专题02 平行线五大热考模型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题02 平行线五大热考模型（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 “铅笔模型” 题型02 “猪蹄模型” 题型03 “鸡翅模型” 题型04 “骨折模型” 题型05 多个拐点模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 铅笔模型的角度关系及推导 掌握模型特征，能快速推导角度和，熟练作辅助线 基础必考点，小题为主，难度低，易得分 猪蹄模型的角度关系及推导 牢记模型结论，能灵活作辅助线转化角度 高频基础题，选择/填空为主，偶尔结合解答题 鸡翅模型的角度求和及推导 掌握多拐角求和方法，准确作辅助线 中档考点，小题、解答题均有涉及，难度适中 骨折模型的角度和差关系 能识别模型，熟练拆分角度、转化关系 中档易错点，解答题常考，易漏辅助线 多个拐点模型的角度计算 掌握多拐点辅助线作法，精准求和/差 压轴基础题，解答题末尾出现，难度中等 模型01 “铅笔模型” 模型02 “猪蹄模型” 模型03 “鸡翅模型” 模型04 “骨折模型” 模型006 题型06 多个拐点模型 题型一 “铅笔模型” 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被一条折线所截，折线呈“铅笔”状（拐角向外）。 核心结论：若a∥b，折线拐角为∠1、∠2，则∠1 + ∠2 = 180°。 解题技巧：过拐角顶点作平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”推导。 【典例1】如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（    ）. A．30° B．40° C．50° D．65° 【变式1】如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所 示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______． 【变式4】如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）． 【变式5】如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 题型02 “猪蹄模型” 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被一条折线所截，折线呈“猪蹄”状（拐角向内凹陷）。 核心结论：若a∥b，折线拐角为∠1、∠2、∠3，则∠2 = ∠1 + ∠3。 解题技巧：过中间拐角顶点作平行线，转化为内错角或同位角，利用平行线性质推导。 【典例1】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，，，，则________°． 【变式1】如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． 【变式2】27．（20-21七年级下·湖北武汉·月考）如图，已知，和分别平分和，若，则________．    【变式3】已知直线 ， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【变式4】阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【变式5】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知为两条互相平行的直线之间一点，和的角平分线相交于，． (1)求证：． (2)连接，当，时，求的度数． (3)若时，将线段沿射线方向平移，记平移后的线段为，分别对应，当时，求的度数． 题型三“鸡翅模型” 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被一条折线所截，折线呈“鸡翅”状（拐角向外凸起）。 核心结论：若a∥b，折线拐角为∠1、∠2、∠3，则∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°。 解题技巧：过两个拐角顶点分别作平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”求和。 【典例1】如图，已知，，，则 ． 【变式1】如图，AB∥CD，E为AB上方一点，FB，HG分别平分∠EFG，∠EHD．若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【变式2】如图，直线AB∥CD，M、N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连接HM，HN，延长 HN至点G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．若∠H＝α，则∠MEN可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B．180°﹣α C． D．90°+α 【变式3】已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC． （1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系； （2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数． 【变式4】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°． （1）求∠AEP的度数； （2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）； ②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝　 　． 【变式5】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，G，E是直线上两点，点G在点E左侧，过点G的直线与过点B的直线交于点P，直线交直线于点H，满足点E在线段上，． (1)求证：； (2)如图2，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数； (3)在（2）的条件下，若点M是直线上一点，直线交直线于点N，点N在点B左侧，请直接写出和的数量关系，（题中所有角都是大于且小于的角） 题型四 “骨折模型” 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被一条多折折线所截，折线呈“骨折”状（多个连续拐角）。 核心结论：若a∥b，奇数个拐角之和等于偶数个拐角之和（或根据拐角方向求和/差）。 解题技巧：过每个拐角顶点作平行线，依次转化角度关系，抵消多余角度。 【典例1】如图，直线，，，则 度． 【变式1】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 【变式2】已知：直线AB∥CD，点P在AB的上方，且∠AEP＝50°，∠PFC＝120°． （1）如图1，求∠EPF的度数； （2）如图2，若∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． 【变式3】如图1，已知，AB∥CD，点F在CD上，射线FG交AB于点G，点E为射线FG上一点． （1）当点E在线段FG上时，若∠ABE＝36°，∠DCE＝30°，则∠CEB＝　 ； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时AB与CE交于点H，则∠CEB、∠ECD、∠EBA之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图3，BI平分∠ABE，交CE于点K，交CI于点Γ，且∠ECI：∠DCI＝1：2，∠CEB＝22°，∠I＝20°，求∠BKE的度数． 【变式4】（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【变式5】阅读材料： 如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明. 