5 阶段提升(一) 平面向量(范围：6.1～6.3)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量核心知识点，系统梳理线性运算（坐标运算、共线条件）、数量积（定义、坐标计算）及综合应用，构建从基础运算到几何图形参数最值问题的学习支架，衔接紧密。 资料通过正方形动点、纪念胸章等实例，培养数学眼光观察空间形式，数学思维推理运算规律，数学语言表达数量关系。课中辅助教师讲解方法，课后借助跟踪训练和总结帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

阶段提升(一)　平面向量(范围：6.1～6.3) 1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，4)，则2(a－2b)＋3(2b－a)＝(　　) A．(0，2) B．(5，6) C．(－5，1) D．(3，2) 解析：选B.2(a－2b)＋3(2b－a)＝2a－4b＋6b－3a＝－a＋2b.因为a＝(1，2)，b＝(3，4)，所以2(a－2b)＋3(2b－a)＝－a＋2b＝－(1，2)＋2(3，4)＝(5，6). 2．已知a，b不共线，且＝λa－b，＝a＋μb，那么A，B，C三点共线的充要条件为(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝2 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析：选D.A，B，C三点共线⇔∥，设＝k，即λa－b＝k(a＋μb)，由于a，b不共线，则消去k可得λμ＝－1.因此，A，B，C三点共线的充要条件为λμ＝－1. 3．若AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示) 解析：设＝m，＝n，由图可得 则则＝n－m＝a＋b. 答案：a＋b 4．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，2)，B(1，1)，C(－3，1).则AB的中点坐标为________；当实数m＝________时，(m＋)∥. 解析：因为A(－1，2)，B(1，1)，C(－3，1)，所以AB的中点坐标为(，)，即(0，)； 又＝(1，1)－(－1，2)＝(2，－1)，＝(1，1)，＝(－3，1)，则m＋＝m(－3，1)＋(1，1)＝(－3m＋1，m＋1)，因为(m＋)∥，则2(m＋1)＝－1×(－3m＋1)，解得m＝3. 答案：(0，)　3 向量的线性运算的求解方法 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 1．已知a＝(－4，3)，b＝(1，2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8 B．3＋ C．28 D．32 解析：选C.a2－(a－b)·b＝a2－a·b＋b2＝25－(－4＋6)＋5＝28. 2．在△ABC中，BC＝2AB＝2，∠B＝，＝，P是直线BN上一点且＝m＋，则·＝(　　) A．－2 B．－ C．－ D．0 解析：选B.由＝，＝m＋，得＝m＋，由B，P，N三点共线，得m＋＝1，解得m＝，则＝＝，又BC＝2AB＝2，∠B＝，所以·＝－(2＋)·＝－(2·＋2)＝－×＝－. 3．若向量a＝(x，2)，b＝(2，3)，c＝(2，－4)，且a∥c，则a在b上的投影向量坐标为________． 解析：因为a∥c， 所以－4x－4＝0，得x＝－1， 所以a＝(－1，2)，|a|＝＝， 又|b|＝＝， 所以＝(，)， 设a，b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 所以a在b上的投影向量坐标为(|a|cos θ)＝××(，)＝(，). 答案：(，) 4．以字母“NK”为灵感设计的一款纪念胸章，如图所示，C＝，||＝4，||＝6，＝，＝＝＝，则·(＋)＝__________． 解析：以点C为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 由已知得，B(0，4)，F(3，0)，G(3，2)，D(6，0)，E(6，4)， 所以＝(3，－4)， ＝(3，－2)， ＝(3，2)， 所以·(＋)＝(3，－4)·(6，0)＝18. 答案：18 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解． 角度1　线性运算中的参数最值 [例1] 已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，1)，c＝(m－2，－n)，且(a＋b)∥c，则mn的最大值为(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 【解析】　a＋b＝(1，2)，c＝(m－2，－n)，(a＋b)∥c，故－n＝2(m－2)，即2m＋n＝4，当m≤0，n>0或n≤0，m>0时，mn≤0；当m>0且n>0时，2m＋n＝4≥2，mn≤2，当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立．综上所述mn的最大值为2. 【答案】　B 解决此类问题，往往综合运用向量的线性运算、平面向量基本定理以及共线的充要条件等，把所求问题转化为函数问题或条件不等式问题，从而借助函数的性质或基本不等式求最值与范围． 　 角度2　向量数量积的最值 [例2] 如图，在边长为3的正方形ABCD中，＝2，若P为线段BE上的动点(包括端点)，则·的最小值为________． 【解析】　在正方形ABCD中， 建立如图所示平面直角坐标系，由正方形边长为3且＝2， 可得A(0，0)，B(3，0)，D(0，3)， E(2，3)， 设＝λ＝(－λ，3λ)，λ∈[0，1]， 则P(3－λ，3λ)， 则＝(3－λ，3λ)， ＝(3－λ，3λ－3)， 故·＝(3－λ)2＋3λ(3λ－3)＝10λ2－15λ＋9＝102＋， 故当λ＝时，·取得最小值，最小值为. 【答案】　 求解向量数量积的最值(范围)问题时，往往先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解；在一些和几何图形有关的问题中，也可利用图形、几何知识求解． 角度3　向量模与夹角的最值 [例3] (1)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，则|a－2b|的最大值为(　　) A．1 B．3 C．7 D．5 (2)已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角的最小值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)设向量a，b的夹角为θ， 则|a－2b|＝＝＝≤＝5. 当且仅当cos θ＝－1，即a，b反向共线时等号成立， 所以|a－2b|的最大值为5. (2)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0， 即a·b＝b2，cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝， 又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4， 所以0<cos 〈a，b〉≤，又因为0≤〈a，b〉≤π， 所以≤〈a，b〉<，所以a，b夹角的最小值为. 【答案】　(1)D　 (2)C (1)求向量模的最值(范围)一般要利用公式|a|＝转化为函数或基本不等式求解，或利用向量三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解． (2)若两向量的夹角为α，先求出cos α的范围，再根据余弦函数y＝cos α在[0，π]上的单调性求出夹角α的范围． [跟踪训练] (1)已知向量a＝(，1)，向量a与向量b的夹角为，则|a－b|的最小值为(　　) A．2 B． C． D．1 解析：选B.设|b|＝x，又|a|＝2，所以|a－b|＝＝＝，根据二次函数性质，当x＝1时，|a－b|min＝. (2)在△ABC中，D为边AC的中点，E为中线BD上的一点且＝x＋y，则＋的最小值为________． 解析：如图所示： 因为＝x＋y，D为边AC的中点， 所以＝x＋2y； 又B，E，D三点共线， 所以x＋2y＝1(x>0，y>0)； 则＋＝(＋)(x＋2y)＝1＋＋＋4≥ 5＋2＝9， 当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立． 因此＋的最小值为9. 答案：9 (3)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为AD的中点，F为AB的中点，Q为边CD上的动点(包括端点)，则·的取值范围为____________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意知E(0，1)，F(2，0)，设Q(t，2)，0≤t≤4， 从而＝(－t，－1)，＝(2－t，－2)， ·＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，t∈[0，4]， 所以·＝(t－1)2＋1，t∈[0，4]的取值范围是[1，10]. 答案：[1，10] 学科网（北京）股份有限公司 $