小练41 空间向量与角(二)——两平面所成的角-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

参考答案及解析 小练41空间向量与角（二）— 两平面 所成的角 1.解：依题意，AD,AB,AS两两互相垂直， 以A为原点，AD,AB,AS的方向分别为x轴、y轴、之 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， A 设AD=1,则A(0,0,0),S(0,0,3),C(3,3,0),D(1, 0,0), 所以AD=(1,0,0),D5=(-1,0,3),DC=(2,3,0). (4分) 显然，AD是平面SAB的一个法向量， 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z), 则n·D成=-x+3:=0. ln·DC=2x+3y=0, 取x=3,可得y=-2,x=1,此时n=(3,-2,1). (8分) 设平面SAB与平面SCD的夹角为B, 则cos9=|os(Aim>=1A本·nl AD 314 1×√32+(-2)2+1F 14 所以平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为3Y 14 (13分) 2.解：依题意，CA,CB,CC两两互相垂直， 以C为原点，CA,CB,CC的方向分别为x轴、y轴、之 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0,0),B(0,1,0),D(1,0,1),C(0,0,2), 所以C第=(0,1,0)，C方=(1,0,1)，DC=(-1,0,1), BC=(0,-1,2). (5分) ·8( 数学 设平面BDC的法向量为n=(x1,y1a), fn·CB=y=0, 则 n·CD=x1十=0， 取=1，则x1=-1,y=0,此时n=(-1,0,1), (8分) 设平面BDC的法向量为m=(x2y2,22), 1m·DC1=-x2十2=0， 则 m·BC=-y2+22=0, 取2=1，则x2=1,y2=2,此时m=(1,2,1),(11分) 因为n·m=(-1)×1+0×2+1×1=0, 所以<n,m》=90°， 所以平面BDC与平面BDC,夹角的大小为90°， (13分) 3.解：(1)以O为原点，OA,OC,OO所在直线分别为x 轴、y轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系， B C s==---B 令AE=BF=m,且0≤m≤a, 则C(0,a,a),A'(a,0,a),E(a,m,0),F(a-m,a,0), 所以C它=(a,m-a,-a),A庐=(-m,a,-a), 则CE·A下=-am十a(m-a)十a2=0, 所以AF⊥CE,即A'F⊥CE. (4分) (2)因为BB⊥平面BEF, 所以BB'可作为三棱锥B'-BEF的高， 故当三棱锥B-BEF的体积取最大值时，△BEF的 面积取最大值， (6分) 由)可得Sas=m(a-m)=-(m-号)）°十 所以当m=受时，△BEF的面积取最大值， 此时E,F分别为AB,BC的中点， 所以E(a,号0)F(号a,0 又B'(a,a,a), 所以E官=(o,号，a),F=(号，0，a） (9分) 设平面B'EF的法向量为n1=(x,y,x), m·成=受y十a=0, 则 n.F=号+a=0, 数学 取x=-1,则x=2,y=2, 故n1=(2,2,-1), 易知平面BEF的一个法向量为n2=(0,0,1) (12分) 设平面B'EF与平面BEF的夹角为B, |n1·n2LL-1L=1 则c0s9=|osm%>|=mTT=3X了=3 所以sin9=V-cos9=2y2 3 所以平面B'EF与平面BEF夹角的正弦值为2至 3 (15分) 4.解：(1)取AE的中点M,连接PM,BM, 由题意得AP=PE=2,AP⊥PE, ∴.PM⊥AE,且PM=AM=√E. (1分) 在△ABM中，∠BAM=于， 则由余弦定理可得MB=AMP+AB-2AM· ABcos开=2+16-2/2X4X9=10, ..PM+MB2=PB2, ∴.PM⊥MB, 又AE∩MB=M,AE,MBC平面ABCE, .PM⊥平面ABCE, 又BEC平面ABCE,∴.PM⊥BE. (4分) .'AE=BE=22,AB=4. ..AE2+BE=AB2, .AE⊥BE, ,PM∩AE=M,PM,AEC平面PAE, ∴.BE⊥平面PAE, 又PAC平面PAE, .PA⊥BE. (6分) (2)以B为原点，BV,BA所在直线分别为x轴、y轴， 以过点B且与平面ABCE垂直的直线为之轴建立如 图所示的空间直角坐标系， 则P(1,3w2),C(2,0,0),E(2,2,0),N(4,0,0) ∴CE=(0,2,0),P2=(1,-1,-2),Pi=(3, -3,-2), 设P0=λP=(3,-3,-2x)a∈[0,1]， .E0=PQ-PE=(3-1,-3λ+1，-√21十√2)： (8分) ·81 参考答案及解析 设平面PEC的法向量为n1=(x1,y,1), ,CE·n1=0,m2y=0, 则p2.n=0,即m-1-E=0, 即{ 取1=1，则x=√2，y1=0, .1=(2,0,1）, (10分) 设平面ECQ的法向量为n2=(x2,y2,22), C2.ne=0, 则Eà·n=0, 12y2=0, 即 (3λ-1)x2+(-3+1)y2十(-√2λ十√2)x2=0, 取=E,得%=0=染号 ∴m=(E.0,)月 (12分) 设平面PEC与平面ECQ的夹角为0， 则cosg=|osm,两>=时 n1·n2 2+3A-1 λ-1 V2+(号) 3 化简可得81-10以+3=0，解得入=号或2， .线段PN上存在点Q,使得平面PEC与平面ECQ 夹角的余弦值为子 (15分) 5.解：(1)以B为原点，BC,BA,BB所在直线分别为 x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系， C B 则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C(2,0,2√3)， E(0,0,23λ)， 当=号时，E(00,2) (3分) 所以AB=(0,-2,0),BC=(2,0,25), i-(-2o.2) 则Ai.CE=0,BC.C克=0， 所以CE⊥AB,CE⊥BC, 又AB∩BC=B,AB,BCC平面ABC, 所以CE⊥平面ABC1. (5分) 参考答案及解析 (2)由(1)可得AC=(2,-2,0),AE=(0,-2,2√3λ)， 设平面AEC的法向量为n=(x,y,之)， n·AC=2x-2y=0, 则 n·AE=-2y十23λx=0, 取x=1,得x=5λ，y=√31， 所以n=(3λ√5,1). (8分) 因为AB⊥BC,BE⊥BC,AB∩BE=B,AB,BEC平 面ABE, 所以BC⊥平面ABE, 所以平面ABE的一个法向量为BC=(2,0,0), (10分) 所以cosg=cos(B流，m=IBC.nl BCI 2W31 3入 3 2·/6λ2+1 √6+1 因为0C<1,所以6+京>7， 所以cosK尽-红 (13分) 7 又平面AEB与平面AEC的夹角为锐角， 所以0<cos长 7 所以cos0的取值范围为(o,牙) (15分) 6.解：(1)①如图，分别取AB,AC,AD的中点M,E,F, 由中位线的性质可知ME=EF= 2 此时平面MEF为2的一个1阶等距平面， a为正四面体商的一半，即a=2×号×巨- 因为正四面体有4个全等的面，这样的1阶等距平面 a平行于其中一个面， 所以a有4个. (3分) ②分别取AB,AC,CD,BD的中点P,Q,R,S, 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， ·82 数学 B o D 则a为正方体棱长的一半，即a=号 因为正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面a平行于其中一组异面直线， 所以a有3个. (6分) 综上，当a的值为号时e有4个： 当a的值为号时，a有3个， (7分) (2)在棱AB,AC,AD上分别取一点G,H,I,使得 AG:GB=1:2,AH:HC=1:3,AI:ID=1:4, 则平面GHI即为平面B. (9分) 取BD的中点O,连接OC,则OC⊥BD, 以O为原点，OC,OD所在直线分别为x,y轴，以过 点O且与平面BCD垂直的直线为之轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 则A(悟0,2)B(0,-号C(50o) Do.号o) 所以A弦=(-后，-号，29)，花=(0 )4市-(-5，，-2) 则G萌=a-成=}成-号店=（誓 ) =-花=号亦成=（凭，） (12分) 设平面GHI的法向量为m=(x,y,之)， 数学 m. 则 6 180, m.Gi=6x+4巨+4 -46x十15y+6=0, 取x=0,则y=1,2=-√6， 即m=(0,1,-√6). 易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),(15分) 设平面BCD与平面B的夹角为0， m·n√6 所以cos0=|cos(m,m>|=Tm·Tm=干亏 =42 7 所以平面BCD与平面，B夹角的余弦值为 7 (17分) 小练42空间向量与距离—点线距、 点面距、线面距、面面距 1.解：(1)因为四面体OABC的所有棱长都是2， 所以该四面体为正四面体， 所以0A.OB=Oi.0元=0A.0元=2， (3分) 由题可得D2-Di+Ai+B砣=之OA+O-Oi+ 号0心-oi)=-号oi+20i+2o心， 所以D:=(oi-o成-0心)：=}×(12-4) =2 则DE|=2, 所以DE的长为√2. (7分) (2)因为四面体OABC为正四面体， 所以点O在平面ABC的射影O'为△ABC的中心， 2 △ABC外接圆的半径为0A=n6O×2=号 3· 所以点O到平面ABC的距离为d=OO= oA-0A-√4-(2)-25 3 (13分) 2.解：(1)因为∠ABC=90°，BE⊥平面ABCD, 所以BC,BA,BE两两互相垂直， 则以B为原点，BC,BA,BE所在直线分别为x,y,之 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ·83 参考答案及解析 B 则B(0,0,0),C(6,0,0),D(3,6,0),E(0,0,5),A(0, 6,0), 所以CD=(-3,6,0),C2=(-6,0,5),BC=(6,0, 0). (4分) 设平面CDE的法向量为n=(x,y,z), 1n·CD=-3x+6y=0, 则 n.CE=-6x+52=0, 取x=10,则y=5,x=12, 所以n=(10,5,12), (6分) 则点B到平面CDE的距离d= 1BC·n= n 60 60√269 269 (8分) /100+25+144 (2)易知平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1), 由(1)可知平面CDE的一个法向量为n=(10,5, 12), (10分) 设平面ACD与平面CDE的夹角为B, m·n 则os9=cos(m,m=m·n=a =12V260 269 所以平面ACD与平面CDE夹角的余弦值为 12/269 2691 (13分) 3.解：(1)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为 x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系， D 则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2, 4,4),N(4,2,4), 所以EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0, 4),BF=(-2,0,4), (3分) 所以EF=M亦，AM=B, 所以EF∥MN,AM∥BF, 又EFC平面EFBD,MN丈平面EFBD,拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练41空间向量与角（二）一两平面所成的角 (考试时间：30分钟满分：88分) 1.(13分，教材改编题)如图，已知四棱锥3.(15分，教材改编题)如图，在棱长为α的正 S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,底面 方体OABC-O'A'B'C'中，E,F分别是棱 ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC= AB,BC上的动点，且AE=BF. 90°，且SA=AB=BC=3AD,求平面SAB 与平面SCD夹角的余弦值. (1)求证：A'F⊥CE: (2)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值 时，求平面BEF与平面BEF夹角的正 弦值. 4.(15分)如图1，已知四边形ABCD为矩形， 2.(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中， AB=4,AD=2,E为DC的中点，将△ADE ∠ACB=90°，AC=BC=1,AA1=2,且D是 沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且 AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1夹 PB=2√，AE,BC的延长线交于点N,如 角的大小 图2. 图1 图2 (1)证明：PA⊥BE; (2)问线段PN上是否存在点Q,使得平面 PEC与平面ECQ夹角的余弦值为？ 81 5.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1BC中，6.(17分)已知2是棱长为V2的正四面体 AB=BC=2,AB⊥BC,CC1=2√3，BE= ABCD,设2的四个顶点到平面α的距离构 λBB1(0<A<1). 成的集合为M,若M中元素的个数为k,则 称α为2的k阶等距平面，M为2的k阶 等距集. (1)若α为2的1阶等距平面且1阶等距集 为{a},求a的所有可能值以及相应的&的 个数； (2)已知B为2的4阶等距平面，且点A与 点B,C,D分别位于B的两侧，若2的4阶 (1D当=时，求证：CE1平面ABC; 等距集为{b,2b,3b,4b},其中点A到3的距 (2)设平面AEB与平面AEC夹角的大小 离为b,求平面BCD与平面3夹角的余 为0，求cos0的取值范围. 弦值. —82