专题03 一次函数（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材冀教版

专题03 一次函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一次函数概念辨析题 题型02 求一次函数的值 题型03 待定系数法求一次函数解析式 题型04 函数图像k、b符号与象限判断题 题型05 一次函数图像平移 题型06 一次函数围成三角形面积题 题型07 一次函数与方程、不等式数形结合题 题型08 一次函数最值与方案选择题 题型09 一次函数与几何图形综合题 题型10 一次函数动点存在性问题 题型11 一次函数与分段函数 题型12 一次函数含参数综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正比例函数的概念与性质 1.牢记正比例函数解析式标准形式 （） 2.理解其定义特征，掌握图像性质（过原点的直线）3.明确k的正负对图像象限、增减性的影响 4.会求解析式、画函数图像 基础必考点，是一次函数的特殊形式，常和一次函数对比考查，单独出选择、填空题，也融入基础计算题，考查增减性、图像象限、解析式求解，难度较低 一次函数的概念与标准形式 1.精准掌握一次函数标准式 （，k、b为常数） 2.区分正比例函数与一次函数的从属关系 3.会判断一个函数是否为一次函数 4.明确k、b的几何意义，杜绝忽略的易错点 本章核心基础考点，选择填空必考概念辨析，极易设置“k=0”的陷阱选项，是后续图像、性质、应用题的基础，贯穿全章节考题 一次函数的图像与性质 1.掌握一次函数图像是一条直线，熟练用两点法画图像 2.牢记k、b对图像的影响：k定增减性，b定与y轴交点 3.分四类情况熟记图像经过象限、函数增减性 4.能根据图像反推k、b符号，解决单调性相关问题 重难点高频考点，选择、填空、解答题全覆盖，分值占比高，常考图像象限判断、增减性应用、符号反推，易错点集中在增减性混淆、象限判断失误，是中档题核心 一次函数与坐标轴的交点 1.会求一次函数与y轴交点（令）、与x轴交点（令） 2.掌握交点坐标的计算方法，能利用交点坐标求函数图像与坐标轴围成的三角形面积 3.区分截距b与距离的概念 中档计算题常考，多结合解析式求解、面积计算考查，填空压轴、解答题第一问常见，易错点为截距正负混淆、面积计算忽略绝对值，属于拉分基础题 一次函数解析式的求解（待定系数法） 1.熟练掌握待定系数法核心步骤 2.能根据两点坐标、图像交点、实际问题条件，列方程组求解k、b的值，写出完整解析式 3.能根据图像平移规律求平移后的解析式，逆向求解参数 解答题必考核心题型，单元、期末占比极高，常作为应用题、综合题的第一问，是连接图像与实际问题的桥梁，步骤分明确，计算失误易丢全分 一次函数的图像平移 1.牢记一次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量” 2.区分上下平移与左右平移的解析式变化 3.能根据平移前后解析式求平移距离，或根据原函数和平移方式求新解析式 高频易错考点，选择填空常考，易和二次函数平移混淆，左右平移易错点突出，中档题、填空压轴常出现，属于易失分但技巧性强的考点 一次函数与方程、不等式的关系 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系 2.能利用函数图像解方程、不等式 3.通过图像交点求方程组的解，实现数形结合解题 数形结合核心考点，初二重点考查数学思想，选择填空考图像解题，解答题考综合应用，是中档题与压轴题的过渡考点，易错点为图像与解集对应失误 一次函数的实际应用 1.从行程问题、销售利润问题、方案选择、阶梯收费等实际情境中提取信息，建立一次函数模型，求出自变量取值范围 2.利用函数增减性求最值、最优方案，规范解题步骤，作答贴合实际意义 压轴大题必考，期末试卷最后两道解答题之一，分值占比最高，分多问设置，梯度明显，方案选择、最值问题是拉分关键，阅读量大、建模难是学生主要痛点 一次函数综合压轴题 整合一次函数图像性质、解析式求解、几何图形（三角形、四边形）、方程不等式等知识点，解决动点问题、面积最值、存在性问题，掌握数形结合、分类讨论解题思路，规范压轴题答题逻辑 期末、月考压轴题专属考点，区分优等生与中等生，难度较大，多结合几何小综合考查，分类讨论不全面、计算出错是主要失分点，冲刺高分必攻克 知识点01 正比例函数 标准公式：（k为常数，且） 核心特征>：不含常数项，图像必过坐标原点(0,0)，是特殊的一次函数。 示例：、都是正比例函数；、不是。 易错点：忽略的限制条件，误将的式子当作正比例函数；混淆正比例函数与一次函数的从属关系。 知识点02 一次函数 标准公式：（为常数，） 核心特征：自变量x的次数为1，（时，式子变为，是常函数，不是一次函数）； 当时，一次函数即为正比例函数。 示例：、、都是一次函数；、不是。 易错点：判断时忽略x的次数为1、两个条件；把常函数当作一次函数；正比例函数属于一次函数，反向表述错误。 知识点03 一次函数与的关系 核心法则：k定增减性，b定与y轴交点 k的意义：，y随x增大而增大；，y随x增大而减小 b的意义：图像与y轴交点坐标为(0,b)， ，交点在y轴正半轴； ，交点在y轴负半轴；b=0，过原点 四类图像情况： ：图像过一、二、三象限，y随x增大而增大 ：图像过一、三、四象限，y随x增大而增大 ：图像过一、二、四象限，y随x增大而减小 ：图像过二、三、四象限，y随x增大而减小 易错点：符号与象限对应混淆；增减性判断颠倒，时误判为y随x增大而增大；忽略的特殊情况。 知识点04 一次函数的平移 核心法则：上加下减常数项，左加右减自变量（k值不变，仅改变b值或x的表达式） 上下平移：向上平移m个单位→；向下平移m个单位→ 左右平移：向左平移n个单位→；向右平移n个单位→ 示例：向上平移3个单位→；向右平移2个单位→ 易错点：左右平移时，加减直接加在x上，漏加括号，如右移2个单位误写为； 平移方向混淆，左加右减记反。 知识点05 待定系数法求一次函数解析式 核心步骤：一设、二代、三解、四回代 1. 设：设函数解析式（正比例函数设） 2. 代：代入已知两点坐标或两组值 3. 解：解二元一次方程组，求出的值 4. 回代：将代入解析式，写出最终式子 示例：一次函数过、，代入得方程组，解得，，解析式。 易错点：坐标代入时值颠倒；解方程组计算错误；漏写最终解析式。 知识点06 一次函数与坐标轴交点 核心技巧：与y轴交，令；与x轴交，令 与y轴交点： 与x轴交点：解方程，得，坐标 易错点：截距b是交点纵坐标，可正可负，误当作距离取正数；求x轴交点解方程出错。 知识点07 一次函数与方程、不等式 的解 ↔ 一次函数与x轴交点的横坐标 的解集 ↔ 图像在x轴上方时x的取值 的解集 ↔ 图像在x轴下方时x的取值 两个一次函数交点 ↔ 对应二元一次方程组的解 示例：，解集为，对应图像在x轴上方的x范围。 易错点：不等式方向与图像位置对应错误；数形结合不会转换，纯计算耗时易出错。 知识点08 一次函数的实际应用 1. 审题：提取关键数据，找出自变量与函数 2. 建模：根据题意列一次函数关系式 3. 定范围：求出自变量取值范围 4. 解题：利用增减性求最值、选最优方案 5. 作答：贴合实际意义，规范书写 易错点：建模错误，关系式列错；忽略自变量范围，最值求解出错；作答不规范，漏写单位。 题型一 一次函数概念辨析题 解｜题｜技｜巧 牢牢抓住函数“一对一、唯一确定”的核心，以及一次函数“x次数为1、”两个硬性条件，逐一核对选项和式子，不凭直觉判断，先排查核心限制条件，再分析形式特征 易｜错｜点｜拨 切记忽略的陷阱条件，误将（常函数）当作一次函数；混淆函数“唯一确定”的要求，误判多值对应式为函数；错误认为一次函数是正比例函数的特殊形式 【典例1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）下列表达式中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数：①；②；③；④；⑤，其中一次函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 题型二 求一次函数的值 解｜题｜技｜巧 核心是“代入求值”，已知自变量x的具体数值，直接将其代入一次函数解析式，按照有理数混合运算、整式运算规则计算，得出对应的y值即函数值；反之已知函数值y，也可反向求出自变量x的值，本质是解一元一次方程。易｜错｜点｜拨 代入负数、分数时漏加括号，导致乘方、符号运算出错； 运算顺序混乱，先加减后乘除导致结果错误； 已知函数值求自变量时，解方程移项忘变号； 代入错误的解析式，尤其是分段函数中选错对应解析式 【典例1】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）在一次函数中，当时，y的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【变式1】下列哪个点在函数的图象上（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 题型三 待定系数法求一次函数解析式 解｜题｜技｜巧 遵循“设、代、解、代”四步模板，根据题目条件选择对应解析式，两点坐标用标准式，过原点用正比例式，联立方程组求解参数，步骤规范不跳步 易｜错｜点｜拨 坐标代入时x、y值颠倒，导致方程组列错；解方程组计算失误，参数值错误；漏写的前提，解析式无效；求出参数后忘记回代，直接写参数值当作解析式 【典例1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后手表显示的电量为，若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】有一个装有水的容器，如图所示，注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，则容器注满水之前，将容器内的水面高度与时间秒记录于如表，则的值是（　　） 秒 A．1 B．1 C．1 D．1 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，左框中的实数x与右框中的实数y满足某个一次函数关系，输入x的值会输出一个y的值． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求m的值； (3)该一次函数的图象不经过第______象限． 题型四 函数图像k、b符号与象限判断题 解｜题｜技｜巧 拆分的作用，k只负责函数增减性，b只负责图像与y轴交点位置，二者分开判断，先定k符号看增减，再定b符号看交点，最后组合判断图像经过象限 易｜错｜点｜拨 作用混淆，用b判断增减性，用k判断交点位置；增减性判断颠倒，时误判y随x增大而增大； 忽略过原点的特殊情况，象限判断多算或少算。 【典例1】已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】已知正比例函数（） 的函数值 随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型五 一次函数图像平移 解｜题｜技｜巧 死死牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”核心口诀，明确上下平移只改变b值，左右平移只改变自变量x，且k值始终不变，左右平移必须给x整体加括号再运算。 易｜错｜点｜拨 左右平移漏加括号，直接在x后加减，导致解析式错误； 平移方向记反，左减右加； 混淆一次函数与后续二次函数平移规则，混用公式；平移后忘记化简解析式。 【典例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025·河北·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六 一次函数围成三角形面积题 解｜题｜技｜巧 先求出函数与x轴、y轴或相关直线的交点坐标，利用交点坐标确定三角形的两条直角边长（交点到原点的距离），再用三角形面积公式计算，距离必须取绝对值，杜绝负数影响。 易｜错｜点｜拨 将截距b直接当作边长，忽略绝对值，出现负数面积； 交点坐标计算错误，边长取值错误； 多条直线相交时，找错三角形顶点，面积计算偏差 【典例1】（25-26九年级下·河北石家庄）已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式1】在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 【变式2】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 题型七 一次函数与方程、不等式数形结合题 解｜题｜技｜巧 建立“函数图像↔方程解↔不等式解集”的对应关系，不用复杂计算，通过图像位置直接判断结果，核心是看懂图像高低、与坐标轴交点对应的数值 易｜错｜点｜拨 不等式方向与图像位置对应错误，上方对应小于号； 不会数形转换，强行计算耗时易错； 忽略交点坐标，解集范围判断错误 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程的解为； ③； ④ 其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 题型八 一次函数最值与方案选择题 解｜题｜技｜巧 先根据实际问题列出一次函数解析式，确定自变量取值范围，再根据k的正负判断函数增减性，利用增减性求最值，进而确定最优方案，核心是“k定增减，增减定最值” 易｜错｜点｜拨 函数解析式建模错误，关系列错； 忽略自变量取值范围，最值取错； k正负判断失误，增减性搞反，最优方案选错 【典例1】《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱．欣欣商场进了A、B两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格类别 A款玩具 B款玩具 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 50 50 (1)第一次欣欣商场用 1500 元购进A、B两款玩具共 55 个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共 50 个．若设购进A款玩具a个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为w元， ①写出w关于a的函数解析式；（不必写出a的取值范围） ②已知A款玩具的个数最少 1 个，最多 16 个，那么怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 【变式1】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）随着天气越来越热，便携式静音小风扇得到了学生们的青睐，家委会组织有意买小风扇的同学一起团购，经过市场调查：某型号的小风扇有两种（A型带喷雾、B型不带喷雾）可供选择，如果买两个A型和一个B型共需要140元，如果买一个A型和两个B型共需要130元． (1)求A型和B型的单价各是多少元？ (2)经统计全班有50名同学购买（每名同学只能买一个），而且购买A型数量不少于B型的数量，设购买A型的数量为a个，请你帮助家委会设计一种使总费用最少的方案，并求出最少费用． 【变式2】姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）． 方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1)方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ； (2)如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张． 题型九 一次函数与几何图形综合题 解｜题｜技｜巧 将几何图形的边长、坐标、面积与一次函数结合，先利用几何条件求出点坐标，再用待定系数法求函数解析式，或利用解析式求点坐标，结合几何性质分类讨论，数形结合双管齐下 易｜错｜点｜拨 几何图形与坐标对应错误，点坐标找错； 分类讨论不全面，忽略特殊位置和特殊情况； 计算几何量时，忽略函数自变量限制，结果无效 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，直线：分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴的正半轴于点，且． (1)直接写出点， ，的坐标； (2)在线段上存在点，使点到，的距离相等，求出点的坐标； 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点．点关于轴对称，连接． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设面积的和，求的值； (3)在求（2）中时，小明有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积，更快捷．”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点．一次函数交x轴于点D，过x轴上的动点P作x轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象于点C，连接． (1)求这两个函数的表达式； (2)若点，求的面积； (3)在x轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点P的坐标为 时，的面积被直线分成的两部分． 题型十 一次函数动点存在性问题 解｜题｜技｜巧 设定动点坐标，用含自变量的代数式表示动点横纵坐标，结合一次函数解析式、几何图形性质，列出方程或不等式求解，验证结果是否符合动点运动范围和题意 易｜错｜点｜拨 动点坐标设定错误，代数式表达失误； 忽略动点运动范围，求出无效解； 几何条件转化为函数关系出错，方程列错； 分类讨论不完整，漏解 【典例1】如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，是的中点，点的坐标分别是和是线段上一个动点，则点从点向点的运动过程中，依次出现的特殊三角形为（    ） A．直角三角形等腰三角形等边三角形直角三角形 B．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 C．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一等腰三角形 D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形 【变式1】如图，已知点，，点在直线上运动，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴，轴，长方形的边上有一动点P，沿匀速运动一周，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和h与点P走过的路程s之间的函数图象如图2所示，已知点A的横坐标为1，则线段所在直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 题型十一 一次函数与分段函数 解｜题｜技｜巧 分段函数本质是多个一次函数组合，按自变量不同取值范围拆分，每一段单独求一次函数解析式，明确每段定义域，解题时先判断自变量所属区间，再对应解析式计算 易｜错｜点｜拨 分段区间划分错误，解析式与区间不匹配； 跨段计算时，选错对应解析式； 忽略分段定义域，结果超出范围； 多段计算后整合失误，答案混乱 【典例1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1】为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】某通信公司推出A，B两种套餐（按月计费），具体资费如下表所示： 套餐A 套餐B 套餐基础费/元 129 159 套餐内免费流量/GB 30 40 套餐外流量价格/（元/GB） 使用套餐A，B每月所需的费用（元），（元）关于每月使用的流量的函数图象如图所示，已知当时，两函数图象重合． 请你根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：_________，_________； (2)请分别求出，关于的函数解析式； (3)该通信公司决定推出一个免费流量为的新套餐C（按月计费），套餐外流量单价同套餐A．若要当时，使用套餐C每月的花费比使用套餐A每月的花费少30元，则套餐C的基础费应该定为多少元？ 题型十二 一次函数含参数综合题 解｜题｜技｜巧 将参数当作常数处理，根据函数性质、图像位置、几何条件，列出含参数的方程或不等式，求解参数取值范围或具体值，结合一次函数、自变量限制等条件筛选结果 易｜错｜点｜拨 参数与变量混淆，运算逻辑错误； 忽略等隐藏条件，参数多解； 不等式求解时，符号出错，取值范围颠倒； 分类讨论不全面，漏解参数值 【典例1】已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若函数图象与轴的交点在原点上方，求的取值范围． 【变式1】（2025·河北·一模）如图，轴，点，，且点在点的右侧，一次函数的图象经过点．    (1)点B的坐标为______； (2)当一次函数的图象与线段有公共点时，求k的最大值与k的最小值的乘积； (3)已知两函数图象无交点，且无论取何值时，一次函数的值始终大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【变式2】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于，B两点，与直线交于点． (1)求a的值及直线的函数解析式： (2)当，m满足不等式，则m的取值范围是______； (3)若在直线上存在点M使，求点M的坐标； (4)若直线与的边有两个公共点，则n的取值范围是______． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列各点中，在函数图象上的是（　　） A．（2，9） B．（2，9） C．（0，3） D．（3，0） 2.（21-22八年级下·河北保定·期末）关于直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过原点 B．随的增大而减小 C．直线经过点（1，2） D．直线经过二、四象限 3.（23-24八年级上·河北保定·期中）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 4.（22-23八年级下·河北唐山·期中）将直线通过平移得到直线，平移的方式为（   ） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向下平移3个单位长度 D．向上平移3个单位长度 5.（23-24八年级下·河北沧州·期中）已知长方形的周长为10，设长方形相邻的两边长分别为x，y． (1)写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； (2)在如图的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图像． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.一次函数与（k，b是常数，且）在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2.如图，已知直线与相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·河北衡水·月考）“这么近那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A． B．原票价为400元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．若方案一比方案二更优惠，则 4.如图，已知函数和的图象交于点P，点P的纵坐标为2． (1)求a的值； (2)横坐标、纵坐标为整数的点称为整点，直接写出函数和的图象与x轴围成的几何图形中（含边界）整点的个数． 5.（2021·河北·中考真题）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． （1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度； （2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； （3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少． 【注：（1）及（2）中不必写的取值范围】 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．若一次函数(k为整数)与的图象的交点是整点，则k的不同取值的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车．比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（   ） A．15km B．16km C．44km D．45km 3.（2024·河北秦皇岛·一模）如图1，锐角中，为边上一点（不与重合），连接．在、三个角中，某两个角之间的关系图像如图2．下列说法：①纵轴表示，横轴表示；②；③，正确的是（    ）    A．①③ B．③ C．②③ D．①②③ 4.（22-23九年级下·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．已知点，，． (1)求直线的函数解析式； (2)已知直线． ①当时，若将直线沿坐标轴经过一次平移后过点A，请你通过计算给出一种平移方案； ②若直线与线段、能围成封闭的三角形区域，请直接写出的取值范围． 5.（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线：与轴交于点、直线上有一动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点．将沿直线翻折得到，点的对应点为． (1)直线与轴的交点的坐标为______．直线与轴的交点的坐标为______． (2)如图2，当点的对应点落在轴上时， ①求证：； ②求点P的坐标． (3)如图3，直线上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一次函数概念辨析题 题型02 求一次函数的值 题型03 待定系数法求一次函数解析式 题型04 函数图像k、b符号与象限判断题 题型05 一次函数图像平移 题型06 一次函数围成三角形面积题 题型07 一次函数与方程、不等式数形结合题 题型08 一次函数最值与方案选择题 题型09 一次函数与几何图形综合题 题型10 一次函数动点存在性问题 题型11 一次函数与分段函数 题型12 一次函数含参数综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正比例函数的概念与性质 1.牢记正比例函数解析式标准形式 （） 2.理解其定义特征，掌握图像性质（过原点的直线）3.明确k的正负对图像象限、增减性的影响 4.会求解析式、画函数图像 基础必考点，是一次函数的特殊形式，常和一次函数对比考查，单独出选择、填空题，也融入基础计算题，考查增减性、图像象限、解析式求解，难度较低 一次函数的概念与标准形式 1.精准掌握一次函数标准式 （，k、b为常数） 2.区分正比例函数与一次函数的从属关系 3.会判断一个函数是否为一次函数 4.明确k、b的几何意义，杜绝忽略的易错点 本章核心基础考点，选择填空必考概念辨析，极易设置“k=0”的陷阱选项，是后续图像、性质、应用题的基础，贯穿全章节考题 一次函数的图像与性质 1.掌握一次函数图像是一条直线，熟练用两点法画图像 2.牢记k、b对图像的影响：k定增减性，b定与y轴交点 3.分四类情况熟记图像经过象限、函数增减性 4.能根据图像反推k、b符号，解决单调性相关问题 重难点高频考点，选择、填空、解答题全覆盖，分值占比高，常考图像象限判断、增减性应用、符号反推，易错点集中在增减性混淆、象限判断失误，是中档题核心 一次函数与坐标轴的交点 1.会求一次函数与y轴交点（令）、与x轴交点（令） 2.掌握交点坐标的计算方法，能利用交点坐标求函数图像与坐标轴围成的三角形面积 3.区分截距b与距离的概念 中档计算题常考，多结合解析式求解、面积计算考查，填空压轴、解答题第一问常见，易错点为截距正负混淆、面积计算忽略绝对值，属于拉分基础题 一次函数解析式的求解（待定系数法） 1.熟练掌握待定系数法核心步骤 2.能根据两点坐标、图像交点、实际问题条件，列方程组求解k、b的值，写出完整解析式 3.能根据图像平移规律求平移后的解析式，逆向求解参数 解答题必考核心题型，单元、期末占比极高，常作为应用题、综合题的第一问，是连接图像与实际问题的桥梁，步骤分明确，计算失误易丢全分 一次函数的图像平移 1.牢记一次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量” 2.区分上下平移与左右平移的解析式变化 3.能根据平移前后解析式求平移距离，或根据原函数和平移方式求新解析式 高频易错考点，选择填空常考，易和二次函数平移混淆，左右平移易错点突出，中档题、填空压轴常出现，属于易失分但技巧性强的考点 一次函数与方程、不等式的关系 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系 2.能利用函数图像解方程、不等式 3.通过图像交点求方程组的解，实现数形结合解题 数形结合核心考点，初二重点考查数学思想，选择填空考图像解题，解答题考综合应用，是中档题与压轴题的过渡考点，易错点为图像与解集对应失误 一次函数的实际应用 1.从行程问题、销售利润问题、方案选择、阶梯收费等实际情境中提取信息，建立一次函数模型，求出自变量取值范围 2.利用函数增减性求最值、最优方案，规范解题步骤，作答贴合实际意义 压轴大题必考，期末试卷最后两道解答题之一，分值占比最高，分多问设置，梯度明显，方案选择、最值问题是拉分关键，阅读量大、建模难是学生主要痛点 一次函数综合压轴题 整合一次函数图像性质、解析式求解、几何图形（三角形、四边形）、方程不等式等知识点，解决动点问题、面积最值、存在性问题，掌握数形结合、分类讨论解题思路，规范压轴题答题逻辑 期末、月考压轴题专属考点，区分优等生与中等生，难度较大，多结合几何小综合考查，分类讨论不全面、计算出错是主要失分点，冲刺高分必攻克 知识点01 正比例函数 标准公式：（k为常数，且） 核心特征>：不含常数项，图像必过坐标原点(0,0)，是特殊的一次函数。 示例：、都是正比例函数；、不是。 易错点：忽略的限制条件，误将的式子当作正比例函数；混淆正比例函数与一次函数的从属关系。 知识点02 一次函数 标准公式：（为常数，） 核心特征：自变量x的次数为1，（时，式子变为，是常函数，不是一次函数）； 当时，一次函数即为正比例函数。 示例：、、都是一次函数；、不是。 易错点：判断时忽略x的次数为1、两个条件；把常函数当作一次函数；正比例函数属于一次函数，反向表述错误。 知识点03 一次函数与的关系 核心法则：k定增减性，b定与y轴交点 k的意义：，y随x增大而增大；，y随x增大而减小 b的意义：图像与y轴交点坐标为(0,b)， ，交点在y轴正半轴； ，交点在y轴负半轴；b=0，过原点 四类图像情况： ：图像过一、二、三象限，y随x增大而增大 ：图像过一、三、四象限，y随x增大而增大 ：图像过一、二、四象限，y随x增大而减小 ：图像过二、三、四象限，y随x增大而减小 易错点：符号与象限对应混淆；增减性判断颠倒，时误判为y随x增大而增大；忽略的特殊情况。 知识点04 一次函数的平移 核心法则：上加下减常数项，左加右减自变量（k值不变，仅改变b值或x的表达式） 上下平移：向上平移m个单位→；向下平移m个单位→ 左右平移：向左平移n个单位→；向右平移n个单位→ 示例：向上平移3个单位→；向右平移2个单位→ 易错点：左右平移时，加减直接加在x上，漏加括号，如右移2个单位误写为； 平移方向混淆，左加右减记反。 知识点05 待定系数法求一次函数解析式 核心步骤：一设、二代、三解、四回代 1. 设：设函数解析式（正比例函数设） 2. 代：代入已知两点坐标或两组值 3. 解：解二元一次方程组，求出的值 4. 回代：将代入解析式，写出最终式子 示例：一次函数过、，代入得方程组，解得，，解析式。 易错点：坐标代入时值颠倒；解方程组计算错误；漏写最终解析式。 知识点06 一次函数与坐标轴交点 核心技巧：与y轴交，令；与x轴交，令 与y轴交点： 与x轴交点：解方程，得，坐标 易错点：截距b是交点纵坐标，可正可负，误当作距离取正数；求x轴交点解方程出错。 知识点07 一次函数与方程、不等式 的解 ↔ 一次函数与x轴交点的横坐标 的解集 ↔ 图像在x轴上方时x的取值 的解集 ↔ 图像在x轴下方时x的取值 两个一次函数交点 ↔ 对应二元一次方程组的解 示例：，解集为，对应图像在x轴上方的x范围。 易错点：不等式方向与图像位置对应错误；数形结合不会转换，纯计算耗时易出错。 知识点08 一次函数的实际应用 1. 审题：提取关键数据，找出自变量与函数 2. 建模：根据题意列一次函数关系式 3. 定范围：求出自变量取值范围 4. 解题：利用增减性求最值、选最优方案 5. 作答：贴合实际意义，规范书写 易错点：建模错误，关系式列错；忽略自变量范围，最值求解出错；作答不规范，漏写单位。 题型一 一次函数概念辨析题 解｜题｜技｜巧 牢牢抓住函数“一对一、唯一确定”的核心，以及一次函数“x次数为1、”两个硬性条件，逐一核对选项和式子，不凭直觉判断，先排查核心限制条件，再分析形式特征 易｜错｜点｜拨 切记忽略的陷阱条件，误将（常函数）当作一次函数；混淆函数“唯一确定”的要求，误判多值对应式为函数；颠倒正比例函数与一次函数的包含关系，错误认为一次函数是正比例函数的特殊形式 【典例1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）下列表达式中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、，分母含，可写为，此时的次数为，不符合一次函数的形式，该选项错误； B、，符合（，），且，是标准的一次函数，该选项正确； C、，含项，该选项错误； D、，方程中被平方，解为，不符合一次函数定义，该选项错误； 故选：B． 【变式1】下列函数：①；②；③；④；⑤，其中一次函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤变形得，是一次函数． 所以是一次函数的有①④⑤，一共3个． 故选：C． 【变式2】下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【详解】解：正比例函数的形式为，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 题型二 求一次函数的值 解｜题｜技｜巧 核心是“代入求值”，已知自变量x的具体数值，直接将其代入一次函数解析式，按照有理数混合运算、整式运算规则计算，得出对应的y值即函数值；反之已知函数值y，也可反向求出自变量x的值，本质是解一元一次方程。易｜错｜点｜拨 代入负数、分数时漏加括号，导致乘方、符号运算出错； 运算顺序混乱，先加减后乘除导致结果错误； 已知函数值求自变量时，解方程移项忘变号； 代入错误的解析式，尤其是分段函数中选错对应解析式 【典例1】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）在一次函数中，当时，y的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【详解】已知一次函数为 将代入解析式，得： 因此，当时，的值为5， 故选：D． 【变式1】下列哪个点在函数的图象上（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【变式2】已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， A、点，代入函数得，与条件完全一致，故必经过该点，符合题意； B、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，（满足），此时，故不必然经过该点，不符合题意； C、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，，此时，故不必然经过该点，不符合题意； D、点代入得，显然矛盾，故不可能经过该点， 故选：A． 题型三 待定系数法求一次函数解析式 解｜题｜技｜巧 遵循“设、代、解、代”四步模板，根据题目条件选择对应解析式，两点坐标用标准式，过原点用正比例式，联立方程组求解参数，步骤规范不跳步 易｜错｜点｜拨 坐标代入时x、y值颠倒，导致方程组列错；解方程组计算失误，参数值错误；漏写的前提，解析式无效；求出参数后忘记回代，直接写参数值当作解析式 【典例1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）嘉嘉的手表只剩的电量，接上充电器后手表显示的电量为，若充电器匀速稳定充电，则手表的电量与充电时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设函数关系式为 ，其中 为初始电量， 当 时，，代入得 ，即 ， 当 时，，代入方程：， 解得，， 函数关系式为 ， 故选：C． 【变式1】有一个装有水的容器，如图所示，注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，则容器注满水之前，将容器内的水面高度与时间秒记录于如表，则的值是（　　） 秒 A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】A 【详解】解：设与的关系式为， 将分别代入，得 ． 解得． 故该一次函数解析式为： 当时， 即的值是 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，左框中的实数x与右框中的实数y满足某个一次函数关系，输入x的值会输出一个y的值． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求m的值； (3)该一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】(1) (2) (3)一 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，分别代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，即； （3）解：， 该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 题型四 函数图像k、b符号与象限判断题 解｜题｜技｜巧 拆分的作用，k只负责函数增减性，b只负责图像与y轴交点位置，二者分开判断，先定k符号看增减，再定b符号看交点，最后组合判断图像经过象限 易｜错｜点｜拨 作用混淆，用b判断增减性，用k判断交点位置；增减性判断颠倒，时误判y随x增大而增大； 忽略过原点的特殊情况，象限判断多算或少算。 【典例1】已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵对于一次函数，， ∴图象从左到右呈下降趋势， ∵， ∴与轴交点在正半轴， 故选：． 【变式1】已知正比例函数（） 的函数值 随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为正比例函数（） 的函数值 随的增大而增大， 所以， 则中，，即图象从左到右下降； 截距，即图象与轴正半轴相交； 因此，一次函数图象经过第一、二、四象限； 故选C． 【变式2】如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线经过第一、三、四象限，可知，，可得，所以直线的图象经过一、二、三象限． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 题型五 一次函数图像平移 解｜题｜技｜巧 死死牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”核心口诀，明确上下平移只改变b值，左右平移只改变自变量x，且k值始终不变，左右平移必须给x整体加括号再运算。 易｜错｜点｜拨 左右平移漏加括号，直接在x后加减，导致解析式错误； 平移方向记反，左减右加； 混淆一次函数与后续二次函数平移规则，混用公式；平移后忘记化简解析式。 【典例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到， 平移后的图象经过点， ， 解得， 故选：C． 【变式1】（2025·河北·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：直线的图象经过点，将该函数图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象， 直线的图象经过点． ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为，正方形边长为3， ∴，，， 将直线沿轴向下平移个单位， 则平移后解析式为， 当过时，，解得； 当过时，，解得； ∴平移后的直线与正方形有交点，的取值范围是， 故选：D． 题型六 一次函数围成三角形面积题 解｜题｜技｜巧 先求出函数与x轴、y轴或相关直线的交点坐标，利用交点坐标确定三角形的两条直角边长（交点到原点的距离），再用三角形面积公式计算，距离必须取绝对值，杜绝负数影响。 易｜错｜点｜拨 将截距b直接当作边长，忽略绝对值，出现负数面积； 交点坐标计算错误，边长取值错误； 多条直线相交时，找错三角形顶点，面积计算偏差 【典例1】（25-26九年级下·河北石家庄）已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 【变式1】在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 【答案】（1）；（2），，或 【详解】解：（1）∵将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l， ∴设直线l解析式为y＝kx+2， ∵直线l经过点A（﹣4，0） ∴﹣4k+2＝0， ∴k＝， ∴直线l的解析式为y＝x+2， （2）当x=0时，y=2， ∴ 当点P在轴上时， 或；   当点P在y轴上时， 或； 综上所述，点P的坐标为，，或． 【变式2】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)能， 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以这个一次函数的解析式为． （2）解：将点代入一次函数得：， 解得， ∴， ∴的边上的高为， 又∵， ∴， ∴的面积为． （3）解：将点代入一次函数得：， ∴， 由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时， 解得； ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时， 过点作轴于点， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 题型七 一次函数与方程、不等式数形结合题 解｜题｜技｜巧 建立“函数图像↔方程解↔不等式解集”的对应关系，不用复杂计算，通过图像位置直接判断结果，核心是看懂图像高低、与坐标轴交点对应的数值 易｜错｜点｜拨 不等式方向与图像位置对应错误，上方对应小于号； 不会数形转换，强行计算耗时易错； 忽略交点坐标，解集范围判断错误 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：直线：与直线：交于点， 当时，， 点A的坐标为， 关于x、y的方程组的解是， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程的解为； ③； ④ 其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：根据图示，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①正确； ∵两直线交点坐标为， ∴方程的解为，故②正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：B ． 【变式2】如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：关于x，y的方程组的解， 即为一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， ∴， 故关于x，y的方程组的解是． 故选：A． 题型八 一次函数最值与方案选择题 解｜题｜技｜巧 先根据实际问题列出一次函数解析式，确定自变量取值范围，再根据k的正负判断函数增减性，利用增减性求最值，进而确定最优方案，核心是“k定增减，增减定最值” 易｜错｜点｜拨 函数解析式建模错误，关系列错； 忽略自变量取值范围，最值取错； k正负判断失误，增减性搞反，最优方案选错 【典例1】《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱．欣欣商场进了A、B两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格类别 A款玩具 B款玩具 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 50 50 (1)第一次欣欣商场用 1500 元购进A、B两款玩具共 55 个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ (2)第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共 50 个．若设购进A款玩具a个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为w元， ①写出w关于a的函数解析式；（不必写出a的取值范围） ②已知A款玩具的个数最少 1 个，最多 16 个，那么怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进 A 款玩具30个，购进 B 款玩具25个 (2)购进A款玩具16个、B款玩具34个时这批玩具利润最大，最大利润是1080元 【详解】（1）解：设购进 A 款玩具 x 个，购进 B 款玩具 y 个 根据题意，得， 解得， 答：购进 A 款玩具30个，购进 B 款玩具25个； （2）解：①第二次购进 B 款玩具个， 则， ∴w 关于a 的函数表达式为； ②由①得， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵且 a为整数， ∴时，w最大，为元， （个）． 答：购进A款玩具16个、B款玩具34个时这批玩具利润最大，最大利润是1080元． 【变式1】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）随着天气越来越热，便携式静音小风扇得到了学生们的青睐，家委会组织有意买小风扇的同学一起团购，经过市场调查：某型号的小风扇有两种（A型带喷雾、B型不带喷雾）可供选择，如果买两个A型和一个B型共需要140元，如果买一个A型和两个B型共需要130元． (1)求A型和B型的单价各是多少元？ (2)经统计全班有50名同学购买（每名同学只能买一个），而且购买A型数量不少于B型的数量，设购买A型的数量为a个，请你帮助家委会设计一种使总费用最少的方案，并求出最少费用． 【答案】(1)购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元 (2)家委会购进的型风扇为个，型风扇为个，总费用最少为元 【详解】（1）解：设购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元， 由题意，得：， 解得：， 答：购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元． （2）解：设购进的型风扇为个，则购进的型风扇为个， 由题意，得总费用：， 购买型数量不少于型的数量， ∴， 解得：， ， ∴W随的增大而增大，且a是正整数， 当时，有最小值，（元）， 家委会购进的型风扇为个，型风扇为个，总费用最少为元． 【变式2】姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）． 方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1)方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ； (2)如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张． 【答案】(1) (2)当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省 (3)甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张 【详解】（1）解：方案一中，与的函数关系式为； 方案二中，当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， ， 解得 所以，当时，与的函数关系式为； 当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， 解得 所以，当时，与的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：如图所示， 联立 解得 所以，当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省； （3）解：设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，根据题意得， 当时， 解得，不符合题意舍去； 当时， 解得， 则， 所以，甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张． 题型九 一次函数与几何图形综合题 解｜题｜技｜巧 将几何图形的边长、坐标、面积与一次函数结合，先利用几何条件求出点坐标，再用待定系数法求函数解析式，或利用解析式求点坐标，结合几何性质分类讨论，数形结合双管齐下 易｜错｜点｜拨 几何图形与坐标对应错误，点坐标找错； 分类讨论不全面，忽略特殊位置和特殊情况； 计算几何量时，忽略函数自变量限制，结果无效 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，直线：分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴的正半轴于点，且． (1)直接写出点， ，的坐标； (2)在线段上存在点，使点到，的距离相等，求出点的坐标； 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵点P到B，C的距离相等， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点．点关于轴对称，连接． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设面积的和，求的值； (3)在求（2）中时，小明有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积，更快捷．”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里． 【答案】(1)，，直线的解析式为：； (2) (3)见详解 【详解】（1）解：直线与轴及直线分别交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：在直线：中，当时，， 解得，， ∴直线与轴的交点为，与点不同， ∴，即． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点．一次函数交x轴于点D，过x轴上的动点P作x轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点B，交一次函数的图象于点C，连接． (1)求这两个函数的表达式； (2)若点，求的面积； (3)在x轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点P的坐标为 时，的面积被直线分成的两部分． 【答案】(1)正比例函数表达式为；一次函数表达式为. (2)14 (3)存在点P，点P的坐标为或； (4)或． 【详解】（1）解：∵正比例函数与一次函数的图象相交于点， ∴，， 解得：，， ∴正比例函数表达式为； 一次函数表达式为. （2）∵轴，， ∴把分别代入和中， 得：，， ∵. 又∵， ∴. （3）假设存在，设点P的坐标为， ∵为直角三角形， ∴分AO是直角边和AO是斜边两种情况 ∵ ∴ ①当是斜边时，有 则： 解得：， 当不符合题意，故舍弃， ∴点； ②当直角边时，利用勾股定理可得 ∵ ∴在中， 则： 解得：， 当不符合题意，故舍弃， 所以，. 综上，存在点P，点P的坐标为或； （4）设点，则， 如图，当时， ， 解得， ∴； 如图，当时， ∴ 解得， ∴； 故答案为：或． 题型十 一次函数动点存在性问题 解｜题｜技｜巧 设定动点坐标，用含自变量的代数式表示动点横纵坐标，结合一次函数解析式、几何图形性质，列出方程或不等式求解，验证结果是否符合动点运动范围和题意 易｜错｜点｜拨 动点坐标设定错误，代数式表达失误； 忽略动点运动范围，求出无效解； 几何条件转化为函数关系出错，方程列错； 分类讨论不完整，漏解 【典例1】如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，是的中点，点的坐标分别是和是线段上一个动点，则点从点向点的运动过程中，依次出现的特殊三角形为（    ） A．直角三角形等腰三角形等边三角形直角三角形 B．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 C．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一等腰三角形 D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形 【答案】D 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点的坐标分别是和， ∴，， ∴， ∴点从点向点的运动过程中， 当点与点重合时，，此时是等腰三角形； 当点运动到的中点位置时，，此时是直角三角形； 当点与点重合时，，此时是等边三角形； 当点与点重合时，，由三角形外角性质可得，即得，此时是直角三角形； 综上，依次出现的特殊三角形为等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形， 故选：． 【变式1】如图，已知点，，点在直线上运动，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线在第一象限的图形与横轴正方向的夹角为，与纵轴正方向的夹角为， ∴点关于直线的对称点，在轴正方向上，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：C ． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴，轴，长方形的边上有一动点P，沿匀速运动一周，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和h与点P走过的路程s之间的函数图象如图2所示，已知点A的横坐标为1，则线段所在直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴由题意得，点，点G为点P走到D点对应的位置， ∴， ∴ ∴， 设线段所在直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴线段所在直线的函数表达式为， 故选：B． 题型十一 一次函数与分段函数 解｜题｜技｜巧 分段函数本质是多个一次函数组合，按自变量不同取值范围拆分，每一段单独求一次函数解析式，明确每段定义域，解题时先判断自变量所属区间，再对应解析式计算 易｜错｜点｜拨 分段区间划分错误，解析式与区间不匹配； 跨段计算时，选错对应解析式； 忽略分段定义域，结果超出范围； 多段计算后整合失误，答案混乱 【典例1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设直线的解析为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析为， ∴方案一：一次购买千克水果， 费用为：（元）， 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果， 费用为：（元）， ∵（元）， ∴方案一比方案二节省元． 故选：B． 【变式1】为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得： 当时，， 当时，， ∴与的函数关系为：， 作出图像可得：， 故选：C． 【变式2】某通信公司推出A，B两种套餐（按月计费），具体资费如下表所示： 套餐A 套餐B 套餐基础费/元 129 159 套餐内免费流量/GB 30 40 套餐外流量价格/（元/GB） 使用套餐A，B每月所需的费用（元），（元）关于每月使用的流量的函数图象如图所示，已知当时，两函数图象重合． 请你根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：_________，_________； (2)请分别求出，关于的函数解析式； (3)该通信公司决定推出一个免费流量为的新套餐C（按月计费），套餐外流量单价同套餐A．若要当时，使用套餐C每月的花费比使用套餐A每月的花费少30元，则套餐C的基础费应该定为多少元？ 【答案】(1)3；40 (2)； (3)套餐的基础费应该定为189元 【详解】（1）解：；． 根据图象可知，，． （2）解：当时，， 故 由题意，得当时，， 故 （3）解：设套餐的基础费为元， 根据题意，得， 解得． 答：套餐的基础费应该定为元． 题型十二 一次函数含参数综合题 解｜题｜技｜巧 将参数当作常数处理，根据函数性质、图像位置、几何条件，列出含参数的方程或不等式，求解参数取值范围或具体值，结合一次函数、自变量限制等条件筛选结果 易｜错｜点｜拨 参数与变量混淆，运算逻辑错误； 忽略等隐藏条件，参数多解； 不等式求解时，符号出错，取值范围颠倒； 分类讨论不全面，漏解参数值 【典例1】已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若函数图象与轴的交点在原点上方，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)且． 【详解】（1）解：∵随的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：∵函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴； （3）解：∵函数图象与轴的交点在原点上方， ∴， ∴， ∵关于的函数是一次函数， ∴，即， ∴的取值范围是且． 【变式1】（2025·河北·一模）如图，轴，点，，且点在点的右侧，一次函数的图象经过点．    (1)点B的坐标为______； (2)当一次函数的图象与线段有公共点时，求k的最大值与k的最小值的乘积； (3)已知两函数图象无交点，且无论取何值时，一次函数的值始终大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)k的最大值与最小值的乘积为 (3)m的取值范围为且 【详解】（1）解：与轴平行， 、两点的纵坐标相同，都为2， 又点，， ； 故答案为：； （2）解：一次函数的图象经过点， ． ． ． 当一次函数 的图象经过点时， ．解得． 当一次函数 的图象经过点时， ．解得． 当时，一次函数 的图象与线段有公共点， 的最小值为，的最大值为． 的最大值与最小值的乘积为； （3）解：两函数图象无交点，且无论取何值时，一次函数的值始终大于一次函数的值， 直线与直线平行，且直线在直线的上方， ， 解得， ， ， 的取值范围为且． 【变式2】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于，B两点，与直线交于点． (1)求a的值及直线的函数解析式： (2)当，m满足不等式，则m的取值范围是______； (3)若在直线上存在点M使，求点M的坐标； (4)若直线与的边有两个公共点，则n的取值范围是______． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)坐标为或 (4) 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， 直线的解析式为， 把点代入得， ， 点， 直线过点． ， ， 直线的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当时，函数的函数图象在函数的函数图象上方， ∴关于m的不等式的解集为， ∵当时，满足不等式， ∴的取值范围是； （3）解：在中，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ， ， ， ， 或． 在中，当时，，则点的坐标为， 当时，，则点的坐标为， 综上可知，坐标为或； （4）解：当直线过原点时，， 直线过点时，，解得， 若直线与的边有两个公共点，的取值范围是． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列各点中，在函数图象上的是（　　） A．（2，9） B．（2，9） C．（0，3） D．（3，0） 【答案】A 【详解】解：A、当x=-2时，，故点（2，9）在函数的图象上； B、当x=2时，，故点（2，9）不在函数的图象上； C、当x=0时，，故点（0，3）不在函数的图象上； D、当x=-3时，，故点（3，0）不在函数的图象上； 故选：A． 2.（21-22八年级下·河北保定·期末）关于直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过原点 B．随的增大而减小 C．直线经过点（1，2） D．直线经过二、四象限 【答案】A 【详解】解：由于正比例函数， 当时，，当时，， 则直线经过原点，不经过点，选项A正确，选项C错误； 正比例函数中的， 随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限，则选项B、D错误． 故选：A． 3.（23-24八年级上·河北保定·期中）已知点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选C． 4.（22-23八年级下·河北唐山·期中）将直线通过平移得到直线，平移的方式为（   ） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向下平移3个单位长度 D．向上平移3个单位长度 【答案】C 【详解】直线向下平移3个单位长度即可得到直线， 故选C． 5.（23-24八年级下·河北沧州·期中）已知长方形的周长为10，设长方形相邻的两边长分别为x，y． (1)写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； (2)在如图的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图像． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）由题意得：， 即． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴y关于x的函数关系式是；x的取值范围是． （2）∵， ∴当时，，当时，， ∴图象为过的一段线段，如图所示． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.一次函数与（k，b是常数，且）在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项正确； C、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； D、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； 故选：B． 2.如图，已知直线与相交于点P（﹣1，1），则关于x的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程组的解就是直线与的交点坐标，即P（-1，1）， ∴方程组的解是． 故选：D． 3.（23-24八年级下·河北衡水·月考）“这么近那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A． B．原票价为400元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．若方案一比方案二更优惠，则 【答案】D 【详解】解：由图象可知：会员卡的费用为400元， ∴；故选项A正确； 方案二：2人花费480元， ∴单人票价为240元， ∴原票价为：元，方案二的解析式为：；故选项B，C正确； 由题意，得：方案一的解析式为：， 当，即：时，方案一比方案二更优惠；故选项D错误； 故选D． 4.如图，已知函数和的图象交于点P，点P的纵坐标为2． (1)求a的值； (2)横坐标、纵坐标为整数的点称为整点，直接写出函数和的图象与x轴围成的几何图形中（含边界）整点的个数． 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）令，则，解得， ∴点P的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴， （2）令则，解得：， 令则，解得：， 当是，有1个整点，整点为； 当是，有2个整点，整点为，； 当是，有3个整点，整点为，，； 当是，有2个整点，整点为，； 当是，有1个整点，整点为； ∴共有9个整点． 5.（2021·河北·中考真题）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． （1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度； （2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； （3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少． 【注：（1）及（2）中不必写的取值范围】 【答案】（1）， （km/min）（2），（3）min 【详解】解：（1）设线段OA所在直线的函数解析式为: ∵2号机从原点处沿仰角爬升 ∴ 又∵1号机飞到A点正上方的时候，飞行时间（min） ∴2号机的飞行速度为：（km/min） （2） 设线段BC所在直线的函数表达式为： ∵2号机水平飞行时间为1min,同时1号机的水平飞行为1min, 点B的横坐标为：；点B的纵坐标为：4，即, 将,代入中，得： 解得： ∴ 令 ,解得： ∴2号机的着陆点坐标为 （3）当点Ｑ在时，要保证 ，则：； 当点Q在上时，,此时，满足题意,时长为（min）； 当点Q在上时，令 ，解得：，此时（min）， ∴当时，时长为：（min） 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．若一次函数(k为整数)与的图象的交点是整点，则k的不同取值的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：由题意得：， ， 即， ， ， ，均为整数，能被2整除的整数有，， 可取的数为，2，3共3个， 故选：A． 2.已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车．比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（   ） A．15km B．16km C．44km D．45km 【答案】A 【详解】解：设，将（3,60）代入表达式，得： ，解得：， 则, 当y=30km时，求得x=， 设，将（1,0），，代入表达式，得： ，得：， ∴， ∴，， ∵乙在途中休息了半小时，到达B地时用半小时， ∴当时，设，将（2,30），代入表达式，得到： ，得：， ∴（）， 则当时，， 解得：， ∴, ∴当乙再次追上甲时距离A地45km 所以乙再次追上甲时距离地 故选：A． 3.（2024·河北秦皇岛·一模）如图1，锐角中，为边上一点（不与重合），连接．在、三个角中，某两个角之间的关系图像如图2．下列说法：①纵轴表示，横轴表示；②；③，正确的是（    ）    A．①③ B．③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：， 的度数大于， 由图2可知，始终大于， 纵轴表示，横轴表示，故①错误； 设函数， 将，代入解析式得：， 解得：， ， 纵轴表示，横轴表示，， ， ，，故②正确； ，故③正确； 综上所述，正确的有：②③， 故选：C． 4.（22-23九年级下·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．已知点，，． (1)求直线的函数解析式； (2)已知直线． ①当时，若将直线沿坐标轴经过一次平移后过点A，请你通过计算给出一种平移方案； ②若直线与线段、能围成封闭的三角形区域，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①将直线向右平移2个单位长度；（或将直线向下平移1个单位长度后经过点A）② 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 点，， ， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：①方案一： ， 直线， 令，解得：，即直线与轴的交点为， 若平移后经过点，则将直线向右平移2个单位长度； 方案二： 设将直线向下平移个单位长度后经过点A， 则点在上， ， 解得， 即将直线向下平移1个单位长度后经过点A； ②当直线经过点时， 则，解得：， 当直线经过点时， 则，解得：， 如图，直线恒过点，绕点旋转发现，当直线处于阴影区域时，直线与线段、能围成封闭的三角形区域， 的取值范围是． 5.（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图1，直线：与轴交于点、直线上有一动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点．将沿直线翻折得到，点的对应点为． (1)直线与轴的交点的坐标为______．直线与轴的交点的坐标为______． (2)如图2，当点的对应点落在轴上时， ①求证：； ②求点P的坐标． (3)如图3，直线上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② (3)6 【详解】（1）当时，即 解得 ∴点D的坐标为； 当时， ∴点G的坐标为； （2）①如图， 证明：在中，当时，， ． ， ，， 由对称得：，， 轴， ， ， ， ； ②设点的坐标为，则可得点的坐标为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得， 当时，， ； （3）分别过点，作轴的平行线，与过点垂直于轴的直线分别交于点，， 则点在线段上运动，根据对称性知，点运动路径长度为的长， ，， ， 点的运动路径长为6， 故答案为：6． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $