专题02 函数的图像与性质（复习讲义）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02函数的图像与性质 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一 函数基础（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 自变量和函数值 必备知识 知识1 函数定义域 知识2 函数值的定义 命题预测 考点二 正比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数图象和性质 必备知识 知识1 正比例函数定义 知识2 正比例函数的图像与性质 知识3 解析式求解 命题预测 考点三 一次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 一次函数的定义 题型二 待定系数法求一次函数解析式 题型三 一次函数的图象 题型四 一次函数的性质 必备知识 知识1 一次函数定义 知识2 一次函数的图像与性质 命题预测 考点四 反比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 求反比例函数解析式 题型二 反比例函数的性质 题型三 k的几何意义 必备知识 知识1 反比例函数定义 知识2 反比例函数的图像与性质 知识3 反比例函数k的几何意义 命题预测 考点五 二次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 二次函数的图象和性质 题型二 待定系数法求二次函数解析式 题型三 二次函数的平移 必备知识 知识1 二次函数定义 知识2 二次函数的图像与核心性质 命题预测 命题透视 1.基础层：选择1-3题、填空2-3题，聚焦函数基础概念等，为必拿分基础题； 2.中档层：解答题第21题，以一次函数与反比例函数图像综合为核心，为中档核心得分题； 3.压轴层：解答题第24题，以二次函数图像与性质为核心，结合几何图形综合考查，是代数压轴题。命题特点为重数形结合等，分值占全卷35%左右。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 函数基础 T3：正比例函数定义 T8：函数定义域（自变量取值范围） T2：函数定义域（自变量取值范围） T10：函数定义域（自变量取值范围） 无单独基础题，融入函数性质考查 无单独基础题，融入函数性质考查 正比例/一次函数的图像与性质 无单独考查，融入双函数综合 T11：正比例函数增减性 T13：一次函数解析式与函数值计算 T3：一次函数增减性判断 T14：一次函数增减性、过象限特征与解析式求解 T21：一次函数解析式求解 T14：一次函数过象限特征、增减性与解析式求解 反比例函数的图像与性质 T12：反比例函数增减性、象限分布与解析式求解 T21：反比例函数与一次函数图像综合、解析式求解 无单独小题考查，融入双函数综合 T3：反比例函数增减性、k的符号判断 T21：反比例函数解析式与图像平移 T12：反比例函数解析式求解 T21：反比例函数与一次函数图像综合 一次函数与反比例函数综合 无单独解答题考查 T21：双函数交点计算、图像与几何综合 T21：双函数图像综合、解析式求解 T21：双函数综合、解析式求解 T21：双函数图像综合、解析式求解 二次函数的图像与基本性质 T11：二次函数图像平移与解析式变化 无单独小题考查，融入压轴题 T3：二次函数增减性判断 T14：二次函数开口、顶点、增减性与解析式求解 T24：二次函数图像平移、增减性、对称轴性质 T3：二次函数图像平移、开口/对称轴/增减性变化 二次函数与几何综合压轴 T24：二次函数解析式求解、图像性质与相似三角形综合 T24：二次函数图像平移、解析式求解与图像性质综合 T24：一次函数与二次函数综合、图像平移与性质应用 T24：二次函数解析式、图像增减性与顶点性质综合 T24：二次函数解析式、图像性质与等腰直角三角形综合 命题预测 一、考情预测 函数基础模块： ◊热考：函数自变量取值范围、正比例函数定义，为必拿分题； ◊高频：函数图像的平移/翻折变换； ◊命题趋势：弱化纯概念记忆，结合新定义运算等命题。 正比例/一次函数与反比例函数模块： ◊热考：一次函数与反比例函数的图像综合题，是中档题核心得分点； ◊高频：反比例函数k的几何意义等； ◊命题趋势：弱化纯代数计算，强化数形结合考查。 二次函数模块： ◊热考：二次函数图像核心性质、二次函数与几何图形的综合压轴题，是核心区分度题； ◊高频：二次函数解析式求解等； ◊命题趋势：弱化复杂代数运算，强化分类讨论等能力考查。 二、备考建议 1.锚定核心考点，固化解题流程，确保基础题零失分，中档题稳拿分； 2.强化数形结合，突破核心难点，养成“先画图、再分析”的解题习惯； 3.深耕分类讨论，规避易错漏解，建立解题逻辑； 4.适配创新考法，提升核心素养，针对性训练新题型。 考点一函数基础 1．解题步骤 ①识别函数解析式的类型（分式、二次根式、复合型）； ②列出所有使解析式有意义的限制条件（不等式／不等式组）； ③解不等式（组），得到自变量的取值范围； ④结合实际场景修正定义域（实际应用题专用）。 2．核心速解技巧 -单一分式：直接令分母，解不等式即可； -分式＋二次根式复合：同时满足＂被开方数＂+＂分母＂，联立求解。 题型一 自变量和函数值 1．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数的定义域是，解得， 故选：D． 2．（2023·上海·中考真题）函数的定义域为________． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】根据分式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键． 3．（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）=_____． 【答案】3 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】直接代入求值即可． 【详解】解：∵f（x）=3x， ∴f（1）=3×1=3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可． 4．（2021·上海·中考真题）已知，那么__________． 【答案】． 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键． 知识1函数定义域 -分式型函数：分母不能为0； -二次根式型函数：被开方数必须（双重非负性）； -复合型函数：同时满足所有组成部分的有意义条件； -实际应用类函数：自变量取值需符合实际场景的物理意义、数量要求。 知识2函数值的定义 对于函数，当自变量取定一个值时，对应的的取值即为，称为时的函数值。 1.（2026·上海徐汇·一模）已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象识别 【分析】此题考查了函数图象，根据点得到点A和点B关于y轴对称，排除A，C选项；根据点得到当时的函数值小于当时的函数值，进而求解即可． 【详解】解：∵点在同一个函数的图像上，且点A和点B关于y轴对称， ∴排除A，C选项； ∵点在同一个函数的图像上， ∴当时，，当时，，且 ∴当时的函数值小于当时的函数值，排除D选项，只有B选项符合题意． 故选：B． 考点二 正比例函数 题型一 正比例函数的定义 1．标准解题步骤 ①将函数解析式化为最简形式； ②对照三要素验证： 次数为 系数 、无常数项； ③全部符合则为正比例函数，否则排除。 2．易错规避提示：分母含 为反比例函数， 次数为 2 为二次函数，均非正比例函数。 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 2．（2015·上海·中考真题）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（       ） A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、二次函数的识别、正比例函数的定义 【详解】解：A.y是x的二次函数，故A选项不符合题意； B.y是x的反比例函数，故B选项不符合题意； C.y是x的正比例函数，故C选项正确； D.y是x的一次函数，故D选项不符合题意； 故选C． 题型二 正比例函数图象和性质 1．解题步骤 ①已知图像过象限：由象限特征定 的符号，再判断增减性； ②已知函数上点的坐标：代入点坐标求 ，再由 的符号判断象限与增减性； ③写符合条件的解析式：根据要求确定 的符号，写出满足 的解析式即可。 2．核心速记技巧：正比例函数的象限与增减性唯一由 的符号决定。 1．（2023·上海·中考真题）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、，，y随x的增大而减小，符合题意； C、，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 2．（2021·上海·中考真题）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________． 【答案】（且即可） 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴k<0， 当经过时，k=-1， 由题意函数不经过，说明k≠-1， 故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)． 【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限． 知识1 正比例函数定义 形如（为常数，）的函数，为比例系数。 核心判定三要素：①自变量的次数为1；②比例系数；③无常数项。 知识2 正比例函数的图像与性质 -图像：过坐标原点的一条直线； -象限分布与增减性： ：直线过第一、三象限，随的增大而增大； ：直线过第二、四象限，随的增大而减小。 知识3 解析式求解 待定系数法，代入1个非原点的点坐标即可求。 1．如果是正比例函数，则的值是（　　） A． B．0 C． D． 【分析】根据正比例函数的定义可知，从而可求得的值． 【解答】解：是正比例函数， ． 解得：． 故选：． 2．已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据正比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：正比例函数中，随的增大而增大， ，解得． 故选：． 3．已知函数，，是常数）是正比例函数，的值为（　　） A．或0 B． C．0 D． 【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如是常数，的函数，叫做正比例函数． 【解答】解函数，，是常数）是正比例函数， 解得，， ， ． 故选：． 4．如图，已知中的实数与中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中的值为 　 　 ． 【分析】首先应用待定系数法求出正比例函数解析式，然后把代入求出结果即可． 【解答】解：设该正比例函数解析式为：，由条件可得， 该正比例函数解析式为， 把代入得：， 解得． 故答案为：． 考点三 一次函数 题型一 一次函数的定义 1．标准解题步骤 ①确定实际问题中的自变量和因变量； ②设解析式为； ③提取两组对应值，代入得关于的二元一次方程组； ④解方程组求，确定解析式； ⑤代入目标自变量值，计算函数值解决实际问题。 2．易错规避提示：注意实际问题中自变量的定义域限制。 1．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 【答案】4500 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 题型二 待定系数法求一次函数解析式 1．标准解题步骤 ①设标准解析式：； ②提取两个已知点的坐标； ③代入得； ④解方程组求； ⑤代回标准式得最终解析式。 2．特殊情况速解技巧 - 已知纵截距：代入 1 个点坐标直接求； - 已知直线与已知直线平行：两直线值相等，确定后代入点求。 1．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、分式的求值 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 2．（2022·上海·中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 【答案】(1)y=x+1 (2) 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、由平移方式确定点的坐标、解直角三角形的相关计算 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1， 把A（2，3）代入，得3=2k+1， 解得：k=1， ∴这个一次函数的解析式为y=x+1； （2）解：如图， 设反比例函数解析式为y=， 把A（2，3）代入，得3=， 解得：m=6， ∴反比例函数解析式为y=， 当x=6时，则y==1， ∴B（6，1）， ∴AB=， ∵将点B向上平移2个单位得到点C， ∴C（6，3），BC=2， ∵A（2，3），C（6，3）， ∴ACx轴， ∵B（6，1），C（6，3）， ∴BC⊥x轴， ∴AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴cos∠ABC=． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键． 3．（上海中考）在平面直角坐标系xoy中（如图），已知一次函数的图像平行于直线，且经过点A（2，3），与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标是（0，） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0），把A坐标代入即可解答 （2）先求出点B坐标，设点C的坐标为（0，y），由AC＝BC利用勾股定理求出y即可解答 【详解】（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0）. 一次函数的图像平行于直线，∴ 又∵一次函数的图像经过点A（2，3）， ∴，解得b＝2. 所以，所求一次函数的解析式是 （2）由y＝，令y＝0，得号＝0，解得x＝－4. ∴一次函数的图像与x轴的交点为B（－4，0）. ∵点C在y轴上，.