2.3.1 向量的数乘运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第二章　平面向量及其应用 §3.1　向量的数乘运算 1 学习目标 掌握实数与向量积的定义．（数学抽象） 掌握实数与向量积的三条运算律．（逻辑推理） 会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算.（数学运算） 2 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 思考1：向量 <m>与 <m>具有怎样的关系？（从长度和方向上分析） O A B C 类比乘法 记作 与 相同 方向 长度 的3倍 课外习题 3 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 思考2： 向量<m></m> 与 <m></m> 具有怎样的关系？（从长度和方向上分析） N M Q P 类比乘法 记作 与 相反 方向 长度 的3倍 课外习题 4 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 思考3： 向量<m></m> 与</m> 具有怎样的关系？（从长度和方向上分析） 长度相等，方向相反 相反向量 N M Q P O A B C 课外习题 5 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 知识点 1：数乘运算的定义 向量数乘的定义 一般地，我们规定实数 <m></m> 与向量 <m></m> 的积是一个______，这种运算叫作向量的数乘，记作____，它的长度和方向规定如下： ① <m></m> ______. ②当 <m></m> 时， <m></m> 的方向与 <m></m> 的方向______； 当 <m></m> 时， <m></m> 的方向与 <m></m> 的方向______； 当 <m></m> 时， <m></m> ． 向量 <m></m> <m></m> 相同 相反 课外习题 6 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 知识点 2： 的几何意义 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍; 当λ＜0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 在非零向量a方向上的单位向量是 课外习题 7 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 &1& （1）数乘向量 <m></m> 中，实数 <m></m> 称为向量 <m></m> 的系数. （2）实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数积的定义的推广，但不能进行加减运算，如 <m></m> ， <m></m> 均无意义. （3）数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题． 已知 <m></m> ，则下列结论正确的是( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C [解析] 当 <m></m> 时， <m></m> 不成立，A错误； <m></m> 是一个非负实数，而 <m></m> 是一个向量，B错误；当 <m></m> 或 <m></m> 时， <m></m> ，D错误． 课外习题 8 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 知识点 2：数乘运算的运算律 1.向量数乘的运算律：设 <m></m> ， <m></m> 为任意实数，则 （1） <m></m> _______； （2） <m></m> _________； （3） <m></m> ________. 特别地，有 <m></m> _______＝_______， <m></m> ________． 2.线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算， 向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量 <m></m> ， <m></m> ，以及任意实数 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，恒有 <m>____________． <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 课外习题 9 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 例1 设a，b为向量，计算下列各式： （1）(－3)×4a； （2）3(a＋b)－ (a－b)－a； （3）(2λ－μ)a－λb－(λ－μ)(a－b)(λ，μ为实数). 解：（1）由数乘运算的运算律得(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； （2）3(a＋b)－ (a－b)－a＝3a＋3b－ a＋ b－a （3）(2λ－μ)a－λb－(λ－μ)(a－b)＝(2λ－μ)a－λb－(λ－μ)a＋(λ－μ)b ＝[(2λ－μ)－(λ－μ)]a＋[－λ＋(λ－μ)]b ＝λa－μb. 题型一 向量的线性运算 课外习题 10 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 例2 设x是未知向量，解方程x＋a－3(x－b)＝0. 解：原方程可变形为x＋a－3x＋3b＝0， 2x＝a＋3b， x＝ a＋ b. 题型二 解向量方程 课外习题 11 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 例3 如图，已知点O是△ABC所在平面内一点，点D为边BC的中点，且 ＝0，说明向量 与 的关系. 解：∵点D为边BC的中点，∴ ∴ ， 又 ＝0，∴ ＝0， ∴ ， 即向量 与 共线且方向相同，长度是向量 长度的 倍. 题型三 判断向量关系 课外习题 12 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 4.如图所示，在四边形 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> 分别是 <m></m> ， <m></m> 的中点，已知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，试用 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 表示 <m></m> ， <m></m> ． [解析] <m></m> , <m></m> ． 题型四 向量的线性表示 课外习题 13 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 课本94 14 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 课本94 1，的大小为的2倍，方向与相同， 的大小为的倍，方向与相反， ，的大小为的倍，方向与相同. 2，(1)，(2). 3，证明：因为分别为的中点，所以，，即. 15 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 课本94 4，解：如图所示，分别在线段上 取点，使得， 分别过点作的平行线，且两平行线相 交于点，则， 因为，所以四边形为菱形， 所以为的平分线. 16 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 （1）向量数乘运算的定义 （2）向量数乘运算的运算律 17 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 一、向量的线性运算 1 化简 <m></m> . [解析] 原式＝ <m></m> . 2 已知点 <m></m> 在线段 <m></m> 上，且 <m></m> ，则 <m></m> 等于( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D [解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 故选D. 课外习题 18 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 二、解向量方程 3 已知向量为 <m></m> ， <m></m> ，未知向量为 <m></m> ， <m></m> ，向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 满足关系式 <m>，</m> <m></m> ，求向量 <m></m> ， <m></m> ． [解析] 依题意联立方程 <m></m> 由① <m></m> ② <m></m> ，得 <m></m> ， 代入①得 <m></m> ，所以 <m></m> ． 故 <m></m> ， <m></m> ． 课外习题 19 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 4 已知向量为，未知向量为，向量满足关系式 ，，求向量. 课外习题 解：因为……①，……②， 所以①＋②，得， 代入①得，即， 所以，. 20 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 1.化简:（1） <m></m> ; （2） <m></m> . [解析] （1）原式＝ <m></m> ． （2）原式＝ <m></m> ． 2.若 <m></m> ，则 <m></m> _________． [解析] 由已知得 <m></m> ＝ <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> ． 课外习题 21 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 22 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 3.若点 <m></m> 是 <m></m> 所在平面内的一点，满足 <m></m> ，则 <m></m> ( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C [解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 故选C. 课外习题 23 谢谢大家 24 2.在四边形ABCD中,=2,则=(　　). A.-++ B.-++ C.++ D.++ [解析] 　因为=2,所以=, 所以=+=-++=-++(-)=-++. $