第1章 §8 三角函数的简单应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦三角函数的简单应用这一核心知识点，从三角函数作为周期现象模型的导入出发，系统梳理已知模型解决实际问题、根据数据求解析式、建立模型及应用的完整脉络，搭建从理解模型到解决问题的学习支架。 该资料以水车、潮汐等生活实例为载体，引导学生用数学眼光观察周期现象，通过例题分析和跟踪训练培养逻辑推理与数学建模能力，以函数解析式精准表达实际问题。课中助力教师引导学生分析，课后通过练习题帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

§8　三角函数的简单应用 新课导入 学习目标 三角函数是研究周期现象的最重要的数学模型．如图，假定在水流量稳定的情况下，水车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，具有周期性，因而可以用三角函数模型刻画它们的运动规律． 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型． 2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题． 一　已知三角函数模型解决实际问题 [例1] 某地庙会每天8点开始，17点结束．通过观察发现，游客数量f(x)(单位：人)与时间x之间，可以近似地用函数f(x)＝600sin (ωx＋φ)＋k(ω>0，|φ|<)来刻画，其中x∈[8，17]，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1 250人，之后游客逐渐减少． (1)求出函数f(x)的解析式； (2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？ 【解】　(1)由题意得f(10)＝350， f(14)＝1 250，且sin (14ω＋φ)＝1， 故 故 又ω>0，|φ|<，解得ω＝，φ＝， 故函数f(x)的解析式为f(x)＝600sin (x＋)＋650，x∈[8，17]. (2)当x∈[8，17]时，x＋∈[，3π]， 令600sin (x＋)＋650＝950，解得x＋＝或x＋＝，解得x＝12或x＝16，结合函数图象(图略)及x∈[8，17]，可得当x∈[8，12]或x∈[16，17]时，可保证在场的游客都能得到福字，所以应选择在8点到12点或16点到17点两个时间段赠送福字． 已知函数模型求解实际问题的一般思路 (1)这类题一般明确指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b或y＝A cos (ωx＋φ)＋b的函数来刻画，解这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可． (2)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，最大值为b＋A，最小值为b－A. [跟踪训练1] (多选)(2025·南昌期中)潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为y＝A cos (ωx＋)＋6(其中A>0，ω>0)，其中y(单位：m)为港口水深，x(单位：h)为时间(0≤x≤24)，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔约为6 h，且中午12点的水深为8 m，为保证安全，当水深不小于8 m时，开放船只出入，则下列说法正确的是　(　　) A．ω＝ B．最高水位为12 m C．该港口从上午8点开始首次开放船只出入 D．一天内开放船只出入的时长为4 h 解析：选AC.对于A，依题意＝＝6，所以ω＝，故A正确； 对于B，当x＝12时，y＝A cos (×12＋)＋6＝8，解得A＝4， 所以最高水位为10 m，故B错误； 对于C，D，由上可知y＝4cos (x＋)＋6，令y≥8，解得8≤x≤12或者20≤x≤24，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放船只出入的时长为8 h，故C正确，D错误． 二　已知三角函数模型求解析式 [例2] 如图，某网络信息交换系统一天监测瞬时信息流量(单位：GB)变化情况近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π，0≤x≤24). (1)求出A，ω，φ，b的值，写出这段曲线的函数解析式； (2)若瞬时信息流量超过45 GB，则该网络系统会拥堵，求一天中该网络系统会有多长时间出现拥堵． 【解】　(1)由题图可得A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40， T＝＝2×(14－8)＝12，解得ω＝， 由8×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 得φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π， 所以φ＝，所以这段曲线的函数解析式为 y＝10sin (x＋)＋40(0≤x≤24). (2)由题意得10sin (x＋)＋40>45， 解得12k<x<12k＋4，k∈Z， 所以当x∈(0，4)∪(12，16)时，y>45，故一天会有4＋4＝8小时出现拥堵． 此类问题主要是根据图象特征或函数性质确定模型中的参数． [跟踪训练2] (多选)(2025·南阳期中)如图是半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)，则下列说法正确的是(　　) A．R＝6，ω＝，φ＝－ B．当t∈[35，55]时，点P到x轴距离最大为6 C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减 D．当t＝20时，点P的坐标为(0，6) 解析：选ABD.