1.5.2 数量积的坐标表示及其计算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角. 2.掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用.　3.会利用数量积计算长度与角度. 1.平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有 坐标表示 数量积 a·b=x1x2+y1y2 向量的长度 |a|=或|a|2=+ 夹角的余弦值 cos θ== 垂直条件 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0 两点间距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则||= |微|点|助|解|　 (1)公式a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两向量的数量积的，两者可以相互推导. 在求两向量的数量积时，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b=|a||b|·cos θ(θ为a与b的夹角)求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解. (2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)，所以||=，即||为A，B两点间的距离.由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算. 2.与向量a同向的单位向量的坐标表示 因为与向量a同向的单位向量a0=，若a=(x，y)，则|a|=，所以a0==(x，y)=，此式为与向量a=(x，y)同向的单位向量的坐标表示. 3.由于向量b=(x2，y2)在向量a=(x1，y1)上的投影长为|b||cos θ|=，从而向量b在向量a上的投影长的坐标表示为. 基础落实训练 1.已知a=(-3，4)，b=(5，2)，则a·b的值是 (　　) A.23 B.7 C.-23 D.-7 解析：选D　a·b=(-3，4)·(5，2)=-3×5+4×2=-7. 2.设a=(1，-2)，b=(-3，4)，c=(3，2)，则(a+2b)·c= (　　) A.12 B.0 C.-3 D.-11 解析：选C　∵a+2b=(-5，6)，∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3. 3.已知a=(3，4)，b=(5，12)，则a与b夹角的余弦值为　　　　.  解析：因为a·b=3×5+4×12=63，|a|==5，|b|==13，所以a与b夹角的余弦值为==. 答案： 题型(一)　平面向量数量积的坐标运算 [例1]　(1)已知向量a=(0，-2)，b=(1，t)，若向量b在向量a上的投影向量为-a，则a·b= (　　) A.-2 B.- C.2 D. (2)如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边CD上，且=2，则·的值是　　　　.  解析：(1)由题意，设a与b的夹角为θ，则b在a上的投影向量为|b|cos θ·==(0，t).又-a=(0，1)，∴t=1，即b=(1，1)，∴a·b=0×1+(-2)×1=-2. (2)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB=，BC=2， ∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)， D(0，2).∵点E在边CD上， 且=2，∴E， ∴==， ∴·=-+4=. 答案：(1)A　(2) |思|维|建|模| 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解. 　　[针对训练] 1.已知点P(2，4)，Q(1，6)，向量=(2，λ)，若·=0，则实数λ的值为 (　　) A. B.- C.2 D.1 解析：选D　由P(2，4)，Q(1，6)可得=(-1，2)，又=(2，λ)，所以·=-2+2λ=0，解得λ=1.故选D. 2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，且=2，则·=　　　　　.  解析：如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，E(1，2)，C(2，2)，F，∴=(-1，2)，=，∴·=2-=. 答案： 题型(二)　平面向量的夹角、模及垂直 [例2]　(1)若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角等于 (　　) A.- B. C. D. (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，则t= (　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 (3)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(x－1,2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________. 解析：(1)∵2a+b=(3，3)，a-b=(0，3)， ∴cos<2a+b，a-b>===.故2a+b与a-b的夹角为. (2)由题意，得c=a+tb=(3+t，4).∴a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t，b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.∵<a，c>=<b，c>，∴cos<a，c>=cos<b，c>，即=，即=3+t，解得t=5，故选C. (3) ∵a－b＝(1,1－2x)，a⊥(a－b)，∴由a·(a－b)＝0，得x＋1－2x＝0，解得x＝1，故|a|＝. 答案：(1)C　(2)C　(3) |思|维|建|模| 1.利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|=计算出这两个向量的模. (3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值. (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ. 2.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2=a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算：若a=(x，y)，则a·a=a2=|a|2=x2+y2，于是有|a|=. 　　[针对训练] 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，-1)，若(a+λb)⊥(a+μb)，则 (　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解析：选D　因为a=(1，1)，b=(1，-1)，所以a+λb=(1+λ，1-λ)，a+μb=(1+μ，1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb)，所以(a+λb)·(a+μb)=0，所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0，整理得λμ=-1.故选D. 4.已知向量a=(1，2)，b=(-3，4)，c=a+λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为　　　　.  解析：∵a=(1，2)，b=(-3，4)，∴c=a+λb=(1-3λ，2+4λ)，∴|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25+4.当λ=-时，|c|min=2. 答案：- 5.已知a=(2，1)，b=(m，6)，向量a与向量b的夹角θ是锐角，求实数m的取值范围. 解：因为向量a与向量b的夹角θ是锐角，所以cos θ=>0.所以a·b=2m+6>0，解得m>-3.又当a与b同向时，=，所以m=12.所以m>-3且m≠12. 故实数m的取值范围为(-3，12)∪(12，+∞). 题型(三)　数量积在几何图形中的应用 [例3]　如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，AB=4，AD=2，点E为AB上一点. (1)若DE⊥AC，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求cos∠CME. 解：(1)由题意可得A(0，0)，B(4，0)，D(0，2)，C(4，2)，则=(4，2).设E(x，0)(0≤x≤4)，则=(x，-2).因为DE⊥AC，所以·=4x-4=0⇒x=1.则E(1，0)，故AE的长为1. (2)若E为AB的中点，则E(2，0)，=(2，-2).又=(4，2). 由题图可知cos∠CME=cos<>===. 　　[针对训练] 6.已知梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，P是CD的中点，则|+2|= (　　) A. B.2 C.4 D.5 解析：选A　以B为坐标原点，分别以BC，BA所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，1)，C(1，0)，D(2，1).∵P是CD的中点，∴P.∴==. ∴+2=+2 =. ∴|+2|==. 7.已知点A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)，求证：△ABC是直角三角形. 证明：因为A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)， 所以=(8，-4)，=(2，4)，=(-6，8). 所以||===4， ||===2， ||===10. 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2，即△ABC是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $