7.3 复数的三角表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学复数的三角表示核心知识点，从复数代数形式出发，通过模和辐角定义三角表示及辐角主值，系统梳理代数与三角形式的转化方法，推导复数乘除运算的三角表示法则及几何意义，构建完整知识支架。 该资料以欧拉公式导入激发学习兴趣，展现数学审美价值，通过例题解析代数与三角形式转化、复数旋转等问题，培养几何直观与推理能力。课中辅助教师清晰授课，课后跟踪训练与拓展内容助力学生巩固知识，查漏补缺，提升数学语言表达与应用意识。

7．3*　复数的三角表示 新课导入 学习目标 欧拉公式exi＝cos x＋isin x是最美的数学公式之一，特别地，当x＝π时，欧拉公式可以等价转化为eiπ＋1＝0，这个等式将五个最基本的数学常数：0，1，e，i和π联系在一起，通过一个简单的等式表达出来，数学家们评价它是“上帝创造的公式”． 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 思考　我们知道复数z＝a＋bi可以由向量在两坐标轴方向上的投影a，b来确定，是否可以由其他元素来确定？ 提示：可以由复数z的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量所在射线为终边的角来确定． [知识梳理] 1．定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos_θ＋isin_θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.r(cos_θ＋isin_θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 2．辐角的主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg_z，即0≤arg z<2π. 角度1　复数的代数形式化为三角形式 [例1] 把下列复数的代数形式化成三角形式． (1)3－i； (2)－i. 【解】　(1)r＝ ＝2. 因为与3－i对应的点在第四象限， 所以arg(3－i)＝， 所以3－i＝2(cos ＋isin ). (2)r＝ ＝2. 因为与－i对应的点在第四象限， 所以arg(－i)＝， 所以－i＝2(cos ＋isin ). 复数的代数形式转化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模； (2)判断辐角终边所在的象限； (3)根据象限求出辐角； (4)求出复数的三角形式． 　 角度2　复数的三角形式化成代数形式 [例2] 把下列复数的三角形式化成代数形式． (1)4(cos ＋isin )； (2)3(cos ＋isin ). 【解】　(1)4(cos ＋isin )＝4cos ＋(4 sin )i＝4×＋(4×)i＝2＋2i.　 (2)3(cos ＋isin )＝3cos ＋(3sin )i＝3×(－)＋3×(－)i＝－－i. 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝r cos A，y＝r sin A． [跟踪训练1] (1)下列复数中是三角形式的是(　　) A.2(cos －isin ) B.2(cos ＋isin ) C.2(sin －icos ) D.－2(sin －icos ) 解析：选B.复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，观察所给的四个复数，只有B中的复数是三角形式，注意式子中各个位置的符号． (2)复数10(cos ＋isin )化成代数形式为__________________． 解析：10(cos ＋isin )＝10(－－i)＝－5－5i. 答案：－5－5i 思考　根据复数乘法定义，复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)和z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)相乘的结果是什么呢？ 提示：z1·z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[(cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2)＋i(sin θ1cos θ2＋cos θ1sin θ2)] ＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]. [知识梳理] 1．乘法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos_(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 2．除法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝[cos_(θ1－θ2)＋isin_(θ1－θ2)]． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． [例3] 计算下列各式，并把结果化为代数形式： (1)5(cos ＋isin )·2(cos ＋isin )； (2). 【解】　(1)5(cos ＋isin )·2(cos ＋isin )＝10(cos ＋isin )＝10(＋i) ＝＋i. (2)＝ ＝4[cos (0－)＋isin (0－)] ＝4(－i)＝2－2i. 在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示． 　 [跟踪训练2] (1)若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝(　　) A．30° B．60° C.90° D．120° 解析：选B.由z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝cos 60°＋isin 60°，所以arg z2＝60°. (2)计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝______________________________.(用代数形式表示) 解析：＝cos (40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i. 答案：＋i [例4] (对接教材例4)已知复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位． (1)求实数m的取值范围； (2)当m＝－2时，求复数z的三角形式； (3)若在复平面内，向量对应(2)中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转60°得到，求向量对应的复数z1(结果用代数形式表示). 【解】　(1)由题意得，复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限， 所以解得－3<m<－1， 所以实数m的取值范围为(－3，－1). (2)当m＝－2时，z＝1＋i， 所以r＝＝，cos θ＝sin θ＝＝， 所以θ＝45°，所以z＝(cos 45°＋isin 45°). (3)方法一(代数运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量， 则对应的复数 z1＝＝＝＋i. 方法二(三角运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量， 则z1＝＝[cos (45°－60°)＋isin (45°－60°)]＝(cos 15°－isin 15°). 又因为cos 15°＝，sin 15°＝， 所以z1＝(－i)＝＋i. 两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)相乘时，如图，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2，即z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，当z1，z2相除时，＝[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)]. 　 [跟踪训练3] 已知＝(1，1)，将绕原点O按逆时针方向旋转得到，则点Z表示的复数为_____________________________．(用代数形式表示) 解析：由题意得点P对应的复数为1＋i.由复数乘法的几何意义得 z＝(1＋i)(cos ＋isin )＝＋i. 答案：＋i 拓视野 欧拉公式及应用 欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R，e是自然对数的底数)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥． [典例] (多选)依据欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R，e是自然对数的底数)，下列说法中正确的是(　　) A．e3i对应的点位于第二象限 B．e2πi为实数 C．exi的模为 D．ei的共轭复数为＋i 【解析】　对于A，由题意可得e3i＝cos 3＋isin 3，则e3i对应的点为(cos 3，sin 3)， 因为3∈，则cos 3<0，sin 3>0，所以e3i对应的点位于第二象限，故A正确； 对于B，由题意可得e2πi＝cos 2π＋isin 2π＝1为实数，故B正确； 对于C，由题意可得exi＝cos x＋isin x，则|exi|＝＝1，故C错误； 对于D，由题意可得ei＝cos＋isin ＝＋i，则ei的共轭复数为－i，故D错误． 【答案】　AB [练习1] 在复变函数中的欧拉公式(exi＝cos x＋isin x，其中i是虚数单位，x∈R)可以实现指数式和复数式的互化，那么把1＋i化成指数式为___________. 解析：因为把1＋i化成指数式需满足tan x＝1，又exi＝cos x＋isin x， 当x＝时，1＋i＝＝ei. 答案：ei(答案不唯一) [练习2] 依据欧拉公式exi＝cos x＋isin x，则的最大值为________． 解析：＝ ＝ ＝＝， 因为sin 的最小值为－1， 所以的最大值为＝3. 答案：3 1．(教材P89习题T1改编)复数z＝1－i(i为虚数单位)的三角形式为(　　) A．z＝(sin 45°－icos 45°) B．z＝(cos 45°－isin 45°) C．z＝[cos (－45°)－isin (－45°)] D．z＝[cos (－45°)＋isin (－45°)] 解析：选D.依题意得r＝＝，复数z＝1－i在复平面内对应的点在第四象限，且cos θ＝，因此arg z＝315°，结合选项知D正确．故选D. 2．(教材P89练习T1改编)[(cos ＋isin )]×[(cos －isin )]＝(　　) A．－i B．＋i C．＋i D．－i 解析：选C.原式＝(cos ＋isin )×[cos (－)＋isin (－)]＝(cos ＋isin )＝＋i. 3．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝_____________________________________. (用代数形式表示) 解析：因为|z|＝2，故r＝2，且arg z＝， 所以z＝2(cos ＋isin )＝1＋i. 答案：1＋i 4．把复数z1与z2对应的向量，分别绕原点O按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值． 解：由复数乘法的几何意义得， z1(cos ＋isin )＝z2(cos ＋isin ). 又z2＝－1－i＝2(cos ＋isin )， 所以z1＝ ＝2[cos (3π－)＋isin (3π－)] ＝2(cos ＋isin )＝－＋i， 因此复数z1的辐角的主值为. 1．已学习：复数三角形式、复数三角形式乘、除运算及其几何意义． 2．须贯通：复数的代数形式与三角形式的相互转化；运用复数乘、除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系． 3．应注意：(1)复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连； (2)利用复数三角形式乘、除时，复数必须是三角形式的标准形式． 学科网（北京）股份有限公司 $