专题01 平面直角坐标系11大题型（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材冀教版

专题01 平面直角坐标系（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 有序数对表示位置 题型02 象限划分辨析 题型03 坐标轴上的点 题型04 特殊位置点的坐标 题型05 点到坐标轴的距离 题型06 点的对称 题型07 点的平移 题型08 坐标表示实际方位 题型09 平行于坐标轴直线上点的坐标计算 题型10 坐标系与几何图形综合题 题型11 点的坐标规律 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的基本概念 1.能准确说出平面直角坐标系的组成要素 2.判断点所在的象限或坐标轴 3.根据点的位置写出坐标、描出点 基础必考点，常以选择、填空形式考查，侧重对坐标轴、象限符号特征的记忆，是后续考点的基础 特殊位置点的坐标特征 1.能根据点的位置特征快速写出坐标满足的条件 2.根据坐标判断点的特殊位置 高频易错点，易混淆 x 轴、y 轴上点的坐标特征，以及平行于坐标轴的直线上点的横 / 纵坐标规律，常结合分类讨论考查 点到坐标轴的距离 能根据点的坐标求出点到 x 轴、y 轴的距离，或根据点到坐标轴的距离及位置写出点的坐标 期中核心考点，常与点的位置结合考查，易忽略 “距离为非负数，坐标有正负两种可能”，是分类讨论题型的高频命题点 对称点的坐标规律（关于 x 轴、y 轴、原点对称） 能熟练写出一个点关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标，或根据对称点的坐标求原点点坐标 高频考点，选择、填空、解答题均有涉及，易混淆三种对称的坐标变化规律，是后续函数图像对称问题的基础 点的平移规律 能根据平移方向和距离写出平移后点的坐标，或根据平移前后的坐标变化描述平移过程 期中重点考点，常结合图形平移考查，易混淆左右、上下平移对横纵坐标的影响，常与对称、距离问题综合命题 用坐标表示地理位置（建立平面直角坐标系确定点的位置） 能根据实际情境建立合适的平面直角坐标系，写出点的坐标，或根据坐标描述地理位置 解答题常考题型，侧重考查坐标系的实际应用，易忽略 “坐标系原点、单位长度的选择对坐标的影响”，是期中解答题的常见命题形式 知识点01 平面直角坐标系的概念 核心内容 1. 定义：平面内两条互相垂直、有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。水平数轴为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴为y轴（纵轴），向上为正方向，公共交点为坐标原点O。 2. 象限划分：两坐标轴将平面分为四个象限，从右上角开始逆时针依次为第一、二、三、四象限；坐标轴上的点不属于任何象限。 3. 点的坐标：平面内任意一点P，向x轴、y轴分别作垂线，垂足对应的数依次为横坐标a、纵坐标b，记作，严格遵循“先横后纵”的顺序。 4. 象限符号规律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 示例 判断下列点的位置：、、、、、 解：在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；在y轴正半轴；在x轴负半轴。 易错点 坐标顺序颠倒，误将纵坐标写在前、横坐标写在后，比如把点写成，这是最基础的高频错误。 错误认为坐标轴上的点属于某一象限，比如将(0,7)归为第一象限，忽略“坐标轴上的点无象限归属”。 混淆象限顺序，顺时针划分象限，导致点的象限判断错误。 知识点02 特殊点的坐标位置 核心内容 点的位置 坐标特征 x轴上的点 纵坐标为0，记作 y轴上的点 横坐标为0，记作 第一、三象限角平分线上的点 横、纵坐标相等，即 第二、四象限角平分线上的点 横、纵坐标互为相反数，即 平行于x轴的直线上的点 纵坐标完全相等，横坐标不同 平行于y轴的直线上的点 横坐标完全相等，纵坐标不同 示例 1. 若点在x轴上，求m的值：x轴上点纵坐标为0，故，解得。 2. 若点在第二、四象限角平分线上，求a的值：横纵坐标互为相反数，故，解得。 易错点 混淆平行于坐标轴的点的特征，把平行x轴记为横坐标相等，平行y轴记为纵坐标相等，完全记反。 混淆两类角平分线的坐标特征，将一、三象限角平分线记为，二、四象限记为。 忽略原点(0,0)的特殊性，原点同时在x轴、y轴，也在一、三象限角平分线上。 知识点03 点到坐标轴的距离 核心内容 设点为平面内任意一点： 点P到x轴的距离 = 纵坐标的绝对值，即 点P到y轴的距离 = 横坐标的绝对值，即 核心法则：距离一定是非负数，坐标可正可负，距离与坐标符号无关，只和绝对值有关。 示例 1. 求点到x轴、y轴的距离：到x轴距离，到y轴距离。 2. 已知点Q在第二象限，到x轴距离为3，到y轴距离为6，求Q的坐标：第二象限横负纵正，故。 易错点 距离对应坐标混淆，把到x轴距离记为，到y轴距离记为，彻底搞反。 已知距离求坐标时，忽略绝对值的双解性，只写一种坐标，漏掉正负情况。 结合象限判断坐标时，符号书写错误，比如第二象限误写为。 知识点04 对称点的坐标变化法则 核心内容 设点为平面内任意一点，对称点坐标变化遵循“对称哪轴，哪轴坐标不变，另一轴变号”： 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数，即 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数，即 关于原点对称：横、纵坐标均变相反数，即 示例 求点关于x轴、y轴、原点的对称点： 关于x轴对称：；关于y轴对称：；关于原点对称：。 易错点 混淆三种对称的变号规律，比如关于x轴对称时，误将横坐标也变号。 坐标轴上的点对称处理错误，比如点关于x轴对称，误写为，正确为。 对称点坐标顺序写错，依旧出现纵前横后的低级错误。 知识点05 点的平移规律 核心内容 平移核心法则：左右平移变横坐标，上下平移变纵坐标；右加左减，上加下减，纵坐标、横坐标互不干扰。 左右平移k个单位：向右平移→；向左平移→ 上下平移k个单位：向上平移→；向下平移→ 示例 点先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，求平移后坐标： 第一步左移4个单位：，得；第二步上移5个单位：，最终坐标。 易错点 平移方向与加减混淆，向左平移误加，向右平移误减，上下平移同理。 连续平移时顺序颠倒，导致最终坐标计算错误。 平移距离为负数时理解错误，比如“向左平移个单位”实际是向右平移2个单位。 知识点06 用坐标表示地理位置 核心内容 步骤：选合适的点为原点→确定x轴、y轴正方向（常规东为x轴正，北为y轴正）→设定统一单位长度→根据实际位置确定点的坐标。 核心：原点和单位长度不同，同一点的坐标不同，需提前明确标注。 示例 以超市为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，1个单位长度代表100米。医院在超市西300米、北200米处，求医院坐标： 西为x轴负方向，北为y轴正方向，300米=3个单位，200米=2个单位，故医院坐标。 易错点 坐标轴正方向与实际方向混淆，把西、南当成正方向，导致坐标符号错误。 单位长度不统一，实际距离与坐标单位换算错误。 未标注原点和单位长度，直接写坐标，导致坐标无实际意义。 题型一 有序数对表示位置 解｜题｜技｜巧 第一步：明确有序数对的核心定义； 第二步：根据题干给出的位置规则，确定有序数对与位置的对应关系； 第三步：根据规则写出对应有序数对或确定对应位置，判断书写规范与否 易｜错｜点｜拨 1.忽略有序数对的“顺序性”，误认为与表示同一个位置； 2. 书写不规范，遗漏括号、逗号，或颠倒数对顺序； 3. 混淆有序数对与坐标的区别，误将有序数对的“列/行”与坐标的“横/纵”混淆； 4. 未遵循题干给定的位置规则（如题干要求“先行后列”，仍按“先列后行”书写） 【典例1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，“★”的位置用数对表示，则数对表示的是（   ） A．▲ B．◆ C．● D．■ 【答案】A 【解析】解：由分析可知“★”的位置用数对表示，那么数对表示是“▲”的位置， 故选：A． 【变式1】一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘故障船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船点O为中心的等距线(图中所示的同心圆，单位：海里)及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（   ） A．向北偏西方向航行4海里 B．向南偏西方向航行4海里 C．向北偏西方向航行4海里 D．向南偏东方向航行4海里 【答案】C 【解析】解：应该将搜救船的航行方案调整为向北偏西方向航行4海里． 故选C． 【变式2】两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ________．（写汉字） 4 Q R S U V X 3 T B E I N P 2 W D A H L M Y 1 O C G F J K Z 1 2 3 4 5 6 7 【答案】猫 【解析】解：∵咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示对应的字母为“”， ∴“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示对应的字母为“”． 故答案为：猫． 题型二 象限划分辨析 解｜题｜技｜巧 第一步：牢记象限逆时针划分顺序（第一→第二→第三→第四）； 第二步：对照象限符号规律（一正正、二负正、三负负、四正负）； 第三步：判断题干描述的象限顺序、符号是否符合规律，排除错误表述 易｜错｜点｜拨 1. 顺时针划分象限，误将第二象限记为第四象限、第三象限记为第二象限； 2. 混淆各象限的符号规律，如将第二象限误记为、第四象限误记为； 3. 错误认为“坐标轴上的点属于某一象限”，忽略坐标轴上的点无象限归属 【典例1】（2026·河北张家口·一模）若，，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， ∵点的横坐标，纵坐标， 又∵第三象限内点的横、纵坐标均为负数， ∴点在第三象限． 【变式1】（24-25七年级下·河北邢台·期末）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】解：∵x、y是方程组和的公共解， ∴满足方程组 解这个方程组得 把代入 ， 解得 ∴点在第四象限． 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． (1)①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； (2)若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 【答案】(1)①；② (2)m的值为或 【解析】（1）解：①点的坐标为， 它的“美点”坐标为，即． ②设点的坐标为， 由题意可知， 解得， 点的坐标为； （2）解：点， 它的“美点” 坐标为，即， 当位于轴上， ， 解得， 当位于轴上， ， 解得：． 综上所述，的值为或． 题型三 坐标轴上的点 解｜题｜技｜巧 第一步：明确x轴上点的特征（纵坐标为0）、y轴上点的特征（横坐标为0）； 第二步：牢记“坐标轴上的点无象限归属”这一核心； 第三步：判断题干描述是否符合该特征，排除错误归属 易｜错｜点｜拨 1.误将x轴正半轴上的点归为第一象限、x轴负半轴归为第三象限； 2.误将y轴正半轴上的点归为第一象限、y轴负半轴归为第四象限； 3. 忽略原点既在x轴又在y轴，错误认为原点属于第一象限 【典例1】已知点在轴上，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】D 【解析】解：∵点在轴上， ∴， ∴﹒ 故选：D 【变式1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，其中a为整数．点C在线段上，且点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（　　）个． A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【解析】解：当时，如图1， 此时，线段上不存在点C在y轴上； 当时，如图2， 此时，线段上不存在点C在y轴上； ∵为整数， ∴的取值为， ∴满足条件的点C的坐标有4个； 当，如图3， 此时，线段上不存在点C在y轴上； 综上，满足条件的点C的坐标有4个， 故选：B． 【变式2】已知x轴上一点P，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或者 D．或者 【答案】C 【解析】解：∵x轴上一点P，到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标的绝对值为3，纵坐标为0， ∴点P的坐标为或， 故选：C． 题型四 特殊位置点坐标 解｜题｜技｜巧 第一步：精准定位点的特殊位置，匹配对应坐标特征公式； 第二步：根据坐标特征列等式方程，求解未知参数； 第三步：将参数回代，确定点的最终坐标，核对是否符合位置要求 易｜错｜点｜拨 区分平行于x轴、y轴的点的坐标差异，不混淆两类角平分线的坐标关系， 牢记原点的多重特殊属性，避免方程列错 【典例1】（25-26八年级上·河北保定·期末）已知点在第三象限，到轴距离为5，到轴距离为3，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：点在第三象限， 点的横、纵坐标均为负数， 点到轴的距离为5，到轴的距离为3， 点纵坐标的绝对值为5，横坐标的绝对值为3， 点的坐标为， 故选：B． 【变式1】已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值（    ） A． B．或2 C．2 D．6或 【答案】A 【解析】解：点在第二、四象限的角平分线上， ，解得． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，作轴于， ， ∵平分，于点，轴于， ∴， ∵点到轴的距离是4， ∴点的坐标为， 故选：A． 题型五 点到坐标轴距离 解｜题｜技｜巧 第一步：牢记核心法则，到x轴距离对应纵坐标绝对值，到y轴距离对应横坐标绝对值； 第二步：已知坐标求距离，直接套用绝对值公式计算； 第三步：已知距离求坐标，先确定绝对值对应的数值，再结合象限符号确定坐标正负 易｜错｜点｜拨 不混淆距离与横纵坐标的对应关系， 已知距离求坐标时必须考虑绝对值的双解性， 结合象限限定排除不符合的解 杜绝符号书写错误 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知点，轴，垂足为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵点，轴，垂足为C， ∴C点坐标为． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，P为直线上的动点，当的长度最小时，点P的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为点A坐标为，点B坐标为， 所以直线为 由垂线段最短可知， 当时，取得最小值． 又因为点C坐标为， 所以点P坐标为， 故选：B 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若为“完美点”，a的值为（   ） A．0 B．2 C．或2 D．0或2 【答案】D 【解析】解：∵为“完美点”， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：D 题型六 点的对称 解｜题｜技｜巧 第一步：明确对称类型，对应记忆变号规律； 第二步：按照“对称哪轴，哪轴坐标不变，另一轴变号；原点对称全变号”规则计算； 第三步：规范书写对称点坐标，保证先横后纵顺序 易｜错｜点｜拨 不混淆三种对称的变号规律， 特殊点（坐标轴上点）对称处理时不遗漏变号步骤， 杜绝坐标顺序颠倒 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点关于轴对称的点在第二象限，且为整数，则关于的分式方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【解析】解：点关于轴对称的点为， ∵在第二象限， ，解得， 为整数， ， 将代入分式方程，得， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 【变式1】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】D 【解析】解：由作法得平分， 即点P在第一象限的角平分线上， 所以， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【解析】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 题型七 点的平移 解｜题｜技｜巧 第一步：遵循“左右移变横坐标，上下移变纵坐标；右加左减，上加下减”法则； 第二步：单次平移直接套用法则计算，连续平移分步运算，不跳步； 第三步：已知平移前后坐标，反向对比坐标变化确定平移方向和距离 易｜错｜点｜拨 平移方向与加减运算不搞反， 连续平移严格按题干顺序计算， 不误解负距离的平移含义，避免一步到位导致计算失误 【典例1】在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵蚂蚁从点出发，先水平向右爬行个单位， ∴坐标增加，得； ∵然后又竖直向下爬行个单位， ∴坐标减少，得； ∴此时蚂蚁的位置是. 故选：D． 【变式1】2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点，无人机从巡检起点出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点．当无人机位置到基站O的距离大于的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，此时，， 当无人机处于“信号增强模式”时，点处于之间， y的取值范围为， 故选：D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，过A作轴， ∵是等边三角形，边长为2， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点， ∴，即． 故选：D． 题型八 坐标表示实际方位 解｜题｜技｜巧 第一步：选定合适原点，确定x轴、y轴正方向（常规东为x正、北为y正）； 第二步：设定统一单位长度，标注清楚原点和单位； 第三步：根据实际方位与坐标轴的关系，确定坐标正负和数值，规范书写； 第四步：核对坐标是否符合实际位置要求 易｜错｜点｜拨 方向与坐标轴正方向对应准确，单位长度统一， 必须标注原点和单位长度，不出现方位与符号不匹配的错误 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说：“如果我的位置用表示，小军的位置用表示，那么你的位置可以表示成（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：以小华的位置为坐标原点，根据小军的位置可知，网格中每一格代表2个单位长度． 观察小刚的位置，从原点出发，横向向右移动4个单位，纵向向上移动4个单位，因此小刚的位置为． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·河北雄安·月考）你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格（设每个网格的边长为1）的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色的5个棋子先排成一条直线（横、竖、斜均可）就算获胜．如图，是两位同学正在玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)在平面直角坐标系中找出坐标为的棋子，并在棋子上用数字3表示出来； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步获胜，请写出这一步黑棋的坐标（写出所有满足条件的坐标）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【解析】（1）解：∵棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ； （2）解：根据坐标找出棋子如图所示： （3）解：由题意可得当黑棋下在或时，能形成连续的个黑棋排成一条直线，从而使黑棋获胜． 【变式2】（20-21七年级下·河北沧州·期中）七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向） (1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来； (2)写出这三位同学所在位置的景点名称； (3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 【答案】(1)见解析 (2)赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； (3)牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园在中心广场东南方向，相距米 【解析】（1）解：根据题意，他们是以中心广场为原点，100米为单位长度，建立直角坐标系，如图： （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系，可知： 赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； （3）解：根据题意，得牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园相对中心广场的位置为游乐园在中心广场东南方向，相距米． 题型九 平行于坐标轴直线上点的坐标计算 解｜题｜技｜巧 第一步：牢记平行于坐标轴直线的坐标特征（平行x轴纵坐标相等，平行y轴横坐标相等）； 第二步：根据特征列等式，求解未知参数； 第三步：核对点的位置，确保符合直线特征 易｜错｜点｜拨 1. 混淆两条直线的坐标特征，误将平行x轴记为横坐标相等，平行y轴记为纵坐标相等； 2. 忽略“直线上点的横/纵坐标相等，但横/纵坐标可正可负”，只考虑正数情况； 3. 计算参数时，未回代验证，导致结果不符合直线特征 【典例1】（2026八年级下·河北·专题练习）过点且平行于y轴的直线可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意得：过点且平行于y轴的直线表示为， 故选：A 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知点． (1)若点在轴上，请求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，请求出点的坐标； (3)当时，若轴，且，写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【解析】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到轴、轴的距离相等 ∴ ∴ ∴，， ∴； （3）解：当时，， ∴ ∵，轴， ∴或， ∴或 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第二象限，求的取值范围； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴距离之和为11，求点的坐标； (3)若点的坐标为，直线轴，线段的长为8，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【解析】（1）∵点A在第二象限， ∴ 解得； （2）∵点A在第一象限，到两坐标轴距离之和为11 ∴ 解得， ∴点A的坐标为 （3）∵轴，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵线段的长为8， ∴或， 即：或， ∴或； ∴或． 题型十 坐标系与几何图形综合题 解｜题｜技｜巧 第一步：根据给出的顶点坐标，结合点到坐标轴距离、对称、平移规律，确定图形各边的长度； 第二步：根据图形特征列等式，求解未知顶点坐标； 第三步：计算图形周长、面积，或判断图形形状，规范书写解题步骤 易｜错｜点｜拨 1.求图形边长时，混淆“横坐标差”与“纵坐标差”，平行于x轴的边误算纵坐标差，平行于y轴的边误算横坐标差； 2.求未知顶点坐标时，遗漏图形的多种可能性（如等腰三角形的顶角顶点可能在不同位置），导致漏解； 3.计算面积时，底和高对应错误，未结合坐标确定正确的底和高； 4. 判断图形形状时，未结合坐标验证（如判断直角三角形，未验证两边的斜率关系或距离关系） 【典例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)平行于轴 (3)或 (4)存在，满足条件的点P的坐标为或 【解析】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴； （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时， ， 当时， ， 综上可得：或； （4）解：存在，理由如下： 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 综上所述，满足条件的点P的坐标为或 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的正半轴上，且． ①求证：； ②求的值． (2)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的负半轴上，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；②10 (2)10 【解析】（1）①证明：如图，过点作轴于，作轴于， ， ， ， 在和， ， ， ， ， ． ②解：∵， ， ， ． （2）解：如图，过点作轴于，作轴于， 同理得， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知点，点，且a，b满足关系式 (1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； (3)如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【解析】（1）解：， ，， ，， 点A的坐标为，点B的坐标为 故答案为：，； （2）解：， ，即， ， 则，， 点C的坐标为或 （3）解：，， ， ， ， 点D是的中点， ，， 点D的坐标为 题型十一 点的坐标规律 解｜题｜技｜巧 第一步：列出已知点的坐标，分别观察横坐标、纵坐标的变化规律； 第二步：总结规律，用含n的代数式表示第n个点的横纵坐标； 第三步：根据规律验证已知点，确保规律正确，再据此写出指定点的坐标或判断点是否在序列中 易｜错｜点｜拨 1.只观察横坐标或只观察纵坐标，忽略横纵坐标之间的关联规律； 2. 规律总结不全面，忽略循环规律、奇偶项差异； 3. 用含n的代数式表示规律时，取值范围错误； 4. 验证规律时，只验证前1-2个点，导致规律错误 【典例1】（2026·河北石家庄·一模）已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】解：由题意，当点先连续做了次“正横跳马”，再连续做次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ①②，得：， ， 【变式1】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图所示的平面直角坐标系中，有一边长为的等边三角形，点，分别在轴、轴上，且．将进行“翻折、平移、翻折、平移”操作：将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到；将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到…如此循环操作（点分别是点，，的对应点，是正整数），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据题意画出图形，如图， 由题意可得：， 设为非负整数， 由，，，在轴上方，，，，在轴上， ∴，在轴上方，，在轴上， ∵， ∴点在轴上方， ∵，，，， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，以为坐标原点，射线ON为轴建立平面直角坐标系，点，，，…在轴上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形．若，则点的横坐标为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 【答案】D 【解析】解：如图，过点作轴于点C， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点的横坐标为， 同理可得：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 故选：D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列坐标在轴的正半轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在轴的正半轴上， 故选：A 2.（20-21八年级上·河北沧州·期末）若点P(-1，2)关于y轴对称点的坐标为（   ） A．(1，2) B．(-1，2) C．(1，-2) D．(-1，-2) 【答案】A 【解析】点P(-1，2)关于y轴对称点的坐标为(1，2)， 故选：A． 3.把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 【答案】B 【解析】解：点平移到点， 表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位． 故选：B． 4.（24-25八年级下·河北唐山·月考）点在轴上原点的左侧，且它到轴的距离为4，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：点P在轴上， 该点纵坐标为， 又点到轴的距离为， ， 则或， ∵点在轴上原点的左侧， ∴， ∴不符合题意舍去， 点坐标， 故选：C． 5.已知点，． (1)若点关于轴对称，求的值； (2)若关于轴对称，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【解析】（1）解：∵点关于轴对称， ∴， 解得， ∴，； （2）解：∵点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（24-25八年级下·河北唐山·月考）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【解析】解：由题意可知，， ∴， 则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处， 故选：C． 2.已知点和点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】解：点和点关于轴对称， ，， 则． 故选：B． 3.已知点P（2﹣m，m﹣5）在第三象限，则整数m的值是（　　） A．4 B．3，4 C．4，5 D．2，3，4 【答案】B 【解析】解：∵P（2﹣m，m﹣5）在第三象限 ∴ ，解答２＜m＜５ ∵m是整数 ∴m的值为３，４． 故选B． 4.（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点， …3， 当点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第3次反弹，点P的坐标为， 故选：C． 5.在平面直角坐标系中，已知（其中），且． (1)三角形的形状是_________． (2)如图1．若，C为中点，连接，过点A向右作，且，连．过点作直线垂直于x轴，交于点N，求证：． (3)如图2，E在的延长线上，连接，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形； （2）证明：过点D作轴，垂足为H，交于点S．则． ∵， ∴． ∵C为中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂直于x轴，轴， ∴， ∴，． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图2中，过点O作交的延长线于点T，连接． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为8，则的最小值为（   ） A．10 B．14 C．15 D．25 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，且i、j都是整数， ∴的最小值为10， 故选：A． 2.已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 3.（20-21八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，，若点P为x轴上一点，当最大时，点P的坐标为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，作点A关于x轴的对称点，则PA=， ∴≤（当P、、B共线时取等号）， 连接并延长交x轴于P，此时的最大，且点的坐标为（1，－1）， 设直线的函数表达式为y=kx+b， 将（1，－1）、B（2，－3）代入，得： ，解得：， ∴y=－2x+1， 当y=0时，由0=－2x+1得：x=， ∴点P坐标为（，0）， 故选：A 4.（23-24七年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；点P的“乙变换”：将点 P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． (1)若对点进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 ，若对点 B进行1次“乙变换”后得到点，则点 B 的坐标为 ； (2)若对点进行1次“甲变换”， 再进行2次“乙变换”后， 所得到的点D落在y轴上，求m的值及点 D的坐标； (3)若对点进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点 Q， 恰好落在x轴上，直接写出点 Q 的坐标． 【答案】(1)， (2)； (3) 【解析】（1）点的坐标为， 点进行1次“甲变换”后得到的点的坐标，即， 点对点 B进行1次“乙变换”后得到点，， 点坐标为，即． 故答案为：，； （2）点进行1次“甲变换”， 再进行2次“乙变换”后， 所得到的点D坐标为，即， 点D落在y轴上，， ， ， ． （3）设点进行次“甲变换”，再进行次“乙变换”后，所得到的点恰好落在x轴上， ， ， ∴． 5.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为 ． (2)如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【解析】（1）解：如图，过点作轴于点， 则， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：与的数量关系为：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， 轴平分，， 是等腰三角形，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：当B在x轴负半轴，C在y轴负半轴，A在第二象限时，如图，过点作于点， 则， 轴， 四边形是长方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 当B在x轴负半轴，C在y正半轴，A在第二象限时，如图4，过点A作于点H， 则， ∵轴，， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 有序数对表示位置 题型02 象限划分辨析 题型03 坐标轴上的点 题型04 特殊位置点的坐标 题型05 点到坐标轴的距离 题型06 点的对称 题型07 点的平移 题型08 坐标表示实际方位 题型09 平行于坐标轴直线上点的坐标计算 题型10 坐标系与几何图形综合题 题型11 点的坐标规律 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的基本概念 1.能准确说出平面直角坐标系的组成要素 2.判断点所在的象限或坐标轴 3.根据点的位置写出坐标、描出点 基础必考点，常以选择、填空形式考查，侧重对坐标轴、象限符号特征的记忆，是后续考点的基础 特殊位置点的坐标特征 1.能根据点的位置特征快速写出坐标满足的条件 2.根据坐标判断点的特殊位置 高频易错点，易混淆 x 轴、y 轴上点的坐标特征，以及平行于坐标轴的直线上点的横 / 纵坐标规律，常结合分类讨论考查 点到坐标轴的距离 能根据点的坐标求出点到 x 轴、y 轴的距离，或根据点到坐标轴的距离及位置写出点的坐标 期中核心考点，常与点的位置结合考查，易忽略 “距离为非负数，坐标有正负两种可能”，是分类讨论题型的高频命题点 对称点的坐标规律（关于 x 轴、y 轴、原点对称） 能熟练写出一个点关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标，或根据对称点的坐标求原点点坐标 高频考点，选择、填空、解答题均有涉及，易混淆三种对称的坐标变化规律，是后续函数图像对称问题的基础 点的平移规律 能根据平移方向和距离写出平移后点的坐标，或根据平移前后的坐标变化描述平移过程 期中重点考点，常结合图形平移考查，易混淆左右、上下平移对横纵坐标的影响，常与对称、距离问题综合命题 用坐标表示地理位置（建立平面直角坐标系确定点的位置） 能根据实际情境建立合适的平面直角坐标系，写出点的坐标，或根据坐标描述地理位置 解答题常考题型，侧重考查坐标系的实际应用，易忽略 “坐标系原点、单位长度的选择对坐标的影响”，是期中解答题的常见命题形式 知识点01 平面直角坐标系的概念 核心内容 1. 定义：平面内两条互相垂直、有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。水平数轴为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴为y轴（纵轴），向上为正方向，公共交点为坐标原点O。 2. 象限划分：两坐标轴将平面分为四个象限，从右上角开始逆时针依次为第一、二、三、四象限；坐标轴上的点不属于任何象限。 3. 点的坐标：平面内任意一点P，向x轴、y轴分别作垂线，垂足对应的数依次为横坐标a、纵坐标b，记作，严格遵循“先横后纵”的顺序。 4. 象限符号规律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 示例 判断下列点的位置：、、、、、 解：在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；在y轴正半轴；在x轴负半轴。 易错点 坐标顺序颠倒，误将纵坐标写在前、横坐标写在后，比如把点写成，这是最基础的高频错误。 错误认为坐标轴上的点属于某一象限，比如将(0,7)归为第一象限，忽略“坐标轴上的点无象限归属”。 混淆象限顺序，顺时针划分象限，导致点的象限判断错误。 知识点02 特殊点的坐标位置 核心内容 点的位置 坐标特征 x轴上的点 纵坐标为0，记作 y轴上的点 横坐标为0，记作 第一、三象限角平分线上的点 横、纵坐标相等，即 第二、四象限角平分线上的点 横、纵坐标互为相反数，即 平行于x轴的直线上的点 纵坐标完全相等，横坐标不同 平行于y轴的直线上的点 横坐标完全相等，纵坐标不同 示例 1. 若点在x轴上，求m的值：x轴上点纵坐标为0，故，解得。 2. 若点在第二、四象限角平分线上，求a的值：横纵坐标互为相反数，故，解得。 易错点 混淆平行于坐标轴的点的特征，把平行x轴记为横坐标相等，平行y轴记为纵坐标相等，完全记反。 混淆两类角平分线的坐标特征，将一、三象限角平分线记为，二、四象限记为。 忽略原点(0,0)的特殊性，原点同时在x轴、y轴，也在一、三象限角平分线上。 知识点03 点到坐标轴的距离 核心内容 设点为平面内任意一点： 点P到x轴的距离 = 纵坐标的绝对值，即 点P到y轴的距离 = 横坐标的绝对值，即 核心法则：距离一定是非负数，坐标可正可负，距离与坐标符号无关，只和绝对值有关。 示例 1. 求点到x轴、y轴的距离：到x轴距离，到y轴距离。 2. 已知点Q在第二象限，到x轴距离为3，到y轴距离为6，求Q的坐标：第二象限横负纵正，故。 易错点 距离对应坐标混淆，把到x轴距离记为，到y轴距离记为，彻底搞反。 已知距离求坐标时，忽略绝对值的双解性，只写一种坐标，漏掉正负情况。 结合象限判断坐标时，符号书写错误，比如第二象限误写为。 知识点04 对称点的坐标变化法则 核心内容 设点为平面内任意一点，对称点坐标变化遵循“对称哪轴，哪轴坐标不变，另一轴变号”： 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数，即 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数，即 关于原点对称：横、纵坐标均变相反数，即 示例 求点关于x轴、y轴、原点的对称点： 关于x轴对称：；关于y轴对称：；关于原点对称：。 易错点 混淆三种对称的变号规律，比如关于x轴对称时，误将横坐标也变号。 坐标轴上的点对称处理错误，比如点关于x轴对称，误写为，正确为。 对称点坐标顺序写错，依旧出现纵前横后的低级错误。 知识点05 点的平移规律 核心内容 平移核心法则：左右平移变横坐标，上下平移变纵坐标；右加左减，上加下减，纵坐标、横坐标互不干扰。 左右平移k个单位：向右平移→；向左平移→ 上下平移k个单位：向上平移→；向下平移→ 示例 点先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，求平移后坐标： 第一步左移4个单位：，得；第二步上移5个单位：，最终坐标。 易错点 平移方向与加减混淆，向左平移误加，向右平移误减，上下平移同理。 连续平移时顺序颠倒，导致最终坐标计算错误。 平移距离为负数时理解错误，比如“向左平移个单位”实际是向右平移2个单位。 知识点06 用坐标表示地理位置 核心内容 步骤：选合适的点为原点→确定x轴、y轴正方向（常规东为x轴正，北为y轴正）→设定统一单位长度→根据实际位置确定点的坐标。 核心：原点和单位长度不同，同一点的坐标不同，需提前明确标注。 示例 以超市为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，1个单位长度代表100米。医院在超市西300米、北200米处，求医院坐标： 西为x轴负方向，北为y轴正方向，300米=3个单位，200米=2个单位，故医院坐标。 易错点 坐标轴正方向与实际方向混淆，把西、南当成正方向，导致坐标符号错误。 单位长度不统一，实际距离与坐标单位换算错误。 未标注原点和单位长度，直接写坐标，导致坐标无实际意义。 题型一 有序数对表示位置 解｜题｜技｜巧 第一步：明确有序数对的核心定义； 第二步：根据题干给出的位置规则，确定有序数对与位置的对应关系； 第三步：根据规则写出对应有序数对或确定对应位置，判断书写规范与否 易｜错｜点｜拨 1.忽略有序数对的“顺序性”，误认为与表示同一个位置； 2. 书写不规范，遗漏括号、逗号，或颠倒数对顺序； 3. 混淆有序数对与坐标的区别，误将有序数对的“列/行”与坐标的“横/纵”混淆； 4. 未遵循题干给定的位置规则（如题干要求“先行后列”，仍按“先列后行”书写） 【典例1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，“★”的位置用数对表示，则数对表示的是（   ） A．▲ B．◆ C．● D．■ 【变式1】一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘故障船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船点O为中心的等距线(图中所示的同心圆，单位：海里)及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（   ）      A．向北偏西方向航行4海里 B．向南偏西方向航行4海里 C．向北偏西方向航行4海里 D．向南偏东方向航行4海里 【变式2】两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ________．（写汉字） 4 Q R S U V X 3 T B E I N P 2 W D A H L M Y 1 O C G F J K Z 1 2 3 4 5 6 7 题型二 象限划分辨析 解｜题｜技｜巧 第一步：牢记象限逆时针划分顺序（第一→第二→第三→第四）； 第二步：对照象限符号规律（一正正、二负正、三负负、四正负）； 第三步：判断题干描述的象限顺序、符号是否符合规律，排除错误表述 易｜错｜点｜拨 1. 顺时针划分象限，误将第二象限记为第四象限、第三象限记为第二象限； 2. 混淆各象限的符号规律，如将第二象限误记为、第四象限误记为； 3. 错误认为“坐标轴上的点属于某一象限”，忽略坐标轴上的点无象限归属 【典例1】（2026·河北张家口·一模）若，，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25七年级下·河北邢台·期末）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（    ） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． (1)①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； (2)若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 题型三 坐标轴上的点 解｜题｜技｜巧 第一步：明确x轴上点的特征（纵坐标为0）、y轴上点的特征（横坐标为0）； 第二步：牢记“坐标轴上的点无象限归属”这一核心； 第三步：判断题干描述是否符合该特征，排除错误归属 易｜错｜点｜拨 1.误将x轴正半轴上的点归为第一象限、x轴负半轴归为第三象限； 2.误将y轴正半轴上的点归为第一象限、y轴负半轴归为第四象限； 3. 忽略原点既在x轴又在y轴，错误认为原点属于第一象限 【典例1】已知点在轴上，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D． 【变式1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，其中a为整数．点C在线段上，且点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（　　）个． A．3 B．4 C．6 D．7 【变式2】已知x轴上一点P，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或者 D．或者 题型四 特殊位置点坐标 解｜题｜技｜巧 第一步：精准定位点的特殊位置，匹配对应坐标特征公式； 第二步：根据坐标特征列等式方程，求解未知参数； 第三步：将参数回代，确定点的最终坐标，核对是否符合位置要求 易｜错｜点｜拨 区分平行于x轴、y轴的点的坐标差异，不混淆两类角平分线的坐标关系， 牢记原点的多重特殊属性，避免方程列错 【典例1】（25-26八年级上·河北保定·期末）已知点在第三象限，到轴距离为5，到轴距离为3，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值（    ） A． B．或2 C．2 D．6或 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型五 点到坐标轴距离 解｜题｜技｜巧 第一步：牢记核心法则，到x轴距离对应纵坐标绝对值，到y轴距离对应横坐标绝对值； 第二步：已知坐标求距离，直接套用绝对值公式计算； 第三步：已知距离求坐标，先确定绝对值对应的数值，再结合象限符号确定坐标正负 易｜错｜点｜拨 不混淆距离与横纵坐标的对应关系， 已知距离求坐标时必须考虑绝对值的双解性， 结合象限限定排除不符合的解 杜绝符号书写错误 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知点，轴，垂足为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，P为直线上的动点，当的长度最小时，点P的坐标为（      ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若为“完美点”，a的值为（   ） A．0 B．2 C．或2 D．0或2 题型六 点的对称 解｜题｜技｜巧 第一步：明确对称类型，对应记忆变号规律； 第二步：按照“对称哪轴，哪轴坐标不变，另一轴变号；原点对称全变号”规则计算； 第三步：规范书写对称点坐标，保证先横后纵顺序 易｜错｜点｜拨 不混淆三种对称的变号规律， 特殊点（坐标轴上点）对称处理时不遗漏变号步骤， 杜绝坐标顺序颠倒 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点关于轴对称的点在第二象限，且为整数，则关于的分式方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【变式1】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．5 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 题型七 点的平移 解｜题｜技｜巧 第一步：遵循“左右移变横坐标，上下移变纵坐标；右加左减，上加下减”法则； 第二步：单次平移直接套用法则计算，连续平移分步运算，不跳步； 第三步：已知平移前后坐标，反向对比坐标变化确定平移方向和距离 易｜错｜点｜拨 平移方向与加减运算不搞反， 连续平移严格按题干顺序计算， 不误解负距离的平移含义，避免一步到位导致计算失误 【典例1】在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【变式1】2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点，无人机从巡检起点出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点．当无人机位置到基站O的距离大于的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型八 坐标表示实际方位 解｜题｜技｜巧 第一步：选定合适原点，确定x轴、y轴正方向（常规东为x正、北为y正）； 第二步：设定统一单位长度，标注清楚原点和单位； 第三步：根据实际方位与坐标轴的关系，确定坐标正负和数值，规范书写； 第四步：核对坐标是否符合实际位置要求 易｜错｜点｜拨 方向与坐标轴正方向对应准确，单位长度统一， 必须标注原点和单位长度，不出现方位与符号不匹配的错误 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说：“如果我的位置用表示，小军的位置用表示，那么你的位置可以表示成（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河北雄安·月考）你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格（设每个网格的边长为1）的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色的5个棋子先排成一条直线（横、竖、斜均可）就算获胜．如图，是两位同学正在玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)在平面直角坐标系中找出坐标为的棋子，并在棋子上用数字3表示出来； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步获胜，请写出这一步黑棋的坐标（写出所有满足条件的坐标）． 【变式2】（20-21七年级下·河北沧州·期中）七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向） (1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来； (2)写出这三位同学所在位置的景点名称； (3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 题型九 平行于坐标轴直线上点的坐标计算 解｜题｜技｜巧 第一步：牢记平行于坐标轴直线的坐标特征（平行x轴纵坐标相等，平行y轴横坐标相等）； 第二步：根据特征列等式，求解未知参数； 第三步：核对点的位置，确保符合直线特征 易｜错｜点｜拨 1. 混淆两条直线的坐标特征，误将平行x轴记为横坐标相等，平行y轴记为纵坐标相等； 2. 忽略“直线上点的横/纵坐标相等，但横/纵坐标可正可负”，只考虑正数情况； 3. 计算参数时，未回代验证，导致结果不符合直线特征 【典例1】（2026八年级下·河北·专题练习）过点且平行于y轴的直线可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知点． (1)若点在轴上，请求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，请求出点的坐标； (3)当时，若轴，且，写出点的坐标． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第二象限，求的取值范围； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴距离之和为11，求点的坐标； (3)若点的坐标为，直线轴，线段的长为8，请直接写出的值． 题型十 坐标系与几何图形综合题 解｜题｜技｜巧 第一步：根据给出的顶点坐标，结合点到坐标轴距离、对称、平移规律，确定图形各边的长度； 第二步：根据图形特征列等式，求解未知顶点坐标； 第三步：计算图形周长、面积，或判断图形形状，规范书写解题步骤 易｜错｜点｜拨 1.求图形边长时，混淆“横坐标差”与“纵坐标差”，平行于x轴的边误算纵坐标差，平行于y轴的边误算横坐标差； 2.求未知顶点坐标时，遗漏图形的多种可能性（如等腰三角形的顶角顶点可能在不同位置），导致漏解； 3.计算面积时，底和高对应错误，未结合坐标确定正确的底和高； 4. 判断图形形状时，未结合坐标验证（如判断直角三角形，未验证两边的斜率关系或距离关系） 【典例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的正半轴上，且． ①求证：； ②求的值． (2)点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的负半轴上，且，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知点，点，且a，b满足关系式 (1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； (3)如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 题型十一 点的坐标规律 解｜题｜技｜巧 第一步：列出已知点的坐标，分别观察横坐标、纵坐标的变化规律； 第二步：总结规律，用含n的代数式表示第n个点的横纵坐标； 第三步：根据规律验证已知点，确保规律正确，再据此写出指定点的坐标或判断点是否在序列中 易｜错｜点｜拨 1.只观察横坐标或只观察纵坐标，忽略横纵坐标之间的关联规律； 2. 规律总结不全面，忽略循环规律、奇偶项差异； 3. 用含n的代数式表示规律时，取值范围错误； 4. 验证规律时，只验证前1-2个点，导致规律错误 【典例1】（2026·河北石家庄·一模）已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图所示的平面直角坐标系中，有一边长为的等边三角形，点，分别在轴、轴上，且．将进行“翻折、平移、翻折、平移”操作：将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到；将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到…如此循环操作（点分别是点，，的对应点，是正整数），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，以为坐标原点，射线ON为轴建立平面直角坐标系，点，，，…在轴上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形．若，则点的横坐标为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列坐标在轴的正半轴上的是（    ） A． B． C． D． 2.（20-21八年级上·河北沧州·期末）若点P(-1，2)关于y轴对称点的坐标为（   ） A．(1，2) B．(-1，2) C．(1，-2) D．(-1，-2) 3.把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 4.（24-25八年级下·河北唐山·月考）点在轴上原点的左侧，且它到轴的距离为4，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5.已知点，． (1)若点关于轴对称，求的值； (2)若关于轴对称，求的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（24-25八年级下·河北唐山·月考）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 2.已知点和点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 3.已知点P（2﹣m，m﹣5）在第三象限，则整数m的值是（　　） A．4 B．3，4 C．4，5 D．2，3，4 4.（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5.在平面直角坐标系中，已知（其中），且． (1)三角形的形状是_________． (2)如图1．若，C为中点，连接，过点A向右作，且，连．过点作直线垂直于x轴，交于点N，求证：． (3)如图2，E在的延长线上，连接，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为8，则的最小值为（   ） A．10 B．14 C．15 D．25 2.已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.（20-21八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，，若点P为x轴上一点，当最大时，点P的坐标为（　　　） A． B． C． D． 4.（23-24七年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；点P的“乙变换”：将点 P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度． (1)若对点进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 ，若对点 B进行1次“乙变换”后得到点，则点 B 的坐标为 ； (2)若对点进行1次“甲变换”， 再进行2次“乙变换”后， 所得到的点D落在y轴上，求m的值及点 D的坐标； (3)若对点进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点 Q， 恰好落在x轴上，直接写出点 Q 的坐标． 5.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为 ． (2)如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $