专题06 数列（6大考点）（全国通用）2026年高考数学一模分类汇编

专题06 数列 6大考点概览 题型01 数列的递推公式 题型02 等差数列及其性质 题型03 等比数列及其性质 题型04 数列的前n项和 题型05 数列与概率等知识的交汇问题 题型06数列中的新定义问题 ( 数列的递推公式 考点1 ) 1．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 2．（2026·北京密云·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A．35 B．11 C． D． 3．（2026·山东德州·一模）数列中，，对，有，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2026·四川宜宾·一模）已知数列满足对任意的，都有．若，则（   ） A．8 B．18 C．20 D．27 5．（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 7．（2026·江西赣州·一模）已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026·青海西宁·一模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 9．（多选）（2026·河北承德·一模）已知数列满足，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列中存在最小项 10．（多选）（2026·福建泉州·一模）数列中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）记数列的前项和为，若，且，则（   ） A． B．是等差数列 C． D．当时，有最小值 12．（多选）（2026·山东青岛·一模）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 13．（多选）（2026·福建龙岩·一模）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列不是单调数列 C．数列中存在不同的两项，使是这两项的等比中项 D．记数列，则数列的前2026项的和为4052 14．（多选）（2026·湖南怀化·一模）已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列的前项和大于4 D．数列为单调递减数列 15．（多选）（2026·广东佛山·一模）已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（   ） A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 16．（2026·山东德州·一模）已知数列满足，且，则（    ） A．存在唯一的实数，使得为常数列 B．当时，为递减数列 C．当时，的取值范围为 D．当时，前项和为，则 17．（2026·湖北荆州·一模）已知数列满足，则＝______. 18．（2026·山西朔州·一模）已知数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为__________. ( 等差 （ 比 ） 数列及其性质 考点2 ) 1．（2026·山西晋城·一模）已知等差数列的公差为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 3．（2026·甘肃兰州·一模）为等差数列的前项和.若，则公差（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 5．（2026·内蒙古赤峰·一模）为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 6．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 7．（2026·山东青岛·一模）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北唐山·一模）记为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．5 9．（2026·山东青岛·一模）已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南南阳·一模）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．5 B．6 C．2025 D．2026 11．（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）古巴比伦泥板（大英博物馆藏K90泥板）上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即份；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第10天可见部分占满月的（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（2026·广东中山·一模）数列是等比数列，公比，其前项和为，则（   ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 14．（2026·河北石家庄·一模）已知数列满足，当时，，若数列中存在连续5项构成等差数列，则的最小值是______. 15．（2026·山东滨州·一模）已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． 16．（2026·广东深圳·一模）已知等差数列的前项和为，且，，则______. 17．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． ( 等 比 数列及其性质 考点 3 ) 1．（2026·青海西宁·一模）在等比数列中，，，则的公比为（   ） A． B． C． D．3 2．（2026·河北石家庄·一模）已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 3．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 4．（2026·湖北黄石·一模）已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（    ） A．1或2 B．1或4 C．2或4 D．4 5．（2026·贵州安顺·一模）记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（2026·陕西铜川·一模）已知为等比数列，而且（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·河北唐山·一模）已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 8．（多选）（2026·河北保定·一模）已知等比数列的公比为，前项和为,,.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 10．（2026·重庆·一模）已知是等比数列的前项和，，则__________． 11．（2026·四川宜宾·一模）等比数列的前n项和为，若，，则________． 12．（2026·湖北襄阳·一模）已知等比数列满足，，则_______． 13．（2026·广东佛山·一模）记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 14．（2026·宁夏银川·一模）在等比数列中，，，，若数列的前项和，则______. 15．（2026·湖南邵阳·一模）设等比数列的前项和为，若，，则___________． 16．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． ( 数列的前n项和 考点 4 ) 1．（2026·山东威海·一模）已知数列的前项和为，且，则（   ） A．65 B．105 C．210 D．230 2．（2026·山东东营·一模）已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （    ） A．30 B．60 C．90 D．120 3．（2026·湖北襄阳·一模）已知数列为等差数列，首项（m为整数），公差，前项和，则满足题意的的所有取值的和为（   ） A．3720 B．4320 C．2940 D．1736 4．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前n项和为，且点，，在直线上，则______． 5．（2026·河北承德·一模）设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 6．（2026·北京平谷·一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______． 7．（2026·福建泉州·一模）将10个数从小到大排列，若这列数成等差数列，且所有奇数项的和为30，所有偶数项的和为40，则这列数的中位数等于__________. 8．（2026·山东烟台·一模）已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则的前项和的最大值为___________． 9．（2026·山东聊城·一模）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 10．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 11．（2026·河北衡水·一模）已知集合中元素的个数为. (1)若，，求. (2)若，均为等差数列且，，，证明：也为等差数列. (3)若，，且，求数列的前项和. 12．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 13．（2026·山西临汾·一模）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 14．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 15．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 16．（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 17．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 18．（2026·天津河西·一模）已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，． (1)求、的通项公式； (2)求； (3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． ( 数列与 函数 等知识的交汇问题 考点 5 ) 1．（2026·福建泉州·一模）已知，，成等差数列，，，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 3．（多选）（2026·河北张家口·一模）若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·一模）若方程的三个根成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D．3 6．（2026·贵州安顺·一模）已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·山西晋城·一模）记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C．设，则 D．设，则 8．（多选）（2026·山东东营·一模）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递增数列 B．， C． D． 9．（2026·江西赣州·一模）一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现2次向后运动的概率为，则的值为__________. 10．（2026·甘肃兰州·一模）已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：. 11．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． (1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； (2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若，则． ( 数列中的新定义问题 考点 6 ) 1．（2026·江西·一模）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列为二阶等差数列，且，则（   ） A．35 B．36 C．37 D．38 2．（2026·天津和平·一模）已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·山东菏泽·一模）已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余两项的积，则称该子列为数列的“”子列.则下列说法正确的有（    ） A．数列的所有“”子列的个数为4 B．若，则数列不存在“”子列 C．数列的所有“”子列的个数为 D．若是公差为的等差数列，，则存在“”子列的充要条件是或 4．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“友好数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“超越友好数列”，下列说法正确的是（   ） A．若数列满足，且前n项和为，则数列为“友好数列” B．若数列满足，，且数列为“超越友好数列”，则 C．若数列为“超越友好数列”，且，则数列没有最小项 D．若数列为“友好数列”，则对于任意的，当时，总有成立 5．（2025·山东青岛·一模）设是关于x的方程的正实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西榆林·一模）已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 7．（2026·山东淄博·一模）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________. 8．（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. 9．（2026·江苏扬州·一模）定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 10．已知数列满足，则___________；记数列的前项和为，则___________． 11．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 12．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 6大考点概览 题型01 数列的递推公式 题型02 等差数列及其性质 题型03 等比数列及其性质 题型04 数列的前n项和 题型05 数列与概率等知识的交汇问题 题型06数列中的新定义问题 ( 数列的递推公式 考点1 ) 1．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：，令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2.又因为，所以， 所以. 2．（2026·北京密云·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A．35 B．11 C． D． 【答案】C 【详解】因为，即，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，则，所以. 3．（2026·山东德州·一模）数列中，，对，有，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先根据求证为等差数列，再根据等差数列求和公式列等式求解即可． 【详解】令 ，可得，则是首项，公差的等差数列， 通项公式为， ，解得． 4．（2026·四川宜宾·一模）已知数列满足对任意的，都有．若，则（   ） A．8 B．18 C．20 D．27 【答案】C 【分析】根据题意，分别令和求得，，再求和即可. 【详解】因为数列满足对任意的，都有，，所以，当时，，解得；当时，，解得；所以 5．（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反证法验证D选项不成立，通过举反例验证A,B,C选项. 【详解】因为是递增数列，所以．又，所以， 则．若，则，则． 由，得，即，矛盾，故满足的关系式不可能为． 取，则，满足是递增数列，此时，．取，，则，满足是递增数列，此时． 6．（多选）（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以，因为为奇数， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以，又因为为奇数，，所以，所以， 所以 ，故C错误； 对于D，数列的前项的和为， 所以 ，故D正确. 7．（2026·江西赣州·一模）已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系得到另一个式子，作差可求出，根据可推出，累乘法可求出数列的通项公式，再通过数列的递推关系得到另一个式子，作商可得到的通项公式，进而求解，要注意所求式子对的限制. 【详解】因为，①，所以，（若，则，从而得，与矛盾），当时，，② ①②得，移项得，所以.由得，解得，所以，所以， 而也满足上式，所以数列的通项公式为.因为，③ 所以当时，，④，由指数函数的性质知③，④式等号左右两侧都是正数， 所以③④得，即. 当时，由得，又所以， 所以均满足，所以数列的通项公式为，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以. 8．（多选）（2026·青海西宁·一模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 【答案】AC 【详解】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 因为当时，，所以若为等差数列，则的公差为2，故B错误； 若，则，当时，，所以，，，又当时，，所以当且仅当时取得最小值，故C正确； 当时，，故数列为递增数列等价于对任意的，恒成立，即，可得，故D错误． 9．（多选）（2026·河北承德·一模）已知数列满足，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列中存在最小项 【答案】ABC 【分析】根据数列的递推公式，利用构造法可得，从而数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式利用分组求和法得，可判断ABC；利用数列的单调性判断D. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得，所以，又，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确； 由B选项分析可得，所以， 所以 ，故C正确； 由C选项分析可得，所以， 所以恒成立，所以数列为单调递减数列，所以数列中不存在最小项，故D错误． 10．（多选）（2026·福建泉州·一模）数列中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】对于AB，先根据已知条件判断数列的类型，再根据等差数列和等比数列的定义求解通项公式；对于CD，利用数列的递推式构造等比数列，写出其通项公式，代入计算即得. 【详解】对于A选项，由题意可得，即，又，所以数列是首项为1公差为2的等差数列，所以，A正确； 对于B选项，由题意可得，，所以数列为等比数列，其首项为，公比为，所以，B错误； 对于C选项，由题意可得，可得，，所以数列为等比数列，其首项为，公比为，所以，所以， 所以，C错误； 对于D选项，由题意可得，可得，，所以数列为等比数列，其首项为，公比为，所以，所以，D正确. 11．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）记数列的前项和为，若，且，则（   ） A． B．是等差数列 C． D．当时，有最小值 【答案】AB 【分析】利用与的关系，得到（），结合已知条件判断数列为等差数列，求出通项公式及前项和，即可判断选项A、B、C，结合数列的函数性质即可判断选项D. 【详解】选项A：当时，，，故A正确. 选项B：当时，， 则，即（），又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确. 选项C：由B知，，，故C错误. 选项D：由C知，，因为，所以当或时，取最小值，故D错误. 12．（多选）（2026·山东青岛·一模）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由和的关系求出数列为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用，求出，故选项C错误，由，应用等差数列求和公式计算选项D正确. 【详解】由题意，当时，，解得.当时，， 所以，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，，故选项A错误，选项B正确；所以，故选项C错误；， 故选项D正确. 13．（多选）（2026·福建龙岩·一模）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列不是单调数列 C．数列中存在不同的两项，使是这两项的等比中项 D．记数列，则数列的前2026项的和为4052 【答案】AC 【分析】对A，根据等差数列的定义，验证是否为常数来判断；对B，先求出数列的通项，再通过判断的符号，或比较相邻项的大小关系来确定单调性；对C，假设存在不同两项，根据等比中项的定义列出等式，结合通项公式分析是否存在正整数满足等式；对D，先根据的通项公式化简，分析的周期性，再利用周期性计算前2026项的和. 【详解】对于A：首先根据数列前项和求通项公式： 当时，； 当时，，对也成立，因此通项公式为，（常数），因此是首项为2、公差为2的等差数列，A正确；对于B：设，判断单调性： 对所有成立，因此是单调递减数列，B错误； 对于C：，若存在不同两项使得，则 ，存在正整数解（），满足条件，C正确； 对于D：化简： ，设的前项和为，下求前2026项和： 分组得，共1013组，每组和为2，总和，D错误. 14．（多选）（2026·湖南怀化·一模）已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列的前项和大于4 D．数列为单调递减数列 【答案】ABD 【分析】代入计算可判断A；根据等差数列定义计算可判断B；根据裂项相消法计算可判断C；根据作商法计算可判断D. 【详解】因为，所以， 对于A，由题意可得，因为，所以，故A正确； 对于B，由等差数列定义可知，数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B可知，，， 则，设数列的前项和为，则 ，所以数列的前项和小于4，故C错误； 对于D，因为，所以，因为， 所以，则数列为单调递减数列，故D正确. 15．（多选）（2026·广东佛山·一模）已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（   ） A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 【答案】ABC 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，．由此为基础，可分析A；依次分析，判断B；利用累加法，可得的最小值，判断C；分析，判断D. 【详解】当为奇数时，有，即； 当为偶数时，有，即．所以若，， 则当为奇数时，； 当为偶数时，．所以数列为递增数列，所以正确. 由题可知，，，，所以，，.所以的最小值为.所以B正确. 由A项分析知，当为奇数时，；当为偶数时，． 所以，，， ，……，.累加得， 所以.所以C正确.若，结合C分析得，当为奇数时， ， 所以 即.，所以D不正确. 16．（多选）（2026·山东德州·一模）已知数列满足，且，则（    ） A．存在唯一的实数，使得为常数列 B．当时，为递减数列 C．当时，的取值范围为 D．当时，前项和为，则 【答案】BCD 【详解】对于A.由条件可知，，若，则，为常数列， 若，则，为常数列，故A错误； 对于B.因为，当时，，所以，由可知，对所有，都有，两边取以10为底的对数， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，，因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确； 对于C.，，因为恒成立，所以，得，故C正确； 对于D.当时，，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，，，而数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以前项和为，所以，故D正确. 17．（2026·湖北荆州·一模）已知数列满足，则＝______. 【答案】 【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解. 【详解】， ，，，，， ，. 18．（2026·山西朔州·一模）已知数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为__________. 【答案】49 【分析】对递推公式取倒数，结合等差数列的定义求出通项公式，进而求出的表达式，接着由题设不等式得到的的最小值即为所求，利用放缩法求得和即可得解. 【详解】由知，，所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，则， 所以.则满足的的最小值， 即满足的的最小值. 令，易知为单调递减函数. 又，令，解得. 因为， 当时， ，所以. 当时， ， 所以.因此满足不等式的的最小值为49. ( 等差 （ 比 ） 数列及其性质 考点2 ) 1．（2026·山西晋城·一模）已知等差数列的公差为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由，得，得，故． 2．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，， 则. 3．（2026·甘肃兰州·一模）为等差数列的前项和.若，则公差（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，由，则，解得：. 4．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，， 则. 5．（2026·内蒙古赤峰·一模）为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】由，得，即，即，所以， 又，由等差数列的性质得，解得. 6．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，所以成等差数列. 所以，即. 7．（2026·山东青岛·一模）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列性质可得，结合条件可求，再由等差数列求和公式及性质可得，由此可求结论. 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以， 所以，所以． 8．（2026·河北唐山·一模）记为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．5 【答案】A 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 9．（2026·山东青岛·一模）已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式结合等差中项的性质求出，再结合已知条件，利用基本不等式求的最大值． 【详解】由题意得，解得，由等差中项的性质可得，解得，，由题意知，根据基本不等式，当且仅当时等号成立，的最大值为． 10．（2026·河南南阳·一模）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．5 B．6 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式及二次函数的性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，，. 所以，所以. .当取得最小值时，，此时. 11．（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得. 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则，所以， 则取得最大值时对应，即，因为，，且，在开口向下的抛物线上，所以成立的最大，即，故. 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）古巴比伦泥板（大英博物馆藏K90泥板）上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即份；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第10天可见部分占满月的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意列方程并结合均为正整数，求出的值，由此可求出，即可求得答案. 【详解】由题知，，即， 所以，因为均为正整数，当时，， 当时，，满足；当时，， 所以，此时月球被太阳照亮部分占满月的. 13．（多选）（2026·广东中山·一模）数列是等比数列，公比，其前项和为，则（   ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，时，为递减数列，故A错误； 对于B，若，，，，成等比数列，则，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，即， 即，即，即，所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，，，成等差数列，所以，即，所以，即，即， 所以，所以，，成等差数列，故D正确. 14．（2026·河北石家庄·一模）已知数列满足，当时，，若数列中存在连续5项构成等差数列，则的最小值是______. 【答案】2 【分析】根据给定条件，正整数从1开始取值，结合等差数列性质依次计算确定的最小值. 【详解】依题意，，当时，数列成等差数列， 则，由，得，则与矛盾， 因此，当时，数列成等差数列， 且，则， 而，，因此，此时，公差， ，，符合题意，所以的最小值为2. 15．（2026·山东滨州·一模）已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． 【答案】/ 【分析】由已知比例关系解出等差数列首项与公差的关系，代入所求表达式化简即可 【详解】因为是等差数列，且，设的公差为，则有，整理得，经验证，则成立，， 则. 16．（2026·广东深圳·一模）已知等差数列的前项和为，且，，则______. 【答案】14 【分析】解法一：因为，且为等差数列，可以得到，求解即可. 解法二：因为为等差数列，所以为等差数列，设，则，，三项成等差数列，再通过等差中项的性质求解即可. 【详解】因为，且，则，于是，则，. 解法2  由于为等差数列，设，则，，三项成等差数列，于是，则，，. 17．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）令，结合条件化简计算得，即可证明； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ，所以， 且，则，所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . ( 等 比 数列及其性质 考点 3 ) 1．（2026·青海西宁·一模）在等比数列中，，，则的公比为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】设的公比为q，由题意，得，解得，所以的公比为3． 2．（2026·河北石家庄·一模）已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】由前项和的定义及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，，所以，即，解得或，又因为，所以. 3．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有，即， 由，，成等比数列，则，即，化简得， 由，则，即有，解得，故. 4．（2026·湖北黄石·一模）已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（    ） A．1或2 B．1或4 C．2或4 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列的前n项和公式，分和两种情况计算可得. 【详解】设等比数列的公比为, 当公比时 等比数列前项和，因此，满足. 此时； 当公比时 等比数列前项和公式为，代入得： ,整理得，令，则,解得（对应舍去）或， 因此.综上所述，或. 5．（2026·贵州安顺·一模）记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】由等差数列的基本量表示与等比中项概念列方程组求出首项和公差，写出通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则由题可得，即，解得，所以，故选：A. 6．（2026·陕西铜川·一模）已知为等比数列，而且（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式的基本量运算求出公比和，即可求的值. 【详解】设等比数列的公比为.由可得，又，所以. 又由可得解得.所以.故选：D 7．（多选）（2026·河北唐山·一模）已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，是递减数列，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D错误. 8．（多选）（2026·河北保定·一模）已知等比数列的公比为，前项和为,,.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先根据条件确定等比数列的公比和通项公式，可判断ABC的真假，再利用等比数列的求和公式，可判断D的真假. 【详解】由，所以.故B正确； 因为，故A错误；因为，故C正确； 因为，，所以，故D错误. 9．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列性质求得，然后结合求得，再求出公比后可得通项公式及前项和，然后判断各选项． 【详解】选项A，由等比数列性质得，由，解得或， 若，则，不合题意，若，则，满足题意，A正确；选项B，由选项A得，，等比数列的通项公式应为形式，因此不是等比数列，B错； 选项C，由选项B得，，C正确；选项D，由上知，， ，所以数列是公差为的等差数列，D错． 10．（2026·重庆·一模）已知是等比数列的前项和，，则__________． 【答案】381 【详解】由题知，，且 因为成等比数列，该等比数列的首项为3，公比为2，则. 11．（2026·四川宜宾·一模）等比数列的前n项和为，若，，则________． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，当时，由， 由，这与相矛盾，所以不成立， 当时，， . 12．（2026·湖北襄阳·一模）已知等比数列满足，，则_______． 【答案】2 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得， 又，所以，故，故，其中为公比. 13．（2026·广东佛山·一模）记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 【答案】 【分析】设出公比，根据题意得到，化简得到，从而求出公比. 【详解】设公比为，由题意得，即， 所以，故，又，解得. 14．（2026·宁夏银川·一模）在等比数列中，，，，若数列的前项和，则______. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以由，所以，因为， 所以. 15．（2026·湖南邵阳·一模）设等比数列的前项和为，若，，则___________． 【答案】 【分析】求出等比数列的公比，利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，故， 所以. 16．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及能成立求参数的最大值. 【详解】（1）令，则，于是，结合已知有， 所以，即．因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列．即数列为等比数列． （2）由（1）知，，则， 则， 令，整理得，而在上单调递增， 且，所以，的最大值为． ( 数列的前n项和 考点 4 ) 1．（2026·山东威海·一模）已知数列的前项和为，且，则（   ） A．65 B．105 C．210 D．230 【答案】B 【分析】根据题意证明数列为等差数列，公差为，首项为，进而求得通项公式，再计算对应项并求和即可. 【详解】因为，所以，即，又因为，所以，，所以，即数列为等差数列，公差为，首项为，所以，，所以，，，，， 所以故选：B. 2．（2026·山东东营·一模）已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【分析】先应用等差数列项的性质计算得出，再结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为是等差数列，且 ，又 ，所以，解得，则. 3．（2026·湖北襄阳·一模）已知数列为等差数列，首项（m为整数），公差，前项和，则满足题意的的所有取值的和为（   ） A．3720 B．4320 C．2940 D．1736 【答案】D 【分析】通过等差数列前项和公式，的取值是700的因数求解. 【详解】，， 所以n的取值为的所有因数，所以所求和为． 故选D 4．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前n项和为，且点，，在直线上，则______． 【答案】 【分析】由题意得到，通过作差法即可求解. 【详解】因为点在直线上，因此得关系： ，当时，，解得，当时，可得，两式相减得 ，化简得，因此是首项为公比为的等比数列，所以，. 5．（2026·河北承德·一模）设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 【答案】392 【分析】由题可得，，令，解得，，利用分组求和即可求解. 【详解】由得，即，又， 所以，同理得， 由得，令，则，且， 所以，所以， 所以，则 ． 6．（2026·北京平谷·一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______． 【答案】 144 1073 【分析】先利用和前项求出前项等比数列的公比，再利用和求出后项等差数列的公差，进而分别计算出及数列各项的和. 【详解】设前项构成的等比数列公比为，则，即，解得； 设后项构成的等差数列公差为，则分别是第一项和第六项，所以， 即，解得；因为是等差数列的第四项，所以； 因为是等差数列与等比数列的公共项，现将其只看作等差数列的首项， 则数列所有项的和可看作前项等比数列与后项等差数列的和， 所以 【点睛】这道题的核心是分段数列的衔接处理：以公共项为桥梁，分别用等比数列通项公式求公比、等差数列通项公式求公差，再分段求和得到结果. 7．（2026·福建泉州·一模）将10个数从小到大排列，若这列数成等差数列，且所有奇数项的和为30，所有偶数项的和为40，则这列数的中位数等于__________. 【答案】7 【详解】，所以，所以这列数的中位数等于 8．（2026·山东烟台·一模）已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则的前项和的最大值为___________． 【答案】36 【分析】先根据成等比数列求等差数列的公差，进而确定数列的通项公式，根据确定最大时的值，再利用等差数列的求和公式求. 【详解】设数列公差为，由成等比数列， 得，又，所以. 所以.由. 所以的前项和取得最大值，且. 9．（2026·山东聊城·一模）已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii） 【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可； （2）（i）结合题设及与的关系可得，即可求证，再求解通项公式即可； （ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，则. （2）（i）由，当时，，即； 当时，，则，即，则，即，所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 则，即.由（1）知，， 由（i）知，， 则 ， 所以 . 10．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ， 由得： ，联立解得：，， 则由等差数列前项和公式可得 ； （2）由，，可得等差数列的通项公式为：， 则，即数列的前项积为： ， 因此： ，令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： ,即的最小值为. 11．（2026·河北衡水·一模）已知集合中元素的个数为. (1)若，，求. (2)若，均为等差数列且，，，证明：也为等差数列. (3)若，，且，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据数列的新定义列举即可求得； （2）根据数列的新定义，结合等差数列的定义即可证明； （3）先根据数列递推式构造等比数列，求出，再由数列的新定义推出的通项公式，再进行分组求和，借助于等比数列求和公式即得. 【详解】（1）若，，则，， 则满足的整数为，0，1，…，8，共有10个，故； （2）因为，，所以， 所以.因为，均为等差数列，所以可设，，则为常数，故是以为首项，为公差的等差数列. （3）由，得，即，则数列是为首项，公比为2的等比数列，则，则. 当时，，，. 当时，，，. 当时，，因，所以，故大于的最小整数为， 又为整数，则. 当时，符合上式；当时，，故 当时，， 又，所以. 【点睛】本题考查数列的新定义与数列的综合，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 12．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【答案】(1)选择任一条件都有， (2) 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列的基本量，进而求出通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求出. 【详解】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此，由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 13．（2026·山西临汾·一模）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用降序相减求解即可； （2）利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）①，当时②， ①-②得，当时，，符合上式，综上：，. （2）， 则. 14．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则，且符合上式，所以， 可得，设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 15．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为9 【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解； （2）由分组求和法和并项求和法求出，再利用其单调性即可得出最小值. 【详解】（1）设的公差为d，因为，所以， 整理得，所以，解得，故的通项公式为． （2）由（1），则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为． 16．（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明. 【详解】（1）依题意，当时，，，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. （2）证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时，综上，成立. 17．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系得出是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可求的通项公式； （2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案； （3）利用古典概率的求法可得答案. 【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以，是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． （2），， 令，则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． （3）因为，的前20项分别为，由得，又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项，所以所求概率． 18．（2026·天津河西·一模）已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，． (1)求、的通项公式； (2)求； (3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差等比数列的性质列方程，即可求解公差和公比求解， （2）先利用并项求和可得，进而利用错位相减法求和即可， （3）先用反证法证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减，进而得，即可利用放缩法以及裂项相消法求证. 【详解】（1）因为数列是等差数列，前n项和为，数列是等比数列 所以设公差为d，公比为q，因为，，． 所以，得或， 又因为数列是递增等比数列且，所以，所以，． （2） 因为 所以 设 ，，所以 所以 （3）由已知得，，2，3，…，，，不妨设， 首先证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减： 假设，，，…，中存在连续3项递增或递减，即存在 使得或者，所以 此时 则将调换到之前 因此时，取最大值必有，，…， 此时 所以取最大值时，并且， 此时 当时， 当时， 因为 ，所以．综上． ( 数列与 函数 等知识的交汇问题 考点 5 ) 1．（2026·福建泉州·一模）已知，，成等差数列，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据等差数列转化角的关系，再联立方程组求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以，则.设，，则，，.又，， 所以，整理得， 即， 所以，即. 2．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ，令， 则，两式相加得， 所以，解得. 3．（多选）（2026·河北张家口·一模）若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定的递推关系求出通项，再按为奇数、偶数分类求出并逐项求解判断. 【详解】数列中，，当时，，则， 而，解得，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，当时，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为， 对于A，，A正确；对于B，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，D错误. 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理构造等比数列，得到的通项公式，然后利用递增性，得到关于的不等式，通过讨论奇偶求出最值，限定的范围. 【详解】因为，整理得， 由于，可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则.因为数列是递增数列，所以， 即对任意的正整数都成立. 当为偶数时，恒成立，所以， 由单调递减，可得，则； 当为奇数时，恒成立，所以，由单调递增，可得，则，则的取值范围是. 5．（2026·重庆·一模）若方程的三个根成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】分离参数，转化问题为直线与图象的交点问题，结合导数作出函数图象，进而求解即可. 【详解】由，得，所以.设.方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标.因为函数的导数为，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又时，，时，，作出的大致图象，如下图： 则（*），因为成等比数列，设公比为，所以，，代入（*）式得，由，得，即，所以，解得，代入，可得，整理得，解得或（舍去），则公比为. 6．（2026·贵州安顺·一模）已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，，且对于任意，都有成立， 则，可得，由可得，即得，即. 又由及可得，则，易知为递增数列，则， 且，因函数在上为增函数，则， 由题意可知数列单调递增且有上界2，故极限存在，设，则. 对取极限得，即.函数在上单调递增， 故，解得，故实数c的取值范围是. 7．（多选）（2026·山西晋城·一模）记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C．设，则 D．设，则 【答案】BCD 【详解】 对于A，当时，，于是，故A错误； 对于B,，两式相减得， 可知是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，所以，即可得当时，， 于是，故，故D正确． 8．（多选）（2026·山东东营·一模）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递增数列 B．， C． D． 【答案】ABC 【分析】利用归纳法结合数列单调性的定义判断A，利用数列的单调性和判断B，构造函数并结合导数判断C，D即可. 【详解】对于A，由题意得当时，，满足，成立，假设当时，，当时，由已知得，可得，因为，所以， 令，可得，且，则在上单调递增，得到，故，综上可得，对于任意，，因为，所以，可得数列为递增数列，故A正确， 对于B，因为，且数列为递增数列，所以，，故B正确， 对于C，欲证，则证，即证，故证即可，令，则， 令，则，则在上单调递减，且，得到，即，故在上单调递增，而，可得， 则，即，故C正确， 对于D，欲证，则证，即证，故证即可，令，则，令， 则，可得在上单调递减，且，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点，即零点，令，，令，，则在上单调递增，在上单调递减，而，，则，此时不满足，故D错误. 9．（2026·江西赣州·一模）一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现2次向后运动的概率为，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意可知，再推导出为定值即可求解． 【详解】根据题意，小车向前或向后运动的概率为，未连续出现2次向后运动的概率为，则第次可能向前或向后运动，当第次是向前运动时，只要前次未连续出现2次向后运动，其概率为；当第次是向后运动时，则第次只能向前运动，且前次未连续出现2次向后运动，其概率为；，，，即，由②得代入①， ，即，． 10．（2026·甘肃兰州·一模）已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由二项式定理写出数列的通项公式； （2）应用裂项相消法求，结合单调性证明结论. 【详解】（1）由题意，时为的展开式第3项的二项式系数， 所以，且，故； （2）由（1）， 当时，， 因为满足上式，所以对恒成立，易知在上单调递增， ，，所以. 11．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． (1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； (2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若，则． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断出甲第2次射击且获胜的情形，利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可. （2）分别求出乙先射击，甲、乙获胜的概率，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】（1）甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，乙第1次未命中，甲第2次命中. 所以. （2）设乙先射击并获胜的概率为，甲获胜的概率为.乙获胜的情况为： 乙第1次射击并命中，概率为； 第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为； 第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为； 第轮甲乙均未命中，乙第次射击并命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 甲获胜的情况为：第1轮乙未命中，甲命中，概率为； 第2轮乙未命中，甲命中，概率为； 第3轮乙未命中，甲命中，概率为； 第轮乙未命中，甲命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 由题意知，恒成立，即恒成立， 因为，，所以， 所以恒成立，即. 因为，所以，，所以.所以的最小值为. ( 数列中的新定义问题 考点 6 ) 1．（2026·江西·一模）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列为二阶等差数列，且，则（   ） A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】B 【分析】利用二阶等差数列的定义，借助列举法求出. 【详解】依题意，，数列，数列，数列，所以. 2．（2026·天津和平·一模）已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由. 所以.故选项C正确. 3．（多选）（2026·山东菏泽·一模）已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余两项的积，则称该子列为数列的“”子列.则下列说法正确的有（    ） A．数列的所有“”子列的个数为4 B．若，则数列不存在“”子列 C．数列的所有“”子列的个数为 D．若是公差为的等差数列，，则存在“”子列的充要条件是或 【答案】ABC 【分析】根据“”子列的定义，列举法判断A；反证法结合指数幂运算判断B；通过指数幂运算分类讨论后可判断C；举反例可判断D. 【详解】对于A，从数列中，找出所有满足“一项等于另两项乘积”的三元组合： 、、、，共4个，故A正确. 对于B，，假设数列中存在“”子列， 则，化简得，左边是3的整数次幂，不可能等于2，矛盾，因此假设不成立，即不存在“”子列，故B正确. 对于C，设数列中的“”子列为，则，所以， 当时，可取2到中的任意一个数，共个“”子列； 当时，可取3到中的任意一个数，共个“”子列； ； 当时，可取，中的任意一个数，共2个“”子列， 综上，共有个“”子列，故C正确. 对于D，，若，则，满足，即构成一个 “”子列，但不是，因此充要条件不成立，故D错误. 4．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“友好数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“超越友好数列”，下列说法正确的是（   ） A．若数列满足，且前n项和为，则数列为“友好数列” B．若数列满足，，且数列为“超越友好数列”，则 C．若数列为“超越友好数列”，且，则数列没有最小项 D．若数列为“友好数列”，则对于任意的，当时，总有成立 【答案】ABD 【分析】对于A，判断数列为“友好数列”，满足即可；对于BC选项，关键是利用题设得到，再结合条件求解判断即可；对于D，关键是利用题设得到，再利用累加法，结合放缩法进行判断即可. 【详解】对于A，由，则，对于任意的，都有，故，所以数列是“友好数列”，故A正确； 对于B，因为数列为“超越友好数列”，所以对于任意的，都有， 即，又，，则，即， 所以，故B正确； 对于C，因为数列为“超越友好数列”，，所以对于任意的，都有，即，设，则数列为单调递增数列，且， 所以，因为， 所以，所以存在，时，，， 当时，，数列为递减数列；当时，，数列为递增数列. 因此，数列存在最小项为，故C错误； 对于D，因为为“友好数列”，所以对任意的，都有，即， 所以对于任意的，当时， 总有， 所以.又， 所以.由于，故，故D正确. 5．（2025·山东青岛·一模）设是关于x的方程的正实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需要先求解方程的正实数根 ，再根据得到数列的通项，最后利用分组求和法求前 2025 项和. 【详解】设，则，记，显然在上单调递增，且， ．所以， 当，时，，则； 当，时，，则， 则 故选：． 6．（2026·陕西榆林·一模）已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】把握数列的递推关系，对极端情形下不等式的最大值最小值构造. 【详解】由，得，要求使该式一定成立的的最大值，就要考虑尽量＂严格＂的情况，即要尽可能大，尽可能小，令不等号前面后一项减前一项的差尽可能多的为2，不等号后面后一项减前一项的差尽可能多的为1．当时，若前6项为0，2，4，6，8，10，则后4项为11，12，13，14，此时前6项之和为30，后4项之和为50，符合条件；若前6项为0，2，4，6，8，9，则后4项为10，11，12，13，此时前6项之和为29，后4项之和为46，符合条件．因此，可以使一定成立．当时，若前7项为0，2，4，6，8，10，11，则后3项为12，13，14，此时前7项之和为41，后3项之和为39，不符合条件．因此，不能使一定成立．综上，满足条件的的最大值为6． 7．（2026·山东淄博·一模）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________. 【答案】 【详解】依题意，， ， 因此，即，而， 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，，所以. 8．（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. 【答案】 【分析】根据已知可得的关系，推出是等比数列，从而可得，由的关系，推出是等比数列，即可求解. 【详解】因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项， 所以经第次扩充后增加的项数为，因此，所以，因为，所以可得数列是以4为首项，公比为2的等比数列，所以，即；设第n次扩充后数列的各项为， 则．因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以 ， 又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，故， 综上，，. 9．（2026·江苏扬州·一模）定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 【答案】 【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可. 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即，当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 10．已知数列满足，则___________；记数列的前项和为，则___________． 【答案】 【分析】根据条件，结合等比数列的定义，可得表达式，即可得的值，根据题意，整理变形，可得裂项之后的表达式，进而可得表达式，代入数据，即可得答案. 【详解】因为，所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，则； 设，则， 解得，所以，所以 ，所以． 11．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②. 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故，所以， 当时，，，，， 上述等式相加得，故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得；当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故，所以实数的取值范围是. 12．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. （2）结合（1）的结论，先明确和的表达式，再利用反证法进行证明. （3）先分析集合中元素的特征，表示出元素和. 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得，利用错位相减求和法求，利用公式法求，即可得. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为，由已知有， 解得，即，则或（舍），则. （2）不妨先设， ，可知时也成立， 假设，即成立，若，不妨设， 则等价于， 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时．同理时，； 若，则，不妨设，因为， 故．同理时，． 综上当时，． （3）先证取不同的的值各不相同，不妨设， 所以，而， 所以，由（2）可知，对不同的取值，均不相同．故． 考虑中含有个个个，因此． 法（一） ， 两式相减得： ， 所以，． 法（二）， 设，， 两式作差，， 所以，，又， 所以，. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $