小练13 导数的概念及其意义、导数的运算-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练13导数的概念及其意义、导数的运算 (考试时间：30分钟满分：101分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） A.2f(3)<2f'(1)<f(3)-f(1) 1.已知函数f(x)=x-1,则自变量x由1变 B.2f'(3)<f(3)-f(1)<2f(1) 到1.1时，f(x)的平均变化率为 C.2f(1)<2f'(3)<f(3)-f(1) A.0.21B.-0.21C.2.1 D.-2.1 D.f(3)-f(1)<2f(3)<2f'(1) 2.已知f'(x)=2,则 limf+△x)-f(x-2△x） 6.牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法。 5△x 如图，方程f(x)=0的根就是函数f(x)的 △x0D A号 c 零点r,取初始值x,f(x)的图象在点 B.2 D.司 (xo,f(x)处的切线与x轴的交点的横坐 3.(教材改编题)日常生活中的饮用水通常是 标为x1,f(x)的图象在点(x1,f(x)处的 经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净 切线与x轴的交点的横坐标为x2,一直继 化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净 续下去，得到x1,x2,…,xm,它们越来越接 度为x%时所需费用（单位：元）为c(x)= 近r.设函数f(x)=x2十bx,xo=2,用牛顿 68480<x<100).当净化到纯净度为 95%时，所需净化费用的瞬时变化率为 选代法得到x8,则实数6 A.5284元/吨 B.1056.8元/吨 C.211.36元/吨 D.105.68元/吨 =f(x) 4.(教材改编题)已知函数y=f(x)的图象是 下列四个图象之一，且其导函数y=(x)的 图象如图所示，则该函数的图象是 A.1 B c号 D 7.过点M0,p)且倾斜角为aa∈（受，x)月的 直线1与曲线C:x2=2py(p>0)交于A,B 两点，分别过A,B作曲线C的两条切线11， l2,且l1,l2交于点N,若直线MN的倾斜角 为B,则tan(a一B)的最小值为 A号 B.2 5.(教材改编题)函数y=f(x)的图象如图所 示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列数 C.2√2 D.4√2 值排序正确的是 8.(多选)下列求导正确的是 A.若y=l血，则y=1nz B.若y=xe,则y'=(1十x)e C.若y=sin2x,则y=-2cos2x D.若y=e1,则y'=er+H 9.(多选，教材改编题)设某高山滑雪运动员 （1)函数f)=了222+3x- 在一次滑雪训练中滑行路程l(单位：m)与 对称 时间t(单位：s)之间的关系为1(t)=2t+ 中心的坐标为 多，则下列说法正确的是 (2)计算f 1 f( 2 2024 2024+ A.当t=3s时，运动员的滑雪速度 2023 为l(3)m/s 14.(13分)已知函数f(x)=4x2,且曲线y B.当t=3s时，运动员的滑雪速度 f(x)在点(1，f(1))处的切线为1，直线m 为(3)m/s 平行于直线1且过点(0，一6). C.函数l(t)在[0，+o∞)上单调递增 (1)求出直线l与m的方程； D.函数I(t)在[0，十∞)上不是单调函数 (2)指出曲线y=f(x)上哪个点到直线m 10.（多选)已知函数f'(x)为定义在R上的函 的距离最短，并求出最短距离。 数f(x)的导函数，f(x一1)为奇函数， f(x+1)为偶函数，且f(0)=2,则下列结 论正确的是 A.f(0)=f(2) B.f'(-1)+f(3)=0 C.f(4)=2 10 D.∑f'(2)=-22 11.(5分)设函数f(x)=1一ex的图象与x轴 相交于点P,则该曲线在点P处的切线 15.(15分，教材改编题)已知抛物线C1:y= 方程为 12.(5分)已知函数f(x)满足f(x) x2+2x和C2:y=一x2+a,如果直线l同 时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2 f（军)sinx-cosx,则f(x)在x=平处的 的公切线，公切线上两个切点之间的线 导数为 段，称为公切线段， 13.(10分)对于三次函数f(x)=a.x3+bx2+ (1)a取什么值时，C,和C有且仅有一条 cx十d(a≠0)，给出定义：设f(x)是函数 公切线？写出此公切线的方程； y=f(x)的导数，(x)是函数f'(x)的导 (2)若C1和C2有两条公切线，证明相应 数，若方程(x)=0有实数解x,则称点 的两条公切线段互相平分. (xo,f(xo)为函数y=f(x)的“拐点”.某 同学经过探究发现：任何一个三次函数都 有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中 心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 f)=3-x2+3x-多请你根据上 面的探究结果，解答以下问题： 26数学 (2”=x(1-开)=-奈（红-受）广+0 x∈(0，m),k>0, ·y=kx(1-)在(0，罗)上单调递增，在 (受，m)上单调递减， (7分) ·当x=受时- 4, 即鱼群年增长量y的最大值为织： (9分) (3)由题意，可得0<x十m,即0<受+”<m, 4 m>0,.-2<k<2, 又k>0,.实数k的取值范围为(0,2).(13分) 12.解：(1)依题意，所选的函数必须满足两个条件： 定义域为[0,120]，且在区间[0,120]上单调递增. 因为模型③Q=21og2.6-4.16×103的定义域不可 能是[0,120]，模型②Q=0.5”十2×103在区间 [0,120]上单调递减， 所以最符合实际的模型为①Q=2.6×105v一4.16 ×10-3v2+2.914×10-. (5分) (2)设从甲地到乙地的总耗油量为y,行驶时间为t, 依题意有y=Qt, 因为Q=2.6×10-5元-4.16×1082+2.914× 10,t=240 所以y=Qt=240(2.6×10-5-4.16×10-3v+ 2.914×10-1), (10分) 它是一个关于的开口向上的二次函数，其对称轴 为v=80, 且80∈[0,120]， 所以当v=80时，y取最小值， 所以从甲地到乙地，该型号的汽车以80km/h的速 度行驶时能使总耗油量最少， (15分) 小练13导数的概念及其意义、导数的运算 1.C【解析】平均变化率y=1.1)-f(1) △x 1.1-1 1.1-1=2.1.故选C 0.1 2.A【解析】1 lim(+△x)-f(x-2△x) 5△x Eimf+△）-f)+fw）-fw-2△ △x 1 =Lim f(x十△x)一fxo2+ △ 2mf)--22]=吉[f(x)+ 2△x 2f(x)]=是f(x)=寻×2=号故选A 5284= 3.C【解析】因为(x)=(100-元 2 参考答案及解析 5284'×(100-x)-5284×(100-x)/ (100-x)2 =0×(100-x)-5284×(-1)5284 (100-x) 100-x),所以 5284 C(95)10957=21.36元/吨.故选C. 4.C【解析】根据导函数y=∫(x)的图象，可得函数 f(x)在（一1,0）上增长速度越来越快，在(0,1)上增 长速度逐渐变慢，在（一∞，一1）上匀速增长，结合所 给的选项，可知C项正确.故选C. 5.B【解析】由图象可知函数f(x)在(0，十∞)上单 调递增，故函数f(x)在每一处的导数值∫(x)>0,即 f(3)>0,f(1)>0,设A(1,f1),B(3,f(3),则 直线AB的斜*为3）0-8)二①，由图 2 象可知f(3)>f(1),所以(3)-f(1)>0,作出曲线 y=f(x)在x=1,x=3处的切线，如图所示， 701 设为4，l,直线AB为l2,结合图象可得直线41，l2,l 的斜率满足k<k<k1,即f(3)<f3)。f< 2 f(1),即2f'(3)<f(3)-f(1)<2f(1).故选B. 6.D【解析】由题可得(x)=2x十b,则∫(2)=4十 b,又f(2)=4+2b,所以f(x)在点(2，f(2))处的 切线方程为y-(4十2b)=(4十b)(x-2),由题意 可知切线过点（侣0）小，代入得-(4+26) (4+6)(8-2),解得6=.故选D 7.C【解析】如图， 设N(x6,y),A(,y),B(x2,y2),由曲线C:y= 系可得y-子，所以在点A处的切线方程为y一y D =(x一x),同理在点B处的切线方程为y一= (x一)，因为点N是两条切线的交点，所以 参考答案及解析 -y=(-x), 则直线AB的方程为y。一 0-2=(x-2) y=g(0-x)→为-y=62-2y→xx= D p(y十y),又直线AB过M(0,p),所以%=-p, 所以k=tana=<0,皮=iang=-2坐，所以k·k= -2,所以tan(a-B)= tan a-tan B 1+tan atan B-1+k·k （-k)十(-是)≥2E,当且仅当k=-E时，等号 成立.故选C. 8.ABD【解析】对于A,由y=n,可得y= x ·x-lnx1 1 1-一ln工，故A正确：对于B,由y= e,可得y=e十xe=(1十x)e,故B正确；对于 C,由y=sin2x,可得y=2cos2x,故C错误；对于 D,由y=e+1,可得y=e+,故D正确.故选ABD. 9.BC【解析】当t=3s时，运动员的滑雪速度为 1(3)ms,故A错误，B正确：1()=2f十号 2(+号)广-是所以函数1(：)的图象开口向上，对 称轴为1=-音，放1)在[-音，十）上单调递 「3 增，即在[0，十∞)上单调递增，故C正确，D错误，故 选BC. 10.ABD【解析】因为f(x十1)为偶函数，所以 f(-x十1)=f(x十1)，即函数f(x)的图象关于 直线x=1对称，所以f(0)=f(2),故A正确；由 f(-x+1)=f(x+1),可得-f(-x+1)= f(x+1),即f(x十1)十f(-x+1)=0,所以 f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，所以 f(-1)十f(3)=0,故B正确；因为f(x-1)为 奇函数，所以f(-x-1)=一f(x-1),所以 f(-x-1)=f(x-1),所以f'(-x-2)= f(x),由-(-x十1)=(x十1)，可得 -f(-x十2)=f(x),所以f(-x-2)= -f(-x十2)，所以f(x-2)=-f(x十2)，即 f(x)=-f(x+4),即f(x+4)=-f'(x+8), 所以f(x)=f'(x十8)，所以8为f(x)的一个 周期，且f(4)=f(2)=-f(0)=-2,故C错 误；由C项可得f(6)=∫(0)=2，所以∑f'(2) =f(2)+2f(4)+3f(6)+4f(8)+…+ 9f(18)+10f(20)=(-1-2+3+4-5-6+7 十8-9-10)×2=-22，故D正确.故选ABD. 11.x十y=0【解析】令1-e=0,解得x=0,所以函 ·2 数学 数f(x)=1一e的图象与x轴相交于点P(0,0).由 f'(x)=-e,知f(0)=-1,所以该曲线在点P(0, 0)处的切线方程为x十y=0. 12.VE+1【解析】由题可得f(x)=∫（交）osx十 sinx,所以了（平）=∫（于）cos平+sin平，解得 f()=+1. 13.(1)(21） (2)2023 【解析】(1)因为f(x)=子-合+3x-是，所 以f(x)=x2-x十3，所以(x)=2x-1,令'(x) =2x-1=0,得x=,此时f(分)=令+号 是=1，由题意可得，点（合，1）即为函数f) 号-之+3x一是的对称中心， (2)由(1)知，函数)=子2-分+3x-是关 于点（分，）中心对称，所以（分十x)十 f(分-x）=2,因此f)+f1-x)=2.记M= f(202)+f(22)+f(22）+…+ f(82),则2M-[/22)+(0)]+ [(品)+（层）]+…+[r(层9器)+ f(22)门=2o23×[r(g2)+(号8器)] 2023×2,所以M=2023. 14.解：(1)因为f(x)=4x2,所以'(x)=8x, 所以f(1)=8, 又f(1)=4,即切点为(1,4)， 所以切线l的方程为y一4=8(x一1)， 即8x-y-4=0. (4分) 因为直线m与直线（平行，所以斜率为8， 又因为直线m过点(0，一6)， 所以直线m的方程为8x一y-6=0, (8分) 综上，直线l:8x-y-4=0,直线m:8x-y-6=0. (9分) (2)由题意可知点(1,4)到直线：8x-y一6=0的 距离最短， 最短距离为d=8X1-4-6=2V6丽 (13分) √/82+(-1)2 65 15.解：(1)函数y=x2十2x的导函数为y'=2x+2, 设曲线C1上的切点为P(x1,x十2x1), 则点P处的切线方程为y一(x十2x1)=(2x1十2) 数学 ·(x-x1), 即y=(2x1十2)x-x号①. (3分) 函数y=-x2十a的导函数为y'=-2x, 设曲线C2上的切点为Q(x2,一x十a), 则点Q处的切线方程为y一(-x十a)=一2x2(x x2）, 即y=-2x2x十x号十a②. (6分) 设直线1是过点P和点Q的公切线， 则①式和②式都是直线（的方程， 则 消去x2得方程2x十2z1十1十a=0, (8分) 因为C和C:有且仅有一条公切线， 所以△=4-4X21十a)=0,解得a=-之， 所以x=一交： 即当a=一 之时，C和C有且仅有一条公切线， 由①得公切线方程为y=x一4： 1 (10分) (2)由1)可知，当a<-合时，C和C,有两条公 切线， 设一条公切线上的切点为P(x1y1),Q(x2y2), 其中点P在C上，点Q在C2上， 则有x1十x2=-1, 则y十y=x十2x1十(-十a)=x十2x-(1十 1)2+a=-1十a, 故线段PQ的中点坐标为(-是，一+），13分) 同理求得另一条公切线段PQ'的中点坐标也 是（合2） 所以公切线段PQ和P'Q互相平分， 即若C和C:有两条公切线，相应的两条公切线段 互相平分. (15分) 小练14导数与函数的单调性 1.A【解析】由题可得了(x)=2x-1=2x- ,x 0,令了()≤0，解得0<≤号，所以函数了(x)的 单调递减区间为(0，号]，故选A 2.D【解析】(x)=2x-冬，由f(x)在 [1,十∞)上单调递增，可知在[1，十∞)上恒有 f(x)=2x-是≥0，即a≤(2x2)因为y=2x2 在[1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，y=2x2取 最小值，且最小值为2，所以a≤2，当a=2时， 2 参考答案及解析 f(x)=2(x-)≥0在[1，+∞)上恒成立，所以 f(x)在[1，十∞)上单调递增，所以实数a的最大值 为2.故选D. B【解析】由题可得了(x)-a+是=中x∈ (0,十∞)，当a≥0时，f(x)>0,函数f(x)单调递 增，不合题意；当a<0时，令f(x)>0,解得0<x< 一立令了(x)<0,解得>-是，所以f()在区 间(0，一日)上单调递增，在区间(-日，十∞)上单 调递减，又因为函数f(x)在区间(1,2)上不单调， 所以1<-<2，解得-1<a<-子，综上所述，实 数a的取值范围是(-1，-令)，故选B 4.D【解析】观察可知面积S的变化情况为“一直增 加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象 是变化率先变大再变小，由此知D项符合要求，故 选D. 5.A【解析】令g(x)=fC,则g(x)= 工f(x)-f,由题可知，当x>0时，g(x)<0, 故g(x)在(0，十∞)上单调递减，因为f(-x)+ f()=0,所以f()为奇函数，又y=是也为奇函 数，故y=g(x)为偶函数，则g(x)在(-∞，0)上单 调递增，又f(-2)=0,则g(-2)=二2=0，画 -2 出y=g(x)的大致图象如图所示， g(x)- f(x) 2 当x>0时，要使f(x)>0,则g(x)>0,数形结合可 知，此时x∈(0,2)：当x=0时，因为f(x)为R上 的奇函数，故f(0)=0,不满足题意；当x<0时，要 使f(x)>0,则g(x)<0,数形结合可知，此时x∈ (一©∞，一2).综上所述，不等式∫(x)>0的解集为 (-∞，-2)U(0,2).故选A. 6C【解折】令f)-,则f(x)=22兰 (2x)2 1n工，令f(x)>0,解得0<x<e:令∫(x)<0, 2x2 解得x>e,所以f(x)在(0，e)上单调递增，在 (e,十∞)上单调递减，由题可得c=2-n2 e2