小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”. 请按照小白的想法完成解答： 拓展延伸： 保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）. 题型五 多个拐点模型 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被多条折线所截，（多条折线，区别于单条折线的骨折模型），角度关系复杂。 核心结论：拐点个数为n时，所有拐角之和为(n-1)×180°（根据拐角方向调整和差）。 解题技巧：过每个拐点作平行线，遵循“逢拐点作平行”原则，逐步梳理角度关系。 【典例1】如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【变式1】如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【变式4】已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则______． 【变式4】（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由； （2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    【变式5】已知：如图1，，．        （1）判断图中平行的直线，并给予证明； （2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，直线，，则（     ） A．150° B．180° C．210° D．240° 2．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如图，，平分，，，则 ． 7．如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（　　） A．149° B．149.5° C．150° D．150.5° 8．如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 9．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 83．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，点E、F分别是直线上的点．    (1)若点P在之间， ①求证：； ②若，与的平分线交于点M，求的度数． (2)若点P在的上方，与的平分线交于点G，若，用含的代数式表示． 11.（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上． 求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值； (3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线五大热考模型（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 “铅笔模型” 题型02 “猪蹄模型” 题型03 “鸡翅模型” 题型04 “骨折模型” 题型05 多个拐点模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 铅笔模型的角度关系及推导 掌握模型特征，能快速推导角度和，熟练作辅助线 基础必考点，小题为主，难度低，易得分 猪蹄模型的角度关系及推导 牢记模型结论，能灵活作辅助线转化角度 高频基础题，选择/填空为主，偶尔结合解答题 鸡翅模型的角度求和及推导 掌握多拐角求和方法，准确作辅助线 中档考点，小题、解答题均有涉及，难度适中 骨折模型的角度和差关系 能识别模型，熟练拆分角度、转化关系 中档易错点，解答题常考，易漏辅助线 多个拐点模型的角度计算 掌握多拐点辅助线作法，精准求和/差 压轴基础题，解答题末尾出现，难度中等 模型01 “铅笔模型” 模型02 “猪蹄模型” 模型03 “鸡翅模型” 模型04 “骨折模型” 模型006 题型06 多个拐点模型 题型一 “铅笔模型” 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被一条折线所截，折线呈“铅笔”状（拐角向外）。 核心结论：若a∥b，折线拐角为∠1、∠2，则∠1 + ∠2 = 180°。 解题技巧：过拐角顶点作平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”推导。 【典例1】如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（    ）. A．30° B．40° C．50° D．65° 【答案】B 【分析】由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作直线， ∵直线m//n，， ∴， ∴∠2+∠3=180°， ∵∠2=130°， ∴∠3=50°， ∵∠B=90°， ∴∠4=90°-50°=40°， ∵， ∴∠1=∠4=40°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键． 【变式1】如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形构造平行线的辅助线是解题的关键．过点作，根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 【变式2】如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所 示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 【变式4】如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 【变式5】如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解； （2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解； （3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE； （3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA， 由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键． 题型02 “猪蹄模型” 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被一条折线所截，折线呈“猪蹄”状（拐角向内凹陷）。 核心结论：若a∥b，折线拐角为∠1、∠2、∠3，则∠2 = ∠1 + ∠3。 解题技巧：过中间拐角顶点作平行线，转化为内错角或同位角，利用平行线性质推导。 【典例1】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，，，，则________°． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过的顶点作，则，由平行线的性质得到，，进而得到，再结合已知条件即可求出答案． 【详解】解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作，利用两直线平行内错角相等，可推出，同理，然后利用角平分线的定义可推出，同理可求得，，……，进而得到，即可求得答案． 【详解】解：如图，过作， ， ， ，， ， ； 同理， 和的平分线，交点为， ，， ， 同理， ， …… ， 度， 度． 故选：A． 【变式2】27．（20-21七年级下·湖北武汉·月考）如图，已知，和分别平分和，若，则________．    【答案】/度 【分析】过作，过作，可得，，， ， ，即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，   ， ， ，， ，， 设，， ，， 和分别平分和， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质，作出适当的辅助线是解题的关键． 【变式3】已知直线 ， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，由，可得，则，； （2）由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解；①当点在点上方，如图2，作， 过程同（1）；②当点在点下方，如图3，作，过程同①． 【详解】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 【变式4】阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②结论： 【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可； （2）①利用基本结论求解即可； ②利用基本结论，，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过作， ， ， ， , ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：①如图2中，由题意，， 平分，平分， ， ， 故答案为：； ②结论：． 理由：如图3中，由题意，，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 【变式5】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知为两条互相平行的直线之间一点，和的角平分线相交于，． (1)求证：． (2)连接，当，时，求的度数． (3)若时，将线段沿射线方向平移，记平移后的线段为，分别对应，当时，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算．熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键． （1）平行线的性质和角平分线平分角，推出，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据平行线的性质和角平分线平分角，求出，，再根据两直线平行，同旁内角互补，得到，进行求解即可； （3）根据，得到，进而得到，根据平行线的性质和角平分线平分角，推出，根据，求出，，根据平移的性质，以及两直线平行同旁内角互补，得到，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵，设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵线段沿直线方向平移得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 题型三“鸡翅模型” 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被一条折线所截，折线呈“鸡翅”状（拐角向外凸起）。 核心结论：若a∥b，折线拐角为∠1、∠2、∠3，则∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°。 解题技巧：过两个拐角顶点分别作平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”求和。 【典例1】如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】如图，AB∥CD，E为AB上方一点，FB，HG分别平分∠EFG，∠EHD．若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【答案】B． 【分析】延长FG交CD于点M，先利用角平分线的定义可得∠1＝∠2∠EFG，∠3＝∠4∠EFD，再利用猪脚模型可得∠FGH＝∠4+∠2，从而可得2∠FGH＝∠EHD+∠EFG，然后利用平行线的性质可得∠6＝∠EHM，再利用三角形的外角性质可得∠1＝∠E+∠6＝∠E+∠EHD，最后根据∠E+2∠G＝210°，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长FG交CD于点M， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠5，∠6＝∠EHM， ∵FB，HG分别平分∠EFG，∠EHD， ∴∠1＝∠2∠EFG，∠3＝∠4∠EFD， ∵∠FGH是△GHM的一个外角， ∴∠FGH＝∠4+∠5， ∴∠FGH＝∠4+∠2 ∠EHD∠EFG， ∴2∠FGH＝∠EHD+∠EFG， ∵∠1是△ENF的一个外角， ∴∠1＝∠E+∠6， ∴∠1＝∠E+∠EHD， ∵∠E+2∠G＝210°， ∴∠E+∠EHD+∠EFG＝210°， ∴∠1+∠EFG＝210°， ∴∠EFG+∠EFG＝210°， 解得：∠EFG＝140°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2】如图，直线AB∥CD，M、N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连接HM，HN，延长 HN至点G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．若∠H＝α，则∠MEN可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B．180°﹣α C． D．90°+α 【答案】C． 【分析】设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB，先利用角平分线的定义可得：∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND，然后利用猪脚模型可得：∠MEN＝∠BMD+∠DNE（∠BMH+∠GND），再利用平行线的性质可得∠BMH＝∠DQH，最后利用三角形的外角性质可得∠H＝∠DQH﹣∠DNH，从而可得∠H＝∠BMH﹣180°+∠GND，进而可得∠BMH+∠GND＝180°+α，再进行计算即可解答． 【详解】解：设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB， ∴∠BMD＝∠MEP， ∵AB∥CD， ∴EP∥CD， ∴∠PEN＝∠DNE， ∵MD平分∠BMH，NE平分∠GND， ∴∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND， ∴∠MEN＝∠MEP+∠PEN ＝∠BMD+∠DNE ∠BMH∠GND （∠BMH+∠GND）， ∵AB∥CD， ∴∠BMH＝∠DQH， ∵∠DQH是△NQH的一个外角， ∴∠H＝∠DQH﹣∠DNH， ∴∠H＝∠BMH﹣（180°﹣∠GND）＝∠BMH﹣180°+∠GND， ∵∠H＝α， ∴∠BMH+∠GND＝180°+∠H＝180°+α， ∴∠MEN（∠BMH+∠GND）＝90°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式3】已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC． （1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系； （2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）见解析；（3）∠EBC=105°． 【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解． （2）画辅助平行线找角的联系． （3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解． 【详解】解：（1）如图1， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠A+∠AOB=90°， ∠A+∠C=90°， 故答案为：∠A+∠C=90°； （2）如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠CBG， ∴∠ABD=∠C； （3）如图3，过点B作BG∥DM， ∵AM∥CN， ∴CN∥BG， ∴∠CBG=∠BCN， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， ∵∠ABD=∠NCB， ∴∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β， 则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∵BG∥DM， ∴∠DFB=∠GBF=β， ∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键． 【变式4】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°． （1）求∠AEP的度数； （2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）； ②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝　 　． 【答案】（1）150°；（2）①∠MEP＝60°或120°；②或 【分析】（1）根据平行线的性质及三角形外角性质可得答案； （2）①由角平分线的定义得∠EPN＝30°，再根据三角形外角性质可得答案； ②利用三角形外角性质列出方程，通过解方程即可得到问题的答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB//CD，PF⊥CD， ∴PF⊥AB， ∴∠AMP＝90°， ∵∠FPE＝60°， ∴∠AEP＝∠FPE +∠AMP ＝150°； （2）如图2，①当PN平分∠EPF时，∠EPN＝30°时， 运动时间t＝ ＝3（秒），此时ME也运动了3秒， ∴∠AEM＝3×10°＝30°， ∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°； PN继续运动至PF时，返回时，当PN平分∠EPF时，运动时间至 ＝9（秒）时，此时ME也运动了9秒， ∴∠AEM＝9×10°＝90°， ∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°； 当第二次PE运动至PF时，当PN平分∠EPF时，运动了（秒） ∴∠AEM＝15×10°＝150°， ∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合题意； 综上所述，∠MEP的度数为60°或120°； ②如图3， 当0≤t≤6时，此时∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°， ∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t， 当150°﹣20t＝120°时，t＝ ， 当150°﹣20t＝60°时，t＝ ； 当6＜t≤12时，此时∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°， ∠PHE＝30°，不成立， 当12＜t≤15时，此时∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°， ∠PHE＝270°﹣20t， ∠PHE＝270°﹣20t＝60°时，t＝ （不合题意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝ （不合题意） 故答案为：或． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形外角性质是解决此题关键． 【变式5】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，G，E是直线上两点，点G在点E左侧，过点G的直线与过点B的直线交于点P，直线交直线于点H，满足点E在线段上，． (1)求证：； (2)如图2，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数； (3)在（2）的条件下，若点M是直线上一点，直线交直线于点N，点N在点B左侧，请直接写出和的数量关系，（题中所有角都是大于且小于的角） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）根据对顶角可得，即可求证结论； （2）过点作，则，由角平分线的定义可知，，，由，可得，进而可得，即可得结论； （3）根据点和点的位置不同，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图所示， 则， 由（1）知，， ， ，   ， 平分， ， ∵， ∴， ∴， 平分， ， ∴； 即的度数为． （3）（2）的条件下，若点是直线上的一点，直线交直线于点，点在点左侧，和的数量关系是或或，理由如下： 在（2）的条件下，， 若点在的延长线上， ， ， ， ， 若点在上， ， ， ∵，， ， ， 若点在的延长线上， ， ， ，， ， 综上所述，点在点左侧，和的数量关系是或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，解题过程中，注意数形结合、分类讨论数学思想的应用． 题型四 “骨折模型” 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被一条多折折线所截，折线呈“骨折”状（多个连续拐角）。 核心结论：若a∥b，奇数个拐角之和等于偶数个拐角之和（或根据拐角方向求和/差）。 解题技巧：过每个拐角顶点作平行线，依次转化角度关系，抵消多余角度。 【典例1】如图，直线，，，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，能够发现并证明此题中的结论：． 要求的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形外角，根据三角形的外角的性质进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：30． 【变式1】如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 【答案】57°． 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 【变式2】已知：直线AB∥CD，点P在AB的上方，且∠AEP＝50°，∠PFC＝120°． （1）如图1，求∠EPF的度数； （2）如图2，若∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． 【分析】（1）过点P作PM∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点G作GM∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB， ∴∠MPE＝∠AEP＝50°， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠PFC＝∠MPF＝120°， ∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°； （2）如图2所示， ∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线， ∴，， 过点G作GM∥AB， ∴∠MGE＝∠AEG＝25°， ∵AB∥CD， ∴GM∥CD， ∴∠GFC＝∠MGF＝60°， ∴∠EGF＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 【变式3】如图1，已知，AB∥CD，点F在CD上，射线FG交AB于点G，点E为射线FG上一点． （1）当点E在线段FG上时，若∠ABE＝36°，∠DCE＝30°，则∠CEB＝　 ； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时AB与CE交于点H，则∠CEB、∠ECD、∠EBA之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图3，BI平分∠ABE，交CE于点K，交CI于点Γ，且∠ECI：∠DCI＝1：2，∠CEB＝22°，∠I＝20°，求∠BKE的度数． 【分析】（1）过点E作EH∥AB，则AB∥CD∥EH，即可得到∠DCE＝∠CEH，∠ABE＝∠BEH，然后进一步求解即可； （2）过点E作EP∥AB，则AB∥CD∥EP，即可得到∠DCE＝∠CEP，∠ABE＝∠BEP，然后进一步求解即可； （3）设∠ECI＝α，则∠DCE＝3α，∠DCI＝2α，则∠ABE＝3α﹣22°，∠ABI＝2α﹣20°，根据∠ABE＝∠IBE＝2∠ABI，列方程求出α的值，即可得出∠BKE的度数． 【详解】解：（1）过点E作EH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH， ∴∠DCE＝∠CEH＝30°，∠ABE＝∠BEH＝36°， ∴∠CEB＝∠CEH+∠BEH＝30°+36°＝66°； （2）∠BEC＝∠DCE﹣∠ABE， 过点E作EP∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EP， ∴∠DCE＝∠CEP，∠ABE＝∠BEP， ∴∠BEC＝∠CEP﹣∠BEP＝∠DCE﹣∠ABE； （3）∵∠ECI：∠DCI＝1：2， 设∠ECI＝α，则∠DCE＝3α，∠DCI＝2α， ∵∠CEB＝22°，∠I＝20°， 由（2）可知，∠ABE＝3α﹣22°，∠ABI＝∠IBE＝2α﹣20°， ∵BI平分∠ABE， ∴∠ABE＝∠IBE＝2∠ABI， 即3α﹣22°＝2（2α﹣20°）， 解得：α＝18°， ∴∠ABI＝∠IBE＝2α﹣20°＝16°， 在△BKE中， ∠EKB＝180°﹣∠IBE﹣∠CEB＝180°﹣16°﹣22°＝142°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，熟练作出辅助线构造内错角是解题的关键． 【变式4】（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过P点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点G作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， ，， CD∥PQ． ， 又 ， ， ； （2）， 理由：如图2，过P点作，则， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，∠HGF=∠CFG， 又 的平分线和的平分线交于点G， ，， 由（2）得，， ． 【变式5】阅读材料： 如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明. 小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”. 请按照小白的想法完成解答： 拓展延伸： 保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）. 【答案】阅读材料：，见解析；拓展延伸：. 【分析】（1）作，，，由平行线性质可得，结合已知，可证，进而得到，从而，，将代入可得. （2）过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合（1）的结论和CG平分∠ECD可得∠PHC =∠FCH =120°-，即可得. 【详解】解：【阅读材料】作，，（如图1）. ∵， ∴. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∴，. ∴. ∵， ∴. 【拓展延伸】结论：. 理由：如图，作，过H点作HP∥MN， ∴∠PHA=∠MAH=， 由（1）得FC∥MN， ∴FC∥HP， ∴∠PHC=∠FCH， ∵,CG平分∠ECD， ∴∠ECG=20°+， ∴∠FCH= =180°-()-(20°+) =120°- ∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=+（120°-）=120°- 即：. 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 题型五 多个拐点模型 解｜题｜技｜巧 核心特征：两条平行线被多条折线所截，（多条折线，区别于单条折线的骨折模型），角度关系复杂。 核心结论：拐点个数为n时，所有拐角之和为(n-1)×180°（根据拐角方向调整和差）。 解题技巧：过每个拐点作平行线，遵循“逢拐点作平行”原则，逐步梳理角度关系。 【典例1】如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB    观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 【变式1】如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案． 【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 【变式2】如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD． ∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°． 故选：C． 【变式4】已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则______． 【答案】/88度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4】（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由； （2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    【答案】（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由见解析；（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，一般情况：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 【分析】（1）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5； （2）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 【详解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5． 理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5， ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；    （2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7， ∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．    【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式5】已知：如图1，，．        （1）判断图中平行的直线，并给予证明； （2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析． 【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可； （2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可． 【详解】解：（1）AB∥CD，EF∥HL， 证明如下：∵∠1=∠AMN， ∴∠1+∠2=180°， ∴∠AMN+∠2=180°， ∴AB∥CD； 延长EF交CD于F1， ∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EF1L， ∵∠AEF=∠HLN， ∴∠EF1L=∠HLN， ∴EF∥HL； （2）∠P=3∠Q， 证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB， ∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD， ∴∠RQN=∠QND， ∴∠MQN=∠QMB+∠QND， ∵AB∥CD，PL∥AB， ∴AB∥CD∥PL， ∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND， ∴∠MPN=∠PMB+∠PND， ∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND， ∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND， ∴∠MPN=3∠MQN， 即∠P=3∠Q； 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，直线，，则（     ） A．150° B．180° C．210° D．240° 【答案】C 【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：作直线l平行于直线l1和l2． ， ． ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键． 2．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 3．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的计算与平行线的性质，熟练掌握平行线的性质以及角度之间的关系是解题的关键．利用角度关系，结合已知的角度，通过计算求出的度数． 【详解】解：∵ 镜子与竖直方向的夹角， ∴ ． ∵ 入射角， ∴ ． ∴． ∵ 竖直，竖直， ∴ ， ∴ ． 又∵ 反射角等于入射角， ∴ ． 故选：A． 4．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作， 故选：D． 5．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___． 【答案】 【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数． 【详解】解：过点O作， ∵直线a向下平移得到直线b， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．如图，，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解． 【详解】解：过E点作EM∥AB， ∴∠B=∠BEM， ∵AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠MED=∠D， ∴∠BED=∠B+∠D， ∵EF平分∠BED， ∴∠DEF=∠BED， ∵∠DEF+∠D=66°， ∴∠BED+∠D=66°， ∴∠BED+2∠D=132°， 即∠B+3∠D=132°， ∵∠B-∠D=28°， ∴∠B=54°，∠D=26°， ∴∠BED=80°． 故答案为：80°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键． 7．如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（　　） A．149° B．149.5° C．150° D．150.5° 【答案】B 【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF=∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论． 【详解】如图，过点E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GE， ∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°； 又∵∠BED=61°， ∴∠ABE+∠CDE=299°． ∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F， ∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°， ∵四边形的BFDE的内角和为360°， ∴∠BFD=360°﹣149.5°﹣61°=149.5°． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键． 8．如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作，可设，由，可设，设，而平分，可得，可得，由，可得， 可得答案． 【详解】解：如图，过作， ∴设， ∵， ∴， ∴设， ∵平分， ∴， 设，而平分， ∴， ∵， ∴， 由平角的定义可得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线是解本题的关键． 9．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【答案】(1)证明见详解 (2)①；证明见详解；②；证明见详解 【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； （2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； ②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出． 【详解】（1）解：如图4所示：过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； （2）解：①如图5过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； ②如图6过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 83．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知直线，点E、F分别是直线上的点．    (1)若点P在之间， ①求证：； ②若，与的平分线交于点M，求的度数． (2)若点P在的上方，与的平分线交于点G，若，用含的代数式表示． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①过P作，利用平行线的性质得到，，即可解答； ②根据平行线的性质，可得，故可得，再利用角平分线的定义可得，结合①中结论即可解答； （2）过P作，过G作，利用平行线的性质得到和，再利用角平分线的定义，即可解答． 【详解】（1）解：①过P作，如图1：则， ， ， ， ； ②由①得：， ， 与的平分线交于点M， ，， ， 由①得：； （2）如图2，过P作，过G作， 则， ， ， ， ， 同理：， 与的平分线交于点G， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，作出正确的辅助线是解题的关键． 11.（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上． 求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值； (3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数； （2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论； （3）分别过点作的平行线，则，设，利用（2）中结论，结合平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ，， ； （2）解：如图，过点作，则， ，， ， 同理， 平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：分别过点作的平行线，则， 设， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 由（2）知： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ． 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