2026年中考数学一轮复习 第21讲 图形的对称、平移、旋转【3大考点16大题型】（ 复习讲义）全国通用

第21讲 图形的对称、平移、旋转（练习） 1．如图所示，在矩形中，，与相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．点O为矩形的对称中心 B．点O为线段的对称中心 C．直线为矩形的对称轴 D．直线为线段的对称轴 【答案】A 【分析】由矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段的对称中心是线段的中点，矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案． 【详解】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A符合题意； 线段的对称中心是线段的中点，故B不符合题意； 矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线， 故C，D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义，矩形的性质，熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键． 2．企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 3．剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意． C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 4．将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．     【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可． 【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形即为所求； ②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形即为所求； ③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形即为所求； ④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形即为所求．    【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转能够和原图形重合． 5．冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，段的抛物线与段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以为y轴，水平面为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知，，跳台高是，长度，高度，段的抛物线最低点到y轴的距离为． (1)求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ (2)为了安全着想，利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求落点到的水平距离？ 【答案】(1)7.6米 (2) 【分析】（1）根据段的抛物线最低点到y轴的距离为．设抛物线的解析式为．把，代入，解方程组即可得抛物线的解析式，根据中心对称得段的抛物线的顶点坐标为，即得段的抛物线的函数解析； （2）根据小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求出小华在斜坡上的落点高度为，代入段的抛物线的函数解析式，解方程即得答案． 【详解】（1）解：∵运动员从跳台区的末端C点水平飞出， ∴C坐标为． ∵， ∴B坐标为． ∵段的抛物线最低点到y轴的距离为． ∴设抛物线的解析式为． 依题意，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ∵段的抛物线与段的抛物线关于点成中心对称， ∴段的抛物线的顶点坐标， ∴段的抛物线的函数解析式：． ∴飞行过程中最大高度为7.6米． （2）∵小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为， ∴小华在斜坡上的落点高度为， 令解得，（舍去）． 答：落点到的水平距离是． 6．中国的剪纸艺术博大精深，石榴象征“各民族像石榴籽一样紧紧相拥”，表达团结和谐的时代精神，如图是石榴的剪纸图，既是轴对称，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意. 【点睛】轴对称图形的关键是找到对称轴，中心对称图形的关键是找到对称中心. 7．如图，在的正方形网格中，点，，是小正方形的顶点，点在线段上． (1)将线段向上平移得到线段，使得线段经过点，在图中画出线段； (2)在图中画出线段，使得与关于点中心对称，并在线段上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可得出线段，然后连接并延长交于点G即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， ； （2）解：如图，线段，点G即为所求， ． 8．荷叶表面布满无数个微米级的乳突结构，使荷叶表面与水珠或尘埃的接触面积非常有限．将如图的荷叶标本放在适当的平面直角坐标系中，标本上点A，B关于原点对称．若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点．关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故选：C． 9．选择不同的旋转中心和旋转角转动同一个图案，可以产生不同的效果．下列四个图案均由同一个图案“”利用旋转设计得到，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形的性质，掌握中心对称图形的特征是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，一个图形绕某个点旋转后与原图形重合的图形，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：该图形绕正六边形的中心旋转后能与原图形重合，满足要求，符合题意； 选项B、C、D中的图形绕任意一点旋转后都不能与原图形重合，不满足要求，不符合题意； 故选A． 10．年月日，汇聚了全球个知名汽车品牌的第二十一届中国（长沙）国际汽车博览会在长沙国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道．以下是款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 11．在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的定义进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； B、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； C、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； D、选项中的图案能体现平移变换，故此选项符合题意． 12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点，连接，根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，结合已知可得出C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵将线段沿射线方向平移得到线段， ∴C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵，，点为中点， ∴，即， ∴，即． 13．城市LOGO是一座城市的名片，它可以是山河图腾的浓缩，也可以是地标文化的符号．以下是我国四个城市的LOGO图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可． 【详解】解：A．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该文字上方的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 14．受力分析是研究力学的基础和关键．下列是简单的受力分析图，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，逐项判断即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，符合题意． 15．如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①，证明见解析；②的值为或 【分析】（1）连接，证出即可； （2）①延长，交于点，先证出，再证出即可； ②设的两直角边长分别为，则，过点作于点，则四边形是矩形，再分两种情况：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图1，连接， ∵在中，，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①，证明如下： 如图2，延长，交于点， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②由题意，设的两直角边长分别为， 则， 由旋转的性质得：， 如图3，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （Ⅰ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； （Ⅱ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； 综上，的值为或． 16．在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点，绕原点顺时针旋转得到对应点，点在射线上，且，得到最终的对应点，称点为点经过变换后的对应点．例如，点经过变换后的对应点为，那么点经过变换后的对应点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据变换规则可求出，且，过点作轴于点B，求出和的长即可得到答案． 【详解】解：设点经过变换后的对应点为， ∵， ∴， ∴，且， 如图所示，过点作轴于点B， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 17．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题知， 第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4， 第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8， 第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9， 第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13， 第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14， 第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18， 依此类推， 所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为， 当，即时， ， 即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249， 故选：B． 18．在中，，，为钝角．在延长线上取一点O，．绕点O顺时针旋转，点A、B、C分别对应点D、E、F，点C在射线上．若旋转角恰好为，那么的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、余切，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据题意画出图形，过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据余切的定义可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．一个三角形纸片围绕某个顶点旋转一定角度，得到一个新的三角形纸片． 下列说法正确的是（    ） 【说法一】两个三角形纸片不可能拼成一个平行四边形； 【说法二】两个三角形纸片不可能拼成一个正方形． A．说法一、二 B．说法一 C．说法二 D．无 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质以及特殊四边形的性质，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：一个等边三角形纸片绕着任一顶点旋转即可得到一个菱形，菱形是特殊的平行四边形，故说法一错误； 无论怎样的三角形，围绕某个顶点旋转一定角度，得到一个新的三角形，两个三角形纸片不可能拼成一个正方形．故说法二正确； 故选：C 20．在中，，将线段绕点旋转度，得到线段，作点关于直线轴对称的点，连接交于点．如果旋转角，那么的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、轴对称的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用等边三角形的判定及性质是解题的关键． 根据旋转和轴对称的性质，得出相关线段和角度的关系，再利用等边三角形的判定及性质得到的长度． 【详解】解：∵线段绕点旋转得到线段， ∴，． 又∵点关于直线轴对称的点是， ∴，． ∴． ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 图形的对称、平移、旋转（练习） 1．如图所示，在矩形中，，与相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．点O为矩形的对称中心 B．点O为线段的对称中心 C．直线为矩形的对称轴 D．直线为线段的对称轴 2．企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．     5．冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，段的抛物线与段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以为y轴，水平面为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知，，跳台高是，长度，高度，段的抛物线最低点到y轴的距离为． (1)求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ (2)为了安全着想，利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求落点到的水平距离？ 6．中国的剪纸艺术博大精深，石榴象征“各民族像石榴籽一样紧紧相拥”，表达团结和谐的时代精神，如图是石榴的剪纸图，既是轴对称，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格中，点，，是小正方形的顶点，点在线段上． (1)将线段向上平移得到线段，使得线段经过点，在图中画出线段； (2)在图中画出线段，使得与关于点中心对称，并在线段上找一点，使得． 8．荷叶表面布满无数个微米级的乳突结构，使荷叶表面与水珠或尘埃的接触面积非常有限．将如图的荷叶标本放在适当的平面直角坐标系中，标本上点A，B关于原点对称．若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．选择不同的旋转中心和旋转角转动同一个图案，可以产生不同的效果．下列四个图案均由同一个图案“”利用旋转设计得到，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 10．年月日，汇聚了全球个知名汽车品牌的第二十一届中国（长沙）国际汽车博览会在长沙国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道．以下是款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 11．在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（   ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 13．城市LOGO是一座城市的名片，它可以是山河图腾的浓缩，也可以是地标文化的符号．以下是我国四个城市的LOGO图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 14．受力分析是研究力学的基础和关键．下列是简单的受力分析图，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 15．如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 16．在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点，绕原点顺时针旋转得到对应点，点在射线上，且，得到最终的对应点，称点为点经过变换后的对应点．例如，点经过变换后的对应点为，那么点经过变换后的对应点坐标为___________． 17．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 18．在中，，，为钝角．在延长线上取一点O，．绕点O顺时针旋转，点A、B、C分别对应点D、E、F，点C在射线上．若旋转角恰好为，那么的长为_________． 19．一个三角形纸片围绕某个顶点旋转一定角度，得到一个新的三角形纸片． 下列说法正确的是（    ） 【说法一】两个三角形纸片不可能拼成一个平行四边形； 【说法二】两个三角形纸片不可能拼成一个正方形． A．说法一、二 B．说法一 C．说法二 D．无 20．在中，，将线段绕点旋转度，得到线段，作点关于直线轴对称的点，连接交于点．如果旋转角，那么的长为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 图形的对称、平移、旋转（举一反三复习讲义） 【3大考点16大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 2 （四）命题趋势（2026 年预测） 2 （五）复习建议 3 考点一 轴对称与中心对称图形 3 【题型1 轴对称图形的识别】 4 【题型2 轴对称的性质】 5 【题型3 对称轴】 6 【题型4 轴对称综合题（几何变换）】 6 【题型5 中心对称的性质】 8 【题型6 中心对称图形】 9 【题型7 关于原点对称的点的坐标】 10 考点二 图形的平移 12 【题型8 图形的平移】 12 【题型9 平移的性质】 13 【题型10 坐标与图形变换-平移】 15 【题型11 平移综合题（几何变换）】 15 考点三 图形的旋转 18 【题型12 旋转图形】 18 【题型13 旋转三要素】 20 【题型14 旋转的性质】 21 【题型15 坐标与图形变换-旋转】 22 【题型16 旋转综合题（几何变换）】 24 特色专项练 26 【新考向：新考法】 26 【新考向：新情境】 27 【新考向：跨学科】 27 中考真题练 29 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 本模块是中考几何基础 + 应用模块，衔接三角形、四边形、圆，侧重图形变换的性质应用，近 4 年坚持 “素养立意”，侧重直观感知与综合应用，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，分值 4～8 分，占总分 4%～8%，以选择、填空为主，少量融入解答题（折叠、旋转综合），属基础必拿分模块。 （二）考查题型 基础题型（70%）：选择、填空，考查轴对称、平移、旋转的基本性质，图形变换后的对应关系； 中档题型（25%）：选择、解答题，考查折叠、旋转的性质应用，图形变换后的计算（边长、角度）； 创新题型（5%）：结合生活图形、网格，考查图形变换的作图与应用。 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 核心：轴对称（对称轴、对应边/角相等）、平移（方向、距离，对应边平行且相等）、旋转（中心、角度，对应边/角相等）的性质； 必考：折叠（轴对称）的性质应用、旋转的性质与角度计算； 高频：网格中的图形变换、图形变换与几何图形综合计算。 （四）命题趋势（2026 年预测） 整体难度适中，侧重基础性质与简单应用，无偏怪题； 常与三角形、四边形、圆综合，结合折叠、网格考查，强化直观感知与推理； 重点考查图形变换后的对应关系、角度 / 边长计算，规避变换方向、角度判断错误。 （五）复习建议 牢记三种变换的核心性质，明确对应边、对应角、对称点的关系； 熟练掌握折叠、旋转的计算技巧，学会利用变换性质转化线段、角度； 专项训练网格作图、折叠综合题，培养图形直观感知能力，突破易错点。 考点一 轴对称与中心对称图形 1.轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 2.轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 【题型1 轴对称图形的识别】 【例1】 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】 下列高校校徽图形中，不是轴对称图形（只看图案，不看文字、字母、数字）的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】 花窗被称为“园林之眼”，是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式，以多种图案为基础，组成数种寓意吉祥如意的图案样式．下列部分花窗图样中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 轴对称的性质】 【例2】 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】 在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【变式2-2】 ．如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】 如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 【题型3 对称轴】 【例3】 如图，以矩形的边为斜边作等腰，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在①中作出一条矩形的对称轴； (2)在图②中以为腰作一个等腰直角三角形． 【变式3-1】 长方形和正方形都有4条对称轴．( ) 【变式3-2】 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】 下列有无数条对称轴的图形是（　　） A．矩形 B．线段 C．等腰三角形 D．圆 【题型4 轴对称综合题（几何变换）】 【例4】 ．如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】 如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为______． 【变式4-2】 如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图，在直线上找到一点，使得的值最小； (2)如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 【变式4-3】 在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【题型5 中心对称的性质】 【例5】 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点M均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出关于点M成中心对称的． 【变式5-1】 ．如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【变式5-2】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别是、、． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形； (3)借助网格，用无刻度直尺过点B作，垂足为H． 【变式5-3】 如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型6 中心对称图形】 【例6】 遵守交通规则不仅关系到自己的生命和安全，同时也是尊重他人生命的体现，是构筑和谐社会的重要因素．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，据此逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意． 【变式6-3】 下列的音符图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 关于原点对称的点的坐标】 【例7】 如图，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)与关于原点对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转，在网格中画出旋转后的图形． 【变式7-1】 ．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点，并写出点的坐标． (2)在所给的网格图中画出绕点O顺时针旋转后的． 【变式7-2】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，且点与点关于原点对称． (1)在图中画出； (2)连接，，求的面积． 【变式7-3】 同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 考点二 图形的平移 平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 平移作图的步骤： 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 【题型8 图形的平移】 【例8】 有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①~③符合条件的是（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【变式8-1】 电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【变式8-2】 下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】 甲骨文是一种象形文字，是我国汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移变换来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 【题型9 平移的性质】 【例9】 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【变式9-1】 如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【变式9-2】 如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】 如图，菱形的边长为6，，将该菱形沿方向平移得到四边形，交于点M，则点M到的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型10 坐标与图形变换-平移】 【例10】 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标为_______． 【变式10-1】 将平面直角坐标系平移，使原点移至点，这时在新坐标系中原来点的坐标是__________． 【变式10-2】 在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫作点关于点的“关联点”．若点关于点的关联点的坐标是，则点的坐标是______． 【变式10-3】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 【题型11 平移综合题（几何变换）】 【例11】 ．如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 【变式11-1】 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，． (1)将各顶点的横、纵坐标都乘，得到点的坐标，点A，B，C的对应点分别为．请直接写出点的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出． (2)将向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到，点A，B，C的对应点分别为．请在如图所示的平面直角坐标系中画出，并直接写出边扫过的面积． (3)将绕点顺时针旋转可以得到，请直接写出点的坐标． 【变式11-2】 学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 【变式11-3】 如图，已知点在反比例函数的图象上，点，，将沿方向平移，使点与点P重合，得到．过点作轴交反比例函数图象于点． (1)直接写出的值； (2)求直线的解析式； (3)求平移前后线段扫过的图形面积． 考点三 图形的旋转 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【题型12 旋转图形】 【例12】 在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（   ） A．一次轴对称和一次平移 B．两次轴对称 C．一次旋转 D．一次轴对称 【变式12-1】 在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【变式12-2】 如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【变式12-3】 如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【题型13 旋转三要素】 【例13】 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【变式13-2】 ．在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是______，旋转角是______． 【变式13-3】 ．如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型14 旋转的性质】 【例14】 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求的值； (2)将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为，连接，求线段的长． 【变式14-1】 如图，中，，将其绕点旋转得到，使点的对应点落在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】 在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．如图所示，设边与交于点，边分别交于点． (1)求证：； (2)当为等腰三角形时，请直接写出的长； 【变式14-3】 如图，等腰的顶角，将绕点A逆时针旋转，的对应边恰好经过点C，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型15 坐标与图形变换-旋转】 【例15】 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点均为格点（网格线的交点）．已知点． (1)将平移得到，使得点的对应点为，在所给的网格中画出； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转得到，请在所给的网格中画出，并写出点的坐标． 【变式15-1】 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． (1)画出关于轴对称所得的； (2)画出以点为旋转中心，将逆时针旋转90°得到的，并写出点的坐标； (3)用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 【变式15-2】 在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】 在平面直角坐标系中，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵线段绕原点顺时针旋转得到， ∴点的坐标是． 【题型16 旋转综合题（几何变换）】 【例16】 如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】 ．如图，在中，，，若进行下列操作：①将绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以点C为圆心，线段的长为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 【变式16-2】 综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【变式16-3】 把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 特色专项练 【新考向：新考法】 1．“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【新考向：新情境】 1．小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 【新考向：跨学科】 1．如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 2．小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（    ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 3．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是________．    4．在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 中考真题练 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 2．如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由． 3．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．    5．将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．    (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 6．已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为__________． 7．如图，在等边三角形中，为上的一点，过点作的平行线交于点，点是线段上的动点（点不与重合）．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接交于．    (1)证明：在点的运动过程中，总有． (2)当为何值时，是直角三角形？ 8．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 9．河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．  D．   10．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论：    ①点与点关于点中心对称； ②连接，，，则平分； ③连接，则点，到线段的距离相等． 其中正确结论的序号是________． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 图形的对称、平移、旋转（举一反三复习讲义） 【3大考点16大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 2 （四）命题趋势（2026 年预测） 2 （五）复习建议 3 考点一 轴对称与中心对称图形 3 【题型1 轴对称图形的识别】 3 【题型2 轴对称的性质】 5 【题型3 对称轴】 9 【题型4 轴对称综合题（几何变换）】 11 【题型5 中心对称的性质】 16 【题型6 中心对称图形】 20 【题型7 关于原点对称的点的坐标】 22 考点二 图形的平移 26 【题型8 图形的平移】 27 【题型9 平移的性质】 29 【题型10 坐标与图形变换-平移】 33 【题型11 平移综合题（几何变换）】 34 考点三 图形的旋转 43 【题型12 旋转图形】 44 【题型13 旋转三要素】 47 【题型14 旋转的性质】 50 【题型15 坐标与图形变换-旋转】 55 【题型16 旋转综合题（几何变换）】 58 特色专项练 64 【新考向：新考法】 64 【新考向：新情境】 66 【新考向：跨学科】 68 中考真题练 72 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 本模块是中考几何基础 + 应用模块，衔接三角形、四边形、圆，侧重图形变换的性质应用，近 4 年坚持 “素养立意”，侧重直观感知与综合应用，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，分值 4～8 分，占总分 4%～8%，以选择、填空为主，少量融入解答题（折叠、旋转综合），属基础必拿分模块。 （二）考查题型 基础题型（70%）：选择、填空，考查轴对称、平移、旋转的基本性质，图形变换后的对应关系； 中档题型（25%）：选择、解答题，考查折叠、旋转的性质应用，图形变换后的计算（边长、角度）； 创新题型（5%）：结合生活图形、网格，考查图形变换的作图与应用。 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 核心：轴对称（对称轴、对应边/角相等）、平移（方向、距离，对应边平行且相等）、旋转（中心、角度，对应边/角相等）的性质； 必考：折叠（轴对称）的性质应用、旋转的性质与角度计算； 高频：网格中的图形变换、图形变换与几何图形综合计算。 （四）命题趋势（2026 年预测） 整体难度适中，侧重基础性质与简单应用，无偏怪题； 常与三角形、四边形、圆综合，结合折叠、网格考查，强化直观感知与推理； 重点考查图形变换后的对应关系、角度 / 边长计算，规避变换方向、角度判断错误。 （五）复习建议 牢记三种变换的核心性质，明确对应边、对应角、对称点的关系； 熟练掌握折叠、旋转的计算技巧，学会利用变换性质转化线段、角度； 专项训练网格作图、折叠综合题，培养图形直观感知能力，突破易错点。 考点一 轴对称与中心对称图形 1.轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 2.轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 【题型1 轴对称图形的识别】 【例1】 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的特征，逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项符合题意． 【变式1-1】 下列高校校徽图形中，不是轴对称图形（只看图案，不看文字、字母、数字）的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义可得B选项中的图案不是轴对称图形． 【变式1-2】 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 【变式1-3】 花窗被称为“园林之眼”，是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式，以多种图案为基础，组成数种寓意吉祥如意的图案样式．下列部分花窗图样中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项中的四个花窗图样中A选项既不是轴对称图形又不是中心对称图形，BC选项是轴对称图形、CD选项是中心对称图形， C选项既是轴对称图形又是中心对称图形． 【题型2 轴对称的性质】 【例2】 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答． 【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线，交于点K， 由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值， 设正方形的边长为a，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， 当取得最小值时，的值为． 【变式2-1】 在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质可得，点在边上，因此，计算出的值即可． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可知，，， ∵为的角平分线， ∴， ∴点在边上 ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴． 【变式2-2】 ．如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后根据折叠的性质得到的度数. 【详解】解：根据折叠得出，， ， ， ， ， ． 【变式2-3】 如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正切的定义及勾股定理．连接，根据折叠的性质得到，，，证明，从而得出，再由设，则，从而得到相关线段的表达式，设，则，，，利用勾股定理求得x的值，进而得到的值，最终可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 由折叠性质可知，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 对称轴】 【例3】 如图，以矩形的边为斜边作等腰，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在①中作出一条矩形的对称轴； (2)在图②中以为腰作一个等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形和等腰直角三角形的性质及无刻度直尺作图，解题的关键是利用矩形的对称性和等腰直角三角形的性质找到作图的关键点． （1）利用矩形的中心对称性，结合等腰直角三角形的顶点，作出过矩形中心的直线即为对称轴； （2）根据矩形对边相等和等腰直角三角形的性质，找到与CD相关的等腰直角三角形的顶点，连接得到图形． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）如图②，即为所求． 【变式3-1】 长方形和正方形都有4条对称轴．( ) 【答案】× 【分析】本题考查了轴对称图形知识，结合题意分析解答即可，把一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么就说这个图形是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，据此结合题意分析解答即可． 【详解】解：长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴， 所以原题说法错误， 故答案为：×． 【变式3-2】 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴对称图形的对称轴．确定每个图形的对称轴的数量，进行判断即可．掌握对称轴是使轴对称图形翻折后能够重合的直线，是解题的关键． 【详解】解：A中有无数条对称轴，B中有3条对称轴，C中有4条对称轴，D中有6条对称轴． 故选：A． 【变式3-3】 下列有无数条对称轴的图形是（　　） A．矩形 B．线段 C．等腰三角形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查图形的对称性，熟练掌握中心对称和轴对称图形的性质是解题的关键，根据轴对称图形和中心对称图形的性质即可得到答案． 【详解】解：A、矩形有2条对称轴，此项错误； B、线段有2条对称轴，此项错误； C、等腰三角形有1条对称轴，此项错误； D、圆有无数条对称轴，此项正确； 故选：D． 【题型4 轴对称综合题（几何变换）】 【例4】 ．如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，连接交于点，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点， ∴，， 此时，的最小值为的长度， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 即的最小值为． 【变式4-1】 如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线，掌握相关知识的灵活运用． 连接交于E，，可推出，，从而得出当B、Q、E共线时，最小，作于H，设，则，，利用勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，由即可得解． 【详解】解：如图，连接交于E， ∵于D， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵Q是的中点， ∴是定值，当B、Q、E共线时，最小，即的周长最小， 作于H，设， ∵， ∴， ∵Q是的中点，，， ， ∴， 在中，， ∵的周长最小值为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式4-2】 如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图，在直线上找到一点，使得的值最小； (2)如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求； （）取点，作点关于直线的对称点，连接，由轴对称可知，故线段即为所求； 本题考查了轴对称最短线段问题，作轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 【变式4-3】 在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查轴对称求最短距离，角平分线的判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质；能够通过给的面积关系，确定点的位置是解题的关键． 设点到的距离为，点到的距离为，根据面积比求得，则点在的角平分线上，作点关于的对称点，当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为，在等边三角形中求出的长即可． 【详解】解：设点到的距离为，点到的距离为， ， ， 点在的角平分线上， 作点关于的对称点， ， 当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 【题型5 中心对称的性质】 【例5】 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点M均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出关于点M成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先分别作点A，B，C关于y轴的对称点，，，再连接，，即可； （2）先分别作点A，B，C关于点M的对称点，，，再连接，，即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； （2）解：如图，就是所求作的三角形． 【变式5-1】 ．如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【答案】25 【分析】利用菱形的性质得到与互相垂直平分，从而求得的长和的长，再由与关于点D成中心对称，得到，从而求得的值，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：在菱形中，与互相垂直平分， ∴，， 又∵与关于点D成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， 在中，． 【变式5-2】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别是、、． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形； (3)借助网格，用无刻度直尺过点B作，垂足为H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，中心对称的性质，熟练掌握轴对称变换的性质，中心对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （3）利用“横纵交换”实现垂直，注意坐标符号． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． （3）如图所示，． 【变式5-3】 如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【题型6 中心对称图形】 【例6】 遵守交通规则不仅关系到自己的生命和安全，同时也是尊重他人生命的体现，是构筑和谐社会的重要因素．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义，逐个分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； B． 该图形是中心对称图形，符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 【变式6-1】 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式6-2】 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，据此逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意． 【变式6-3】 下列的音符图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断即可． 【详解】解：选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是轴对称图形又是中心对称图形；选项C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形； 则只有选项B符合题意． 【题型7 关于原点对称的点的坐标】 【例7】 如图，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)与关于原点对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转，在网格中画出旋转后的图形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）分别作出三角形三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的图形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求. 【变式7-1】 ．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点，并写出点的坐标． (2)在所给的网格图中画出绕点O顺时针旋转后的． 【答案】(1)见详解； (2)见详解 【详解】（1）解：如图，点即为所求，． （2）解：如图，即为所求． 【变式7-2】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，且点与点关于原点对称． (1)在图中画出； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）确定，推出向右平移个单位再向下平移个单位得到，继而得出，，据此可画出； （2）用所在的矩形的面积减去它周围三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∵， ∴点向右平移个单位再向下平移个单位得到点， ∵的顶点坐标分别为，，，将平移后得到，点，，的对应点分别为点，，， ∴向右平移个单位再向下平移个单位得到， ∴，， 如图，即为所求． （2）解：． 【变式7-3】 同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 考点二 图形的平移 平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 平移作图的步骤： 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 【题型8 图形的平移】 【例8】 有一段长为的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中①~③符合条件的是（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了平移性质的应用，经过平移可分别求得各图形的周长，据此可判断． 【详解】解：图①经过平移，图形的周长为，符合题意； 图②，图形的周长为，符合题意； 图③，图形是平行四边形，一边长为，另一边长大于，其周长大于，不符合题意； 故选：B． 【变式8-1】 电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 【变式8-2】 下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形变换中的“旋转”，理解旋转的概念是解题关键． 根据旋转定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形称为旋转，旋转前后两个图形形状和大小不变，即可判断． 【详解】解：A选项中，可看作“基本图案”经过旋转得到，符合题意； B选项中，可看作“基本图案”经过轴对称得到，不符合题意； C选项中，可看作“基本图案”经过平移缩放得到，不符合题意； D选项中，可看作“基本图案”经过平移得到，不符合题意． 故选：A． 【变式8-3】 甲骨文是一种象形文字，是我国汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移变换来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的应用， 根据平移的性质，轴对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：图A可以通过平移变换得出，所以符合题意； 图B，C，D是通过轴对称变化得到的，所以不符合题意． 故选：A． 【题型9 平移的性质】 【例9】 如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】 如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得，由中位线得，再利用平行四边形周长公式求解． 【详解】解：∵，，．点F是中点， ∴， ∵把线段沿射线方向平移到，点D在上， ∴是的中位线， ∴， ∴线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是． 【变式9-2】 如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【变式9-3】 如图，菱形的边长为6，，将该菱形沿方向平移得到四边形，交于点M，则点M到的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作于N，于P，由菱形的性质和直角三角形的相关计算求出，，由平移的性质证，再根据相似比求解即可． 【详解】解：作于N，于P， ∵菱形的边长为6，， ∴，，， ∴，，， ∵将菱形沿方向平移得到四边形， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：， 则点M到的距离为2． 【题型10 坐标与图形变换-平移】 【例10】 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点的平移规律“右加左减”原则计算即可． 【详解】解：将点向右平移个单位长度，平移后纵坐标不变，横坐标加上，所得对应点的坐标为，即． 【变式10-1】 将平面直角坐标系平移，使原点移至点，这时在新坐标系中原来点的坐标是__________． 【答案】 【分析】坐标系平移原点到点，原点相对于新坐标系反向平移，根据坐标平移的变化规律即可求解.平面直角坐标系原点移至点，说明坐标系沿轴向右平移个单位长度，沿轴向下平移个单位长度，原点在新坐标系中需反向平移，根据平移规律即可得原点在新坐标系的横坐标为，纵坐标为， 【详解】解：在新坐标系中原来点的坐标是. 【变式10-2】 在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫作点关于点的“关联点”．若点关于点的关联点的坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据新定义，先确定对称轴，再确定平移距离． 【详解】解：∵点关于直线翻折后的横坐标为，纵坐标不变为1， 再向下平移1个单位长度后坐标为， ∴点C的坐标为． 【变式10-3】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：由坐标系可得，则点B的对应点的坐标为，即． 【题型11 平移综合题（几何变换）】 【例11】 ．如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，如图，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点代入即可得到结论； （2）设菱形向右平移个单位长度，此时，由在反比例函数的图象上．得到，根据梯形的面积公式即可得到结论． 本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，梯形的面积的计算，勾股定理，两点间的距离，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图， ，，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上． ， 反比例函数的表达式为； （2）∵菱形， ∴， 又∵，， ∴，即 设菱形向右平移个单位长度，此时， 在反比例函数的图象上． ， 解得． ，， 平移后的坐标为，， 如图， 扫过的面积梯形的面积． 【变式11-1】 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，． (1)将各顶点的横、纵坐标都乘，得到点的坐标，点A，B，C的对应点分别为．请直接写出点的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出． (2)将向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到，点A，B，C的对应点分别为．请在如图所示的平面直角坐标系中画出，并直接写出边扫过的面积． (3)将绕点顺时针旋转可以得到，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，图见解析 (2)图见解析，面积为13 (3) 【分析】本题考查作图——平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据题意可得点，，的坐标，再描点连线即可． （2）根据平移的性质作图即可得到，利用割补法计算即可求面积． （3）连接，，相交于点，可知点为的中点，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，各顶点的横、纵坐标都乘，得到点的坐标， ∴ 画出如图所示． （2）画出如图所示． 边扫过的面积为． （3）连接，，，相交于点，则点即为所求，可知点为的中点， 点的坐标为，即点的坐标为． 【变式11-2】 学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②左，1，或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象，函数图象的平移规律，与不等式的关系等知识点． （1）将，分别代入，即可求解； （2）由函数图象平移规律可求解该函数图象的对称中心，以及函数平移的平移方式，的解集转化为的图象在直线下方时，对应的的取值范围，再结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：作图如下： （3）解：∵函数的图象可由的图象向左平移1个单位长度得到，而 的对称中心为， ∴平移后的函数图象的对称中心为， 如图： 当时，， 解得：， ∴， 即， ∴， ∴不等式的解集为函数的图象在直线下方时，对应的的取值范围， ∵对称中心为， ∴由函数图象可得：不等式的解集为或， ∴时，的取值范围或， 故答案为：①；②左，1，或． 【变式11-3】 如图，已知点在反比例函数的图象上，点，，将沿方向平移，使点与点P重合，得到．过点作轴交反比例函数图象于点． (1)直接写出的值； (2)求直线的解析式； (3)求平移前后线段扫过的图形面积． 【答案】(1)8 (2) (3)22 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化——平移，求出点坐标和函数解析式是解决本题的关键． （1）把点代入直线，即可求值； （2）根据平移的性质，求得，再运用待定系数法，即可得到直线的表达式；（3）延长交轴于，过作轴于，根据，可得线段扫过的面积的面积平行四边形的面积，据此可得线段扫过的面积． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：，， ，， 由平移可得，， 轴，， 点的横坐标为， 当时，，即， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为； （3）如图，延长交轴于，由平移可得，，又轴，， 点的纵坐标为4，即， 如图，过作轴于， 轴，， 点的横坐标为2，即， 又， 线段扫过的面积平行四边形的面积平行四边形的面积． 考点三 图形的旋转 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【题型12 旋转图形】 【例12】 在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（   ） A．一次轴对称和一次平移 B．两次轴对称 C．一次旋转 D．一次轴对称 【答案】D 【分析】本题考查图形的轴对称，平移和旋转的性质，根据题意结合轴对称，平移和旋转的性质即可求解． 【详解】解：A. 先以为对称轴作一次轴对称，再沿方向一次平移，可以得到，故该选项不符合题意     B. 分别以大正方形的对角线为对称轴作两次轴对称，可以得到，故该选项不符合题意 C. 绕点作旋转，作一次旋转，可以得到，故该选项不符合题意     D. 一次轴对称不能得到，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式12-1】 在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 【变式12-2】 如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键． 根据图形变换，数形结合分析即可判定． 【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合， ∴经过①③的变换即可， 故选：A ． 【变式12-3】 如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 【题型13 旋转三要素】 【例13】 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出、的对应点即可画出旋转后对应的；再利用平移的性质作出、、的对应点即可画出平移后对应的； （2）连接、，和的交点即为旋转中心，利用中点坐标公式即可得到坐标． 对应点连线的交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：如图所示，、即为所求； （2）解：连接、，和的交点即为旋转中心，坐标为． 【变式13-1】 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 【变式13-2】 ．在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是______，旋转角是______． 【答案】 点 【分析】连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，可知绕点顺时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点， 则绕点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角是． 故答案为：点；． 【变式13-3】 ．如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 本题考查了旋转的性质，旋转中心的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上， 根据坐标特点，得到中心一定在y轴上， 根据旋转的全等性，发现到对应点的距离相等， 故旋转中心为． 故选：C． 【题型14 旋转的性质】 【例14】 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求的值； (2)将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为，连接，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入求解即可；（2）过点作轴于点，利用勾股定理求出，计算出，再利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）反比例函数的图象过点， ； （2）如图，过点作轴于点， 则， ， ，， ， 将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为， ， ， ． 【变式14-1】 如图，中，，将其绕点旋转得到，使点的对应点落在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质求出，则可得出答案． 【详解】解：∵，，绕点A旋转得到，使点落在边上， ∴，， ∴． 【变式14-2】 在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．如图所示，设边与交于点，边分别交于点． (1)求证：； (2)当为等腰三角形时，请直接写出的长； 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了图形的旋转性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合运用，分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． （1）利用旋转的性质得到边和角的等量关系，结合全等三角形的判定定理（ASA）证明三角形全等，进而推出线段相等； （2）先借助勾股定理求出等腰三角形的高，再根据等腰三角形的不同顶角情况进行分类讨论，结合旋转性质和等腰三角形的边角关系，分别计算出的长度． 【详解】（1）证明：将绕点按逆时针方向旋转，得到， 则， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ，则，则； 设， 当时，则点、、重合，构不成三角形， 故该种情况不存在； 当时，如图： 则， 而， ， 则， 由（1）知，，则， 则， 则； 当时，如图， 则， 则， ， 则， 则， 综上，或． 【变式14-3】 如图，等腰的顶角，将绕点A逆时针旋转，的对应边恰好经过点C，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：∵等腰的顶角， ∴； 由旋转得，， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为． 【题型15 坐标与图形变换-旋转】 【例15】 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点均为格点（网格线的交点）．已知点． (1)将平移得到，使得点的对应点为，在所给的网格中画出； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转得到，请在所给的网格中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点的坐标为 【分析】（1）根据平移的性质找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）根据旋转的性质找到点A，B，C的对应点，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求；点的坐标为． 【变式15-1】 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． (1)画出关于轴对称所得的； (2)画出以点为旋转中心，将逆时针旋转90°得到的，并写出点的坐标； (3)用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据旋转对称的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （3）利用线段垂直平分线的性质结合网格的特征，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （3）解：如图所示，点即为所求． 【变式15-2】 在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作平面直角坐标系，过点作轴于点，由得，，逆时针旋转后，，与轴夹角变为，即落在轴正半轴，即可得出的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵ ， ∴ ，， 由勾股定理得 ， 又∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 由旋转的性质得 ，旋转角， ∴ ， ∴ 点在轴正半轴上， ∴ 的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转变换，题目未给出图形，解题时需根据题意画出图形，再结合勾股定理与旋转性质进行分析． 【变式15-3】 在平面直角坐标系中，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵线段绕原点顺时针旋转得到， ∴点的坐标是． 【题型16 旋转综合题（几何变换）】 【例16】 如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 【变式16-1】 ．如图，在中，，，若进行下列操作：①将绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以点C为圆心，线段的长为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 根据题意求出，，，，，再根据阴影部分的面积，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意得，，，，， ∴阴影部分的面积 ； 故答案为：； 【变式16-2】 综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角； （2）证明得，，即可得证； （3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ，， ∴，， ∴，， ∴线段与的位置关系是，与的数量关系是， 故答案为：；； （2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致． 理由：如图， ∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； （3）如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，， ∴， ∴， 由（2）可知：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式16-3】 把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长是， 故选：D． 特色专项练 【新考向：新考法】 1．“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【答案】（1）见解析；（2）50 【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键． （1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求； 任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕； （2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 【新考向：新情境】 1．小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识； （1）过点D作于H，则由等腰三角形的性质得；证明四边形是矩形，则有；再由旋转知，则可求得的长，最后求得结果； （2）连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点． 【新考向：跨学科】 1．如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可. 【详解】解：如图， 2．小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（    ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握平移的概念． 根据平移的概念解答即可． 【详解】解：小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是平移， 故选：A． 3．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是________．    【答案】6 【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离． 【详解】解：如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6； 故答案为：6    【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 【答案】(1)的解析式为；的解析式为； (2)①；②的解析式为，图象见解析； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式； （2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果； ②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象； （3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果． 【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得 ，解得：， ∴的解析式为； 将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为； （2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次， ∴点P按照乙方式移动了次， ∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为； ∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②由于， ∴直线的解析式为； 函数图象如图所示：    （3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上， ∴， 设直线的解析式为， 把A、B两点坐标代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A，B，C三点始终在一条直线上， ∴， 整理得：； 即a，b，c之间的关系式为：． 【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键． 中考真题练 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】与相切，理由见解析 【分析】连接，由等腰三角形的性质得，再由折叠的性质得，进而证明，则，因此，然后由切线的判定即可得出结论． 【详解】解：与相切． 证明：连接． ∵， ∴． ∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上， ∴． ∴． ∴． ∴由，得，即． ∴与相切． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键． 3．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 4．如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________．    【答案】 【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，    由图象可得，点，在x轴的正半轴上， ∴．旋转3次为一个循环， ∵ ∴点在射线的延长线上， ∴点在x轴的正半轴上， ∵，是正三角形， ∴由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴由旋转的性质可得，， ∴如图所示，过点作轴于点E，      ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键． 5．将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．    (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)正方形，见解析 【分析】（1）确定旋转角，结合，，计算即可． （2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可． 【详解】（1）根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， 故． （2）根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，      ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 6．已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为__________． 【答案】6 【分析】画出变换后的图像即可（画即可），当点在轴上，点、在轴上时，根据为等边三角形且，可得，过点、分别作轴垂线构造相似，则，根据相似三角形的性质得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】当点在轴上，点、在轴上时，连接， 为等边三角形且，则， ， 如图所示，过点分别作轴的垂线，交轴分别于点， ，， ， ， ， ， ， ．    【点睛】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键． 7．如图，在等边三角形中，为上的一点，过点作的平行线交于点，点是线段上的动点（点不与重合）．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接交于．    (1)证明：在点的运动过程中，总有． (2)当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用四点共圆知识解答即可． （2）只有，是直角三角形，解答即可． 【详解】（1）∵等边三角形， ∴,， ∵， ∴， ∵绕点逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴时等边三角形， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴． （2）如图，根据题意，只有当时，成立， ∵绕点逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴时等边三角形， ∴， ∵，    ∴， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，四点共圆，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质，四点共圆，特殊角的三角函数值是解题的关键． 8．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 9．河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特点逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 10．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论：    ①点与点关于点中心对称； ②连接，，，则平分； ③连接，则点，到线段的距离相等． 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【分析】根据描述，作图，逐一进行判断即可； 【详解】解：①如图：    点与点关于点中心对称；故①正确； ②如图：    由图可知：， ∴为等腰三角形， ∵经过的中点， ∴平分，故②正确； ③如图，点到的距离为，点到的距离为，    ∴， ∴点，到线段的距离相等，故③正确； 综上，正确的有①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关键是根据描述，正确的画图，熟练掌握相关知识点． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $