6.1 平面向量的概念 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．下列命题中正确的是(　　) A．温度、加速度、摩擦力、功都是向量 B．零向量的方向是任意的 C．长度相等的两个向量必相等 D．平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 解析：选B.加速度、摩擦力是向量，温度和功没有方向，不是向量，A错误；零向量有方向，它的方向是任意的，B正确；长度相等且方向相同的向量为相等向量，C错误；平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，D错误． 2．已知汽车以大小为120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以大小为45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列说法正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 解析：选C.速度和位移都是向量，向量不能比较大小． 3．下列命题中，正确的是(　　) A．若a∥b，a与b的方向相同或相反 B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若a≠b，则a与b可能是共线向量 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 解析：选C.对于A，若a＝0，则a∥b，但零向量的方向是任意的，A错误；对于B，取b＝0，则a∥b，b∥c，但a，c不一定平行，B错误；对于C，若a≠b，可能存在这样的情况：两向量方向相同但长度不同，或两向量方向相反，此时它们仍为共线向量，C正确；对于D，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量方向相同或相反，D错误． 4．如图，在⊙O中，点A，B，C均为⊙O上的点，则向量，，是(　　) A.有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 解析：选B.对于A，根据题图，可得向量，，不是有相同起点的向量，所以A错误；对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，所以C错误；对于D，相等向量指的是长度相等且方向相同的向量，所以D错误． 5．八卦是中国古代的基本哲学概念，如图1为太极八卦图．若现将一幅八卦图简化为正八边形ABCDEFGH如图2，中心为O，则与相等的向量是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.根据相等向量的定义可知，与相等的向量是. 6．(多选)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A．与共线 B．与共线 C．与共线 D．与共线 解析：选BD.对于A，因为AB与AC不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，A错误；对于B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故与共线，B正确；对于C，因为AB与AE不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，C错误；对于D，因为D是AB的中点，所以AD＝BD，且与方向相反，所以与共线，D正确． 7．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________，与相等的向量是________． 解析：易知||＝||＝×2＝，与的模相等，方向相同，所以＝. 答案：　 8．已知A，B，C是平面上三个不同的点，若∥，则A，B，C的位置关系是________；若进一步有＝，则A，B，C的位置关系是________． 解析：因为∥且有一个公共点B， 所以A，B，C三点共线； 因为＝，与方向相同且长度相等， 所以B是AC的中点． 答案：A，B，C三点共线　B是AC的中点 9．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝__________． 解析：因为A，B，C是不共线的三点，所以向量与向量不共线，又因为m∥，m∥，所以m＝0. 答案：0 10．(13分)如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量；(4分) (2)写出与方向相反的向量；(4分) (3)写出与的模相等的向量．(5分) 解：(1)由题意＝，＝. (2)由题意，与方向相反的向量为，. (3)由题意，与的模相等的向量为，，，，，，. 11．(多选)已知与是平行向量，且||＝4||＝4，则下列结论可能成立的是(　　) A．||＝5 B．||＝3 C．与方向相同 D．与方向相同 解析：选ABC.当与方向相同时，与，方向都相反，且||＝3；当与方向相反时，与方向相同，与方向相反，且||＝5，故选项A，B，C可能成立． 12．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(每个小方格都是单位正方形)中，若象在A处，可跳到A1处，用向量表示象走了“一步”，若象在B或C处，则以B，C为起点表示象走了“一步”的向量共有________个． 解析：象在B处有一条路可走，在C处有四条路可走，如图，以B点为起点作向量，共1个，记作；以C点为起点作向量，共4个，分别记作，，，，所以共有5个． 答案：5 13．(13分)如图所示，四边形ABCD为正方形，BDCE为平行四边形，在以A，B，C，D，E为起点和终点的所有有向线段表示的非零向量中，写出： (1)与相等的向量；(4分) (2)与共线的向量；(5分) (3)与相等的向量．(4分) 解：(1)与相等的向量有，. (2)与共线的向量有，，，，，，. (3)与相等的向量为. 14．(13分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量；(6分) (2)求||的最大值与最小值．(7分) 解：(1)画出所有的向量，如图所示． (2)由(1)知，当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝； 当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝， 所以||的最大值为，最小值为. 15．如图所示，在▱ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为________． 解析：由题可知，集合S中任意两点连成的有向线段共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对相等向量，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝. 因为集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个． 答案：12 学科网（北京）股份有限公司 $