8.2.2向量的数量积（第2课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第八章 平面向量 8.2 向量的数量积 8.2.2向量的数量积的定义与运算律 学 习 目 标 1 2 3 理解向量数量积的定义、向量夹角的概念与数量积的几何意义； 掌握数量积的交换律、数乘结合律、分配律，能运用数量积的定义与运算律完成向量的计算、化简与简单证明； 通过类比数的乘法运算律，猜想并证明向量数量积的运算律，体会数学知识间的内在联系与拓展方法. 新课引入 经过上节课的学习，你还记得什么是向量在方向上的投影吗？ 投影是向量还是数量？取值由什么决定？ 投影是数量，可正、可负、可为 0. 向量在向量方向上的投影： 投影是重要的几何量，本节课我们用投影来定义向量的一种新运算 ——向量的数量积，并研究它的运算规律. 结合向量的投影，可以发现： 新知探究 探究一：由投影推导数量积定义 类比物理中功的计算公式，你能否归纳住向量数量积的定义？ 如图，已知向量以及夹角，类比功的计算公式，可得： θ 规定：零向量与任意向量的数量积为 0. 结合向量的投影，你能说明向量数量积的几何意义吗？ 数量积 = 一个向量的模 × 另一个向量在它方向上的投影 新知探究 在向量数量积的计算公式中，就是 在 方向上的数量投影，而就是 在 方向上的数量投影. 观察该公式，你能归纳出数量积的相关性质吗？ 由于方向相同 ，故 可以简记为,它其实就是类似的，我们还可以得到如下性质： 零向量与任意向量的数量积为0 知识小结 向量的数量积 定义： 几何意义：数量积 = 一个向量的模 另一个向量在它方向上的投影。 例1 典例分析 如图，给定边长为6的正三角形ABC，求和． 【分析】先确定向量夹角，再利用数量积公式代入正三角形的边长与角度计算结果. 解：因为，所以 又因为，所以 证明 新知探究 探究二：数量积运算律 在前面的探究中，我们知道数量积结果是实数 ，且其几何意义与投影密切相关，那么数量积的运算律是否与实数乘法运算一样呢？ 下面我们一一验证，向量的数乘运算是否都满足实数乘法运算律. （1）交换律 结论：数量积满足交换律 实数运算如下： ①交换律 ②结合律 ③分配律 两式右边相等，因此： 新知探究 （2）数乘结合律 证明： 同理可证： 因此： 结论：数量积满足数乘结合律. 新知探究 （3）结合律 既然向量的数量积满足数乘结合律，那么它是否满足一般结合律 ？ ① 是实数， 故 与 共线 ② 是实数， 故 与 共线 ③ 与 方向不一定相同 结论： 数量积不满足结合律，即 在上的投影 新知探究 （4）分配律 证明：两个向量和在一个向量上的投影 = 分别投影的和 两边同乘，得： 结论：数量积满足分配律，可像多项式一样展开括号。 在上的投影 + 在上的投影 + 知识小结 向量数量积的运算律 ①交换律： ②数乘结合律： ③分配律： 注：不满足结合律 即时训练 例2 证明： （1）； （2） 【分析】借助向量数量积的分配律与交换律，展开并化简向量和的平方、和差乘积，完成两个公式的证明. 证明 ：（1）的证明如下： 对于（2），我们有 即时训练 对于（2），我们有 由向量的数量积的定义，可以得到： 新知探究 探究三：向量数量积的性质 利用向量数量积的公式变形，能否得到向量夹角的相关表示方式？ 若 与 均为非零向量，可从数量积来反推向量夹角的公式： (1) 当且仅当 ； (2) ，当且仅当 时等号成立。 ①当 与 平行且同向时，； ②当 与 平行且反向时，。 即时训练 例3 设向量 、 满足 ，，．求 ． 【分析】通过模长平方化的方法，结合数量积运算律展开计算，求得目标向量的模长. 解：因为 所以 ． 8.2 向量的数量积 即时训练 例4 已知 ，，.求 。 【分析】通过数量积定义变形求夹角余弦值，结合夹角范围得出向量的夹角. 解：因为 ，所以 题型1 向量数量积的简单计算 1.已知，是夹角为的两个单位向量，则（    ） A．1 B． C． D． 【分析】依托向量数量积定义，结合单位向量与已知夹角，代入计算得出结果. 【解析】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以. 故选：C C 题型1 向量数量积的简单计算 2.向量，的夹角为45°，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】先计算两向量的数量积，再通过分配律展开目标式并代入模长平方，完成求值. 【解析】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以， 则. 故选：A. A 题型2 平面几何图形中的数量积 3.在梯形中，，，，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】通过向量分解与数量积分配律，将目标式转化为已知向量的运算，完成求解. 【解析】由题可知 所以， 因， 则 C 题型3 利用数量积求向量夹角 4.已知向量满足，且，则的夹角为_______. 【解析】由 可得 又 所以 解得： 所以 又，所以 【分析】通过展开数量积等式、代入模长求出，再利用夹角公式求得向量夹角 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 数量积定义与运算律 沪教版必修三 · 课堂小结 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 数量积的定义 设 a, b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ。 我们称数量 |a| |b| cos θ 为向量 a 与 b 的 数量积点击可见（或内积）。 a · b = |a| |b| cos θ 注意：数量积的结果是一个 实数点击可见，而不是向量。 数量积的运算律 交换律：a · b = b · a点击可见 数乘结合律：(λa) · b = λ(a · b) = a · (λb)点击可见 分配律：a · (b + c) = a · b + a · c点击可见 ⚠️ 注意：数量积不满足结合律，即 (a · b)c ≠ a(b · c)。 重要性质 垂直判定：a ⊥ b ⇔ a · b = 0点击可见 模长公式：|a|² = a · a点击可见，即 |a| = √(a · a) 夹角公式：cos θ = a · b |a| |b| 夹角范围的误区 陷阱： 认为 a · b > 0 就意味着夹角是锐角。 真相： a · b > 0 意味着夹角 θ 满足 0 ≤ θ < π 2 。必须排除 θ = 0（同向）的情况，且若题目未说明非零向量，还需考虑零向量。 消去律不成立 陷阱： 由 a · b = a · c 推出 b = c。 真相： 数量积是标量运算。上述等式仅说明 b 和 c 在 a 方向上的投影相等，并不代表向量相等。 忽略零向量 陷阱： 在讨论垂直或夹角时忘记零向量。 真相： 零向量与任意向量的数量积均为 0。在判定垂直时，若题目未给定非零向量，需严谨讨论。 “模”的转化技巧 求向量模长 |a + b| 的通用模型： |a + b|² = |a|² + 2a · b + |b|² 通过平方将模长问题转化为数量积问题，是解决向量长度、最值问题的核心思路。 数形结合：投影视角 利用公式 a · b = |a| · (|b| cos θ)： 将数量积理解为：一个向量的模乘以另一个向量在其方向上的投影。 在圆、三角形等几何图形中，观察投影的变化往往比代数计算更直观。 分类讨论：夹角性质 处理 a · b 符号问题时： 锐角 a · b > 0 且不共线 直角 a · b = 0 钝角 a · b < 0 且不共线 $