8.3.2向量的坐标表示（第2课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量的正交分解与坐标运算，涵盖正交分解定义、坐标表示、线性运算及模的坐标公式。通过复习平面向量基本定理，提问垂直基的特殊性，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于概念推导严谨，如线性运算公式通过向量分解法则严格证明，培养数学思维的推理能力。结合物理重力分解实例，用数学眼光观察现实，典例与题型练习帮助学生用数学语言解决问题，助力教师系统教学，提升学生代数推理与应用能力。

第八章 平面向量 8.3 向量的坐标表示 2向量的正交分解与坐标表示 &3向量线性运算的坐标表示 学 习 目 标 1 2 3 理解向量正交分解的定义，掌握平面向量的坐标表示方法，明确位置向量的概念； 推导并掌握向量加、减、数乘线性运算及模的坐标表示公式，能熟练运用公式进行向量坐标运算. 经历向量线性运算坐标公式的推导过程，培养严谨的代数推理能力. 新课引入 上一节课我们学习了平面向量基本定理，它的核心内容是什么？ 平面内任意两个不共 线的向量、可作为一组基 平面内任意向量都可唯一表示为 我们把向量关于两个互相垂直的向量的分解，称为正交分解，这是一种特殊且实用的分解方式，也是我们将平面向量转化为代数坐标、实现数形结合的核心桥梁。 本节课我们就来学习平面向量的正交分解与坐标运算。 如果我们选取的一组基是互相垂直的，会有什么特殊的性质？ 正交分解： 新知探究 探究一：正交分解与向量的坐标表示 把向量写成所在平面上两个不平行向量的线性组合的过程，称为关于这组向量的分解； 特别地，当两个基向量互相垂直时，这种分解称为向量的正交分解。 如：物理中斜面上物体重力的正交分解——将重力分解为沿斜面的下滑力和垂直于斜面的正压力. 新知探究 平面直角坐标系中的坐标分解 设分别是轴、轴正方向上的单位向量 对平面内任意向量，将其起点平移至坐标原点 得到位置向量，设终点的坐标为。 根据正交分解，可得 这个分解称为向量在平面直角坐标系中的坐标分解。 新知探究 结合正交分解和平面直角坐标系中的坐标分解，你能说明向量的坐标表示吗？ ① 坐标定义： 有序实数对称为向量的坐标，记作，这种表示方法称为向量的坐标表示。 ② 位置向量的核心概念： 我们把起点在坐标原点的向量称为的位置向量，位置向量终点的坐标，就是对应向量的坐标。 结合以上知识点不难发现，相等向量的坐标相同。 例1 典例分析 如图 ,写出向量 、 与的坐标. 【分析】根据向量与位置向量一一对应的规则，找到每个向量对应的位置向量（起点在原点的向量），直接读取位置向量的终点坐标，即为该向量的坐标. 解：因为 与 的位置向量都是,所以 因为的位置向量是 所以 ①正交分解： 知识小结 正交分解与向量的坐标表示 ②向量的坐标表示： 把向量分解为互相垂直的两个向量的和 设，，则 设、，是实数，则： 新知探究 探究二：向量线性运算的坐标表示 以上关于向量坐标的加减和数乘运算是否成立？请尝试证明. 向量加减： 数乘运算： 结论：①向量相加（减），对应坐标相加（减）； ②实数乘向量，坐标同乘这个实数。 根据向量线性运算的运算律： 新知探究 证明：由坐标定义，， 同理可证减法公式； 对数乘运算： 公式得证. 例2 典例分析 给定向量 与 ，求向量 的坐标。 【分析】先根据向量数乘的坐标运算法则，分别计算的坐标，再依据向量加法的坐标运算法则，将对 应坐标相加，得到的坐标. 解：因为 ，，所以 新知探究 探究三：向量模的坐标公式与两点间向量的坐标表示 向量的模在坐标表示下如何计算？ 设，则向量的模长. 几何意义： 是以和为直角边的直角三角形的斜边长，也就是位置向量终点到原点的距离。 我们已经知道起点在原点的向量坐标由终点坐标决定，那么对任意起点、终点的向量，如何直接通过起点和终点的坐标求向量的坐标？ 新知探究 对于任意起点、终点的向量坐标，我们可通过如下方式表示. 设平面上任意两点、 由位置向量的坐标表示，， 根据向量减法的运算法则， 代入坐标运算公式，可得： 结论：一个向量的坐标，等于这个向量的终点坐标减去它的起点坐标. 例3 典例分析 平面上 A、B、C 三点的坐标分别为 (2,1)、(-3,2)、(-1,3)，写出向量 、 的坐标。 【分析】利用 “终点坐标减起点坐标” 的向量坐标公式，直接计算出目标向量的坐标. 解： ， 。 例4 典例分析 已知平面上两点、的坐标分别为(-2,4)、 的单位向量的坐标. 【分析】先根据两点坐标求出的坐标，再用模长公式计算,最后将除以它的模长，得到同方向的 单位向量. 解：因为, 所以 知识小结 向量线性运算的坐标表示 1.向量线性运算的坐标公式 设，， ①加法： ②减法： ③数乘： 2.向量的模： 3.两点确定向量的坐标： 设，，则 口诀：终点坐标－起点坐标 题型1 平面向量的坐标表示 1.已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即 A 题型2 平面向量线性运算的坐标表示 2.若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【分析】利用向量加减法的坐标表示计算即得. 【详解】由 则，，故． 故选：C. C 题型2 平面向量线性运算的坐标表示 3.已知，则_________． 【分析】设向量，得到，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 故答案为：. 【详解】设向量，因为，可得 ， 因为，所以 解得，所以. 题型3 利用坐标求向量的模 4.已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【分析】求出向量的坐标，再求模长. 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. C 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 正交分解与坐标表示 沪教版必修三 · 课堂小结 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直点击可见 的向量，叫做向量的正交分解。 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底。任一向量 a 可表示为： a = xi + yj 实数对 (x, y) 叫做向量 a 的 坐标点击可见，记作 a = (x, y)。 线性运算的坐标表示 设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则： 加法：a + b = (x1+x2, y1+y2)点击可见 减法：a - b = (x1-x2, y1-y2)点击可见 数乘：λa = (λx1, λy1)点击可见 向量坐标与点坐标的关系 若点 A(x1, y1)，点 B(x2, y2)，则向量 AB 的坐标为： AB = (x2-x1, y2-y1)点击可见 即：一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标。 向量坐标与点坐标的混淆 陷阱： 认为向量的坐标就是点的坐标。 真相： 只有当向量的起点在 原点 时，向量终点的坐标才等于向量的坐标。向量是自由的，其坐标反映的是终点相对于起点的 相对位置。 减法运算的顺序 陷阱： 计算向量 AB 坐标时用起点坐标减去终点坐标。 真相： 必须是 终点坐标 - 起点坐标。记忆口诀：“后减前”。 坐标表示的符号 陷阱： 忽略坐标中的负号，或在数乘运算时漏乘某个坐标。 真相： 坐标运算必须严格遵守代数运算法则，数乘时实数 λ 必须同时作用于横坐标和纵坐标。 坐标法解题流程 建系： 根据图形特征（如直角、对称性）建立合适的平面直角坐标系。 设点： 写出关键点的坐标。 表向量： 利用“终点减起点”求出相关向量的坐标。 代数运算： 将几何关系（如共线、垂直、等量）转化为坐标运算方程。 向量共线的坐标判定 设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则 a // b 的充要条件是： x1y2 - x2y1 = 0 记忆技巧：交叉相乘之差为零。 数形结合：坐标的几何意义 向量 a = (x, y) 的几何意义： x 表示向量在 x 轴上的投影数量。 y 表示向量在 y 轴上的投影数量。 向量的模：|a| = √(x² + y²)。 $