设点C的坐标为（0，y）. 由AC＝BC，得，解得y＝ 经检验：y＝是原方程的根. ∴点C的坐标是（0，） 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于利用勾股定理进行计算 题型三 一次函数的图象 1．标准解题步骤 ①提取增减性、截距、过象限的已知条件； ②由增减性定的符号，由截距定的符号； ③结合的符号，对照规则确定直线经过／不经过的象限； ④写符合条件的解析式：根据符号要求，写出一组满足的即可。 2．核心速记技巧：增减性只看，纵截距看，过象限由、共同决定。 1．（2022·上海·中考真题）已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数 【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】∵直线过第一象限且函数值随着x的增大而减小， ∴，， ∴符合条件的一条直线可以为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数（），当，时，函数图象过第一象限且函数值随着x的增大而减小． 2．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， （2）设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； （3）如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 题型四 一次函数的性质 1．标准解题步骤 ①已知解析式判断增减性：直接看的符号，递增，递减； ②已知增减性求参数：根据增减性列关于参数的不等式，求解参数范围； ③已知图像过象限求参数：由象限特征定的符号，列不等式／方程求解。 2．易错规避提示：一次项系数含参数时，必须保证，避免遗漏限制条件。 1．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【知识点】判断一次函数的增减性、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：， 又， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 2．（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 【答案】(1)C (2)（D）处应填充： (3) 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法求出函数关系式． （1）依据题意，该函数可能是一次函数，即可得解； （2）依据题意，结合（1）可设所求函数为一次函数即可判断得解； （3）依据题意，设y关于x的解析式是，则，从而可得解析式，然后结合弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过，故，可得x的范围，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，该函数可能是一次函数， 故选：C． （2）解：结合（1）可设所求函数解析式为， 故（D）处应填充：． （3）解：设y关于x的解析式是， 由题意得：， ∴ ∴y关于x的解析式是； 又∵， ∴． ∴， 答：所挂重物的重量最多为． 知识1 一次函数定义 形如（为常数，）的函数；当时，退化为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 核心判定：的次数为 1 ，一次项系数，常数项为任意实数。 知识2 一次函数的图像与性质 - 图像：一条点线，与与交于（为纵益距），与与交于； - 过象限规侧（联合判定）： k的符号 b的符号 经过的象限 不经过的象限 k>0 b>0 一、二、三 四 k>0 b<0 一、三、四 二 k<0 b>0 一、二、四 三 k<0 b<0 二、三、四 一 - 增减性：时，随的增大而增大；时，随的增大而减小。 3．解析式求解：待定系数法，代入 2 个点的坐标，解二元一次方程组求。 1．已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点在正比例函数图象上的性质，点的坐标满足函数解析式，得到与、的关系，再结合已知等式变形即可求出的值． 【解答】解：由条件可知， ，， ， ， ，即， ． 故选：． 2．已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先比较、两点横坐标的大小，再结合判断函数增减性，得到的取值范围，即可选出正确选项． 【解答】解：由条件可知，即， 又，说明一次函数随的增大而减小， 根据一次函数性质，一次项系数小于0， ，解得， 选项中只有选项，符合要求， 故选：． 3．一次函数的图象关于轴对称后经过，则的值是（　　） A．1 B． C．5 D． 【分析】首先把代入可得关于的方程，再解即可． 【解答】解：关于轴对称点为， 一次函数的图象过点， ， 解得：， 故选：． 4．如图，光源发出的一束光，遇到平面镜轴）上的点的反射光线交轴于点，则入射光线所在直线的解析式为 ． 【分析】设点的坐标为．过点作垂直于轴的直线（法线），根据光的反射定律“入射角等于反射角”，得到这两个角的正切值相等，从而求出．入射光线所在直线的解析式为，设将点和的坐标代入，利用待定系数法求解即可． 【解答】解：设点的坐标为． 过点作垂直于轴的直线（法线），过点作垂直于该直线的垂线相交于点，过点作垂直于该直线的垂线相交于点． 由入射光线与反射光线的性质，得， ． ，， ，解得． ． 设入射光线所在直线的解析式为． 将点和代入， 得，解得． 入射光线所在直线的解析式为． 故答案为：． 5．如图，已知点，，一次函数图象经过线段的中点，则的值为 　 　． 【分析】求出线段的中点，代入一次函数，求出的值即可． 【解答】解：，， 线段的中点坐标为， 一次函数图象经过线段的中点， ， ， 故答案为：5． 6．一次函数中，，则该图像不过第___________象限． 【答案】一 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是掌握一次函数的图像与性质． 由，可判断一次函数各项系数的符号，再根据一次函数各项系数确定其图像所经象限． 【详解】解：∵， ∴，． ∴，． ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限， ∴该图像不过第一象限． 故答案为：一． 考点四 反比例函数 题型一 求反比例函数解析式 1．标准解题步骤 ①设标准解析式：； ②提取双曲线上一个已知点的坐标； ③代入得，计算的值； ④代回标准式得最终解析式。 2．技巧拓展：已知点关于坐标轴对称的点在双曲线上时，先求对称点坐标，再代入求。 1．（上海中考）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　　) A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣ 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为y=， 将(2，-4)代入，得：-4=， 解得：k=-8， 所以这个反比例函数解析式为y=-． 故选：D． 【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可． 2．（上海中考）已知点在反比例函数的图象上，若点P关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，则k的值为________. 【答案】－2 【知识点】求反比例函数解析式 【详解】解：∵点P（a，b）在反比例函数y=的图象上， ∴ab=2， ∵点P关于y轴对称的点的坐标是（-a，b）， ∴k=-ab=-2． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．关于x轴、y轴对称的点的坐标． 3．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； 【答案】(1)，； 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、求角的正弦值 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； 题型二 反比例函数的性质 1．标准解题步骤 ①已知增减性／象限分布：由性质定的符号，再判断对应特征； ②判断点是否在双曲线上：计算点的横纵坐标之积，若等于则在图像上，否则不在； ③写符合条件的解析式：根据增减性定的符号，写出满足的解析式即可。 2．易错规避提示：描述增减性必须注明＂在每一象限内＂；跨象限比较函数值需结合正负号判断，不可直接用增减性。 1．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案． 【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴该反比例函数的比例系数大于0， ∴符合题意的反比例函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2022·上海·中考真题）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 【答案】B 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（上海中考）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_____． 【答案】k＜1 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【详解】【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可． 【详解】∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1， 故答案为k＜1． 题型三 k的几何意义 1．标准解题步骤 ①过双曲线上的点作坐标轴的垂线，构造矩形／直角三角形； ②利用的几何意义，建立图形面积与的关联； ③结合题干中的线段长度、面积关系，列关于的方程； ④由双曲线所在象限确定的符号，求解； ⑤结合几何图形性质（矩形、相似三角形、直角三角形等）解决综合问题。 2．核心解题技巧：多反比例函数、多线段比例问题，可设点的坐标，用表示线段长度，结合几何性质列方程求解。 1．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 2．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 3．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】/ 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 知识1 反比例函数定义 形如（为常数，），亦可表示为或。核心判定：①自变量的次数为 -1 ；②比例系数；③自变量，函数值。 知识2 反比例函数的图像与性质 - 图像：双曲线，关于原点中心对称，关于直线轴对称； - 象限分布与增减性：：双曲线的两支在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；：双曲线的两支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大。 －核心前提：增减性必须限定＂在每一象限内＂，跨象限不适用该规律。 知识3 反比例函数的几何意义 过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，垂足为，则： 矩形的面积：； （面积为定值，与点位置无关）。 1.（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知点是双曲线上的一点，下列坐标表示的各点中，不在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】此题考查了反比例函数的性质，验证点的横纵坐标乘积是否等于进行验证即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的一点， ∴ 选项A：∵， ∴在双曲线上，不符合题意； 选项B：∵， ∴在双曲线上，不符合题意； 选项C：∵， ∴不在双曲线上，符合题意； 选项D： ∴在双曲线上，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有曲线的图象． 在该图象上有点和点，点在轴上．连接，若，则的面积为______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，先求出反比例函数的解析式，进而可得，过点作轴于，过点作轴于，由等腰三角形的性质可得，即得，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 过点作轴于，过点作轴于，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 4．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为___________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】先根据旋转以及矩形的性质求出，然后由勾股定理求出，解，求出，由旋转可知：，，则，那么，然后由角直角三角形性质和勾股定理求出，再由待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：过点作轴于点，连接， 四边形是矩形， ， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，， ， 的对应点恰好落在对角线的中点， ， ， ， 在中，，， ， 由旋转可知：，， ， 又轴， ， ， 在中，，， ， ， 反比例函数经过点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 考点五 二次函数 题型一 二次函数的图象和性质 1．标准解题步骤 ①从解析式提取的值，或从题干提取开口、对称轴、顶点等信息； ②由的符号判断开口方向，由对称轴公式计算对称轴，确定顶点坐标； ③结合开口方向和对称轴，判断函数增减性； ④解决参数范围、性质判断类问题。 2．核心速记技巧：对称轴位置的＂左同右异＂一 对称轴在轴左侧，同号；对称轴在轴右侧，异号。 1．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、分式加减乘除混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 题型二 待定系数法求二次函数解析式 1．标准解题步骤 ①根据已知条件选择解析式形式（一般式／顶点式／交点式）； ②将已知点坐标、顶点坐标或交点坐标代入，得关于参数的方程（组）； ③解方程（组），求（或）的值； ④代回解析式并化简，得最终解析式。 2．选型速解技巧 已知顶点／对称轴／最值：优先选顶点式； 已知与轴的两个交点：优先选交点式； 已知任意三个普通点：选一般式。 1．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 2．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； 【知识点】其他问题(二次函数综合)、求角的正弦值、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案； 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； 3．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 【答案】(1) (2)①k≥2 ②P的坐标为（2，3） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、三线合一、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）把，代入，求解即可； （2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围； ②把P（m，n）代入，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴函数解析式为：； （2）解：①∵， ∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点， ∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ∴抛物线向右平移了m个单位， ∴， ∴m=2， ∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上， ∵在的右侧，两抛物线都上升， 又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上， ∴k≥2， ②把P（m，n）代入，得n=， ∴P（m， ） 根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3， ∴Q(0，m2-3)， ∵B（0，-3）， ∴BQ=m2，BP2=， PQ2=， ∴BP=PQ， 如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|， ∵BP=PQ，PC⊥BQ， ∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°， ∴tan∠BPC= tan 60°=， 解得：m=±2（舍去负数）， ∴n==3， 故P的坐标为（2，3）. 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 4．（2021·上海·中考真题）已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可; （2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可. 【详解】解：（1）将两点分别代入，得 解得． 所以抛物线的解析式是． （2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，， 作于H． ∵是等腰直角三角形， ∴和也是等腰直角三角形， ∴， ∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1． ②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， 所以． 所以． 将点代入， 得． 整理，得． 因式分解，得． 解得，或（与点P重合，舍去）． 当时，． 所以点C的坐标是． 【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键． 题型三 二次函数的平移 1．标准解题步骤 ①将原解析式化为顶点式，确定顶点坐标； ②按＂左加右减、上加下减＂规则，修改顶点式中的、值； ③化简平移后的解析式，得最终结果； ④逆向平移：将平移过程反向操作，从最终解析式倒推原解析式。 2．易错规避提示：左右平移是对自变量整体加减，需添加括号，避免的错误写法。 1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 2．（上海中考）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位， 抛物线的解析式为，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减． 3．如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是____． 【答案】y=x2+3． 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解． 【详解】抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3． 故答案为：y=x2+3． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是_________． 【答案】y=x2+x﹣2 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加． 因此将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+x﹣2． 故答案为：y=x2+x﹣2 5．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或；(2)①； 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； 知识1 二次函数定义 形如为常数，的函数，自变量的最高次数为 2 ，二次项系数。 知识2 二次函数的图像与核心性质 图像：抛物线，轴对称图形，对称轴为直线； 开口方向：时，开口向上；时，开口向下； 顶点坐标：为最低点，为最高点）； 增减性： ：对称轴左侧随的增大而减小；对称轴右侧随的增大而增大； ：对称轴左侧随的增大而增大；对称轴右侧随的增大而减小。 3．二次函数图像平移规则：平移不改变开口方向和形状（不变），核心规则为左加右减，上加下减（顶点式 左右平移（针对自变量）： 向左平移个单位；向右平移个单位 →; 上下平移（针对函数整体）： 向上平移个单位；向下平移个单位 →。 4．二次函数解析式的三种形式 一般式：，已知任意三个点坐标时使用； 顶点式：，已知顶点坐标、对称轴或最值时使用； 交点式：，已知抛物线与轴的两个交点时使用。 1．如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 2．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 3．二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为___________． 【答案】． 【分析】由两个交点可得△，由点在线段上，且开口方向向上可知当时，，据此求解即可． 【解答】解：令， 则△， 或， 点在线段上，且开口方向向上， 当时，则， ， 综上，， 故答案为：． 4．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为　 　 ． 【答案】4． 【分析】设出、两点的坐标，并表示出，，三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值． 【解答】解：如图，过点，分别作轴垂线，交轴于点，， 设点，， 则：直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， ， ， ， △△， ， ， 则直线的表达式为：， 直线必过点， 当与轴平行时，边上的高有最大值，为4， 故答案为：4． 5．抛物线的顶点坐标为，则的最大值为　 　 ． 【答案】3． 【分析】由顶点坐标可得抛物线的顶点式，从而表示出和关于的表达式，代入得到关于的二次函数，求其最大值即可． 【解答】解：的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 展开得， ，． 则． 得出关于的二次函数，二次项系数为， 故开口向下，有最大值， 当时取得最大值， 最大值为； 故答案为：3． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02函数的图像与性质 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一 函数基础（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 自变量和函数值 必备知识 知识1 函数定义域 知识2 函数值的定义 命题预测 考点二 正比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数图象和性质 必备知识 知识1 正比例函数定义 知识2 正比例函数的图像与性质 知识3 解析式求解 命题预测 考点三 一次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 一次函数的定义 题型二 待定系数法求一次函数解析式 题型三 一次函数的图象 题型四 一次函数的性质 必备知识 知识1 一次函数定义 知识2 一次函数的图像与性质 命题预测 考点四 反比例函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 求反比例函数解析式 题型二 反比例函数的性质 题型三 k的几何意义 必备知识 知识1 反比例函数定义 知识2 反比例函数的图像与性质 知识3 反比例函数k的几何意义 命题预测 考点五 二次函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 二次函数的图象和性质 题型二 待定系数法求二次函数解析式 题型三 二次函数的平移 必备知识 知识1 二次函数定义 知识2 二次函数的图像与核心性质 命题预测 命题透视 1.基础层：选择1-3题、填空2-3题，聚焦函数基础概念等，为必拿分基础题； 2.中档层：解答题第21题，以一次函数与反比例函数图像综合为核心，为中档核心得分题； 3.压轴层：解答题第24题，以二次函数图像与性质为核心，结合几何图形综合考查，是代数压轴题。命题特点为重数形结合等，分值占全卷35%左右。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 函数基础 T3：正比例函数定义 T8：函数定义域（自变量取值范围） T2：函数定义域（自变量取值范围） T10：函数定义域（自变量取值范围） 无单独基础题，融入函数性质考查 无单独基础题，融入函数性质考查 正比例/一次函数的图像与性质 无单独考查，融入双函数综合 T11：正比例函数增减性 T13：一次函数解析式与函数值计算 T3：一次函数增减性判断 T14：一次函数增减性、过象限特征与解析式求解 T21：一次函数解析式求解 T14：一次函数过象限特征、增减性与解析式求解 反比例函数的图像与性质 T12：反比例函数增减性、象限分布与解析式求解 T21：反比例函数与一次函数图像综合、解析式求解 无单独小题考查，融入双函数综合 T3：反比例函数增减性、k的符号判断 T21：反比例函数解析式与图像平移 T12：反比例函数解析式求解 T21：反比例函数与一次函数图像综合 一次函数与反比例函数综合 无单独解答题考查 T21：双函数交点计算、图像与几何综合 T21：双函数图像综合、解析式求解 T21：双函数综合、解析式求解 T21：双函数图像综合、解析式求解 二次函数的图像与基本性质 T11：二次函数图像平移与解析式变化 无单独小题考查，融入压轴题 T3：二次函数增减性判断 T14：二次函数开口、顶点、增减性与解析式求解 T24：二次函数图像平移、增减性、对称轴性质 T3：二次函数图像平移、开口/对称轴/增减性变化 二次函数与几何综合压轴 T24：二次函数解析式求解、图像性质与相似三角形综合 T24：二次函数图像平移、解析式求解与图像性质综合 T24：一次函数与二次函数综合、图像平移与性质应用 T24：二次函数解析式、图像增减性与顶点性质综合 T24：二次函数解析式、图像性质与等腰直角三角形综合 命题预测 一、考情预测 函数基础模块： ◊热考：函数自变量取值范围、正比例函数定义，为必拿分题； ◊高频：函数图像的平移/翻折变换； ◊命题趋势：弱化纯概念记忆，结合新定义运算等命题。 正比例/一次函数与反比例函数模块： ◊热考：一次函数与反比例函数的图像综合题，是中档题核心得分点； ◊高频：反比例函数k的几何意义等； ◊命题趋势：弱化纯代数计算，强化数形结合考查。 二次函数模块： ◊热考：二次函数图像核心性质、二次函数与几何图形的综合压轴题，是核心区分度题； ◊高频：二次函数解析式求解等； ◊命题趋势：弱化复杂代数运算，强化分类讨论等能力考查。 二、备考建议 1.锚定核心考点，固化解题流程，确保基础题零失分，中档题稳拿分； 2.强化数形结合，突破核心难点，养成“先画图、再分析”的解题习惯； 3.深耕分类讨论，规避易错漏解，建立解题逻辑； 4.适配创新考法，提升核心素养，针对性训练新题型。 考点一函数基础 1．解题步骤 ①识别函数解析式的类型（分式、二次根式、复合型）； ②列出所有使解析式有意义的限制条件（不等式／不等式组）； ③解不等式（组），得到自变量的取值范围； ④结合实际场景修正定义域（实际应用题专用）。 2．核心速解技巧 -单一分式：直接令分母，解不等式即可； -分式＋二次根式复合：同时满足＂被开方数＂+＂分母＂，联立求解。 题型一 自变量和函数值 1．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·中考真题）函数的定义域为________． 3．（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）=_____． 4．（2021·上海·中考真题）已知，那么__________． 知识1函数定义域 -分式型函数：分母不能为0； -二次根式型函数：被开方数必须（双重非负性）； -复合型函数：同时满足所有组成部分的有意义条件； -实际应用类函数：自变量取值需符合实际场景的物理意义、数量要求。 知识2函数值的定义 对于函数，当自变量取定一个值时，对应的的取值即为，称为时的函数值。 1.（2026·上海徐汇·一模）已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 考点二 正比例函数 题型一 正比例函数的定义 1．标准解题步骤 ①将函数解析式化为最简形式； ②对照三要素验证： 次数为 系数 、无常数项； ③全部符合则为正比例函数，否则排除。 2．易错规避提示：分母含 为反比例函数， 次数为 2 为二次函数，均非正比例函数。 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2015·上海·中考真题）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（       ） A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 题型二 正比例函数图象和性质 1．解题步骤 ①已知图像过象限：由象限特征定 的符号，再判断增减性； ②已知函数上点的坐标：代入点坐标求 ，再由 的符号判断象限与增减性； ③写符合条件的解析式：根据要求确定 的符号，写出满足 的解析式即可。 2．核心速记技巧：正比例函数的象限与增减性唯一由 的符号决定。 1．（2023·上海·中考真题）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·上海·中考真题）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________． 知识1 正比例函数定义 形如（为常数，）的函数，为比例系数。 核心判定三要素：①自变量的次数为1；②比例系数；③无常数项。 知识2 正比例函数的图像与性质 -图像：过坐标原点的一条直线； -象限分布与增减性： ：直线过第一、三象限，随的增大而增大； ：直线过第二、四象限，随的增大而减小。 知识3 解析式求解 待定系数法，代入1个非原点的点坐标即可求。 1．如果是正比例函数，则的值是（　　） A． B．0 C． D． 2．已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，，是常数）是正比例函数，的值为（　　） A．或0 B． C．0 D． 4．如图，已知中的实数与中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中的值为 　 　 ． 考点三 一次函数 题型一 一次函数的定义 1．标准解题步骤 ①确定实际问题中的自变量和因变量； ②设解析式为； ③提取两组对应值，代入得关于的二元一次方程组； ④解方程组求，确定解析式； ⑤代入目标自变量值，计算函数值解决实际问题。 2．易错规避提示：注意实际问题中自变量的定义域限制。 1．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 题型二 待定系数法求一次函数解析式 1．标准解题步骤 ①设标准解析式：； ②提取两个已知点的坐标； ③代入得； ④解方程组求； ⑤代回标准式得最终解析式。 2．特殊情况速解技巧 - 已知纵截距：代入 1 个点坐标直接求； - 已知直线与已知直线平行：两直线值相等，确定后代入点求。 1．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 2．（2022·上海·中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 3．（上海中考）在平面直角坐标系xoy中（如图），已知一次函数的图像平行于直线，且经过点A（2，3），与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标． 题型三 一次函数的图象 1．标准解题步骤 ①提取增减性、截距、过象限的已知条件； ②由增减性定的符号，由截距定的符号； ③结合的符号，对照规则确定直线经过／不经过的象限； ④写符合条件的解析式：根据符号要求，写出一组满足的即可。 2．核心速记技巧：增减性只看，纵截距看，过象限由、共同决定。 1．（2022·上海·中考真题）已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____． 2．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 题型四 一次函数的性质 1．标准解题步骤 ①已知解析式判断增减性：直接看的符号，递增，递减； ②已知增减性求参数：根据增减性列关于参数的不等式，求解参数范围； ③已知图像过象限求参数：由象限特征定的符号，列不等式／方程求解。 2．易错规避提示：一次项系数含参数时，必须保证，避免遗漏限制条件。 1．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”） 2．（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 知识1 一次函数定义 形如（为常数，）的函数；当时，退化为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 核心判定：的次数为 1 ，一次项系数，常数项为任意实数。 知识2 一次函数的图像与性质 - 图像：一条点线，与与交于（为纵益距），与与交于； - 过象限规侧（联合判定）： k的符号 b的符号 经过的象限 不经过的象限 k>0 b>0 一、二、三 四 k>0 b<0 一、三、四 二 k<0 b>0 一、二、四 三 k<0 b<0 二、三、四 一 - 增减性：时，随的增大而增大；时，随的增大而减小。 3．解析式求解：待定系数法，代入 2 个点的坐标，解二元一次方程组求。 1．已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．一次函数的图象关于轴对称后经过，则的值是（　　） A．1 B． C．5 D． 4．如图，光源发出的一束光，遇到平面镜轴）上的点的反射光线交轴于点，则入射光线所在直线的解析式为 ． 5．如图，已知点，，一次函数图象经过线段的中点，则的值为 　 　． 6．一次函数中，，则该图像不过第___________象限． 考点四 反比例函数 题型一 求反比例函数解析式 1．标准解题步骤 ①设标准解析式：； ②提取双曲线上一个已知点的坐标； ③代入得，计算的值； ④代回标准式得最终解析式。 2．技巧拓展：已知点关于坐标轴对称的点在双曲线上时，先求对称点坐标，再代入求。 1．（上海中考）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　　) A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣ 2．（上海中考）已知点在反比例函数的图象上，若点P关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，则k的值为________. 3．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； 题型二 反比例函数的性质 1．标准解题步骤 ①已知增减性／象限分布：由性质定的符号，再判断对应特征； ②判断点是否在双曲线上：计算点的横纵坐标之积，若等于则在图像上，否则不在； ③写符合条件的解析式：根据增减性定的符号，写出满足的解析式即可。 2．易错规避提示：描述增减性必须注明＂在每一象限内＂；跨象限比较函数值需结合正负号判断，不可直接用增减性。 1．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 2．（2022·上海·中考真题）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 3．（上海中考）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_____． 题型三 k的几何意义 1．标准解题步骤 ①过双曲线上的点作坐标轴的垂线，构造矩形／直角三角形； ②利用的几何意义，建立图形面积与的关联； ③结合题干中的线段长度、面积关系，列关于的方程； ④由双曲线所在象限确定的符号，求解； ⑤结合几何图形性质（矩形、相似三角形、直角三角形等）解决综合问题。 2．核心解题技巧：多反比例函数、多线段比例问题，可设点的坐标，用表示线段长度，结合几何性质列方程求解。 1．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 4．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 知识1 反比例函数定义 形如（为常数，），亦可表示为或。核心判定：①自变量的次数为 -1 ；②比例系数；③自变量，函数值。 知识2 反比例函数的图像与性质 - 图像：双曲线，关于原点中心对称，关于直线轴对称； - 象限分布与增减性：：双曲线的两支在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；：双曲线的两支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大。 －核心前提：增减性必须限定＂在每一象限内＂，跨象限不适用该规律。 知识3 反比例函数的几何意义 过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，垂足为，则： 矩形的面积：； （面积为定值，与点位置无关）。 1.（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知点是双曲线上的一点，下列坐标表示的各点中，不在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有曲线的图象． 在该图象上有点和点，点在轴上．连接，若，则的面积为______． 4．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为___________． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 考点五 二次函数 题型一 二次函数的图象和性质 1．标准解题步骤 ①从解析式提取的值，或从题干提取开口、对称轴、顶点等信息； ②由的符号判断开口方向，由对称轴公式计算对称轴，确定顶点坐标； ③结合开口方向和对称轴，判断函数增减性； ④解决参数范围、性质判断类问题。 2．核心速记技巧：对称轴位置的＂左同右异＂一 对称轴在轴左侧，同号；对称轴在轴右侧，异号。 1．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 题型二 待定系数法求二次函数解析式 1．标准解题步骤 ①根据已知条件选择解析式形式（一般式／顶点式／交点式）； ②将已知点坐标、顶点坐标或交点坐标代入，得关于参数的方程（组）； ③解方程（组），求（或）的值； ④代回解析式并化简，得最终解析式。 2．选型速解技巧 已知顶点／对称轴／最值：优先选顶点式； 已知与轴的两个交点：优先选交点式； 已知任意三个普通点：选一般式。 1．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 2．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； 3．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 4．（2021·上海·中考真题）已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 题型三 二次函数的平移 1．标准解题步骤 ①将原解析式化为顶点式，确定顶点坐标； ②按＂左加右减、上加下减＂规则，修改顶点式中的、值； ③化简平移后的解析式，得最终结果； ④逆向平移：将平移过程反向操作，从最终解析式倒推原解析式。 2．易错规避提示：左右平移是对自变量整体加减，需添加括号，避免的错误写法。 1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 2．（上海中考）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 3．如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是____． 4．将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是_________． 5．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 知识1 二次函数定义 形如为常数，的函数，自变量的最高次数为 2 ，二次项系数。 知识2 二次函数的图像与核心性质 图像：抛物线，轴对称图形，对称轴为直线； 开口方向：时，开口向上；时，开口向下； 顶点坐标：为最低点，为最高点）； 增减性： ：对称轴左侧随的增大而减小；对称轴右侧随的增大而增大； ：对称轴左侧随的增大而增大；对称轴右侧随的增大而减小。 3．二次函数图像平移规则：平移不改变开口方向和形状（不变），核心规则为左加右减，上加下减（顶点式 左右平移（针对自变量）： 向左平移个单位；向右平移个单位 →; 上下平移（针对函数整体）： 向上平移个单位；向下平移个单位 →。 4．二次函数解析式的三种形式 一般式：，已知任意三个点坐标时使用； 顶点式：，已知顶点坐标、对称轴或最值时使用； 交点式：，已知抛物线与轴的两个交点时使用。 1．如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 2．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 3．二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为___________． 4．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为　 　 ． 5．抛物线的顶点坐标为，则的最大值为　 　 ． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $