专题01 圆的填空题专练 2026年中考数学第二轮专项复习

专题01 圆的填空题专项突破 （四大题型归纳） 【题型1 利用切线性质解题】..............................................................................................................................1 【题型2 应用垂径定理解题】..............................................................................................................................2 【题型3 与三角函数综合】..................................................................................................................................2 【题型4 与相似三角形综合】..............................................................................................................................3 题型一 应用切线的性质解题 【例1】（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，已知是圆的直径，弦于点，过点作圆的切线交的延长线于点，连接，为的中点，连接．若，，则点到的距离为______． 【答案】 【分析】求点O到的距离．由，根据垂径定理得．结合外角，在中利用“角所对直角边等于斜边的一半”求．利用切线性质和含角的直角三角形边比，可求出半径，进而得直径．由圆心角关系可证是等边三角形，从而求出．再证，在中用勾股定理求．最后，在中利用等面积法（面积既等于直角边乘积，也等于斜边×斜边上的高）列出关于的方程，即可求解． 【详解】如图，是的直径，弦于点，连接过点作于点． ，是直径， ∴． 在中，， ∴． 已知， ∴． ∴． ∵与相切于点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∵，且， ∴是等边三角形． ∴． ∵为的中点， ∴，且． ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴是直角三角形，． 在中，由勾股定理：． ∴． 在中，， 由等面积法：． 代入数值：． 解得： ． ∴ 点到的距离为． 【点睛】本题考查垂径定理、切线的性质、含角的直角三角形的边角关系、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等面积法求点到直线的距离．解题的关键是正确运用“切线垂直于过切点的半径”和“垂径定理”；识别出含、的直角三角形；利用等面积法求距离． 【变式1-1】（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点．如果，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质得，由圆周角定理得，利用余角性质得，又由等腰三角形的性质得到，即得，再根据余角性质可得，进而得到，得到，利用勾股定理，又由余角性质可得，得到，即得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，从而得到，再结合切线的性质得到，从而得到，解直角三角形即可求出；连接，然后结合平行线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等，证明是解题的关键． 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，连接交⊙于点D，点E为上一点，满足，连接交于点F，若，，则_____，_____． 【答案】 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，连接、，由是的直径，是的切线，推导出，则，，由，得，所以，则，，可证明，得，求得，则，，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的直径，是的切线， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【变式1-4】（2023·江苏泰州·二模）如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点．若，，则________．        【答案】 【分析】根据切线的性质得到及平行线的性质得到，再利用圆周角的性质及勾股定理得到，最后利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为．    【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是，勾股定理，直角三角形的面积，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1-5】（2024·四川宜宾·月考真题）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=____． 【答案】． 【详解】试题分析：连接OM，OC，由OB=OC，且∠ABC的度数求出∠BCO的度数，利用外角性质求出∠AOC度数，利用切线长定理得到MA=MC，利用HL得到三角形AOM与三角形COM全等，利用全等三角形对应角相等得到OM为角平分线，求出∠AOM为30°，在直角三角形AOM中，利用锐角三角函数定义即可求出AM的长． 解：连接OM，OC， ∵OB=OC，且∠ABC=30°， ∴∠BCO=∠ABC=30°， ∵∠AOC为△BOC的外角， ∴∠AOC=2∠ABC=60°， ∵MA，MC分别为圆O的切线， ∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°， 在Rt△AOM和Rt△COM中， ， ∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL）， ∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°， 在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°， ∴tan30°=，即=， 解得：AM=． 故答案为． 考点：切线的性质． 【变式1-6】（2021·江苏扬州·一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以AB上的一点O为圆心的圆与AC相切于点G，与BC交于D，E两点，连接DF，EF，若∠DFE=∠B，则弦DE的长是_______． 【答案】 【分析】连接，，，过点作，垂足为，设的半径为，先利用勾股定理求出，从而求出，，的值，然后利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一性质可得，从而求出，再利用切线的性质可得，进而可求出，然后根据列出方程进行计算即可半径，最后在中，求出即可解答． 【详解】连接，，，过点作，垂足为， 设的半径为， ，，， ， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， 是的切线，为切点， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 弦的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1-7】（2024·山西吕梁·三模）如图，在△ABC中，以边为直径的恰好经过点，过点作的切线，交的延长线于点平分，分别交边于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，连接，易得为等边三角形，切线的性质，推出，进而得到，得到，，圆周角定理结合角平分线平分角，得到，勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-8】（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____． 【答案】 【分析】根据点是的中点得到，即可得到，根据点到的距离为1，得到，再证明即可得到答案； 【详解】如图所示，过点O作于H，连接， 为圆直径， ， 点是的中点， ， ， ， ， 点到的距离为1， ，， ， ， ， 切圆于， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题解题的关键是作出辅助线，算出，，． 【变式1-9】（25-26九年级下·江苏泰州·开学考试）如图，，为的切线，切点分别为，．，，，，过点作的垂线，与分别交于点．连接，在线段上有一点（与点不重合），当为等腰三角形时，的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了圆的切线的性质（切线垂直于过切点的半径）、等腰三角形的分类讨论、勾股定理的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，还有线段的和差计算以及直角三角形中边长的求解．解这个题的关键首先是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用切线性质结合勾股定理建立方程求出圆的半径；其次是针对为等腰三角形的情况进行全面分类讨论． 【详解】解：∵，， ∴， 过作于， ， ， 为等腰直角三角形： ，， ， 连接，过作于， 切于点，切于点， ， ， 四边形为矩形， ， 令，（为圆的半径）， 在中，， 在中，， ， ， 解得，， 即圆半径， ，， ， 点分三类讨论： 1、当时，，即Q与点F重合，这与点Q与点E、F不重合矛盾，不符合题意； 2、当时，延长到M，使， ， ， ， ， ， 连接，则， ， 过点O作于点，则， 是的切线， ， 过点作于H，则， 四边形为矩形， ， 在中，， ， 在中，； 3、当时，由2中图可知，在中，， 过点作于， 由“三线合一”得，， ， ． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 题型二 应用垂径定理解题 【例2】（24-25九年级下·辽宁鞍山·月考）如图，点，是上两点，连接，直径与垂直于点，点在上，连接，，过点作的垂线交于点，交于点，若，，，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接，，，由垂径定理可得，，由勾股定理可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由可得，进而可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，令，则，，由可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，即，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【变式2-1】（2024·河南郑州·三模）如图，以为直径的中，点为外一点，切于点，连接交于点，过点作，交于点，交于点.若，，则的长为______.    【答案】 【分析】本题考查垂径定理，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先根据垂径定理得到，然后根据勾股定理得到，然后证明，得到，即可解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径，切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：．    【变式2-2】（23-24九年级上·江苏南京·月考）如图，内接于的平分线与交于点D，与交于点E，延长，与的延长线交于点F，连接，G是的中点，连接．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过点O作的垂线，垂足为H，则H为的中点，构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，过点O作的垂线，垂足为H，则H为的中点． ∴，即， 又∵ ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ，即． ． 又∵是的平分线， ∴． 为直径， ， ， ， ， ∴， ∴①， 设，则， ∴． ∴． 在中，由勾股定理，得 ② 由①、②，得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径长为． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理、全等三角形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式2-3】（2024·浙江杭州·二模）如图，的弦、相交于点，为弧的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，的半径为，，则________． 【答案】 【分析】连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，设AE=5λ，利用已知条件表示出AH，OE，在Rt△HOA中，由勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，如图， ∵C为弧AB的中点， ∴OC⊥AB，AH=BH， ∵AC∥DF， ∴∠ACD=∠CDF， ∵OD是切线， ∴OD⊥DF， ∴∠ODF=90°， ∴∠ODC+∠CDF=90°， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠OCE+∠CEA=∠OCE+∠FED=90°， ∴∠CDF=∠DEF=∠ACD=∠AEC， ∴AC=AE， 设AE=5λ，则BE=3λ， ∴AC=5λ，AB=8λ， ∴AH=4λ，HE=λ， 在Rt△ACH中，由勾股定理得CH=3λ， ∴OH=OC-CH=-3λ， 在Rt△HCE中，由勾股定理得CE2=HC2+HE2=9λ2+λ2=10λ2， ∴CE=λ， 在Rt△HOA中，由勾股定理得， OA2=AH2+OH2， 即（）2=（4λ）2+（-3λ）2， 解得λ=1， ∴CE=λ=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理等知识，关键通过设AE=4λ，能根据已知条件表示出OA、AH、OH的长度，用勾股定理建立方程解答． 【变式2-4】（2023·山东烟台·一模）如图，，是的切线，是的直径，延长，与的延长线交于点，过点作弦，连接并延长与圆交于点，连接，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】设交于点，连接，由切线的性质得，设的半径为，则，，由勾股定理求得，再根据圆周角定理得，由平行线的性质推出，利用垂径定理可得，由三角形的面积求得，再求出，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，设交于点，连接， 是的切线， ， ， 设的半径为，则，， 在中， 由勾股定理得，即， 解得：， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 【变式2-5】（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）如图，是的直径，弦，垂足为为上一点，过点作的切线，分别交的延长线于点和点，连接交于点，连接．若，，则___________，___________． 【答案】 【分析】连接、、，如图，设的半径为r，则，根据垂径定理得到，则利用勾股定理计算得，利用勾股定理得到方程，解方程得，再根据切线的性质得到，接着证明，利用相似三角形的性质得到，，所以，然后证明，则，最后证明得到，本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理和勾股定理． 【详解】解：连接、、，如图： 设的半径为r，则， ∵， ∴， ∴在中，， 解方程得， ∴ ∴在中，， ∴， ∵点作的切线，分别交的延长线于点和点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵为的直径， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【变式2-6】（2025·重庆·一模）如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则______；______． 【答案】 /0.8 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，确定，再由勾股定理求出．根据切线的性质，确定，先求出的正切值，再由正切的定义求出．连接，设交于点，证，由垂径定理证得，由证得，令，根据相似三角形的性质得求得，从而求出，最后由，问题得以解决． 【详解】解：是的直径， ， ， 是的切线， ， 在中，， 连接，设交于点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用等知识，解题的关键是构造辅助线，利用垂径定理求出． 【变式2-7】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为__________，的长度为__________． 【答案】 【分析】连接，，，由垂径定理可得，，由勾股定理可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由可得，进而可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，令，则，，由可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，即，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 题型三 与三角函数综合 【例3】（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，是的直径，是的切线，为上任意一点，为的中点，连接交于点．延长与相交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证，可求出，利用勾股定理得，再根据从而求出的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 在中，， ． 故答案为：． 【变式3-1】（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图，是的直径，点A，E均在上，，过点A作于点D，连接交于点F，交于点G，延长与过点B的切线交于点H，若，，则______，______． 【答案】 5 【分析】由于点D，是的直径，得，推导出，由，且，求得，，则，，由 ，得，则，求得，由切线的性质得，可证明，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵于点D，是的直径，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 故答案为：5，． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、切线的性质、等腰三角形的判定、解直角三角形等知识，推导出及是解题的关键． 【变式3-2】（2021·山西·一模）如图，在△ABC中，，以AB为直径的分别交AC，BC于点D，E，过点B作的切线与AC的延长线交于点F，若，，则BF的长为___________． 【答案】 【分析】连接AE，由圆周角定理和等腰三角形的性质可证得BE=CE，再根据切线性质可得AB⊥BF，根据等角的余角相等证得∠BAE=∠CBF，则，进而可求得BE和BC，过C作CM⊥BF于M，在RT△CMB中求得CM、BM，然后证明△FCM∽△FAB，再根据相似三角形的性质列出比例，即可求得BF． 【详解】解：连接AC， ∵AB是的直径， ∴∠AEB=90°，即AE⊥BC， ∵AB=AC， ∴BE=CE， ∵直线BF是的切线， ∴AB⊥BF， ∴∠ABE+∠CBF=90°，又∠ABE+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 则， 在Rt△AEB中，AB=5，， ∴BE=， ∴BC=2BE=， 过C作CM⊥BF于M，则CM∥AB， 在Rt△CMB中，，即， 解得：CM=2， 由勾股定理得：BM= =4， 由AB∥CM得△FCM∽△FAB， ， 即， 解得：BF= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，熟练掌握各知识点的性质和之间的联系间的联系，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形是解答的关键． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ____________________． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了正切的定义、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由圆周角定理可得，再根据正切可得，然后运用勾股定理可得；最后分和两种情况解答即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ①当时，过点F作于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴，解得：， ∴； ②当时，连接，过点F作于点G，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为3或． 故答案为：3或． 【变式3-4】（2025九年级下·上海·专题练习）如图，于点．作半径为的和其内接三角形，在上，，．连接并双向延长．在下方作切线，满足，切点为点，交于点．在右侧作过点的切线，交于点．连接．若，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，先证明是等边三角形，再根据内接等边三角形的性质可得，易得、，再根据切线的性质以及平行线的性质可得，，易证是等腰直角三角形，解直角三角形可得，，再证明是等边三角形可得，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵和其内接三角形， ∴， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为的另一条切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四 与相似三角形综合 【例4】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，、是的直径，在上取点E使，过点B作的切线交的延长线于点G．连接交于点F，若， ，则的半径为___． 【答案】/ 【分析】连接、，设的半径为r，则，，，求出，证明，得出，求出，证明，得出，求出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，求出r的值，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设的半径为r，则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 【变式4-1】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，点O在上，与相切于点A，与的交点分别为B，C．作，与交于点D，作，垂足为E，连接并延长，交于点F，，则的长为________，的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据含30度角的直角三角形的性质得，然后根据证明得到，，再由勾股定理求出的长，即可求出的长；过点作于点，证明求出，进而求出，从而求出，证明求出，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键． 【变式4-2】（22-23九年级上·浙江宁波·月考）如图，△ABC内接于，为直径，作交于点D，延长交于点F，过点C作圆O的切线，交于点E．如果，，则弦的长为 _____． 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据等角的余角相等得到，得到，然后求出，最后证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、正确作出辅助线是解题的关键． 【变式4-3】（2023·福建三明·模拟预测）如图，矩形中，点，分别在边，上，且，，的外接圆恰好切于点，交于点，连结若，则______.    【答案】 【分析】先证，求出，连接并延长，交于点M，求出半径，进一步求出直径，再连接，过点E作于点N，分别在及中求出与的长度，最后相加即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接并延长，交于点M，    ∵的外接圆恰好切于点， ∴， ∵， ∴， 则四边形为矩形， ∴， 设半径为r， 在中，， ∴， 解得，， ∵， ∴为的直径，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点E作于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中， ， ∵， ∴在等腰中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理、勾股定理等，解题的关键是作辅助线利用特殊角构造直角三角形来求相关线段的长度． 【变式4-4】（2022·福建厦门·二模）如图，是△ABC的外接圆，为的直径，，点为半径上一点，延长与交于点，过点作，交延长线于点若为中点，则___________．    【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式4-5】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，为△ABC的高线，以点为圆心，长为半径的圆与相切于点，与交于点，与交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定及性质，关键是灵活应用知识点解题；连结，通过论证及得到比例线段即可求解． 【详解】解：连结， ∵是直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式4-6】（2025·河南平顶山·三模）如图，以为直径的与相切于点A，以为边作平行四边形，点D，E均在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接．若，，则________，________． 【答案】 8 【分析】本题考查切线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理，垂径定理，连接，过O点作于H点，交于P点．根据垂径定理及平行四边形的性质得到，，，利用勾股定理求出，即可得到；由求出，根据勾股定理求出．证明，求出，即可得到． 【详解】如图，连接，过O点作于H点，交于P点． ∵以为直径的与相切于点A， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． 在中，． ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴． 故答案为：8；． 【变式4-7】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，以为直径的与边的中点交于点，与对角线交于点，作，垂足为．若，则的值为____________． 【答案】/ 【分析】根据为的直径，想到连接，可得，根据E是的中点，，想到构造全等三角形，所以延长，交于点H，可得，然后再利用平行线分线段成比例分析解答即可． 【详解】解：连接，延长，交于点H，设与交于点M， ∵为的直径， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设， ， ∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式4-8】（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，在△ABC中，，以为直径的圆交于点D，连接，点P是上一点，过点C作，延长交于E，交于F，若，，则__________．    【答案】6 【分析】首先，再证明，可得，进而可得，再利用等量代换可得结论． 【详解】证明：连接，如图所示．    ∵为直径， ∴， ， 垂直平分，． ， ， 即． ， 又， ． ∴，即． ， ． ∵，， ∴， 故答案为：6 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质、平行线的性质，圆周角定理的应用，证明是解题的关键． 【变式4-9】（2024·山西晋中·三模）如图，内接于半径为4的中，，过点A作的切线交的延长线于点D，交于点F、交于点E，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 如图：连接并延长交于G，连接，易得是等边三角形，进而说明垂直平分可得，，，则，运用勾股定理可得；如图：连接，证明可得；如图：作于H，易得、，最后说明是等腰直角三角形并解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：连接并延长交于G，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图：连接， 由，可得， ∴，即，解得：， 如图：作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为． 【变式4-10】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中将沿弦对折，交直径于点D，连接并延长与交于点E，若点D为中点，则的值为 __________________． 【答案】 【分析】设，则，利用相似三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作于H， 设，则， ∵点D为中点， ， ， ∴， ， ， ， 是直径， ， ， 又， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式4-11】（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，，若，，则的半径=_______．    【答案】 【分析】连接，，，根据直径所对的圆周角是直角可得，，根据同位角相等，两直线平行可得，根据两直线平时，内错角相等可得，，推得，根据等角对等边可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，推得，根据相似三角形的判定和性质即可求得的值，即可求解． 【详解】解：连接，，，如图： ∵是直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴, ∴的半径是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理直径所对的圆周角是直角，等角对等边，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作合适的辅助线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的填空题专项突破 （四大题型归纳） 【题型1 利用切线性质解题】..............................................................................................................................1 【题型2 应用垂径定理解题】..............................................................................................................................3 【题型3 与三角函数综合】..................................................................................................................................6 【题型4 与相似三角形综合】..............................................................................................................................7 题型一 应用切线的性质解题 【例1】（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，已知是圆的直径，弦于点，过点作圆的切线交的延长线于点，连接，为的中点，连接．若，，则点到的距离为______． 【变式1-1】（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点．如果，，则的长为______． 【变式1-2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是________． 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，连接交⊙于点D，点E为上一点，满足，连接交于点F，若，，则_____，_____． 【变式1-4】（2023·江苏泰州·二模）如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点．若，，则________．        【变式1-5】（2024·四川宜宾·月考真题）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=____． 【变式1-6】（2023·江苏扬州·一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以AB上的一点O为圆心的圆与AC相切于点G，与BC交于D，E两点，连接DF，EF，若∠DFE=∠B，则弦DE的长是_______． 【变式1-7】（2024·山西吕梁·三模）如图，在△ABC中，以边为直径的恰好经过点，过点作的切线，交的延长线于点平分，分别交边于点，连接．若，，则的长为______． 【变式1-8】（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____． 【变式1-9】（25-26九年级下·江苏泰州·开学考试）如图，，为的切线，切点分别为，．，，，，过点作的垂线，与分别交于点．连接，在线段上有一点（与点不重合），当为等腰三角形时，的值为___________． 题型二 应用垂径定理解题 【例2】（24-25九年级下·辽宁鞍山·月考）如图，点，是上两点，连接，直径与垂直于点，点在上，连接，，过点作的垂线交于点，交于点，若，，，则的长度为______． 【变式2-1】（2024·河南郑州·三模）如图，以为直径的中，点为外一点，切于点，连接交于点，过点作，交于点，交于点.若，，则的长为______.    【变式2-2】（23-24九年级上·江苏南京·月考）如图，内接于的平分线与交于点D，与交于点E，延长，与的延长线交于点F，连接，G是的中点，连接．若，则的面积为_______． 【变式2-3】（2024·浙江杭州·二模）如图，的弦、相交于点，为弧的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，的半径为，，则________． 【变式2-4】（2023·山东烟台·一模）如图，，是的切线，是的直径，延长，与的延长线交于点，过点作弦，连接并延长与圆交于点，连接，若，，则的长度为______． 【变式2-5】（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）如图，是的直径，弦，垂足为为上一点，过点作的切线，分别交的延长线于点和点，连接交于点，连接．若，，则___________，___________． 【变式2-6】（2025·重庆·一模）如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则______；______． 【变式2-7】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为__________，的长度为__________． 题型三 与三角函数综合 【例3】（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，是的直径，是的切线，为上任意一点，为的中点，连接交于点．延长与相交于点，连接．若，，则的长为_____． 【变式3-1】（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图，是的直径，点A，E均在上，，过点A作于点D，连接交于点F，交于点G，延长与过点B的切线交于点H，若，，则______，______． 【变式3-2】（2021·山西·一模）如图，在△ABC中，，以AB为直径的分别交AC，BC于点D，E，过点B作的切线与AC的延长线交于点F，若，，则BF的长为___________． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ____________________． 【变式3-4】（2025九年级下·上海·专题练习）如图，于点．作半径为的和其内接三角形，在上，，．连接并双向延长．在下方作切线，满足，切点为点，交于点．在右侧作过点的切线，交于点．连接．若，则的长度是______． 题型四 与相似三角形综合 【例4】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，、是的直径，在上取点E使，过点B作的切线交的延长线于点G．连接交于点F，若，，则的半径为___． 【变式4-1】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，点O在上，与相切于点A，与的交点分别为B，C．作，与交于点D，作，垂足为E，连接并延长，交于点F，，则的长为________，的长为________． 【变式4-2】（22-23九年级上·浙江宁波·月考）如图，△ABC内接于，为直径，作交于点D，延长交于点F，过点C作圆O的切线，交于点E．如果，，则弦的长为 _____． 【变式4-3】（2023·福建三明·模拟预测）如图，矩形中，点，分别在边，上，且，，的外接圆恰好切于点，交于点，连结若，则______.    【变式4-4】（2022·福建厦门·二模）如图，是△ABC的外接圆，为的直径，，点为半径上一点，延长与交于点，过点作，交延长线于点若为中点，则___________．    【变式4-5】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，为△ABC的高线，以点为圆心，长为半径的圆与相切于点，与交于点，与交于点．若，则的长为__________． 【变式4-6】（2025·河南平顶山·三模）如图，以为直径的与相切于点A，以为边作平行四边形，点D，E均在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接．若，，则________，________． 【变式4-7】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，以为直径的与边的中点交于点，与对角线交于点，作，垂足为．若，则的值为____________． 【变式4-8】（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，在△ABC中，，以为直径的圆交于点D，连接，点P是上一点，过点C作，延长交于E，交于F，若，，则__________．    【变式4-9】（2024·山西晋中·三模）如图，内接于半径为4的中，，过点A作的切线交的延长线于点D，交于点F、交于点E，则线段的长为 ． 【变式4-10】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中将沿弦对折，交直径于点D，连接并延长与交于点E，若点D为中点，则的值为 __________________． 【变式4-11】（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，，若，，则的半径=_______．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $