模块综合检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

模块综合检测 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，a，b∈R，－i＝a＋bi，则a－bi＝(　　) A．－i B．＋I C.－i D．＋i 解析：选B.由－i＝a＋bi，得a＋bi＝－i＝－i＝－i，所以a－bi＝＋i.故选B. 2．已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，若a∥α，b⊂α，则(　　) A．a∥b B．a与b异面 C．a与b相交 D．a与b没有公共点 解析：选D.因为a，b是两条不同的直线，α是一个平面，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，即a与b没有公共点，故只有D满足题意． 3．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，所以a·b＝b2，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，所以a与b的夹角为.故选B. 4．在△ABC中，AC＝3，BC＝2AB，则·的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.设AB＝x，则BC＝2x，2x－x<3，2x＋x>3，所以1<x<3，由余弦定理可得cos C＝＝，所以·＝cos C＝6x·＝，所以6<·<18，所以·的取值范围是.故选D. 5．已知函数f(x)＝sin 2x＋a cos 2x的图象的一条对称轴为直线x＝，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2sin B．g(x)＝2sin C．g(x)＝2sin D．g(x)＝2sin 解析：选C.函数f(x)＝sin 2x＋a cos 2x＝·sin (2x＋θ)，tan θ＝a，因为直线x＝为函数f(x)＝sin 2x＋a cos 2x的图象的一条对称轴，代入可得sin ＋a cos ＝±，即＋a＝±，化简可得(a－)2＝0，即a＝，所以f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin .将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象，则g(x)＝2sin ＝2sin .故选C. 6.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称为龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15 cm，盆口直径40 cm，盆底直径 20 cm.现往盆内倒入水，当水深6 cm时，盆内水的体积近似为(参考数据：π≈3.14)(　　) A．1 824 cm3 B．2 738 cm3 C．3 618 cm3 D．4 512 cm3 解析：选B.如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与FD交于点G. 根据题意，AB＝20 cm，CD＝10 cm，AC＝15 cm，EC＝6 cm， 设CG＝x cm，EF＝y cm. 所以＝，＝，解得x＝15，y＝14，所以V＝(π×142＋π×102＋π×14×10)×6＝872π≈2 738(cm3)，故选B. 7．已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2(ω＞0)在区间(，)上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A.(0，4] B．∪ C． D．∪ 解析：选D.f(x)＝sinωx＋2cos2＝sinωx＋cos ωx＋1＝sin (ωx＋)＋1， 因为x∈(，)，所以ωx＋∈(ω＋，ω＋)，因为函数f(x)在区间(，)上单调递增，所以函数y＝sin x在(ω＋，ω＋)上单调递增，且－≤T＝，即0＜ω≤4. 因为(ω＋，ω＋)⊆(，)，所以，函数y＝sin x在(ω＋，ω＋)上单调递增等价于<ω＋≤或解得0＜ω≤或≤ω≤3，所以ω的取值范围是∪.故选D. 8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，N是BC上靠近点B的一个四等分点，M是棱CC1上的动点，若平面D1MN与平面ABCD所成的锐二面角的最小值为θ，则cos θ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.如图， 平面D1MN∩平面ABCD＝PN，过点D作DG⊥PN，垂足为G，连接D1G， 则∠D1GD即为平面D1MN与平面ABCD所成的锐二面角，tan ∠D1GD＝， 当DG最大时，∠D1GD最小，不妨设AB＝4， 因为DG≤DN＝＝＝5，所以tan θ＝，所以cos θ＝. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知i为虚数单位，复数z＝，则下列结论中正确的是(　　) A．z对应的点位于第二象限 B．的虚部为2 C．|z|＝ D．z＝5 解析：选CD.z＝＝＝＝1＋2i，所以z对应的点(1，2)位于第一象限，故A错误；＝1－2i的虚部为－2，故B错误； |z|＝＝，故C正确；z＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，故D正确，故选CD. 10. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　) A．g(x)的最小正周期为 B．g(x)在区间上单调递增 C．g(x)的图象关于直线x＝对称 D．g(x)的图象关于点成中心对称 解析：选AC.由题图知，A＝2，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ).因为函数f(x)的图象过点，所以2sin ＝－2，则＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin .将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到y＝2sin 的图象，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到g(x)＝2sin 的图象．对于A项，g(x)的最小正周期是T＝，故A正确；对于B项，因为x∈，所以3x＋∈，由正弦函数单调性可知此时g(x)单调递减，故B错误；对于C项，令3x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝1时，x＝，故C正确；对于D项，因为2sin ＝2，故D错误．故选AC. 11.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，D＝60°，沿AC将△DAC翻折至△SAC，连接SB，得到三棱锥S­ABC，E是线段SA的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是(　　) A．在棱SB上总存在一点F，使得EF∥平面ABC B．当SB＝3时，三棱锥S­ABC的体积为 C．当平面SAC⊥平面ABC时，SB＝ D．当二面角S­AC­B为120°时，三棱锥S­ABC的外接球的半径为 解析：选AC. 对于A项，如图1，取SB的中点F，连接EF，因为E，F分别是SA，SB的中点，所以EF∥AB，因为AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC，故A正确； 对于B项，易得△ABC，△SAC为等边三角形，取AC的中点M，连接BM，SM，如图2， 则AC⊥BM，AC⊥SM，SM＝MB＝，所以cos ∠SMB＝＝＝－，则点S到平面ABC的距离为h＝sin (180°－∠SMB)·SM＝×＝，所以三棱锥S­ABC的体积V＝××22×＝，故B错误；对于C项，当平面SAC⊥平面ABC时，平面SAC∩平面ABC＝AC，因为△SAC为等边三角形，所以SM⊥AC，SM⊂平面SAC，所以SM⊥平面ABC，又因为MB⊂平面ABC，所以SM⊥MB，所以SB＝＝，故C正确；对于D项，如图2，设三棱锥S­ABC外接球的球心为O，△SAC，△ABC的中心分别为O1，O2， 易得OO1⊥平面SAC，OO2⊥平面ABC，且O，O1，O2，M四点共面，∠OMO1＝∠O1MO2＝60°，O1M＝SM＝，在Rt△OO1M中，OO1＝O1M＝1，又O1S＝SM＝，则三棱锥S­ABC外接球的半径r＝＝＝，故D错误．故选AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知sin (x－)＝－， x∈(0，π)，则sin (x＋)＝________． 解析：由题得sin (x＋)＝sin ＝cos . 因为0＜x＜π，所以－＜x－＜， 因为sin ＜0，所以－＜x－＜0，所以cos (x－)＞0.所以sin (x＋)＝cos (x－)＝＝. 答案： 13．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD上的点，＝2，＝2，若线段EF上存在一点M，使得＝x＋(x∈R)，则·＝__________． 解析：由题意，设＝λ，λ∈R，根据向量的线性运算可得， ＝＋＋＝＋＋λ＝＋＋ ＝＋＝x＋， 则解得 所以 ＝＋，从而·＝·＝－·－2＋2 ＝－×3×3×cos 60°－×9＋×9＝. 答案： 14.如图，平面ABC⊥平面BCD，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A­BD­C的余弦值为__________． 解析： 过A作AE⊥CB，交CB的延长线于E，连接DE，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，所以点E即为点A在平面BCD内的投影，所以△EBD为△ABD在平面BCD内的投影，设AB＝a，则AE＝DE＝AB·sin 60°＝a，所以AD＝a，由余弦定理可得cos ∠ABD＝，所以sin ∠ABD＝，所以S△ABD＝a2·＝a2，又BE＝a，所以S△BDE＝·a·a＝a2，设二面角A­BD­E为θ，所以cos θ＝＝.而二面角A­BD­C与二面角A­BD­E互补，所以二面角A­BD­C的余弦值为－. 答案：－ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知 f(α)＝. (1)化简f(α)；(6分) (2)已知f＝－，求cos 的值．(7分) 解：(1)f(α)＝ ＝＝＝－cos α. (2)由(1)得f＝－cos ＝－， 所以cos ＝， 所以cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－. 16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若cosC＝，且·＝，求△ABC的面积；(7分) (2)设向量x＝，y＝，且x∥y，b＝2，求a＋c的取值范围．(8分) 解：(1)由 ·＝，得ab cos C＝. 因为cos C＝，所以ab＝＝. 又C为△ABC的内角，所以sin C＝. 所以△ABC的面积S＝ab sin C＝3. (2)因为x∥y，所以2sin cos ＝cos B， 即sin B＝cos B. 因为cos B≠0，所以tan B＝. 因为B为三角形的内角，0<B<π，所以B＝. 由正弦定理＝＝＝＝， 所以a＝sin A，c＝sin C， 所以a＋c＝(sin A＋sin C)， 又A＋C＝， 所以a＋c＝ ＝ ＝4＝4sin ， 又0<C<，所以<C＋<， 所以a＋c∈(2，4]. 17．(本小题满分15分)如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1.求： (1)该直三棱柱的侧面积和体积；(7分) (2)直线A1B与AC1的夹角．(8分) 解：(1)根据题意可得BC＝＝， 所以该直三棱柱的侧面积为2×1×1＋×1＝2＋； 该直三棱柱的体积为×1×1×1＝. (2)根据题意可将直三棱柱ABC­A1B1C1补全成如图所示的正方体． 易知A1B∥C1D，且△ADC1为等边三角形， 所以∠AC1D即为直线A1B与AC1的夹角，又∠AC1D＝60°， 故直线A1B与AC1的夹角为60°. 18．(本小题满分17分)已知f(x)＝4sin ·sin －. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(8分) (2)若关于x的方程f(x)＝m＋2sin 2x在区间上恰有两个不等实根，求实数m的取值范围．(9分) 解：(1)f(x)＝4sin sin －＝4cos x sin － ＝4cos x－ ＝2sin x cos x＋2cos2x－ ＝sin2x＋(cos 2x＋1)－ ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ， 则函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 则函数f(x)的单调递减区间为 ，k∈Z. (2)由(1)得f(x)＝sin 2x＋cos 2x， 又f(x)＝m＋2sin 2x， 则m＝cos 2x－sin 2x＝2cos ，又x∈， 所以2x＋∈， 令t＝2x＋， 则g(t)＝2cos t，t∈， 所以方程m＝g(t)在区间上恰有两个不同的实根， 即直线y＝m与函数g(t)＝2cos t在区间[，]上的图象恰有两个不同的交点．画出直线y＝m与函数g(t)＝2cos t的图象，由图象得实数m的取值范围是(－2，－1]. 19．(本小题满分17分)在图1所示的平行四边形ABCD中，CA＝CB＝1，CD＝，现将△DAC沿AC折起，得到如图2所示的三棱锥P­ABC，记棱PC的中点为M，且PB＝. (1)求证：AM⊥CB；(8分) (2)记棱AB的中点为E，在直线CE上作出点N，使得PN∥平面MAB，请说明理由，并求出二面角P­NB­A的大小．(9分) 解：(1)证明：因为CA＝CB＝DA＝1，CD＝AB＝，所以CA2＋CB2＝AB2＝2， 所以∠ACB＝90°， 所以∠DAC＝90°， 即DA⊥CA，BC⊥CA， 在题图2中，PA＝1，AB＝，PB＝， 则PA2＋AB2＝PB2，所以PA⊥AB，又PA⊥CA， AB，CA⊂平面ABC，AB∩CA＝A， 所以PA⊥平面ABC，又CB⊂平面ABC， 所以PA⊥CB，又CB⊥CA， PA，CA⊂平面PAC，PA∩CA＝A， 所以CB⊥平面PAC，又AM⊂平面PAC， 所以AM⊥CB. (2)以CA，CB为邻边，构造矩形ACBF，连接CF，PF，ME，易知CF过点E， 因为E，M分别为CF，CP的中点， 所以PF∥ME，又ME⊂平面MAB，PF⊄平面MAB，所以PF∥平面MAB，即点F就是点N， 由(1)知PA⊥平面ACBN， BN⊂平面ACBN， 所以BN⊥PA， 又BN⊥AN， AN，PA⊂平面PAN，AN∩PA＝A， 所以BN⊥平面PAN，又PN⊂平面PAN， 所以PN⊥BN， 所以∠PNA即为二面角P­NB­A的平面角， 因为PA⊥AN，PA＝AN， 所以∠PNA＝45°， 所以二面角P­NB­A的大小为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $