第5章 §3 复数的三角表示（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的三角表示，涵盖三角形式的定义、代数与三角形式转化及乘除运算。以欧拉公式导入，通过“上帝创造的公式”联系五个基本常数，引导学生从向量投影过渡到模和辐角的确定，搭建知识支架。 其亮点在于以问题驱动探究，如例1转化代数形式为三角形式，培养数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理能力、运算能力）。课堂小结明确三角形式结构特征，帮助学生系统掌握，提升教师教学效率与学生学习效果。

§3　复数的三角表示 1 新课导入 学习目标     欧拉公式exi＝cos x＋isin x是最美的数学公式之一，特别地，当x＝π时，欧拉公式可以等价转化为eiπ＋1＝0，这个等式将五个最基本的数学常数：0，1，e，i和π联系在一起，通过一个简单的等式表达出来，数学家们评价它是“上帝创造的公式”． 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系．会进行复数代数形式与三角形式的转化，了解辐角． 2．掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算．掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 返回导航 辐角 返回导航 r(cosθ＋isinθ) 2π 辐角的主值 返回导航 返回导航 返回导航 复数的代数形式转化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模； (2)判断辐角所在的象限； (3)根据象限求出辐角； (4)写出复数的三角形式． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)已知复数a＋bi(a，b∈R)的三角形式为r(cos θ＋isin θ)，则－a＋bi的三角形式是 (　　) A．r(cos θ＋isin θ) B．r[cos (π－θ)＋isin(π－θ)] C．r[cos (π＋θ)＋isin(π＋θ)] D．r[cos (2π－θ)＋isin(2π－θ)] 解析：由题知，－a＋bi＝r(－cos θ＋isin θ)，结合诱导公式知，cos (π－θ)＝－cos θ，sin (π－θ)＝sin θ.故选B. √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余弦前、‘＋’相连、角统一、i跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角． 返回导航 返回导航 返回导航 二　复数乘除运算的几何意义 [知识梳理] 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则 (1)z1·z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝ ______________________________________． r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 返回导航 和 除以 减去 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减． (3)复数的n次幂相当于模的n次幂，辐角的n倍． 返回导航 [跟踪训练3] (1)若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝ (　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：由z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝cos 60°＋isin 60°，所以arg z2＝60°.故选B. √ 返回导航 返回导航 返回导航 角度2　复数三角形式乘、除运算的几何意义 [例4] (对接教材例2)已知复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位． (1)求实数m的取值范围； 返回导航 (2)当m＝－2时，求复数z的三角表示式(辐角取主值)； 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 3i 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 39 √ 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 1－i 返回导航 1．已学习：复数三角形式、复数三角形式乘、除运算及其几何意义． 2．须贯通：复数的代数形式与三角形式的相互转化；运用复数乘除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系． 3．应注意：(1)复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连； (2)利用复数三角形式乘除时，复数必须是三角形式的标准形式． 返回导航 $