6 10.1 阶段小测(七)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦概率核心知识，涵盖必然事件、互斥与对立事件、古典概型等内容，通过产品抽取、选科组合等实例导入，衔接随机事件概念，为复杂概率计算构建学习支架。 其亮点在于以生活情境（如新高考选科、保险费用）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过样本空间分析、树状图推理发展数学思维，用符号与图表精准表达，助力学生提升应用能力，教师可直接用于课堂检测与知识巩固。

阶段小测(七) 1 √ 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是(　　) A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 4 5 6 7 8 1 9 10 12 11 2 3 14 13 阶段小测 解析：因为所求事件的概率是1，所以该事件为必然事件，由题意，12个同类产品中，有10个正品，则只有2个次品. 如果抽取3个产品，则至少有一个是正品，所以D为必然事件，其中A，B为随机事件，C为不可能事件． 4 5 6 7 8 1 9 10 12 11 2 3 14 13 阶段小测 √ 2．口袋内装有除颜色外其余均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　) A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.1 解析：摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3. 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 √ 3．某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”(　　) A．是对立事件 B．都是必然事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是对立事件 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 解析：事件“至多有1名男生”是必然事件，“至多有1名女生”为随机事件，故B错误． 事件“至多有1名男生”有两种情况：2名学生都是女生或2名学生一男一女．“至多有1名女生” 有一种情况： 2名学生一男一女．故两个事件不是对立事件、互斥事件，故A，D错误，C正确． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 解析：由题意，用p表示选择物理，用h表示选择历史，用数字1，2，3，4分别表示选择政治、地理、化学、生物，则样本空间Ω＝{p12，p13，p14，p23，p24，p34，h12，h13，h14，h23，h24，h34}，共有12个样本点，即n(Ω)＝12，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．对于A，C＝{p13，p23，p34，h13，h23，h34}，D＝{p12，p13，p14，h12，h13，h14}，则事件C∩D＝{p13，h13}≠∅，所以事件C与事件D不互斥，故A错误； 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 对于C，A＝{p12，p13，p14，p23，p24，p34}，B＝{h12，h13，h14，h23，h24，h34}，则A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，所以事件A与事件B互为对立事件，故C正确； 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 √ 8．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2 000名学生，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则(　　) A．这五个社团的总人数为100 B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C．这五个社团总人数占该校学生人数的5% D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45% √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 解析：对于A，参加朗诵社团的同学有8名，占比为10%，所以这五个社团的总人数为8÷10%＝80，故A错误； 对于B，太极拳社团的同学有12名，可知其占比为12÷80＝15%，因此脱口秀社团的人数占五个社团总人数的1－30%－10%－25%－15%＝20%，故B正确； 对于C，该校共有2 000名学生，所以这五个社团总人数占该校学生人数的80÷2 000＝4%，故C错误； 对于D，由选项B易知脱口秀社团共有80×20%＝16(人)，舞蹈社团共有80×25%＝20(人)，两社团共有36人，所以从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为36÷80＝45%，故D正确． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 0.6 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 10．三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为________． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 11．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，3，…，9}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．则甲、乙“心有灵犀”的概率为________． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)某远程教育网在某时段播放20套不同的节目，其中，9套是公民学历教育类节目，8套是外语类节目，5套既是公民学历教育类节目又是外语类节目．求在该时段随机选择一套节目，选到公民学历教育类节目或外语类节目的概率． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 14 13 阶段小测 13 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 14 阶段小测 13 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 14 阶段小测 13 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 14 阶段小测 (2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是多少？(5分) 13 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 14 阶段小测 (3)从袋中任取两个球，两个球颜色不相同的概率是多少？(5分) 13 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 14 阶段小测 14．(本小题满分15分)某保险公司在2025年度给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10 000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费(单位：元)与参保年龄如表格所示．据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元． 年龄 [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 保费/元 30 60 90 120 150 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 14 13 阶段小测 (1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司2025年度是亏本还是盈利？(7分) 解：由(0.007＋0.016＋a＋0.025＋0.020)×10＝1，解得a＝0.032， 保险公司每年收取的保费为10 000×(0.07×30＋0.16×60＋0.32×90＋0.25×120＋0.2×150)＝10 000×100.5＝1 005 000. 因为1 005 000>1 000 000， 所以该公司2025年度为盈利． 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 14 13 阶段小测 (2)经调查，年龄在[30，50)之间的人群对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层随机抽样的方法从年龄在[30，40)和[40，50)之间的人群中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率．(8分) 解：由题得选取的6人中，有2人的年龄在[30，40)之间，记这2人分别为a1，a2，有4人的年龄在[40，50)之间，记这4人分别为b1，b2，b3，b4， 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 14 13 阶段小测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 14 13 阶段小测 4．某医院呼吸科有3名医生和2名护士．现需要从这5名医护人员中随机抽取2名成立一个甲流诊治临时小组，则抽到的2人中至少有1名医生的概率为(　　) A． eq \f(2,5) B． eq \f(3,10) C． eq \f(3,5) D． eq \f(9,10) 解析：记这5名医护人员中3名医生为A，B，C，2名护士为a，b，则从这5人中随机抽取2名医护人员的所有样本点为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，其中至少抽到1名医生的样本点为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个，故所求概率为 eq \f(9,10). 5．已知A，B，C是三种电子信息传递元件，第一次由A元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在A元件中的概率是(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4) C． eq \f(3,8) D． eq \f(5,16) 解析：画树状图： \f(2,8) INCLUDEPICTURE "E:\\9.19数学\\2026优化方案数学必修第二册教参（新教材）9.18（人教A版）（1-406）\\数学人教A版必修第二册\\E26TSXRA2E-51.TIF" \* MERGEFORMAT ，则其样本空间有8个样本点，第三次传递后，信息在A元件中包含2个样本点，所以第三次传递后，信息在A元件中的概率P＝＝ eq \f(1,4). 6．新高考选科要求3＋1＋2，语数外＋(物理、历史)二选一＋(政治、地理、化学、生物)四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A表示“该同学的选科组合中包含物理”，事件B表示“该同学的选科组合中包含历史”，事件C表示“该同学的选科组合中包含化学”，事件D表示“该同学的选科组合中包含政治”，则下列正确的是(　　) A．事件C与事件D互斥 B．P(C)＝ eq \f(1,6) C．事件A与事件B互为对立事件 D．P(C∩D)＝ eq \f(4,5) 对于B，因为n(C)＝6，则P(C)＝ eq \f(n(C),n(Ω))＝ eq \f(6,12)＝ eq \f(1,2)，故B错误； 对于D，C∩D＝{p13，h13}，则n(C∩D)＝2，所以P(C∩D)＝ eq \f(n(C∩D),n(Ω))＝ eq \f(2,12)＝ eq \f(1,6)，故D错误． 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．一枚质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．事件A表示“向上的点数大于等于3”，事件B表示“向上的点数为奇数”，则(　　) A．P(A)＝ eq \f(2,3) B．P(B)＝ eq \f(1,3) C．P(A∪B)＝ eq \f(5,6) D．P(A∩B)＝ eq \f(1,3) 解析：对于A，掷一次骰子并观察向上的点数，样本空间为{1，2，3，4，5，6}，共6个样本点，则A＝{3，4，5，6}，共4个样本点，所以P(A)＝ eq \f(4,6)＝ eq \f(2,3)，故A正确； 对于B，B＝{1，3，5}，共3个样本点，所以P(B)＝ eq \f(3,6)＝ eq \f(1,2)，故B错误； 对于C，A∪B＝{1，3，4，5，6}，共5个样本点，所以P(A∪B)＝ eq \f(5,6)，故C正确； 对于D，A∩B＝{3，5}，共2个样本点，所以P(A∩B)＝ eq \f(2,6)＝ eq \f(1,3)，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知事件A与B互斥，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.1，则P( eq \x\to(A∪B))________． 解析：因为事件A与B互斥， 且P(A)＝0.3，P(B)＝0.1， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4， 则P( eq \x\to(A∪B))＝1－P(A∪B)＝0.6. eq \f(3,7) 解析：不妨记三人为甲、乙、丙，则所有参加晚会的情形有：①只去一人，甲或乙或丙；②去两人，甲乙或甲丙或乙丙；③去三人，甲乙丙，共计7种情形，所以恰有一人参加晚会的概率为 eq \f(3,7). eq \f(7,25) 解析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中有序地取两次(可重复)，共有10×10＝100种不同的结果，则|a－b|≤1的情况有(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(7，7)，(8，8)，(9，9)，(0，1)，(1，0)，(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)，(6，7)，(7，6)，(7，8)，(8，7)，(8，9)，(9，8)，共28种情况，所以甲、乙“心有灵犀”的概率为P＝ eq \f(28,100)＝ eq \f(7,25). 解：设事件A＝“播放公民学历教育类节目”，事件B＝“播放外语类节目”，则P(A)＝ eq \f(9,20)，P(B)＝ eq \f(8,20)＝ eq \f(2,5)，P(AB)＝ eq \f(5,20)＝ eq \f(1,4)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝ eq \f(9,20)＋ eq \f(2,5)－ eq \f(1,4)＝ eq \f(3,5)，即在该时段随机选择一套节目，选到公民学历教育类节目或外语类节目的概率为 eq \f(3,5). 13．(本小题满分15分)袋中有9个大小、材质均相同，颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 eq \f(5,9)，得到黄球或绿球的概率是 eq \f(2,3)，试求： (1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？(5分) 解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝\f(5,9)，,P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝\f(2,3)，,P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(P(A)＝\f(1,3)，,P(B)＝\f(2,9)，,P(C)＝\f(4,9)，)) 所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 eq \f(1,3)， eq \f(2,9)， eq \f(4,9). 所以袋中黑球的个数为9× eq \f(1,3)＝3，黄球的个数为9× eq \f(2,9)＝2，绿球的个数为9× eq \f(4,9)＝4， 所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4. 解：由(1)知黑球、黄球个数分别为3，2，所以从所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本点，记黑球与黄球各得一个为事件D，易知事件D包含6个样本点，则P(D)＝ eq \f(6,10)＝ eq \f(3,5). 解：由题得从袋中任取两个球可得36个样本点，其中取得两个黑球的样本点有3个，两个黄球的样本点有1个，两个绿球的样本点有6个，则两个球颜色相同的概率是 eq \f(3＋1＋6,36)＝ eq \f(5,18)，则两个球颜色不相同的概率是1－ eq \f(5,18)＝ eq \f(13,18). 从这6人中任取2人的所有样本点有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)共15个， 其中保费超过150元的样本点有(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)共6个， 所以被免去的保费超过150元的概率为P＝ eq \f(6,15)＝ eq \f(2,5). $