水车的半径R＝＝6，函数y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)(ω>0)的最小正周期T＝＝60， 所以ω＝， 由f(0)＝6sin φ＝－3，解得sin φ＝－， 则φ＝－＋2kπ，k∈Z，且|φ|<， 所以φ＝－，故A正确； 所以f(t)＝6sin (t－)，当t∈[35，55]时，t－∈[π，]，所以当t－＝， 即t＝50时，f(t)取得最小值－6，故此时点P到x轴的最大距离为6，故B正确； 当t∈[10，25]时，t－∈[，]，所以f(t)在[10，25]上先增后减，故C错误； 当t＝20时，f(20)＝6sin ＝6，此时P点坐标为(0，6)，故D正确． 三　三角函数模型的建立及应用 [例3] (多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　) A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒 【解析】　由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)，又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(秒)，故A错误； 当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝(弧度)，而－＝，点P正好处于最低点，故B正确； 建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度 H＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由得 又角速度ω＝＝(弧度/秒)， 当t＝0时，∠xOP0＝， 所以ω＝，φ＝－， 所以点P距离水面的高度H＝2sin (t－)＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，故C正确； 将H＝1＋代入H＝2sin ＋1中，得t－＝2kπ＋(k∈N)或t－＝2kπ＋(k∈N)，即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N). 所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确． 【答案】　BCD 建立三角函数模型解决实际问题的步骤 [跟踪训练3] 如图，质点P在半径为2 cm的圆周上按逆时针方向匀速运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1 rad/s.求： (1)点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式； (2)点P的运动周期和频率． 解：(1)由P0(，－)，得∠P0Ox＝－， 角速度为1 rad/s，点P从P0逆时针运动t s后，∠P0OP＝t， 所以∠xOP＝t－， 所以点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为y＝2sin (t－)(t≥0). (2)由(1)知点P的运动周期为 T＝＝2π， 所以频率为＝. 1．如图所示是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数解析式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　) A．， B．2， C．，π D．2，π 解析：选A.当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为. 2．(多选)已知一质点做简谐运动的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．该质点的运动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 D．该质点的运动周期为0.8 s 解析：选BCD.由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错误，D正确； 该质点的振幅为5，所以B正确； 由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．故选BCD. 3.(2025·桂林月考)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为P(x，y)，若初始位置为P0(，)，当秒针针尖从P0(注：此时t＝0)开始转动时，点P的纵坐标y与时间t(单位：s)的函数关系式为____________． 解析：设秒针的角速度为ω，因为秒针转一圈是60 s，所以周期T＝＝60，所以ω＝， 因为秒针初始位置为P0(，)，所以OP0＝1，秒针的初始角度为，则按顺时针旋转t s后，秒针与角－t的终边重合，根据三角函数定义，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝sin ＝sin . 答案：y＝sin 4．已知某地一天中4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16]. (1)求该地区这一段时间内的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 解：(1)因为x∈[4，16]，所以x－∈，令x－＝，解得x＝14，所以当x＝14时，函数取最大值，此时最高温度为30 ℃；令x－＝－，解得x＝6，所以当x＝6时，函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以该地区这一段时间内的最大温差为20 ℃. (2)令10sin ＋20＝15，可得sin ＝－，则x－＝－，所以x＝. 令10sin ＋20＝25，可得sin ＝，则x－＝，所以x＝.当x∈时，x－∈，所以y在上单调递增，所以－＝(h).故该细菌能存活的最长时间为 h． 1．已学习：三角函数在物理、几何及实际生活中的应用． 2．须贯通：面对实际问题，能够迅速地建立适当的数学模型是一种重要的基本技能，把问题中的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程． 3．应注意：(1)注意函数的定义域，尤其是实际意义； (2)注意作结论时应回到实际问题中． 学科网（北京）股份有限公司 $