21.3.2 菱形 （第1课时）课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

菱形 1、菱形的性质 平行四边形的性质： 边 平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等； 角 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补． 对角线 平行四边形的对角线互相平分； 1．平行四边形有哪些性质？ 1．平行四边形的概念． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．平行四边形有哪些性质？ 边：对边平行；对边相等． 对角线：对角线互相平分． 角：对角相等；邻角互补． 2 2．我们知道平行四边形的角特殊化（直角）得到矩形；那么平行四边形的边特殊化（相等），又会得到什么样的图形，这样的图形又有哪些特殊的性质呢？今天让我们一起来探究一下． 2．我们知道平行四边形的角特殊化（直角）得到矩形；那么平行四边形的边特殊化（相等），又会得到什么样的图形，这样的图形又有哪些特殊的性质呢？今天让我们一起来探究一下． 设计意图：通过复习平行四边形性质，通过提出问题，引出平行四边形、矩形、菱形之间的关系，激发学生好奇心和主动学习的欲望，引出新课． 3 1．菱形的定义 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 菱形 邻边相等 （二）探究新知 多媒体展示平行四边形、矩形、菱形之间的动态关系．提出问题，引导学生思考，动手，归纳，总结． 1．菱形的定义． 菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 4 几何语言 ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 菱形：（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． A D B C 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 菱形：（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 5 2．菱形在我们的生活中有广泛的应用，你能举出生活中的菱形的实际例子吗？ 2．菱形在我们的生活中有广泛的应用，你能举出生活中的菱形的实际例子吗？ 6 3．如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 有人是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可．你知道其中的道理吗？ 3．如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 有人是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可．你知道其中的道理吗？ 7 4．大家按照这种方法剪出一个菱形，然后画出菱形的两条折痕，并通过折叠手中的图形思考回答以下问题： 4．大家按照这种方法剪出一个菱形，然后画出菱形的两条折痕，并通过折叠手中的图形思考回答以下问题： 8 （1）有哪些相等的线段？ （2）有哪些相等的角？ （3）有哪些直角三角形？ （4）有哪些等腰三角形？ （5）有哪几对全等三角形？ 已知四边形ABCD是菱形 （1）有哪些相等的线段？ （2）有哪些相等的角？ （3）有哪些直角三角形？ （4）有哪些等腰三角形？ （5）有哪几对全等三角形？ 9 相等的线段： AB＝BC＝CD＝DA， OA＝OC，OB＝OD． 相等的角： ∠DAB＝∠BCD，∠ABC ＝∠CDA ； ∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC ＝90° ； ∠1＝∠2＝∠3＝∠4；∠5＝∠6＝∠7＝∠8． A B C D 1 2 4 3 7 8 6 5 相等的线段：AB＝BC＝CD＝DA，OA＝OC，OB＝OD． 相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA； ∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°； ∠1＝∠2＝∠3＝∠4；∠5＝∠6＝∠7＝∠8． 10 直角三角形： Rt△AOB，Rt△BOC ， Rt△COD ， Rt△DOA． 等腰三角形：△ABC ， △CDA，△BCD，△DAB ． 全等三角形：　 Rt△AOB≌Rt△COB≌Rt△COD≌Rt△AOD， △DAB≌△DCB，△ABC≌△ADC． A　 B　 C　 D　 Ｏ　 直角三角形：Rt△AOB，Rt△BOC，Rt△COD，Rt△DOA． 等腰三角形：△ABC，△BCD，△CDA，△DAB． 全等三角形：Rt△AOB≌Rt△COB≌Rt△COD≌Rt△AOD，△DAB≌△DCB，△ABC≌△ADC． 11 5．通过上面的活动，你能猜想出菱形可能具有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质？ 猜想1：四条边相等． 猜想2：两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． 5．通过上面的活动，你能猜想出菱形可能具有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质？ 猜想1：四条边相等． 猜想2：两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． 12 6．你能证明上述猜想吗？ 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA． 　 由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，因此我们得到： 菱形的性质1：菱形的四条边都相等． A D B C 6．你能证明上述猜想吗？ （1）由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，因此我们得到： 菱形的性质1：菱形的四条边都相等． 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA． 13 已知：如图，四边形ABCD是菱形． 求证：AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC． A　 B　 C　 D　 Ｏ　 （2）猜想2的证明： 已知：如图，四边形ABCD是菱形． 求证：AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC． 14 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA=AB（菱形的定义）， OD=OB（平行四边形的对角线互相平分）． ∴AC⊥DB，AC平分∠DAB （等腰三角形三线合一）． 同理：AC平分∠DCB； DB平分∠ADC和∠ABC． A　 B　 C　 D　 Ｏ　 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝AB（菱形的定义）， OD＝OB（平行四边形的对角线互相平分）． ∴AC⊥DB，AC平分∠DAB（等腰三角形三线合一）． 同理：AC平分∠DCB； DB平分∠ADC和∠ABC． 15 经过证明，此命题为真命题，可以作为菱形的性质． 　　菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每 一条对角线平分一组对角． 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥DB，AC平分∠DAB和∠DCB， DB平分∠ADC和∠ABC． A　 B　 C　 D　 Ｏ　 经过证明，此命题为真命题． 菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥DB，AC平分∠DAB和∠DCB，DB平分∠ADC和∠ABC． 16 7．菱形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 菱形是轴对称图形，对称轴有两条，是菱形两条对角线所在的直线． A B C D O 7．菱形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 菱形是轴对称图形，对称轴有两条，是菱形两条对角线所在的直线． 17 8．归纳总结一下菱形具有哪些性质？ （1）边：两组对边平行且相等；四条边都相等． （2）角：两组对角分别相等；邻角互补． （3）对角线：两条对角线互相垂直平分，并且每一 条对角线平分一组对角． （4）轴对称性：是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线． 8．归纳总结一下菱形具有哪些性质？ （1）边：菱形的对边平行且相等；菱形的四条边都相等． （2）角：菱形的两组对角分别相等；菱形的邻角互补． （3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． （4）轴对称性：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线． 设计意图：通过类比矩形探究菱形性质的过程，让学生经历“观察——类比——动手——猜想——证明”等活动，总结出菱形的性质，了解菱形与平行四边形及矩形性质的区别，探索出菱形的性质，体会几何图形研究的一般步骤和方法． 18 A B C D O 【例】如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD． 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． （三）例题精析 例 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． 19 A B 解：∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD， ∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°． 在Rt△OAB中， AO= AB= ×20=10（m）， （m）． C D O 学生独立完成解答 20 C A B D O ∴花坛的两条小路长AC=2AO=20（m）， （m）． 花坛的面积 （ ）． A　 B　 C　 D　 Ｏ　 【例】菱形ABCD两条对角线BD，AC长分别是6 cm和8 cm，求菱形的面积． 从中你发现了什么？ 菱形的面积等于对角线乘积的一半． 教师分析，学生完成解答 22 2．如下图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则∠ABD＝______． 60° 1．已知菱形的周长是12 cm，那么它的边长是______． 3 cm 1．已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______． 2．如下图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则∠ABD＝______． 23 3．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O．若AC＝6，BD＝4，则菱形的周长是______． 　　解析：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，BO＝DO．又因为AC＝6，BD＝4，所以AO＝3，BO＝2．所以 ．再根据菱形的四条边相等得到该菱形的周长为 ． 3．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O．若AC＝6，BD＝4，则菱形的周长是______． 24 1．如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（ ）． A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 2．已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若 ， 且AE＝6，则菱形的边长为（ ）． A．12 B．8 C．4 D．2 C C 1．如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（ ）． A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 答案：C． 2．已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若 ，且AE＝6，则菱形的边长为 （ ）． A．12 B．8 C．4 D．2 答案：C． 解析：菱形的面积等于底×高，AE＝6，菱形的四条边都相等，所以BC＝4． 25 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E．若 ∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）． 　　解析：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∠BAD＋∠ADC＝180°．又∵∠ADC＝130°，∴∠BAD＝50°．∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝25°．∵OE⊥AB，∴∠OAE＋∠AOE＝90°．∴∠AOE＝65°．因此应选B． A．75° B．65° C．55° D．50° B 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E．若 ∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）． A．75° B．65° C．55° D．50° 解析：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∠BAD＋∠ADC＝180°．又∵∠ADC＝130°， ∴∠BAD＝50°．∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝25°．∵OE⊥AB，∴∠OAE＋∠AOE＝90°．∴∠AOE＝65°．因此应选B． 26 1．什么样的图形叫做菱形？菱形与平行四边形有什么关系？ 2．菱形具有哪些性质？哪些是一般平行四边形所具有的？哪些是一般平行四边形不具有的？菱形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点？ （五）课堂小结 （1）什么样的图形叫做菱形？菱形与平行四边形有什么关系？ （2）菱形具有哪些性质？哪些是一般平行四边形所具有的？哪些是一般平行四边形不具有的？菱形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点？ 设计意图：通过提问总结，让学生回顾本节课的知识，掌握菱形的两条性质，了解菱形的性质与矩形的性质的区别和联系． 27 布置作业 1．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝10cm，则AC＝_______cm，BD＝_______cm． 1．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝10cm，则AC＝______cm，BD＝______cm． 28 2．已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD＝∠CBE． B E F C D A 2．已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD＝∠CBE． 29 谢谢观看 $