第7卷 解三角形 四川省（对口招生）《数学真题同源卷》教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第7卷 解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 向量·余弦定理应用 1.（2025年对口招生）在中，若，，则__________. 【答案】 【分析】先由余弦定理求出，进而得到，再由内积定义即可求解. 【详解】由题意知，在中，，， 则由余弦定理可得， 又，所以，则， 所以. 故答案为：. 考点02 基本不等式·正余弦定理应用 1. （2025年对口招生）在中，内角的对边分别是，. （1）求角的值； （2）若△的面积为1，求的周长最小值 【答案】（1） （2） 【分析】（1）运用余弦弦定理将角转化为边进行化简求值即可. （2）根据面积公式得出的值，再由基本不等式求最值即可. 【详解】（1）已知， 由余弦定理得， 即，则， 整理得，所以， 即，因为，所以 （2）由（1）可得，因为的面积为1，即，则， 而△的周长为， 由基本不等式可知，，， 当且仅当时，等号成立， 所以当，的周长取最小值为. 考点03 二倍角·两角和差·诱导公式·正余弦定理应用 1.（2024年对口招生） 已知△的内角的对边分别为，且. （1）求A的大小； （2）若，证明：为直角三角形. 【答案】（1） （2）证明见详解 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式即可求解. （2）根据余弦定理，两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，. 则. 即，所以或. 解得或. 因为是△内角，所以. （2）由题意得，. 则，即. 又由余弦定理，则.即. 所以，解得. 因为是内角，所以，由得，所以. 所以为直角三角形. 考点04 辅助角公式·正余弦定理应用 1. （2023年对口招生）已知中，内角，，的对边分别为，，，满足. （1）求的大小； （2）若，证明：为直角三角形. 【答案】（1）的大小（2）见解答过程 【分析】本题第（1）问中由得到,化简可得，即得=。第（2）问中由得出，进而根据=得出，然后得出，进而得出，展开后根据化一公式（辅助角公式）可以构造关于的方程，最后求得，问题得证. 【解析】（1）∵， ∴， ∴. ∵， ∴=. （2）∵，∴， ∵=，∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是以点A为直角顶点的直角三角形. 考点05诱导公式·两角和差·三角形面积·正余弦定理应用 1.（2022年职教师资和高职班对口考试）在中，角，，的对边分别为，，，. （Ⅰ）求角； （Ⅱ）证明：为定值. 【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）略 【解析】(Ⅰ) 在中， ∵++=， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （Ⅱ）∵， ∴=，=， ∴ ∴为定值. 考点06两角和差·三角形面积·正余弦定理应用 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）△ABC 的内角A，B , C 的对边分别为 a , b , c .且 (I)求角A的大小； （II）若b = , ,求 cosC. 【答案】(I)由可知， 即，即，即， 由正弦定理可知，则tanA=1，又A为△ABC的内角，则 . （II）设△ABC的AB 边上的高为CD，如图， 在Rt△ACD中，，，所以 . 又 ，所以 ， ， 在Rt△BCD中， ，故 ， 因此 ， 则 . 【举一反三】 1．在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形面积公式即可得解. 【详解】中. 由三角形面积公式得. 故选:. 2．的三个内角､､满足,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理进行边角转化,进而用余弦定理求出结果. 【详解】因为, 可设, 由余弦定理可得. 故选：B. 3． 的内角的对边分别为，，则角B的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化即可求解. 【详解】中，， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得：， 又， ∴， 故选：B. 4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边角进行转化，求解与的大小，从而判断出三角形形状，根据边的关系即可求解. 【详解】，，， 又， 从而，即是等腰三角形， ，. 故选：C. 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理边角互化的应用和余弦定理即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 即， ，， ， 由余弦定理可得，， 即， 又，， ，即， 的周长为. 故选：D. 【拓展提升】 一．选择题 1．已知为的三个内角的对边，向量，.若，且，则角的大小分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，及辅助角公式，可求得角A的大小，结合正弦定理边角互化，两角和的正弦公式，即可化简求得角C的大小，继而求得角B的大小. 【详解】因为向量，， 由得，即，即， ，即， 又，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以，所以. 故选：C. 2.．中，已知，，，则的面积＝（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦余弦定理分别列出关于的式子，求出，再代三角形面积公式. 【详解】由可得：， 且由正弦定理，可得： ，即， 代入可得：， 解得， ， 则. 故选：. 二．填空题 3．在中，已知，，，则________ 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】在中，已知，，， 根据余弦定理，， 即. 解得或（舍）， 故答案为：. 4.已知函数（，且54．已知灯塔B在灯塔A的北偏东，两个灯塔相距20海里．从轮船C上看见灯塔A在它的正南方向，灯塔B在它的正东北方向，则轮船C与灯塔B的距离为__________海里．（精确到1海里，参考数据：，） 【答案】14 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】由题意可知，,，， 由正弦定理可得，，即. 故答案为：14. 5．已知，，和a，b，c分别为的3个内角及其对边，若，则______． 【答案】 【分析】根据正弦定理边化角和同角三角函数的商数关系进行求解即可. 【详解】由题可知， 所以由正弦定理得， 所以， 即， 又因为为的三个内角， 即，故是等边三角形， 所以. 故答案为：. 三．解答题 6．已知在中，． (1)判断三角形的形状； (2)若，求的面积． 【答案】(1)是钝角三角形 (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理求出角的余弦值即可判断； （2）由求出，由求出的值，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）， 由正弦定理可得：， 是最大角，设，，， 则． ，又是三角形的内角， 是钝角，是钝角三角形． （2），又是三角形的内角， ，， ，，． 的面积． 7.已知函数在上的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)若锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式将函数化为正弦型函数，再根据题意求出m的值，并利用正弦型函数的性质求出单调递增区间即可； （2）先求出角A的值，再利用正弦定理和两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1） ， ，因为函数在上的最大值为3， 即，所以， 因此. 令， 解得， 因此函数的单调递增区间为. （2）由已知得，所以， 由得， 因此，所以. 由正弦定理得， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 因此，则，即， 所以， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第7卷 解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 向量·余弦定理应用 1.（2025年对口招生）在中，若，，则__________. 考点02 基本不等式·正余弦定理应用 1. （2025年对口招生）在中，内角的对边分别是，. （1）求角的值； （2）若△的面积为1，求的周长最小值 考点03 二倍角·两角和差·诱导公式·正余弦定理应用 1.（2024年对口招生） 已知△的内角的对边分别为，且. （1）求A的大小； （2）若，证明：为直角三角形. 考点04 辅助角公式·正余弦定理应用 1. （2023年对口招生）已知中，内角，，的对边分别为，，，满足. （1）求的大小； （2）若，证明：为直角三角形. 考点05诱导公式·两角和差·三角形面积·正余弦定理应用 1.（2022年职教师资和高职班对口考试）在中，角，，的对边分别为，，，. （Ⅰ）求角； （Ⅱ）证明：为定值. 考点06两角和差·三角形面积·正余弦定理应用 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）△ABC 的内角A，B , C 的对边分别为 a , b , c .且 (I)求角A的大小； （II）若b = , ,求 cosC. 【举一反三】 1．在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．的三个内角､､满足,则（ ） A． B． C． D． 3． 的内角的对边分别为，，则角B的大小为（ ） A． B． C． D． 4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【拓展提升】 一．选择题 1．已知为的三个内角的对边，向量，.若，且，则角的大小分别为（   ） A． B． C． D． 2.．中，已知，，，则的面积＝（    ） A． B． C． D．4 二．填空题 3．在中，已知，，，则________ 4.已知函数（，且54．已知灯塔B在灯塔A的北偏东，两个灯塔相距20海里．从轮船C上看见灯塔A在它的正南方向，灯塔B在它的正东北方向，则轮船C与灯塔B的距离为__________海里．（精确到1海里，参考数据：，） 5．已知，，和a，b，c分别为的3个内角及其对边，若，则______． 三．解答题 6．已知在中，． (1)判断三角形的形状； (2)若，求的面积． 7.已知函数在上的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)若锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $