系（黄金代换）：对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即，化简得到：GM=gR2，其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，GM=gR2这个式子的应用非常广泛，被称为黄金代换公式。 注意： （1）黄金代换式不止适用于地球，也试用于其他一切天体，其中g表示天体表面的重力加速度、R表示天体半径、M表示天体质量。 （2）应用黄金代换时要注意抓住如“忽略天体自转”、“万有引力近似等于重力”、“天体表面附近”等关键字。 二、天体密度的计算 1、天体密度计算的核心公式为：若天体的半径为R，则，。所有计算方法的本质都是利用万有引力提供圆周运动向心力推导M，再结合天体半径R计算密度，主要分近地环绕法、卫星环绕法、中心天体表面重力法三类。 2、近地环绕法 （1）适用场景：卫星/飞行器贴近天体表面做匀速圆周运动（轨道半径r≈天体半径R，可忽略天体半径与轨道半径的差值）。 （2）公式推导 万有引力提供向心力： 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式，约去R3得：。 （3）关键结论：近地环绕时，天体密度仅与近地卫星的环绕周期T有关，与天体半径、卫星质量均无关，是最常用的简化公式。 3、卫星环绕法（通用法，r=R时使用） （1）适用场景：卫星/行星在天体外任意轨道做匀速圆周运动（轨道半径r>天体半径R，不可近似相等），已知轨道半径r、环绕周期T（或线速度v、角速度ω、向心加速度a）。 （2）公式推导（以周期T为例，其他物理量可换算） 万有引力提供向心力 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式得：。 （3）关键注意：必须区分轨道半径r（卫星到天体球心的距离）和天体自身半径R，不可混淆，这是易错点。 3、中心天体表面重力法（已知表面重力加速度g） （1）适用场景：已知天体表面的重力加速度g和天体自身半径R（无需卫星数据，直接利用天体表面的万有引力近似等于重力）。 （2）公式推导 天体表面的物体，万有引力近似等于重力： 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式得：。 （3）拓展：天体表面附近的重力与圆周运动结合：若已知天体表面重力加速度g，同时知道近地卫星周期T，可通过换算，最终回到近地环绕法公式，本质一致。 4、三类方法对比表（清晰区分适用场景） 方法 核心公式 已知条件 适用场景 关键易错点 近地环绕法 近地卫星环绕周期T、G 卫星贴近天体表面运动 不可用于r≫R的远轨道 卫星环绕法 ​ 轨道半径r、环绕周期T、天体半径R、G 卫星在任意轨道运动 区分r（轨道）和R（天体） 表面重力法 天体表面g、天体半径R、G 已知天体表面重力加速度 g是表面的，非轨道处的 三、发现未知天体与预言哈雷彗星回归 1、发现未知天体：到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。 2、海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。 3、冥王星的发现：海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。 4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。 【归纳总结】万有引力定律可计算天体质量、发现未知天体、统一解释天体与地面运动规律。 【典例3-1】已知北斗导航系统中A、B两个卫星绕地球做圆周运动，距离地面的高度分别为hA、hB，周期分别为TA、TB，根据以上信息，能求出下列哪个量（   ） A．万有引力常量 B．地球的质量 C．地球的平均密度 D．地球的半径 【典例3-2】（多选）一颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，线速度为v，万有引力引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．该人造卫星的轨道半径为 B．该人造卫星的轨道半径为 C．地球的质量为 D．地球的质量为 【典例3-3】宇航员在地球表面将小球以一定的水平初速度向斜面抛出，斜面倾角，地球表面重力加速度为，小球经（未知）时间恰好垂直撞在斜面上。现宇航员站在某质量分布均匀的星球表面，将小球以相同的初速度向该斜面抛出，小球经的时间落在斜面上，其位移恰与斜面垂直，已知该星球的半径为，引力常量为。求： (1)小球在地球表面运动的时间； (2)该星球表面的重力加速度； (3)该星球的密度。 跟踪训练1如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一条线，地球位于太阳与土星之间，此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的9倍，则（　　） A．土星绕太阳的公转周期为54年 B．在相同时间内，土星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等 C．土星表面重力加速度的数值比地球表面的小 D．距下一次出现土星冲日现象所需时间约为1.04年 跟踪训练2（多选）2024年8月6日，千帆极轨01组卫星一箭18星发射升空，此次发射的千帆极轨01组卫星是我国低轨“千帆星座”的首批组网星，卫星运行的轨道高度距地面约500km到2000km，已知地球半径约为6400km，引力常量，静止卫星的轨道距地面高度约为36000km，运行周期24h，A卫星是01组中轨道最低的，B卫星是01组中轨道最高的，下列说法正确的是（　　） A．A卫星的运行周期约为1.6h B．A、B卫星的运行周期之比约为 C．根据以上信息可以求出地球的质量 D．千帆极轨01组卫星的发射速度大于11.2km/s 跟踪训练3 假如你将来成为一名航天员并成功登陆火星，你驾驶一艘宇宙飞船飞临火星表面轨道，当你关闭动力装置后，你的飞船紧贴着火星表面做匀速圆周运动飞行一周的时间为T，已知火星的半径为R，引力常量为G，火星可视为质量分布均匀的球体，不考虑火星自转影响。已知球的体积公式为，求： (1)飞船绕火星表面做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)火星的密度； (3)火星表面重力加速度g。 题型4 一、宇宙速度 1、第一宇宙速度（环绕速度）大小：7.9km/s；第一宇宙速度是卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度；同时也是使卫星绕地球做匀速圆周运动的最小地面发射速度。 2、第二宇宙速度（脱离速度）大小：11.2 km/s。 （1）意义：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度。 （2）在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v=11.2 km/s。 3、第三宇宙速度（逃逸速度）大小：16.7km/s。 （1）意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度。 （2）在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为v=16.7km/s。 4、第一宇宙速度的计算：地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v，地球半径R。（r=R）。 （1）方法一：由万有引力提供向心力得：（r=R）➯。 （2）方法二：由重力提供万有引力得：（r=R）➯。 二、人造卫星 1、人造卫星的加速度、周期和轨道的关系 （1）向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，即F＝，再根据牛顿第二定律可得，随着轨道半径的增加，卫星的向心力和向心加速度都减小。 （2）线速度v：由得，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。 （3）角速度ω：由得，随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小。 （4）周期T：由得，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。 2、卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律 三、同步卫星、极地卫星和近地卫星 1、同步卫星：位于地面上方高度约36000km处，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103m/s，同步卫星又分为静止卫星和倾斜轨道“同步”卫星。 2、静止卫星：指相对于地面静止的人造卫星，它跟着地球做匀速圆周运动，周期T=24h。静止卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条；所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着。 3、静止卫星的几个定值 （1）轨道平面一定：赤道平面。 （2）周期与角速度一定：T=24h。 （3）轨道半径一定:r=6.6R。 （4）线速度大小一定:v=3.08km/s。 （5）运转方向一定:自西向东，与地球自转的角速度相同。 （6）向心加速度的大小一定:。 （7）绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 （8）同步卫星高度：同步卫星的高度约为36000千米，它们位于赤道上方，保持相对于地面静止。 4、静止卫星的用途：主要用于通信，故也称通信卫星。3颗同步卫星可实现全球覆盖,为了使同步卫星之间不相互干扰，大约3°左右才能放置一颗同步卫星，也就是说，地球上空只能放下120颗同步卫星。截止2012年，已发射100多颗。 5、倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。 6、极地卫星和近地卫星 （1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。 线速度推断：由、（地球半径）；得 （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。 四、不同轨道人造卫星的参数比较 1、卫星运行的一般规律如下： （1）→ （2）→ （3）→ （4）→ 由此可知，当运行半径r增大时，卫星运行的线速度v减小，角速度ω减小，加速度a减小，周期T变大。所以可总结出一条规律为“高轨低速长周期”。即轨道大时，速度（“所有的速度”：线速度、角速度、加速度）较小、周期较大。 2、三种不同轨道卫星的参数对比 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去重力 轨道半径 r2＞r3＝r1 角速度 由＝mω2r，得ω＝ ，故ω1＞ω2 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω2＝ω3 ω1＞ω2＝ω3 线速度 由＝，得v＝，故v1＞v2 由v＝rω，得v2＞v3 v1＞v2＞v3 向心加速度 由＝man，得an＝，故a1＞a2 由an＝ω2r，得a2＞a3 a1＞a2＞a3 4、人造卫星与月球参数对比 离地面距离（h） 离地心距离（r） 线速度（v） 公转周期（T） 月球 3.8×108m 约3.8×108m 1km/s 27.3天 同步卫星 3.6×107m 4.2×107m 3.08km/s 24h 近地卫星 约0 6.4×106m 7.9km/s 84分钟 五、的应用（、多星等问题） 1、卫星的发射及变轨问题：卫星从发射到入轨运行不是一蹴而就的，要经过多次的轨道变化才能实现。 （1）发射地球卫星，如下图 a、先进入近地轨道Ⅲ b、在B点加速进入椭圆轨道Ⅱ c、在远地点A加速进入高轨道Ⅰ （2）发射其他行星的卫星，如下图（以月球为例） a、先进入近地轨道 b、加速进入椭圆轨道 c、多次在近地点加速增加远地点高度，从而进入地月转移轨道 d、在地月转移轨道上的某点被月球引力俘获进入月球轨道 e、在近地点减速减小远地点高度 f、进入环月轨道 2、航天器中的失重现象 （1）完全失重状态：人造地球卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后，其中的人和物将处于失重状态。航天器进入轨道后可以近似认为是绕地球做圆周运动，做圆周运动的物体的速度方向是时刻改变的，因而具有加速度，它的大小等于卫星所在高度处的重力加速度的大小。这跟在以重力加速度下降的升降机中发生的情况类似，航天器中的人和物都处于完全失重状态。 （3）在宇宙飞船中就会发生什么现象呢？ 物体将飘在空中，液滴呈绝对球形，气泡在液体中将不会上浮，食物要做成块状或牙膏似的糊状，以免食物的碎渣“漂浮”在空中，进入宇航员的眼睛、鼻孔等等。 （3）在太空中一切与力有关的仪器都将无法使用。比如弹簧测力计、电子秤等都将不能再使用了。 3、双星系统模型特点：众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星。 （1）两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。 （2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 （3）两星的运动周期、角速度相同。 （4）两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1+r2=L。 （5）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即。 （4）两个结论： ①运动半径：m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。 ②质量之和与周期：由于，r1+r2=L，所以两恒星的质量之和为； 周期 5、多星系统定义：由多个天体组成的系统叫作多星系统；由三个天体组成的系统叫作三星系统。常见的三星系统有两种： （1）三颗恒星在一条直线上，一起绕着某个点运行。 （2）三个恒星不在一条直线上，一起绕着某个点运行。 （3）研究多星系统的基本思路是，每一颗恒星都仅受到其它恒星的引力作用，这些引力的合力要么提供它做圆周运动的向心力，要么使它处于平衡状态。 【归纳总结】达到第一、二、三宇宙速度，可分别实现绕地飞行、脱离地球、飞出太阳系。 【典例4-1】如图所示，a、b是绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星，两卫星运动轨道在同一平面内，且绕地球做圆周运动的绕行方向相同，a、b绕行的周期分别为和T，已知a、b卫星最近距离为d，地球半径为R，引力常量为G，忽略地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．a、b两卫星的半径之比为 B．a、b两卫星的线速度之比为 C．a、b两卫星的角速度之比为 D．a、b两卫星的万有引力之比为 【典例4-2】（多选）如图所示，甲、乙两颗卫星分别绕地球做圆周运动和椭圆运动，为两轨迹的交点，、是椭圆轨道的近地点和远地点，、是圆轨道上的两点。已知、、、四点在同一直线上，且，则下列说法正确的是（　　） A．两卫星运动到点时，线速度相同 B．两卫星运动到点时，加速度相同 C．卫星甲从运动到的时间与卫星乙从运动到的时间相等 D．卫星甲与地心连线与卫星乙与地心连线在相等时间内扫过的面积相等 【典例4-3】如图所示为两颗地球卫星的轨道示意图，卫星1圆轨道半径为R，卫星2的轨道是椭圆，且与卫星1的轨道相切于A点，B为其远地点。某时刻两颗卫星同时经过A点，当卫星2第一次运动到B时，卫星1恰好第4次返回A。已知引力常量为G，地球的质量为M，求： (1)卫星1的速度大小； (2)A、B间距离L。 跟踪训练12025年11月14日，神舟二十一号载人飞船顺利地接回了陈冬、陈中瑞、王杰3位航天员。这三位航天员在过去的6个月时间里在轨道高度约为的空间站天和核心舱进行“太空出差生活”。下列说法正确的是（　　） A．若神舟二十一号飞船运行速度超过，将会在离心力作用下离开地球 B．神舟二十一号飞船为了与在较高轨道的天和核心舱对接，需做加速运动进行变轨 C．原计划6个月的太空生活中，三名宇航员应环绕地球运动约1800圈 D．核心舱内可以购置一台普通家用跑步机供宇航员每天跑步进行有效地锻炼身体 跟踪训练2（多选）发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图），则以下判断正确的是（　　） A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道2经过Q点的速度大于它在轨道1经过Q点的速度 C．卫星在轨道2经过Q点的加速度大于它在轨道1经过Q点的加速度 D．卫星在轨道3经过P点的加速度等于它在轨道2经过P点的加速度 跟踪训练3 假设宇航员登上某星球后，用长度为的细绳拴住一个质量为的小球，发现要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，小球通过最高点的最小速度为。 (1)求宇航员所处位置的重力加速度的大小； (2)若该星球的半径为，求该星球的第一宇宙速度。 题型5 一、相对论时空观 1、狭义相对论的两个基本假设 （1）狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的。 （2）光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的。  2、“同时”的相对性：同时是相对的，与参考系的运动有关。 3、钟慢效应（时间间隔的相对性） （1）一般来说，在一个相对我们做高速运动的惯性系中发生的物理过程，在我们看来，他所经历的时间比在这个惯性系中直接观察到的时间长。惯性系的速度越大，我们观察到的过程所经历的时间也就越长。对于化学反应、生命过程等，这一结论也是正确的。这就是时间延缓效应，又叫做钟慢效应。 （2）钟慢效应的计算公式（时间间隔的相对性）：。 4、尺缩效应（长度的相对性） （1）尺缩效应产生原因：尺缩效应，又称长度收缩效应，是相对论性效应之一。它产生的原因是由于同时性的相对性。在狭义相对论中，两个事件从一个参考系来看是同时的，但从另一个相对运动的参考系来看则不再是同时的。这种对牛顿绝对时空观的破坏导致了尺缩效应的出现。具体来说，当测量一根沿其方向作匀速直线运动的杆子的长度时，必须同时记下它两端的空间位置，而这两个空间位置之间的距离就定义为运动杆子的长度。狭义相对论预言，沿杆子方向运动的杆子的长度会比它静止时的长度短。 （2）尺缩效应实验验证方法：虽然直接验证尺缩效应的实验在宏观尺度上难以实现，但可以通过一些间接的实验来支持这一理论。例如，Rossi and Hall（1941）进行的μ子实验，他们比较了位于山顶和位于海平面的由宇宙射线制造出的μ子数量。尽管μ子从山顶到地面所需的时间已经是几个半衰期，但在海面的μ子数量却只是少了一点。这是由于μ子相对于测试者以高速运动，导致了可观的时间膨胀效应（与尺缩效应相关的一种现象），从而间接支持了尺缩效应的存在。 （3）尺缩效应的应用实例：尺缩效应作为相对论的一个重要效应，其理论意义远大于实际应用。然而，它对于理解高速运动物体的物理行为以及时空的相对性具有重要意义。在理论物理、天体物理以及粒子物理等领域，尺缩效应都是不可或缺的概念。例如，在粒子加速器中，当粒子接近光速运动时，其长度的收缩效应需要考虑在内，以确保实验结果的准确性。 （4）尺缩效应的计算公式（长度的相对性）：。 5、相对论速度的变换公式 以高速火车为例，设车对地面的速度为v，车上的人以速度u'沿着火车前进的方向相对火车运动，那么他相对地面的速度u为如果车上人的运动方向与火车的运动方向相反，则u'取负值。当这两个速度的方向垂直或成其他角度时，情况比较复杂，上式不适用，我们不讨论这种情况。 按照经典的时空观，u=u'+v。而从上式来看，实际上人对地面的速度u比u'与v之和要小，不过只有在u'和u的大小可以与c相比时才会观察到这个差别。 6、相对论质量：按照牛顿力学，物体的质量是不变的，因此一定的力作用在物体上，产生的加速度也是一定的，这样，经过足够长的时间以后物体就会达到任意的速度。 但是相对论的速度叠加公式表明，物体的运动速度不能无限增加，这个矛盾启发我们思考：物体的质量是否随物体速度的增加而增大？ 严格的论证证实了这一点，实际上，物体以速度v运动时的质量m与静止时的质量m0之间有如下关系： 。 由于物体的速度c不可能达到光速，所以总有v＜c，1-＜1；所以物体运动时的质量m总是大于静止时的质量m0。这个方程叫做质增方程。 7、广义相对相对性原理和等效原理 （1）广义相对性原理：在任何参考系中物理规律都是相同的。 （2）等效原理：一个均匀引力场与一个做匀加速运动的参考系等价。 8、广义相对论的几个结论 （1）物质的引力使线弯曲。 （2）引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别。与这一结论相关的现象是引力红移。 二、牛顿力学的局限性 1、牛顿力学的成就：从地面上物体的运动到天体的运动，从拦河筑坝、修建桥梁到设计各种机械，从自行车到汽车、火车、飞机等现代交通工具的运动，从投出篮球到发射导弹、人造地球卫星、宇宙飞船……所有这些都服从牛顿力学的规律。 2、牛顿力学的局限性：牛顿力学对于高速运动的物体和电子、质子、中子等微观粒子是不适用的。 （1）量子力学的建立能够很好地描述宏观低速运动的规律，并在现代科学技术中发挥了重要作用。 （2）相对论与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在一定条件下的特殊情形。 3、经典力学与相对论、量子力学的比较 项目 经典力学 相对论、量子力学 形成时期 物理学形成的初期阶段，受历史发展限制，理论较肤浅、片面 形成于物理学充分发展的现代，理论较完善、科学 适用范围 低速运动、宏观世界 任何情况都适用 速度的合成 时间与空间互不相干，关系式v船岸=v船水十v水岸成立 速度与位移、时间的测量有关，v船岸=v船水十v水岸不成立 联系 （1）以下两种情况，相对论与经典力学的结论没有区别: ①物体的速度远小于光速c(3×108m/s)时。 ②普朗克常量(6.63X10~34J·s)可以忽略不计时。 （2）相对论和量子力学都没有否定经典力学，经典力学是相对论、量子力学的特殊情况。 三、宇宙起源与恒星的演化 1、宇宙起源（宇宙大爆炸理论） （1）宇宙大爆炸理论是目前广泛接受的宇宙起源理论，它表明宇宙起源于一个极度热密的初始状态，然后经历了急剧膨胀。 （2）这一理论解释了宇宙中各种天体的分布、宇宙背景辐射以及宇宙的演化历史。 （3）它是由比利时天文学家乔治•勒梅特和美国天文学家埃德温•哈勃等人提出的。 2、恒星的演化 （1）恒星初级阶段：由星云向外辐射能量，所形成的的反向推力聚集而成，类似于水的冷凝。 （2）恒星阶段：当初始星云，具备了向内运动的动力，并且聚集之后，突破星云物质分子、原子，释放大量热能的同时释放出十分巨大的空间。 （3）恒星衰老之后的演变取决于恒星的质量：当质量足够大能够压破原子核，就能形成中子星；大到能够压迫中子就可能形成所谓的黑洞；当然恒星质量不足，最终无法进入下一个阶段，只能衰变为白矮星。 【归纳总结】牛顿力学适用于低速宏观物体，相对论揭示高速下时空相对，揭示其局限。 【典例5-1】下列运动不能用牛顿力学描述的是（　　） A．电子以接近光速的速度运动 B．火箭携带卫星飞向太空 C．飞机从跑道上起飞 D．高铁列车从广州向北京飞驰 【典例5-2】（多选）下列说法正确的是（　　） A．家用燃气灶的点火装置用到了尖端放电原理 B．“月地检验”表明地面上的物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从不同的规律 C．快速旋转雨伞时，雨滴从伞边缘甩出，是因为受到背向轴线的离心力 D．在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的 跟踪训练1下列说法正确的是（　　） A．爱因斯坦发现了相对论并成功推翻牛顿力学体系 B．开普勒将第谷的几千个数据归纳出简洁的行星运动三定律，并在此基础上提出了万有引力定律 C．牛顿根据大量实验数据得出了万有引力定律中的比例系数的大小 D．卡文迪许采用“微小量放大法”测出万有引力常量，被称为“第一个称出地球的人” 跟踪训练2（多选）关于万有引力定律发现过程中的科学史，下列说法正确的是（　　） A．托勒密和哥白尼都坚持日心说 B．开普勒发现三定律利用了第谷的观测数据 C．卡文迪许测定了万有引力常量 D．牛顿发现了万有引力定律，说明经典力学适用于任何物体的运动 【能力培优练】 1．地球的第一宇宙速度是（　　） A． B． C． D． 2．神舟十七号载人飞船在我国酒泉卫星发射中心点火发射成功。若“神舟十七号”在地面时受地球的万有引力为F，则当其上升到离地距离等于两倍地球半径时所受地球的万有引力为（　　） A． B． C． D． 3．北京时间2025年9月9日10时00分，我国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭，成功将遥感四十五号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设遥感四十五号卫星在距离地球表面高度为（大约）的轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为。则关于遥感四十五号卫星在轨道上运动时，下列说法正确的是（ ） A．遥感四十五号卫星的向心加速度大于地球表面的重力加速度 B．遥感四十五号卫星的公转周期小于月球的绕地球运行的周期 C．遥感四十五号卫星的角速度等于 D．遥感四十五号卫星的线速度大于第一宇宙速度 4．在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动的宇宙飞船为实现变轨，在P点向图中箭头所指径向方向极短时间内喷射气体，使飞船获得一定的反冲速度，从而实现变轨，变轨后的轨道如虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。下列说法正确的是（　　） A．飞船变轨前的速度小于变轨后在近地点的速度 B．飞船变轨后在P点的加速度大于变轨前在P点的加速度 C．飞船变轨后在P点的速度小于变轨前在P点的速度 D．飞船变轨后的周期小于变轨前的周期 5．火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，下列关于火星、地球公转的说法正确的是（　　） A．火星公转的线速度比地球的大 B．火星公转的角速度比地球的大 C．火星公转的半径比地球的小 D．火星公转的加速度比地球的小 6．某航天探测任务中，探测器抵达某未知行星后，t＝0时刻将一个小球从行星表面某高处由静止释放，通过遥感设备记录小球的运动状态，得到小球离该行星表面的高度h随时间t变化的图像如图所示。已知该行星半径为R＝45km，下列说法正确的是（　　） A．该行星表面重力加速度大小为8 B．该行星第一宇宙速度大小为m/s C．小球落到行星表面时的速度大小为16m/s D．该行星的“近地”卫星运行周期为s 7．如图所示，一探测器绕类地行星Gliese12b做周期为T的椭圆运动，P、Q是轨道上两点，P点距行星球心最近且距离为a、Q点距行星球心最远且距离为b。已知引力常量为G，不考虑其他星球对探测器的引力作用，则下列说法正确的是（　　） A．探测器在P、Q两点的速度之比为 B．该行星的质量为 C．由题目的信息可求出该行星的第一宇宙速度 D．若知道行星表面的重力加速度，则可准确求出在较高的h处由静止释放的小球落地的时间 8．（多选）如图所示，、两颗卫星环绕地球运动，其中绕地球做圆周运动，周期为，卫星经过圆轨道上点时的速度为，绕地球做椭圆运动，周期为，卫星经过远地点点时的速度为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（多选）轨道I和轨道II为载人飞船运行的椭圆轨道和圆形轨道。两轨道相切于B点，A为椭圆轨道的近地点，B为远地点，CD为椭圆轨道的短轴，（已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s2，万有引力常量为），则下列判断正确的是（　　） A．载人飞船从A运动到D的时间等于从B运动到C的时间 B．载人飞船在轨道II上的向心加速度一定小于10m/s2 C．根据已有条件，估算地球的质量约为6×1026kg D．载人飞船沿轨道II通过B点时的速度比沿轨道I通过B点时的速度大 10．（多选）如图所示，飞船从预定轨道I的A点第一次变轨进入椭圆轨道II，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道III，与空间站实现对接。下列说法中正确的是（　　） A．在轨道I和轨道III上飞船与地心连线在相等的时间内扫过的面积相等 B．飞船在圆轨道I的速度不可能大于7.9km/s C．飞船在椭圆轨道II上经过A点时的机械能小于经过B点时的机械能 D．飞船在圆轨道III经过B点时的加速度大小等于飞船在椭圆轨道II经过B点时的加速度大小 11．（多选）根据SpaceStats的统计数据，截止到年月日之前，中国在轨卫星共颗，位居世界第二位，在通信、导航、遥感等领域服务千行百业、走进千家万户。如图所示，某卫星绕地球的运动轨迹为椭圆，是椭圆的长轴，是椭圆的短轴，是椭圆中心，已知、之间的距离为且卫星绕地球一周的时间为，引力常量为。下列说法正确的是（　　） A．卫星在点和点的速度相同 B．卫星从运动到所用的时间等于 C．卫星从运动到的过程中，地球对卫星的万有引力做正功 D．地球的质量为 12．（多选）中国计划于2025年5月发射“天问二号”火星探测器，其变轨过程如图所示，探测器在近日点M短暂加速后进入霍曼转移轨道，接着沿着这个轨道抵达远日点P，又在P点短暂加速进入火星轨道。已知引力常量为G，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R。若只考虑太阳对探测器的作用力。下列正确的是（　　） A．探测器在霍曼转移轨道上经过P点的速率小于在地球轨道上经过M点的速率 B．探测器在地球轨道上的线速度与在火星轨道上的线速度之比为 C．探测器运行中在霍曼转移轨道上P点的加速度与在火星轨道上P点的加速度之比为 D．探测器在霍曼转移轨道上的运行周期与在火星轨道的运行周期之比为 13．某资源侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面的高度为，其侦察的最大张角为（未知），如图所示。已知地球半径为，地球表面的重力加速度大小为。 (1)若，求侦察卫星离地高度与地球半径的关系； (2)求侦察卫星的运行周期。 14．我国计划2028年前后实现火星样品的返回，我国探索火星的脚步不会停止。假设某航天员登上火星后在火星表面进行如图实验：不可伸长的轻绳一端系一质量为的小球（可视为质点），另一端固定在点。当小球绕点在竖直面内做圆周运动通过最低点时速度为，此时绳的弹力的大小为小球重力的7倍。已知火星的半径为，引力常量为，不计阻力。求： (1)火星表面的重力加速度大小； (2)火星的质量； (3)已知火星的自转周期为，若航天器在火星的同步轨道运行，则航天器距火星表面的高度。 15．2020年7月23日，天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射，探测器经过约7个月的飞行抵达火星，中国航天开启了走向深空的新旅程。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，如图所示，假设在火星表面附近，一个在轻绳约束下的质量为m=1kg的小球在光滑的斜面上做半径为r=10m的圆周运动，斜面与水平面夹角为θ=37°，假设火星是均匀球体，已知万有引力常量为G，不计一切阻力。（地球表面重力加速度为10m/s2） (1)求火星表面重力加速度g火及通过斜面最高点时小球的最小速度为多少？ (2)当小球通过斜面最高点的速度为5m/s时，轻绳受到的拉力为多少？ 【链接高考】 1．（2025·浙江·高考真题）2025年4月30日，“神舟十九号载人飞船”返回舱安全着陆，宇航员顺利出舱。在其返回过程中，下列说法正确的是（　　） A．研究返回舱运行轨迹时，可将其视为质点 B．随着返回舱不断靠近地面，地球对其引力逐渐减小 C．返回舱落地前，反推发动机点火减速，宇航员处于失重状态 D．用返回舱的轨迹长度和返回时间，可计算其平均速度的大小 2．（2025·天津·高考真题）2025年5月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、B两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径，则卫星A比B（　　） A．线速度小、角速度小 B．线速度小、运行周期小 C．加速度大、角速度大 D．加速度大、运行周期大 3．（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 4．（2024·天津·高考真题）（多选）卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为R。卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，轨道半径为r。则卫星未发射时和在轨道上运行时（　　） A．角速度之比为 B．线速度之比为 C．向心加速度之比为 D．受到地球的万有引力之比为 5．（2023·北京·高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。    / 学科网（北京）股份有限公司 $