第8卷 数列 四川省（对口招生）《数学真题同源卷》教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第8卷 数列 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. (2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． G，b成等比数列⇒G2＝ab. 2．等比数列及前n项和的性质 (1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. (4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 3．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 4．倒序相加法 如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. [方法技巧] 错位相减法求和的策略 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 6．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). [方法技巧] 用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．　　 7．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [方法技巧] 分组求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和．　　 【真题精讲】 考点01 等差数列 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）已知等差数列的前n项和为Sn，且=10, (I)求数列的通项公式； （II）若数列,记cn = anbn ,求数列｛cn｝的前n项和Tn. 【答案】(I)由已知得，解得，由=10,得，则， 又，得，则数列的通项公式为. （II） , ， ， 相减得 .故 . 考点02 等比数列 1. （2025年对口招生）若是一个等比数列的连续三项，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】利用等比中项的性质即可求解. 【祥解】因为若是一个等比数列的连续三项， 即，可化为， 解得或； 当时，第二项和第三项均为，不合题意； 当时，三项依次为，公比为，符合题意. 故选：A. 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）设数列的前项和为，且. （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和为. 【答案】(Ⅰ) 略 （Ⅱ） 【分析】(Ⅰ)根据 构造出后，利用定义法证明，（Ⅱ）因为，所以要求的前项和为，可以先分别求出数列的前项和与数列前项和，然后相加即可得出。 【详解】(Ⅰ)在数列中，∵， ①当时,得. ②当时,= ∴ ∴∴ ∴ ∴ ∴数列是首项为3，公比为等比数列； （Ⅱ）由(Ⅰ)知数列的前项和为： ∴而数列是首项为-1，公差为1的等差数列，其前项和为： ∵ ∴数列的前项和为 考点03 数列的应用 1.（2024年对口招生） 某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 【答案】 【分析】根据得出每天的高度为等比数列，根据等比数列的性质即可得解. 【祥解】由题意可知，该植物在快速生长期每天结束时的高度构成一个公比为的等比数列， 设等比数列为，则， 所以毫米，故答案为：. 2. （2023年对口招生）甲、乙两人玩猜硬币游戏，乙负责抛硬币，甲在乙每次抛前进行猜测.甲用数列记录自己每次的猜测情况，若猜测第次抛硬币出现正面记，出现反面记；乙用数列记录每次抛硬币后实际出现的正反面结果，当第次抛硬币出现正面记，出现反面记.他们进行50次游戏后，乙统计并计算出，则甲猜对的次数为_________. 【答案】38 【分析】本题中,，所以由题意可得当甲猜对时，否则，然后设甲猜对的次数为次，即可根据构造关于x的方程求解即可. 【详解】设甲猜对的次数为次，则甲猜不对的次数为次， 根据题意：， 解得， ∴甲猜对的次数为次. 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）已知某高校学术报告厅共有20排座位，前2排的座位数是12，从第2排起后一排比前一排多2个座位，则该学术报告厅的座位总数是_________. 【答案】582 【分析】首先利用等差数列的前n项和公式求出前19项的和，然后再加上即可得到该学术报告厅的座位总数。 【详解】∵前2排的座位数是12 ∴ ∵从第2排起后一排比前一排多2个座位， ∴ 4.（2021年职教师资和高职班对口考试）某学校为了庆祝中国共产党建党100周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.这个梯形花坛共有10排，计划笫一排摆放100盆花，后面每排比前面一排少摆10盆，则该花坛 摆满共需 盆花. 【答案】550 【分析】本题考查的是等差数列求和； 【详解】由题意得n=10,d=-10,a1=100,根据求和公式s=10×100+0.5×10×9×（-10）=550。 考点04数列的综合应用 1. （2025年对口招生） 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2） 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件建立方程组，解出公差和公比即可求解. （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，由得， 代入，得， 解得（舍去），则， 所以通项公式. （2）由（1）知， 所以， 两边乘以公比得 ， 两式相减得， 即， 所以. 2. （2024年对口招生）设数列前项和满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用写出，两式相减化简，在同除，化简等式累加，得到，等式两边同乘，得到，再由已知列方程组求出，即可求通项公式； （2）利用（1）求出，然后利用裂项相消求前项和即可. 【详解】（1）因为，有， 两式相减得， 即，化简得， 等式两边同除以，得， 化简得， 则有，，， 累加得， 即，等式两边同乘，则，即， 因为，且，即， 所以，即， ，即， 则，解得，，， ，当时，满足， 则数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 则， 则， 则 . 3. （2023年对口招生）设是首项为-10的等差数列，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值. 【答案】（1）的通项公式为；（2）的最小值为. 【分析】本题（1）利用首项为-10的等差数列，且，，成等比数列.可以构造关于公差的方程，求得。（2）问中根据等差数列的前项和为可得，然后根据均值不等式或是二次函数均可求得最小值。 【详解】（1）∵首项为-10的等差数列，∴. ∵，，成等比数列，∴， ∴， ∴，∴，∴. ∴的通项公式为. （2）∵，∴. 法一（均值不等式法）：， 当且仅当时取等号.∴的最小值为. 法二（二次函数法）：∵，∴当时，取最小值为. 【举一反三】 1．等差数列中，已知，则其前9项和等于（    ） A．18 B．27 C．36 D．45 【答案】D 【分析】根据等差数列的求和公式和中项性质求解. 【详解】根据等差数列的求和公式和中项性质可知， . 故选：D. 2．在等差数列中，若，是数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式求值即可. 【详解】在等差数列中，已知， 则， 所以. 故选：B. 3.在等差数列中，，表示数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质和等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知为等差数列， 所以，由， 得，解得，又， 所以， 故选：B. 4.某工厂生产A､B､C三种产品的数量刚好构成一个公比为的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为（    ） A．100 B．140 C．180 D．120 【答案】C 【分析】根据分层抽样的定义及运算，结合等比数列的定义分析求解即可. 【详解】因为A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为的等比数列，C产品的数量为20， 所以产品的数量为，B产品的数量为， 因为样本容量为，所以， 解得：或（舍去），所以，则A产品的数量为. 故选：C. 5.已知等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的前项和公式求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意， ，，，则， 可得，解得， 所以. 故选：A. 【拓展提升】 一．选择题 1.已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用前项和和的关系求通项即可. 【详解】当时，，； 当时，，不符合，则， 故选：B. 2.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，则等于（ ） A．85 B．90 C．95 D．100 【答案】C 【分析】根据题中定义，结合数列前项的和与第项的关系进行求解即可. 【详解】因为数列的前项的“均倒数”为， 所以， 于是有，， 两式相减，得， 故选：. 2． 填空题 3．已知在等差数列中，，则__________. 【答案】26 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】∵在等差数列中，， ∴由，得，解得. 故答案为：26. 4．在等比数列中，若，是方程的两个根，则_____. 【答案】 【分析】由等比中项的性质和方程根与系数的关系即可求解. 【详解】因为，是方程的两个根， 则，，即，同号且为正， 又是等比数列，则， 根据，得到， 所以. 故答案为：. 5．已知点在函数的图像上，这三个点的横坐标依次构成公差为1的等差数列，若点的横坐标为的面积为，把表示为以为自变量的函数，则该函数的解析式是_________. 【答案】 【分析】根据题意作图，并根据题型用割补法求S的表达式即可. 【详解】∵点A，B，C的横坐标成公差为1的等差数列，且点A的横坐标为m， ∴点B的横坐标为，同理，点C的横坐标为， 即点A为，B为，C为， 过点C作轴于点M，过点A作于点F，过点B作于点E， 即可知，， 利用割补法知的面积为， 因为 所以， 因为， 所以， 因为， ， 故. 故答案为：. 三．解答题 6．已知公差不为0的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为是等差数列， 且，， 所以， 即 解得，， 所以. （2）因为， 所以， 所以 . 7．已知各项不相等的等差数列中且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义和等比中项求，得出答案. （2）利用错位相减法求数列前项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，由成等比数列得，得         由因为 解得                    所以数列的通项公式 （2）因为               所以 ①， 可得 ②，      ①②得： 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第8卷 数列 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. (2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． G，b成等比数列⇒G2＝ab. 2．等比数列及前n项和的性质 (1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. (4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 3．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： =. 4．倒序相加法 如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. [方法技巧] 错位相减法求和的策略 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 6．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). [方法技巧] 用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．　　 7．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [方法技巧] 分组求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和．　　 【真题精讲】 考点01 等差数列 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）已知等差数列的前n项和为Sn，且=10, (I)求数列的通项公式； （II）若数列,记cn = anbn ,求数列｛cn｝的前n项和Tn. 考点02 等比数列 1. （2025年对口招生）若是一个等比数列的连续三项，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2.（2022年职教师资和高职班对口考试）设数列的前项和为，且. （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和为. 考点03 数列的应用 1.（2024年对口招生） 某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 2. （2023年对口招生）甲、乙两人玩猜硬币游戏，乙负责抛硬币，甲在乙每次抛前进行猜测.甲用数列记录自己每次的猜测情况，若猜测第次抛硬币出现正面记，出现反面记；乙用数列记录每次抛硬币后实际出现的正反面结果，当第次抛硬币出现正面记，出现反面记.他们进行50次游戏后，乙统计并计算出，则甲猜对的次数为_________. 3.（2022年职教师资和高职班对口考试）已知某高校学术报告厅共有20排座位，前2排的座位数是12，从第2排起后一排比前一排多2个座位，则该学术报告厅的座位总数是_________. 4.（2021年职教师资和高职班对口考试）某学校为了庆祝中国共产党建党100周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.这个梯形花坛共有10排，计划笫一排摆放100盆花，后面每排比前面一排少摆10盆，则该花坛 摆满共需 盆花. 考点04数列的综合应用 1. （2025年对口招生） 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和. 2. （2024年对口招生）设数列前项和满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 3. （2023年对口招生）设是首项为-10的等差数列，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值. 【举一反三】 1．等差数列中，已知，则其前9项和等于（    ） A．18 B．27 C．36 D．45 2．在等差数列中，若，是数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 3.在等差数列中，，表示数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 4.某工厂生产A､B､C三种产品的数量刚好构成一个公比为的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为（    ） A．100 B．140 C．180 D．120 5.已知等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【拓展提升】 一．选择题 1.已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 2.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，则等于（ ） A．85 B．90 C．95 D．100 2． 填空题 3．已知在等差数列中，，则__________. 4．在等比数列中，若，是方程的两个根，则_____. 5．已知点在函数的图像上，这三个点的横坐标依次构成公差为1的等差数列，若点的横坐标为的面积为，把表示为以为自变量的函数，则该函数的解析式是_________. 三．解答题 6．已知公差不为0的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 7．已知各项不相等的等差数列中且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $