21.3.2《菱形》（第2课时）课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

菱形 2、菱形的判定 1．思考下面的问题，然后填写表格． （1）菱形、矩形的定义是什么？ （2）它们分别比平行四边形多了哪些性质？ （3）怎样判定一个四边形是矩形？ （一）复习思考 1．思考下面的问题，然后填写表格． （1）菱形、矩形的定义是什么？ （2）它们分别比平行四边形多了哪些性质？ （3）怎样判定一个四边形是矩形？ 2 矩形 菱形 定义 性质 边 角 对角线 判定 矩形 菱形 定义 有一角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形的性质 性质 边 角 对角线 四个角都是直角 相等 互相垂直且平分每一组对角 判定 有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形 四条边都相等 ？ 教师引导，学生完成表格内容 4 2．我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是定义，那么我们类比它们，菱形的第一种判定方法是什么呢？ A B C D 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 根据定义得： ∵在□ABCD中，AB＝AD， ∴□ABCD是菱形． 那么还有其它方法吗？今天就让我们一起来探究一下． 2．我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是定义，那么我们类比它们，菱形的第一种判定方法是什么呢？ 一组邻边相等的平行四边形是菱形．（定义判定） 几何语言： ∵在□ABCD中，AB＝AD， ∴□ABCD是菱形． 那么还有其它方法来判定菱形吗？今天就让我们一起来探究一下． 5 1．用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？猜想一下菱形还可能有什么判定方法？ 猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 1．用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？猜想一下菱形还可能有什么判定方法？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 6 B　 C　 A　　 D　 O　 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD． 又∵AC⊥BD， ∴AO垂直平分BD． ∴AB=AD． ∴□ABCD是菱形． 已知：□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且 AC⊥BD．求证：□ABCD是菱形． 2．你能证明以上猜想的正确性？ 2．你能证明以上猜想的正确性？ 已知：□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD． 求证：□ABCD是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD． 又∵AC⊥BD， ∴AO垂直平分BD． ∴AB＝AD． ∴□ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）． 7 菱形的判定定理1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 几何语言： ∵□ABCD，AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形． B　 C　 A　　 D　 O　 菱形的判定定理1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 几何语言： ∵□ABCD，AC⊥BD（已知）， ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 8 3．先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？猜想一下菱形还可能有什么判定方法？ 猜想： 有四条边相等的四边形是菱形． A　　 B　　 C　　 D 3．先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？ 猜想一下菱形还可能有什么判定方法？ 猜想：有四条边相等的四边形是菱形． 9 已知：四边形ABCD，AB=BC=CD=DA． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB=BC=CD=DA， ∴AB=CD，BC=DA． ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形 . D　 C　 A　　 B　 　 4．你能证明这个猜想的正确性？ 4．你能证明这个猜想的正确性？ 已知：四边形ABCD，AB＝BC＝CD＝DA． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝BC＝CD＝DA， ∴AB＝CD，BC＝DA． ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 10 菱形的判定定理2： 四条边相等的四边形是菱形． 几何语言： ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形． D　 C　 A　　 B　 　 菱形的判定定理2： 四条边相等的四边形是菱形． 几何语言： ∵AB＝BC＝CD＝DA（已知）， ∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）． 11 5．你能归纳菱形的判定方法吗？ （1）定义： 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）判定定理1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）判定定理2： 四条边相等的四边形是菱形． 5．你能归纳菱形的判定方法吗？ （1）定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）判定定理2：四条边相等的四边形是菱形． 12 【例】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AB＝5，AO＝4，BO＝3． 求证：□ABCD是菱形． B　 C　 A　　 D　 O　 （三）例题解析 【例】 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3． 求证：□ABCD是菱形． 13 证明：∵AB=5，AO＝4，BO＝3， ∴ ． ∴△AOB是直角三角形， 且∠AOB=90°． ∴AC⊥BD． ∴□ABCD是菱形． B　 C　 A　　 D　 O　 证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3， ∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD． ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 14 　　【例】如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB． （1）求证：∠ABE＝∠EAD； （2）若∠AEB＝2∠ADB， 求证：四边形ABCD是菱形． B C D E A 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB． （1）求证：∠ABE＝∠EAD； （2）若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形． 15 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠AEB＝∠EAD． 又∵AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB． ∴∠ABE＝∠EAD． A B C D E 解答：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC． ∴∠AEB＝∠EAD． 又∵AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB． ∴∠ABE＝∠EAD． 16 （2）∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC． 又∵∠AEB＝2∠ADB，∠AEB＝∠ABE， ∴∠ABE＝2∠DBC． ∴∠ABD＝∠DBC． ∴∠ABD＝∠ADB． ∴AB＝AD． 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． A B C D E （2）∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC． 又∵∠AEB＝2∠ADB，∠AEB＝∠ABE， ∴∠ABE＝2∠DBC． ∴∠ABD＝∠DBC． ∴∠ABD＝∠ADB． ∴AB＝AD． 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 17 1．判断下列说法是否正确． （1）对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ） （2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形； （ ） （3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是 菱形． （ ） （4）两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的 四边形是菱形． （ ） × √ × × （四）课堂练习 1．判断下列说法是否正确． （1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（ ） （2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ） （3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；（ ） （4）两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（ ） 18 2．□ABCD的对角线AC与BD相交于点O． （1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形． （4）若∠BAO＝∠DAO，则□ABCD是____形． 矩 菱 矩 菱 2．□ABCD的对角线AC与BD相交于点O． （1）若AB＝AD，则□ABCD是_______形； （2）若AC＝BD，则□ABCD是_______形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是_______形． （4）若∠BAO＝∠DAO，则□ABCD是_______形． 19 1．下列命题中正确的是（ 　）． A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．三条边相等的四边形是菱形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是菱形 2．对角线互相垂直且平分的四边形是（ 　 ）． A．矩形 B．一般的平行四边形 C．菱形 D．以上都不对 C C （六）课堂检测 1．下列命题中正确的是（ ）． A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．三条边相等的四边形是菱形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是菱形 2．对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）． A．矩形 B．一般的平行四边形 C．菱形 D．以上都不对 20 3．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ 　）． A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，且AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD C 3．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）． A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，且AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD 21 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由． A B C D E F 1 2 3 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由． 答案： 1．C．2．C．3．C． 22 四边形AEDF是菱形 理由：∵DE∥AC DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∵ DE ∥AC， ∴∠2＝∠3． ∵ AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠1＝∠2． ∴AE＝DE． ∴ □AEDF是菱形． A B C D E F 1 2 3 4．四边形AEDF是菱形 理由：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∵DE∥AC， ∴∠2＝∠3． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2． ∴AE＝DE． ∴□AEDF是菱形． 23 一组邻边相等 对角线互相垂直 四条边相等 五种判定方法 四边形 平行四边形 菱形 菱形的判定方法： 总结归纳 24 布置作业 1．如图，用直尺和圆规作一个菱形，得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）． A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D B A C （七）布置作业 1．如图，用直尺和圆规作一个菱形，得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）． A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 25 2．一边长为5 cm的平行四边形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，则这个平行四边形为_______形，其面积为________． 3．如图在菱形ABCD中，CE⊥AB，CF⊥AD，则CE______ CF，BE______DF． 2．边长为5cm的平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为___________形，其面积为___________． 3．如图在菱形ABCD中，CE⊥AB，CF⊥AD，则CE______CF，BE______DF． 26 4．如图，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由． A B C D E F O 4．如图，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由． 27 谢谢观看 $