2 9.1.2 分层随机抽样 9.1.3 获取数据的途径（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中分层随机抽样（含定义、比例分配、样本平均数计算）及获取数据的途径，承接简单随机抽样，通过现实问题（如近视调查）引出分层抽样必要性，构建从抽样方法到数据获取的完整学习支架。 以问题导入（如近视调查能否混抽）培养数学眼光，通过比例分配计算（如商场食品抽样）发展数学思维，用表格梳理数据途径体现数学语言。课中即时练与例题助教师引导，课后知识梳理和跟踪训练帮学生巩固，查漏补缺。

9．1.2　分层随机抽样 9．1.3　获取数据的途径 新课导入 学习目标 　　抽样调查最核心的问题是样本的代表性．但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差．能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？ 1.通过具体实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性． 2．掌握各层样本量比例分配的方法. 3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本平均数． 4．了解获取数据的途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等． 思考　某市为调查中小学生的近视情况，能否把小学生、初中生、高中生混在一起进行抽样？为什么？ 提示：不能，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性． [知识梳理] 1．定义 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层． 2．比例分配 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)当总体由差异明显的几部分组成时，往往采用分层随机抽样．(　　) (2)分层随机抽样在抽样时，所有层都按同一抽样比等可能抽取．(　　) (3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层方法有关．(　　) (4)分层随机抽样是简单随机抽样的一种．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某中学共有学生1 600名，其中男生840名，为调查此校学生的平均身高，抽取一个容量为200的样本 C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 解析：选B.对于A中的总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；对于C和D中的总体所含个体无差异，不适合分层随机抽样；对于B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．故选B. 3．(多选)某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是(　　) A．这次抽样可能采用的是抽签法 B．这次抽样不可能是按性别分层随机抽样 C．这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率 D．这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率 解析：选AB.根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，A正确；若按性别分层随机抽样，则抽得的男、女生人数应为4人、3人，所以这次抽样不可能是按性别分层随机抽样，B正确；若按抽签法，则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等，C，D错误．故选AB. 4．某单位有男职工90人，女职工60人，现采用分层随机抽样抽取一个容量为30的样本，则该单位的职工小明被抽中的概率为________． 解析：由于每个个体被抽中的可能性相同，所以小明被抽中的概率为＝. 答案： 抽样方法的选取 (1)看总体是否由差异明显的几个部分组成．若是，则选用分层随机抽样；否则，考虑用简单随机抽样． (2)看总体容量和样本量的大小．当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本量较小时，采用随机数法．简单来说，总体容量小，简单随机抽样；总体差异明显，分层随机抽样．在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法． [例1] 一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层随机抽样的方法从这批产品中抽取一个容量为20的样本，请写出抽样过程． 【解】　第一步，确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以＝， 第二步，确定各层抽取的样本数，一级品：100×＝10(个)，二级品：60×＝6(个)，三级品：40×＝4(个)， 第三步，将一级品的100个产品按00，01，02，…，99编号；将二级品的60个产品按00，01，02，…，59编号；将三级品的40个产品按00，01，02，…，39编号， 第四步，采用随机数法，分别从中抽取10个、6个、4个，这样就得到一个容量为20的样本．(答案不唯一，合理即可) 分层随机抽样的步骤 [跟踪训练1] (1)(多选)某学校为了解本校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研．已知高一、高二、高三的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中高一年级学生有200人，则(　　) A．该校三个年级总的学生有5 000人 B．样本量n为500 C．该校高二年级总的学生有1 500人 D．样本中高二年级学生有150人 解析：选BD.设样本中高二、高三的学生人数分别为a，b，则200∶a∶b＝4∶3∶3，则a＝b＝150，故D正确；则样本量n＝200＋150＋150＝500，故B正确；无法确定该校三个年级总的学生数和该校高二年级总的学生数，故A，C错误．故选BD. (2)某商场有四类食品，食品类别和种数如表．现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________． 类别 粮食类 植物油类 动物性食品类 果蔬类 种数 40 10 30 20 解析：由已知可得抽样比为＝，所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(10＋20)×＝6. 答案：6 思考　若有面积大小一样的A，B两块区域，现分别调查人均可支配收入．获得数据显示，A区域的人均可支配收入为35 537元，B区域的人均可支配收入为24 542元．能否得到这两个区域的人均可支配收入为＝30 039.5(元)? 提示：不能．A，B两块区域的人数不清楚，即使两块区域的面积大小一样，也无法计算人均可支配收入． [知识梳理] 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为,，总的样本平均数为，则＝ ＋ ＝__＋__，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数． [例2] (1)在100个球中有红球40个，黄球60个，通过比例分配的分层随机抽样的方法，得到红球的平均重量是60克，黄球的平均重量是80克，则所有球的平均重量是(　　) A．60克　　B．80克　　C．72克　　D．70克 (2)某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛．现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生n名，经统计：m＋n名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，则x＝________． 【解析】　(1)依题意，所有球的平均重量为×60＋×80＝72(克). (2)由题意，得 可得＝74， 解得x＝80. 【答案】　(1)C　(2)80 进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系 (1)＝； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． [跟踪训练2] 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1 000人、2 000人、3 000人，用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽取的高一、高二及高三年级学生的平均身高为162 cm、168 cm、172 cm，估计该校学生的平均身高是________． 解析：由题意得，高一、高二及高三年级分别抽取 30×＝5(人)， 30×＝10(人)， 30×＝15(人)， 抽取的高一、高二及高三年级学生的平均身高为162 cm、168 cm、172 cm，所以该校学生的平均身高为＝169(cm). 答案：169 cm 思考1　小王同学为了了解人们对环境保护的看法，在街头随机采访，获得了一些数据，这种获取数据的方法是什么？ 提示：社会调查． 思考2　 小李同学想了解自家售卖的某种花卉种子的发芽率，便试种了100粒种子进行试验，这种获取数据的方法是什么？ 提示：试验． [知识梳理] 获取数据 的途径 适用类型 注意问题 通过调查 获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验 获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础 通过观察 获取数据 自然现象 需要专业测量设备，通过长久的持续观察获取数据 通过查询 获得数据 有众多专家研究过，其收集的样本观测数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 [例3] (多选)下列项目中需要收集的数据，可以通过试验获取的有(　　) A.某种新式海水稻的亩产量 B.某省人民群众对某任省长的满意度 C.某品牌的新款汽车A柱(挡风玻璃和左、右前车门之间的柱)的安全性 D.某地区降水量对土豆产量的影响情况 【解析】　A，C两项所需数据都没有现存数据可供查询，需要通过试验的方法来获取样本观测数据；B项数据宜通过调查获取；D项数据宜通过观察或查询获取． 【答案】　AC [跟踪训练3] “中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是(　　) A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 解析：选C.“中国天眼”主要是通过观察获取数据．故选C. 1．某中学共有300名教职工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采用分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取(　　) A．40人 B．28人 C.12人 D．8人 解析：选C.行政人员所占比例为＝，故行政人员应抽取的人数为60×＝12.故选C. 2．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(　　) A.应采用分层随机抽样抽取 B.应采用抽签法抽取 C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆和10辆 D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 解析：选ACD.由分层随机抽样方法的特点可知A，D正确；总体量较大，不宜用抽签法，B错误；由题知，三种型号的轿车依次抽取数为46×＝6，46×＝30，46×＝10，故C正确．故选ACD. 3．(教材P185T3改编)高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均分为82分，女生的平均分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体平均分为________分． 解析：样本平均分为×82＋×80＝81.1，故估计本次比赛高一年级的总体平均分为81.1分． 答案：81.1 4．(教材P189T5改编)一支田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取多少人？ 解：因为田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，所以男运动员有56人，又每名运动员被抽到的概率都是，所以男运动员应抽取56×＝16(人). 1．已学习：分层随机抽样、用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数、获取数据的途径． 2．须贯通：分层随机抽样主要适用于个体差异较大的总体的抽样；分层随机抽样的步骤：分层、定抽样比、定各层抽取的个体数、各层抽取样本、合并成总样本． 3．应注意：在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，与层数及分层方法无关，每层的抽样一般采用简单随机抽样． 学科网（北京）股份有限公司 $