专题05 三角函数与解三角形（6大考点）（全国通用）2026年高考数学一模分类汇编

专题05 三角函数与解三角形 6大考点概览 题型01 三角函数化简与求值 题型02 三角函数的性质 题型03 三角函数的图象 题型04 正（余）弦定理的基本应用 题型05 解三角形中的最值问题 题型06 正（余）弦定理与向量、函数等知识的交汇 三角函数化简与求值 考点1 1．（2026·湖北黄冈·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用诱导公式得， 故利用二倍角公式得. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 3．（2026·广东深圳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，则，于是. 4．（2026·内蒙古赤峰·一模）若，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据两角和与差的正弦公式，联立方程组的值，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得，又由， 可得，联立方程组，可得， 则. 5．（2026·辽宁抚顺·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用诱导公式及二倍角公式化简，再应用正弦值域得出，最后结合同角三角函数关系计算求值. 【详解】由题意得，所以·. 因为，所以，所以，且， 所以，可得. 6．（2026·河南南阳·一模）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】由题意可得，由结合两角差的正切公式可得，从而求得第二次的“晷影长”与“表高”的比值，得出答案. 【详解】由题可得，又， 所以.即第二次的“晷影长”是“表高”的. 7．（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系求出，再根据三角恒等变换即可求出答案. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以. 8．（2026·河北邢台·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，，则，，由余弦的和差公式可得：，， 展开得：， 两式相减得：，则：，即：. 9．（2026·青海西宁·一模）已知是第二象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又，，因为是第二象限角，所以，，所以，， 所以. 10．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含的形式，再代入已知条件计算. 【详解】， 11．（2026·河北衡水·一模）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因此，所以， ；所以的取值范围是. 12．（2026·广东中山·一模）若，是第三象限角，且，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】运用同角三角函数关系求得，运用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为若是第三象限角，所以，解得，. 同理因为，所以， 因为若是第三象限角，所以，解得，. 而 13．（2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得含的表示，即可根据基本不等式求解最值. 【详解】由得，即，由于，为锐角，故，设，则 ， 令，当且仅当时取到等号.故的最大值为. 14．（2026·湖南邵阳·二模）已知，则______. 【答案】/ 【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出，化简目标式即可得. 【详解】由，则， 所以. 15．（2026·湖北襄阳·一模）已知，若，且，则_______． 【答案】 【分析】利用，根据和差化积公式得，即可由万能公式求解. 【详解】．∵∴ ∴, 由于，故，则， ∴∴. 16．（2026·河北保定·一模）已知，则________. 【答案】# 【分析】首先切化弦，根据平方关系得到的二次方程，求解. 【详解】因为，，得， 解得或（舍）. 17．（2026·山西晋城·一模）若，则__________． 【答案】3 【详解】 ． 18．（2026·陕西商洛·一模）已知，且，则___________． 【答案】 【分析】根据二倍角的余弦公式求得，结合及同角三角函数的平方关系求得，再根据两角和的正弦公式即可求解． 【详解】由得，解得或， 又，所以，则， 所以． 19．（2026·河北张家口·一模）已知锐角满足，则的值为______． 【答案】 【详解】已知是锐角，且，则，设， 则，解得，， ． 三角函数的性质 考点2 1．（2026·山西晋城·一模）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所以，又，所以的最小值为． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）当时，函数取得最大值，则的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】使用辅助角公式化简，代入，利用最大值条件并给赋值即可求解. 【详解】，取， 则，由题意得,即，整理得， 因为，令，则，即的最小值为1. 3．（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，所以，故.令，，则，，所以该函数的对称中心为，，显然只有A符合. 4．（2026·湖北黄冈·一模）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线与函数图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得，从而求得其最小值. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为，所以函数的最小正周期为，所以，所以.由函数的图象关于点对称，得，所以.所以正实数的最小值为. 5．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两函数图象关于直线对称及得到，结合的范围代入求解即可. 【详解】由题意知，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 6．（2026·河南南阳·一模）已知函数的周期为，值域为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由周期函数的定义得出是周期为的周期函数，再由二倍角公式结合正弦函数的值域可判断. 【详解】， 所以函数的周期不是，A，B错误； ， 所以函数的周期是，， 所以， 所以的值域为，C正确；D错误. 7．（2026·湖北恩施·二模）已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论，结合正切函数的图像即可求解. 【详解】 在上单调递增，不合题意；在上单调递增，不合题意； 在上单调递增，不合题意；图象如图，满足题意，它的对称中心为．故选A． 8．（2026·河北保定·一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助平移及伸缩变换性质可得，再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 将其横坐标缩短到原来的，可得，即， 令，解得，即图象的对称中心的坐标为. 9．（2026·山东济宁·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】求出图象的对称中心后利用代入法可得，故可求的最小值. 【详解】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为， 故，故，而，故. 10．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的解析式，再求出的零点，再根据范围求得的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以，解得. 11．（2026·河北邢台·一模）若函数的最大值为3，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】AC 【分析】由题意求得参数的值，根据函数解析式求得的最小值，判断A；求得的最小正周期，判断B；根据正弦函数对称中心及对称轴的特点，判断C，D. 【详解】因为函数的最大值为1，最小值为， 所以由函数的最大值为3，得，解得.所以. 所以的最小值为，所以A正确；的最小正周期为，所以B错误； 因为，且，所以的图象关于点对称，所以C正确； 因为，此时取不到最值，所以的图象不关于直线对称，所以D错误. 12．（2026·安徽安庆·一模）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先根据周期得出，再应用正切函数的对称中心计算求解. 【详解】由题意可得，解得（负值舍去），则， 令，则， 当时，，当时，，故、都是图象的对称中心，故B、D正确； 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心， 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心，故A、C 错误. 13．（2026·内蒙古赤峰·一模）函数的图象过点，该函数图象在轴右侧的第一个对称中心为，且为一条对称轴，下列有关函数正确的表述是（   ） A． B．图象的对称轴为 C．图象的对称中心为 D．在上的最大值为 【答案】AC 【分析】先由函数经过的点及对称中心、对称轴可得，，进而再整体代入判断各个选项可得. 【详解】由函数的图象在轴右侧的第一个对称中心为，得，即， 由为函数的一条对称轴，得，则， 由，得，则或， 由函数的图象过点，得， 当时，，，不符合题意， 当时，，，符合题意，因此，A正确； 对于B，，， 不是函数的对称轴，B错误； 对于C，，则是函数的对称中心，C正确； 对于D，当时，，， 所以函数在上的最大值为2，D错误. 14．（2026·陕西商洛·一模）已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意得，求得，再结合三角函数的单调性得，，最后结合求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以，即，又在区间上单调递增，所以， 故，，解得，． 令得，又，所以；令得； 当时，，不合题意．综上，的取值范围为． 15．（多选）（2026·湖北黄石·一模）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的最大值是2 C．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则 D．是函数的单调递减区间 【答案】BC 【分析】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C将函数数形结合，转化为交点问题. 【详解】，若函数图象关于点对称，则.但是，所以A错误； 因为的最大值为1，所以的最大值为，所以B正确； 方程在上恰好有三个实数解，即在有三个解，此时，对应的三个解为：，则，所以C正确； 求的单调递减区间：，解得，所以D错误. 16．（多选）（2026·重庆·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若在上恰有三个零点，则 B．若在上恰有三个零点，则 C．若在单调递增，则 D．若向左平移后的图象与图象关于对称，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据正弦函数零点表达式分析即可；对于B，由选项A可知，代入即可求值；对于C，根据正弦函数的单调区间，确定区间端点满足的不等式求解即可；对于D，根据三角函数图象平移的解析式，结合对称性判断即可. 【详解】A，令，即，解得或， 当时，可得，要使在上恰有三个零点， 则需，解之可得，故A正确； B，由A可知，所以，所以，故B正确； C，由正弦函数的单调递增区间可知，取，则，若在单调递增，则需，因，则只需，则，则，故C错误； D，根据平移规则可知平移后函数为， 图象与图象关于对称，则， 代入得，化简可知，继续化简可得，故D正确. 17．（多选）（2026·广东梅州·一模）关于函数，以下结论正确的有（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点 【答案】ACD 【分析】对于A，判断函数为偶函数，即可判断正误；对于B，因为要分析三角函数乘积形式的函数性质，所以可先利用三角恒等变换公式将化简为更易分析的形式.求函数最大值，可利用三角函数的有界性，结合化简后的函数形式，通过换元法转化为二次函数求最值；对于C，判断周期，可利用周期函数的定义，验证是否成立来确定；对于D，求零点，令，结合三角函数的零点性质求解，再统计上的零点个数. 【详解】对于A，函数的定义域为R，且，即为偶函数，的图象是轴对称图形，A正确； 对于B， ，令，则， 当时，取最大值，即的最大值为，B错误； 对于C，，即是以为一个周期的周期函数，C正确； 对于D，令，即，故或，当时，在上有满足题意；当时，在上有满足题意；故在上有共4个零点，D正确. 18．（2026·辽宁大连·一模）已知函数，当时，的最小值为． (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，递增区间为，递减区间为 【分析】（1）先由给定区间的最小值确定参数m，再解三角函数零点个数即可； （2）通过平移变换得到余弦函数，再使用整体代入法求得的值域与单调区间. 【详解】（1）函数，当时，，则当，即时，，即，解得，故， 当时，，由，得， 则，所以， 因此函数在区间内的零点个数为4． （2）依题意，，因此函数的值域为； 由，，解得，， 由，，解得，， 所以函数的递增区间为， 递减区间为． 19．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 【答案】(1) (2) (3)详细见解析 【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式求最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到的表达式，然后结合给定区间求出的值域；（3）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程. 【详解】（1）根据题意知 ，根据正弦函数的周期公式， 所以最小正周期为. （2）根据“左加右减”的原则，可得， 已知，则， 当时，取最大值，最大值为， 当时，取最小值，最小值为， 所以当时，函数的值域为 （3）把的图象上所有点向右平移个单位得到的图象；再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象， 再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到. 三角函数的图象 考点3 1．（2026·江西南昌·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图得求，再由求，进而得到解析式，即可求函数值. 【详解】由图知，则，得，由，则，，所以，则，故. 2．（2026·天津和平·一模）已知函数的导函数的部分图象如下图，记，则函数在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导后可表示出，利用图象结合三角函数性质可得、，再利用降幂公式可得，结合正弦函数性质即可得解. 【详解】，由图可得，则，故，解得，由图可得，解得， 又，则，故，， 则， 当时，，则，故. 3．（多选）（2026·山东德州·一模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据周期以及最值可得，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D. 【详解】由图可得，函数的最小正周期，又，所以， 则，由，得，， 解得，，又，所以，故A正确； 由上分析，得故，因为， 故函数的图象关于点对称，故B正确； 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为， 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为， ， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值， 需使，解得，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据图象可确定，判断A的真假；利用可验证B的真假；利用函数的平移变换结合诱导公式，可判断C的真假；利用换元法，结合函数图象可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】由题意：，， 又，所以，，故A错误； 对B：因为，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对C：将函数的图象向左平移个单位长度，可得： ，故C正确； 对D：，当时，. 设，，若要在上有两个不相等的实数根， 由下图可知： ，故D错误. 5．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】ACD 【分析】根据，结合的取值范围可求的值，判断B的真假；在此基础上，再根据可求的值，判断A的真假；求函数在区间上的零点，判断C的真假；将函数进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假. 【详解】因为，又，所以，故B错误； 因为， 由图可知，，所以，故A正确； 所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确； 将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确. 6．（多选）（2026·山西临汾·一模）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的零点之和为 D．函数的零点个数为11个 【答案】BCD 【分析】先由因式分解和余弦的二倍角公式求出函数解析式，根据函数图象得出函数的周期和所过的点，求出函数的两个参数，得到具体函数解析式，再根据余弦函数的对称轴，单调区间，零点、最值，逐项计算判断即可. 【详解】 . 由图象可知，，所以，即，解得. 所以，又图象经过点，且在处递增趋势， 所以，，解得，， 因为，所以.所以. 选项A：令，，则，， 即函数的对称轴为，，故不满足，A错误. 选项B：当时，， 又在上单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确. 选项C：令，即，，解得，， 又，所以或，零点之和为，故C正确. 选项D：函数定义域为. 令，则，易知，最小正周期为. 令，，， 在定义域上单调递增，所以大致图像如下： 由图可知，曲线与有11个交点，故D正确. 7．（多选）（2026·湖南邵阳·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数 D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】利用图像求出函数解析式,然后利用正弦型函数的图像与性质对选项进行逐一分析即可. 【详解】对于选项A,由图像可知振幅,所以.解得.将点代入，即,解得.所以.故A正确. 对于选项B,已知,即. ，所以.故B正确. 对于选项C,向左平移个单位.得.显然是奇函数不是偶函数.故C错误. 对于选项D,，令解得对称中心的横坐标.当时,.即的图像关于点对称.故选项D正确. 故选:ABD. 8．（多选）（2026·广东茂名·一模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．为的周期 B．是图象的对称中心 C．当时，的值域是 D．的单调递增区间是 【答案】BD 【分析】根据图象中两点距离求周期，进一步得出，代入特殊点坐标求，从而确定函数的解析式，再根据周期、对称中心性质、范围对应函数值范围、单调区间求法判断各选项对错. 【详解】对于A，由图象可知，，则，所以A选项错误， 对于B，又因为，所以，将点代入，可得，即，又因为，所以，解得，即， 因为，所以是图象的对称中心，所以B选项正确， 对于C，当时，，此时，所以，所以C选项错误， 对于D，令，，解得，，所以单调递增区间为，. 故选：BD. 9．（多选）（2026·宁夏银川·一模）若函数（，，）的部分图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．的对称轴为（） C．的单调递增区间为（） D．当时，的最小值为 【答案】AC 【详解】由图可知，，，则，即，则， 又函数过点，则，即，所以，则，又，则，即， 则，所以函数的最小正周期为，故A正确； 令，得，所以的对称轴为，故B错误； 令，得，所以的单调递增区间为（），故C正确；当时，，则， 所以，则的最小值为，故D错误. 10．（多选）（2026·山东烟台·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．是的一个周期 C． D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由图可知，所以，又，所以或， 从图象看，处函数处于上升阶段，即，又，所以，因为，所以，故，故A正确； 对于B，，处函数处于下降阶段，所以，解得，又，所以，所以，又，故，得，所以，所以，故B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，所以，所以，所以的最小值为，故D正确. 11．（2026·山东淄博·一模）若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的图象解不等式即可. 【详解】由图象得，，即，而，则，， 又，则，解得， 函数的最小正周期，由图象知，则，所以，， 由，得，则， 解得，即关于的不等式的解集为. 12．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数的解析式，再求函数的单调区间即可. （2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可. 【详解】（1）由图可得，， 所以，且，得，， 又因为，所以，所以. 又因为，，解得，， 所以在上的单调递增区间为. （2）因为，所以. 因为，所以，即，所以. 所以. 正（余）弦定理的基本应用 考点4 1．（2026·广西崇左·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理边角互化，结合余弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，则.因为，所以， 由余弦定理得，则. 2．（2026·河南焦作·一模）已知在中，，则的外接圆半径为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用余弦定理可求出，进而求出，再利用正弦定理即可求得答案. 【详解】由于在中，，故，即，故，结合，得， 故的外接圆半径为. 3．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， ,则， 即，则，即得, 由于，故，结合，可得，即一定为直角三角形， 4．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理角化边，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】 根据正弦定理，结合条件，可得： ，即.又已知，代入得：，因此.由余弦定理，代入， ，因此. 5．（2026·安徽马鞍山·一模）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定信息作出图形，利用余弦定理、正弦定理列式求解. 【详解】如图，在中，， 由余弦定理，得， 由正弦定理得. 故选：A 6．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中利用正弦定理求出，再利用即可求出. 【详解】在中利用正弦定理得，，即， 则，在中得，，则. 故选：D 7．（多选）（2026·四川内江·二模）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 【答案】ABD 【分析】利用条件化简判断A；根据正弦定理及三角恒等变换判断B；根据正弦定理求判断C；根据余弦定理求出中线长判断D. 【详解】因为，所以，即， 所以，由可知，即为钝角， 又，所以，又为锐角，所以，故A正确； 因为，由正弦定理可得， 所以， 由和差化积公式可得， 即，即， 由可得，所以或（舍去），即，故B正确； 由AB可知，，所以，故.因为，所以.由正弦定理，，即，解得，所以，故C错误；由可知，， 设边的中线长为，则， 所以，故D正确. 8．（2025·广东广州·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 【答案】 【分析】先由条件求出角，再由正弦定理即可解得的值. 【详解】因为，且，，所以， 由正弦定理可得，即，即，解得， 9．（2026·河北保定·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为________． 【答案】/ 【分析】使用余弦定理求的值，再使用三角形面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得，所以， 解得（舍去），所以，故. 10．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即，因为，所以． 11．（2026·山西晋城·一模）在中，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出及的余弦值，再根据两角和的余弦可求； （2）由正弦定理求得，再根据公式可求面积. 【详解】（1）（1）由，得， 此时，可得， 于是． （2）由，得， 在中由正弦定理得，可得， 故的面积． 12．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解． （2）由（1）知，，而， ，得为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）由余弦定理得，因为，所以. 由三角形面积公式得，又因为，所以， 所以，因为，所以. （2）由（1）知，，得， 而，得，又，得为等边三角形，得， 故. 13．（2026·内蒙古赤峰·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若的面积且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理的推论及可得； （2）由三角形的面积公式及正弦定理可求得，再根据余弦定理求得，即可得的周长． 【详解】（1）由，根据余弦定理，得， 化简得，即. 所以.因为，所以. （2）由正弦定理可得. 由三角形的面积公式可得，所以. 由（1）得，所以. 所以，所以. 所以的周长为． 14．（2026·河北邢台·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D在边BC上，且． (1)求的值； (2)若，求AD的长． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）通过正弦定理建立与的比例关系，结合已知的正弦比和边比求得比值； （2）由条件结合为中点求出边长，再通过余弦定理建立等量关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，设， 在中，由正弦定理得， 在中由正弦定理得， 因为，则， 所以. （2）由，， 可得，解得，所以， 由（1）知为的中点，， ， ， 因为，则， 即 ，解得. 15．（2026·河北唐山·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明：；(2)若，求A. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据二倍角公式可得，再结合正弦定理即可得结果； （2）利用余弦定理结合（1）中结论可得，代入整理可得，进而分析求解. 【详解】（1）因为，可得， 整理可得，由正弦定理可得. （2）因为，即， 则， 又因为，则，可得， 即，可得， 即，可得，且，则， 可得，解得. 16．（2026·贵州安顺·一模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A的大小； (2)若，，试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1) (2)等边三角形， 【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式可得，即可求解， （2）根据正弦的和差角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解的大小，进而可判断三角形为等边三角形，即可由面积公式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 整理得， 因为，故，又，故． （2）已知，则，故， ，即， 则，， 因为．则．故， 所以，是等边三角形．因此. 17．（2026·天津和平·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)已知． （i）若的外接圆半径为，，求的值； （ii）求的值． 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后结合两角差的正弦公式可得，；（i）利用同角三角函数基本关系可得，再利用正弦定理即可得，则可得、；（ii）利用三角形内角和与二倍角公式可得、，再利用两角和的余弦公式计算即可得. 【详解】（1）由，整理得， 由余弦定理，故； （2）由正弦定理可得，由，则， 即，所以，； （i）由，故， 由正弦定理可得，故，则，故； （ii）由可知，故，，由，， 故． 18．（2026·天津河西·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求A的值； (2)求的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可得求解， （2）根据余弦定理求解，即可由面积公式求解， （3）根据正弦定理求解，进而根据同角关系以及二倍角公式，最后由余弦的差角公式求解. 【详解】（1）已知，由正弦定理，得，所以， 因为得，由，故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理，则，即 解得（舍去），故， （3）由正弦定理，且，，， 得，且，则B为锐角， 故，故，且； 故． 19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解. 【详解】（1）因为，根据正弦定理得，. 因为，所以，所以， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，，将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，，所以，所以为以AB为斜边的直角三角形，所以斜边AB上的高为. 20．（2026·北京密云·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，的面积. 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）条件①，由的值得到的范围，结合的值得到这样的三角形不存在；条件②，由的值得到的范围，利用同角关系式求出，利用结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式求出；条件③，由利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用同角关系式求出，由结合两角和的正弦公式求出，利用三角形的面积公式求出. 【详解】（1），，，，. （2）条件①，，， ，，不符合题意，不存在这样的三角形； 条件②，，，，， ， ，，，，； 条件③， ，其中为的外接圆的半径， ，，，， ，，，，， ，， . 解三角形中的最值或范围问题 考点5 1．（2026·辽宁辽阳·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由，根据正弦定理得，， 则，在中，，则，即，又，则，又，则，所以，当且仅当时等号成立，则的最小值为6. 2．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，，所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以， 又，所以，，所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 3．（多选）（2026·辽宁抚顺·一模）在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 【答案】BCD 【分析】对A，利用正弦定理和三角恒等变换化简条件式得解；对B，由正弦定理求解判断；对C，根据余弦定理结合基本不等式和三角形面积公式求解；对D，由题结合余弦定理求出，利用三角形面积关系，求出答案. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即，则， 又，所以，解得，故，故A错误； 对于B，因为，外接圆的半径，所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由结合，解得， 由，即，解得，故D正确. 4．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 【详解】由，，得， 由余弦定理得，整理得. 设的内切圆半径为，则，所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故，所以的内切圆面积的最大值为. 5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在中，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理边化角整理可得，然后结合和差公式、基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，整理得，由正弦定理边化角得， 若，则，不满足题意，故. 又， 所以，整理得， 则， 易知，若，则，不合题意；当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为. 6．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 【答案】 【分析】先将的面积拆分为和的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，利用正弦定理表示出两个三角形的面积，对面积的表达式利用三角函数的相关公式化简，再借助三角函数的性质求最值，进而得到此时的. 【详解】的面积，由内角和得：， 对和分别用正弦定理，结合得： ，又，因此：， 展开化简得：， 代入整理得： 最小等价于二次函数（）最大， 开口向下的二次函数顶点在，即，因此. 7．（2026·山东青岛·一模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 【答案】/ 【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出，再换元应用判别式法结合一元二次不等式计算求解最小值即可. 【详解】因为，而， 由正弦定理得， 所以.又因为， 设，，所以.又， 所以，所以，即， 设，所以，即有解， 所以，解得. 若，则与中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故.即有，所以，故的最小值为. 8．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得，， 即，当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即，当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设，则有，解得， ，即，当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 9．（2026·山西临汾·一模）2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为，则机器人行走2min时距原点的最远距离是________m，最近距离是________m. 【答案】 30 【分析】借助余弦定理可用与表示出，再利用二次函数性质与三角函数有界性即可得最大最小值. 【详解】设改变方向的地点为M，终点为P，由于， 所以，，，， 由余弦定理得 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可知当时， 取得最小值； 由，则，， 结合二次函数的性质可知当或时， 取得最大值； 综上所述，，最远距离是，最近距离是. 10．（2026·广东中山·一模）如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求； (2)求平面四边形面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解. （2）利用正弦定理及三角形面积公式列式，再利用和角的正弦及二倍角的正弦公式化简，借助正弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）由，得，而， 则，，由，得，，则，，在中，由正弦定理得，所以. （2）由（1）知，设， 在中，由正弦定理得， 则，又， 因此四边形的面积 ，由，得， 因此，即， 所以四边形面积的取值范围是. 11．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值； （2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值. 【详解】（1）由，得， 所以由余弦定理，得，因为中，，所以， ，所以. （2）由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以的面积， 即的面积的最大值为. 12．（2026·河北石家庄·一模）已知中，内角的对边分别为，且满足. (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)，等边三角形 【分析】（1）利用正弦定理导出； （2）用余弦定理结合基本不等式可求出角最大值，再根据等号成立条件判断三角形形状. 【详解】（1）中，由正弦定理得 （2）中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，的最大值为，此时基本不等式等号成立，即， 为等边三角形. 13．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以，所以， 所以或，所以或（舍去）所以； （2）由，所以， 又，所以，又，所以， 又由为的平分线，所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以，又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 14．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差中项的性质及正弦边角关系有、，再应用余弦定理求； （2）由（1）及正弦定理求出外接圆的半径，结合求边长的范围. 【详解】（1）因为成等差数列，所以，又，所以． 设，则，则． （2）由（1）得，则外接圆的半径， 则，则，，则的取值范围为． 15．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则，即，所以， 在中，由余弦定理得，即； （2）由，得， 得，化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 16．（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到，得到，结合向量的运算法则和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得，所以， 又因为，可得， 所以，所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. （2）因为为边上，满足， 所以，所以，所以， 所以，即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以，即的面积最大值为. 17．（2026·江苏镇江·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据及三角恒等变换即可求解； （2）根据题意可得恒成立，利用三角形面积公式及余弦定理可将右式化为，利用基本不等式求出最大值即可求出答案. 【详解】（1）由，由正弦定理得，， 又， 所以，即， 又因为，所以，所以，又，所以. （2）恒成立，即恒成立，即求的最大值， 由余弦定理得， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以，所以实数的最小值为. 18．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值；最小值4 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）由题意得，所以①。又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵，又， ∴∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”，所以的最大值，最小值4． 正（余）弦定理正与向量、函数等知识的交汇 考点6 1．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解. 【详解】，，，， ，，，， ，，， ， ， ， ，，，， 在中，，，， ，， ，，，，， 是边上一点，. 2．（2026·山东滨州·一模）在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得，再根据余弦定理求得的长. 【详解】因为，所以由正弦定理， 得，所以.因为，所以. 所以，即.又，所以， 整理得，，即 因为，所以，所以.所以，所以. 由余弦定理， 得，解得.因为，所以. 3．（2026·河南南阳·一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．周长取值范围为 D．若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 【答案】ABD 【分析】AB利用正弦定理边角互化即可；C利用正弦定理将周长用来表示，求关于的函数的取值范围；D利用正弦定理将面积差用来表示，求关于的函数的取值范围. 【详解】由题意得，， 则由正弦定理得， 因为，所以，则，则，故A正确； 因为，所以， 则，因为，所以，故B正确； 由，即，得， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得，则， 因为，所以， 则，故， 故周长取值范围为，故C错误； 设的外接圆半径为，，则，则， 故和面积之差为 ， 因为，所以，则， 故当时，；当时，当时， 故和面积之差的取值范围为，故D正确. 4．（2026·广东汕头·一模）中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 【答案】/ 【分析】，利用等腰三角形的性质和正弦定理可得，结合三角变换公式可得，构建新函数，其中，根据该函数单调性可求. 【详解】 不妨设，因为，故，所以， 故，设，则， 在中，由正弦定理有 ， 所以， 所以即， 设，其中， 因为，，故在上为减函数， 而在上为减函数，故在上为减函数， 而，故有唯一解，故 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______． 【答案】 【分析】利用圆内接四边形对角互补，把四边形分成两个三角形利用余弦定理求解，利用三角形面积公式只需求对角的正弦值即可. 【详解】如图连接，因为四边形为圆的内接四边形，所以， 在中，，，有， 在中，，，有 , 所以，又，解得， 所以， 则， 即. 6．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. （2）因为，所以，即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）.故. 7．（2026·宁夏银川·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 【答案】(1) (2); 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得； （2）由向量数量积的定义求出，利用余弦定理与基本不等式即可求得的最小值，根据三角形面积公式求其面积. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则. （2）由化简得， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为. 8．（2026·福建龙岩·一模）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】（1）， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）因为，又为的内角，则 故，所以，所以.设角所对边分别为， 因为，由正弦定理得.①，因为三角形的面积为，所以.② 由①②解得：，由余弦定理得，所以. 9．（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，由得，结合正弦定理即可求解； （2）设，则，设，则，由正弦定理化简可得，结合二倍角公式解得，求出，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 即，即， 由得，，即，进而由正弦定理得； （2）因为，所以， 设，则由题意，设，则， 则由正弦定理得，消去x得， 所以，又，所以，所以，所以， 由余弦定理得，所以. 10．（2026·四川广安·一模）在中，角的对边分别为，若． (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，和差角公式以及辅助角公式即可求解； （2）利用三角形的内角和关系，结合正弦定理解三角形，即可求得. 【详解】（1）由和正弦定理，得， 因，则，即， 代入化简得， 则，，解得. （2）令，，在中，由正弦定理得，， 因，则①. 在中，由正弦定理得，, 因,则②, 由①②得，,即， 因为，则得，解得，， 设外接圆的半径，由正弦定理，. 11．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式. （2）由（1）求出，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解. 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 12．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理可证明结论. （2）设，利用正弦定理，结合三角形的面积公式，用表示出的面积，再利用导数求面积的取值范围. 【详解】（1）在中，， 在中，， 因为，所以，且， 所以. （2）在中，设 ，. 所以或，， 所有由三角形内角和可得. 所以 设，， 设，则， 所以在上单调递增, 所以， 所以面积的取值范围为. 13．（2026·河北承德·一模）已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且． (1)求角； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件边角互化，得到关系，代入面积公式求解； （2）设，将表示出来，化简求最值. 【详解】（1）由，，得， 即，即， 所以，故，因为， 所以，故在中，，因为，所以． （2）不妨设点靠近点，，设， 则在中，， 在中，， ， 设，则，故， 因为函数在上单调递减，所以时，，故的最小值为2． 14．（2026·山西临汾·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B； (2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切化弦和两角和的正弦公式化简即可求出； （2）利用余弦定理将目标转化为，再结合正弦定理边角互化即可，再结合三角函数的值域求出；或直接利用正弦定理边角互化，结合三角函数的值域求出. 【详解】（1）由题可得， 即 因为，，所以，即，因为，所以. （2）解法一：，， 由余弦定理可得：，即. 所以，即. ，由正弦定理可得，，， 则 因为，，所以，所以，所以 解法二：由正弦定理可得，，， 则 ，因为，，所以， 所以， 所以. 15．（2026·河北承德·一模）已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且． (1)求角； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件边角互化，得到关系，代入面积公式求解； （2）设，将表示出来，化简求最值. 【详解】（1）由，，得， 即，即， 所以，故，因为， 所以，故在中，，因为，所以． （2）不妨设点靠近点，，设， 则在中，， 在中，， ， 设，则，故， 因为函数在上单调递减，所以时，，故的最小值为2． 2 / 68 $ 专题05 三角函数与解三角形 6大考点概览 题型01 三角函数化简与求值 题型02 三角函数的性质 题型03 三角函数的图象 题型04 正（余）弦定理的基本应用 题型05 解三角形中的最值问题 题型06 正（余）弦定理与向量、函数等知识的交汇 ( 三角函数化简与求值 考点1 ) 1．（2026·湖北黄冈·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古赤峰·一模）若，则（   ） A． B． C． D．3 5．（2026·辽宁抚顺·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南南阳·一模）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 7．（2026·山西大同·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北邢台·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·青海西宁·一模）已知是第二象限角，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·河北衡水·一模）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·广东中山·一模）若，是第三象限角，且，，则（   ） A． B．0 C． D．1 13．（2026·山东临沂·一模）已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·湖南邵阳·二模）已知，则______. 15．（2026·湖北襄阳·一模）已知，若，且，则_______． 16．（2026·河北保定·一模）已知，则________. 17．（2026·山西晋城·一模）若，则__________． 18．（2026·陕西商洛·一模）已知，且，则___________． 19．（2026·河北张家口·一模）已知锐角满足，则的值为______． ( 三角函数的性质 考点 2 ) 1．（2026·山西晋城·一模）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）当时，函数取得最大值，则的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北黄冈·一模）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南南阳·一模）已知函数的周期为，值域为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（2026·湖北恩施·二模）已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北保定·一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山东济宁·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 10．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河北邢台·一模）若函数的最大值为3，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 12．（2026·安徽安庆·一模）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·内蒙古赤峰·一模）函数的图象过点，该函数图象在轴右侧的第一个对称中心为，且为一条对称轴，下列有关函数正确的表述是（   ） A． B．图象的对称轴为 C．图象的对称中心为 D．在上的最大值为 14．（2026·陕西商洛·一模）已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（2026·湖北黄石·一模）已知函数，则下列命题正确的有（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的最大值是2 C．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则 D．是函数的单调递减区间 16．（多选）（2026·重庆·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若在上恰有三个零点，则 B．若在上恰有三个零点，则 C．若在单调递增，则 D．若向左平移后的图象与图象关于对称，则 17．（多选）（2026·广东梅州·一模）关于函数，以下结论正确的有（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点 18．（2026·辽宁大连·一模）已知函数，当时，的最小值为． (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间． 19．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. ( 三角函数的 图象 考点 3 ) 1．（2026·江西南昌·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津和平·一模）已知函数的导函数的部分图象如下图，记，则函数在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·山东德州·一模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 4．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 5．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 6．（多选）（2026·山西临汾·一模）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的零点之和为 D．函数的零点个数为11个 7．（多选）（2026·湖南邵阳·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数 D．若函数的导函数为，则的图象关于点对称 8．（多选）（2026·广东茂名·一模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．为的周期 B．是图象的对称中心 C．当时，的值域是 D．的单调递增区间是 9．（多选）（2026·宁夏银川·一模）若函数（，，）的部分图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．的对称轴为（） C．的单调递增区间为（） D．当时，的最小值为 10．（多选）（2026·山东烟台·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．是的一个周期 C． D．当时，的最小值为 11．（2026·山东淄博·一模）若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 12．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. ( 正（余）弦定理的基本应用 考点 4 ) 1．（2026·广西崇左·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南焦作·一模）已知在中，，则的外接圆半径为（   ） A．2 B． C． D．3 3．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 4．（2026·北京延庆·一模）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽马鞍山·一模）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·四川内江·二模）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 8．（2025·广东广州·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 9．（2026·河北保定·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为________． 10．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 11．（2026·山西晋城·一模）在中，． (1)求； (2)若，求的面积． 12．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 13．（2026·内蒙古赤峰·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若的面积且，求的周长． 14．（2026·河北邢台·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D在边BC上，且． (1)求的值； (2)若，求AD的长． 15．（2026·河北唐山·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明：；(2)若，求A. 16．（2026·贵州安顺·一模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A的大小； (2)若，，试判断的形状，并求的面积． 17．（2026·天津和平·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)已知． （i）若的外接圆半径为，，求的值； （ii）求的值． 18．（2026·天津河西·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求A的值； (2)求的面积； (3)求的值． 19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 20．（2026·北京密云·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. ( 解三角形中的最值或范围问题 考点 5 ) 1．（2026·辽宁辽阳·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（   ） A．3 B． C．6 D． 2．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．（多选）（2026·辽宁抚顺·一模）在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 4．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在中，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 7．（2026·山东青岛·一模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 8．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 9．（2026·山西临汾·一模）2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为，则机器人行走2min时距原点的最远距离是________m，最近距离是________m. 10．（2026·广东中山·一模）如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求； (2)求平面四边形面积的取值范围． 11．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 12．（2026·河北石家庄·一模）已知中，内角的对边分别为，且满足. (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状. 13．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 14．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 15．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 16．（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 17．（2026·江苏镇江·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 18．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． ( 正（余）弦定理正与向量、函数等知识的交汇 考点 6 ) 1．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东滨州·一模）在中，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南南阳·一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．周长取值范围为 D．若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 4．（2026·广东汕头·一模）中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______． 6．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 7．（2026·宁夏银川·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 8．（2026·福建龙岩·一模）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 9．（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 10．（2026·四川广安·一模）在中，角的对边分别为，若． (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径． 11．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 12．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围． 13．（2026·河北承德·一模）已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且． (1)求角； (2)求的最小值． 14．（2026·山西临汾·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B； (2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围. 15．（2026·河北承德·一模）已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且． (1)求角； (2)求的最小值． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $