第八章 排列组合（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的考点梳理卷，主要梳理和考查了无限制条件的排列或组合问题、问题的解决方法（优先法、捆绑法、插空法）、分组与分配、二项式定理等常见考点。 第八章 排列组合 目录 考点一 无限制条件的排列或组合问题 1 考点二 特殊元素或特殊位置问题（优先法） 2 考点三 相邻问题（捆绑法） 3 考点四 不相邻问题（插空法） 3 考点五 至多、至少问题（分类法或排除法） 4 考点六 数字组数问题（常与优先法结合） 5 考点七 分组与分配问题 6 考点八 求二项展开式的特定项 7 考点九 求项的系数或二项式系数 8 考点十 二项式系数和与系数和问题（赋值法） 8 考点一 无限制条件的排列或组合问题 1. 有5本不同的书。 （1）从中选3本借给3位同学（每人一本），有多少种不同的借法？ （2）从中选3本捐给灾区，有多少种不同的捐法？ 【答案】(1)60种；(2)10种 【分析】本题主要考查排列与组合的定义辨析，排列数公式的直接计算，组合数公式 的直接计算，分类和分布计数原理的基础。 【详解】(1) =5×4×3=60（种） （2）==10（种） 2. 某校高二年级有 8个班级，现要组织一场篮球赛： （1）从这8个班级中选出3个班级分别担任第一、第二、第三支抽签队伍，有多少种不同的选法？ （2）从这8个班级中选出3个班级组成“文明观赛督查小组”，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）336；（2）56 【分析】本题主要考查排列与组合的根本区别。 【详解】（1） 从8个不同的班级中选出3个，并按照顺序排列：=8×7×6=336 （种）； （2）从8个不同的班级中选出3个组成“文明观赛督查小组”：===56 (种)。 考点二 特殊元素或特殊位置问题（优先法） 3. 用 0、1、2、3、4 这五个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？ 【答案】96 【分析】本题主要考查特殊位置优先处理：千位（首位）不能为0，因此优先考虑千位的选法。分步乘法计数原理：先排千位，再排后三位，分步相乘。排除法（间接法）的应用： 也可以用总排列数减去0在首位的情况。数字组数问题的通用规则：首位不能为0是这类题的核心限制。 【详解】法一（位置优先）：先排千位。千位不能为0，可以从 1、2、3、4 中任选一个，有 =4种选法。剩下的百位、十位、个位，从剩下的 4 个数字（包括 0）中任意排列，有 =4×3×2=24种排法。总数为：4×24=96（个）。 法二（元素优先）：先考虑 0 这个特殊元素。总排列数 =120减去0在首位的情况（0固定首位，剩下4个数字全排列 =24）。120−24=96（个）。 4. 从0、1、2、3、4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是 . 【答案】60 【分析】本题主要考查特殊元素或特殊位置优先法，具体涉及数字组数问题中的首位不为0和末位为偶数两个限制条件。由于0既是偶数又不能在首位，需要分两类讨论 【详解】0、1、2、3、4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，且为偶数，有两种情况：一是当0在个位时，四位偶数有=24（个）； 一是当0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，最后从余下的三个数中任选两个放在中间位置，应有=36（个）。 故共有四位偶数24+36=60（个）。 考点三 相邻问题（捆绑法） 5. 3名女生和4名男生排成一排，要求3名女生必须排在一起，有多少种不同的排法？ 【答案】720 【分析】本题主要考查捆绑法（整体思想）： 将要求相邻的3名女生视为一个整体（大元素）。分步乘法计数原理： 先排整体（女生组+4男），再排内部（女生组内部排列）。全排列公式 的两次应用：外部 ，内部 。“邻”问题的标准处理流程： 先捆后排。 【详解】捆： 将3名女生看成一个整体（称为“女生组”）。这个“女生组”内部有 =3!=6 种不同的排列方式。 排： 现在将这个“女生组”与其余的4名男生，一共 1+4=5个元素进行全排列。排法有 =5!=120种。 乘： 根据分步计数原理，总排法为 120×6=720（种）。 6.  有8人站成一排，现要求其中甲、乙、丙、丁四人必须相邻，其余4人任意排列，问有多少种不同的排法？（ ） A. 1680种 B. 256种 C. 630种​ D. 2880种 【答案】D 【分析】本题主要考查相邻问题（捆绑法）、分步乘法计数原理、排列数公式的应用 【详解】将甲、乙、丙、丁四人捆绑成一个整体，内部排列有 =24种。 将这个整体与其余4人共5个元素全排列，有 =120种。 根据分步乘法计数原理，总排法为 24×120=2880种。 故选D. 考点四 不相邻问题（插空法） 7. 3名女生和4名男生排成一排，要求 3 名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ 【答案】1440 【分析】本题主要考查插空法（空位思想）：先排没有限制的男生，产生空位，再将女生插入空位。分步乘法计数原理：先排男生，再插女生。空位数量的计算： n 个元素排成一排，产生 n+1个空（包括两端）。排列与组合的区分： 女生插入空位时，因为女生是不同的，所以是排列 ，而不是组合。 【详解】排： 先排4名男生。男生排成一排有=4!=24种排法。 插： 4名男生排好后，包括两端在内，一共产生了 4+1=5个空位（如：_ 男 _ 男 _ 男 _ 男 _）。从这5个空位中，选出3个空位给3名女生站进去，且女生之间是有顺序的（因为人是不同的），所以是排列问题。女生插入空位的方法有=5×4×3=60种。 乘： 总排法为 24×60=1440（种）。 8. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ） A. 72 B. 120 C. 144 ​ D. 168 【答案】B 【分析】本题主要考查排列组合中的不相邻问题，需要综合运用插空法和分类讨论思想。 【详解】先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空，安排小品类节目和相声类节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“ 小品1，歌舞1，小品2 相声 ”有=36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空其形式为“ 小品1， 相声， 小品2 ”，有=48(种)安排方法，故共有36+36+48=120（种）安排方法。故选项B正确。 故选：B． 考点五 至多、至少问题（分类法或排除法） 9. 从5名男生和4名女生中，选出3人参加志愿者活动，至少有一名女生被选中的选法有多少种？ 【答案】74 【分析】本题主要考查排除法（正难则反）的应用： 当“至少”情况较多时，用总数减去对立面（全是男生）。组合数公式 的应用：和 。补集思想： 符合条件=总数−不符合条件。 【详解】总数（无限制）：从总共 5+4=9人中任选3人，有==84种。 反面情况（没有女生）：选出的3人全是男生，需要从5名男生中选3人，有 ==10种。结果： 至少有一名女生的选法=总数-全是男生= 84−10=74（种）。 10. 从10件产品中，有4件次品，6件正品，现从中任取5件，求至少有两件次品的取法有多少种？ 【答案】186 【分析】本题主要考查组合数公式的直接应用：计算不同情况下选取次品和正品的组合数。 分类讨论思想：按次品数量分成若干类，分别计算再相加。排除法（正难则反）：当正面情况较多时，用总数减去不符合条件的情况（0件和1件次品），简化计算。“至少”问题的常见处理策略：通常可转化为分类或排除两种方法，需要根据问题选择简便途径。 【详解】解法一（分类法）： 取2件次品、3件正品：×=6×20=120 取3件次品、2件正品：×=4×15=60 取4件次品、1件正品：×=1×6=6 总取法：120+60+6=186种。 解法二（排除法）： 总取法（无限制）：从10件中任取5件，=252种。 0件次品（全是正品）：=6种。 1件次品：×=4×15=60种。 至少两件次品：252−6−60=186种。 考点六 数字组数问题（常与优先法结合） 11. 用 0、1、2、3、4、5 可以组成多少个无重复数字且能被 5 整除的四位数？ 【答案】108 【分析】本题主要考查特殊位置与特殊元素结合：末位（个位）是特殊位置（只能为0或 5），首位（千位）是特殊位置（不能为0）。分类讨论思想：因为末位为0和末位为5对首位的影响不同，所以必须分两类讨论。分步计数的应用。 【详解】第一类（末位为 0）： 末位固定为0。剩下的千位、百位、十位可以从1-5中任选 3个数字排列。有 =5×4×3=60个。 第二类（末位为5）： 末位固定为5。先考虑千位（首位），不能为0，也不能为5（5已用），所以千位可以从{1,2,3,4} 中选，有 =4种（或直接说 4 种）。再考虑百位和十位，从剩下的4个数字（包括0）中选2个排列，有=4×3=12种。第二类共有 4×12=48个。 总数： 60+48=10860+48=108（个）。 12. 用 0、1、2、3、4、5 这六个数字： （1） 可以组成多少个不同的自然数？ （2） 可以组成多少个无重复数字的五位奇数？ （3） 可以组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？ （4） 可以组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？ 【答案】（1）46656；（2）288；（3）216；（4）325 【分析】本题主要考查数字组数问题。 【详解】（1）可以组成6+5×6+5×62+5×63+5×64+5×65=46656个不同的自然数； （2） 可组成··=288个无重复数字的五位奇数； （3） 可组成+(-)=216个无重复数字的能被5整除的五位数； （4） 可组成2+3+2+1=325个无重复数字的且大于31250的五位数。 考点七 分组与分配问题 13.有4本不同的书，按下列方式分配，各有多少种分法？ （1）分成两堆，每堆2本。 （2）分给甲、乙两个人，每人2本。 【答案】(1)3种；(2)6种 【分析】本题主要考查均匀分组的除法原则： 分成元素个数相同的组时，必须除以组数的阶乘（）以消除组间顺序。 【详解】（1）均匀分组：第一步，从4本书中选2本给第一堆，有 种；第二步，从剩下的2本中选2本给第二堆，有 种。分步相乘得 ×=6×1=6种。但是，因为两堆的本书相同（都是2本），交换两堆的顺序其实是一种分法（只是两堆书交换位置，并没有产生新分法）。所以需要除以两堆的排列数=2!=2。因此，不同的分堆方法有 =3种。 （2）分配问题：可以先按（1）的方法分成两堆（每堆2本），有3种分法。然后再将这两堆书分配给甲和乙（有顺序），分配方法有 =2种。所以总分配方法为 3×2=6种。 或者直接理解：从4本书中选2本给甲（剩下的自然给乙），有 =6种。 14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种. 【答案】60 【分析】本题主要考查分组与分配问题。 【详解】把8张奖券分成4组有两种分法：一种是分（一等奖、无奖），（二等奖、无奖），（三等奖、无奖），（无奖、无奖）四组，分给4人有种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另外两组无奖，共有种分法，再分给4人有种分法，所以不同获奖情况种数为+=24+36=60. 考点八 求二项展开式的特定项 15. 求 (x2+)6的展开式中的常数项。 【答案】15 【分析】本题主要考查二项展开式的通项公式： Tk+1=an−kbk。常数项的概念： 常数项即 x 的指数为0的项。 【详解】设第 k+1项为常数项。通项公式为：Tk+1=(x2)6−k()k=x12−2k·x−k=x12−3k 要求常数项，即 x的指数为0：12−3k=0解得 k=4。代回：T4+1=T5=·x0===15 所以，常数项为 15。 16. 若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84，则实数a等于（ ） A.2 B.  C. 1 ​ D. 【答案】C 【分析】本题主要考查二项式展开式的通项公式： Tk+1=an−kbk 【详解】二项式(2x+)7的展开式的通项公式为：Tk+1=(2x)7-k·()k=27-kakx7-2k，令7-2k=-3，得k=5，故展开式中的系数是22a5=84，解得a=1。所以C选项正确。 故选C. 考点九 求项的系数或二项式系数 17. 求 (2x−)5的展开式中x 的系数？ 【答案】80 【分析】本题主要考查通项公式的灵活运用，系数与二项式系数的区分： 系数是指字母前面的常数（包括符号和数字因数），二项式系数仅指。 【详解】通项公式为：Tk+1=(2x)5−k(−)k=·25−k·x5−k·(−1)k·x−k Tk+1=·25−k·(−1)k·x5−2k 要求 x的系数，即 x 的指数为1：5−2k=1，解得 k=2。代回求系数（注意不是求项，是求系数，所以只取数字部分）：系数=·25−2·(−1)2=·23·1=10×8=80，所以，x的系数为 80。 18. 如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数为0，则展开式中含x4项的系数为 . 【答案】-5 【分析】本题主要考查二项式定理的应用。 【详解】令x=1得(1+x+x2)(x-a)5的展开式中所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0，所以a=1，所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4，其展开式中含x4项的系数为(-1)3-(-1)0=-5. 考点十 二项式系数和与系数和问题（赋值法） 19. 已知 (2x−1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求： （1）二项式系数和 （2）各项系数之和 a0+a1+a2+a3+a4+a5. 【答案】（1）32；（2）1 【分析】本题主要考查赋值法的应用： 通过给 x 赋予特定数值（如1）来求得系数和。 二项式系数和公式： ++⋯+=2n（与展开式本身无关）。各项系数和的概念： 即 a0+a1+⋯+an，通过令 x=1求得。展开式的恒等式性质： 等式左右两边在x 取任何值时都相等。 【详解】（1）二项式系数和： 就是++⋯+=25=32。 （2）各项系数之和： 令 x=1，等式变为：(2×1−1)5=a0+a1×1+a2×12+⋯+a5×15 (2−1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5​ 15=系数和 系数和=1 20. 在二项式(x2-)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ） A.32 B.-32 C. 0 ​ D. 1 【答案】C 【分析】本题主要考查赋值思想，可处理组合数问题、系数问题。 【详解】依题意得所有二项式系数的和为2n=32，解得n=5，因此，令x=1，则该二项展开式中的各项系数的和等于(12-)5=0。所以选项C正确。 故选C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的考点梳理卷，主要梳理和考查了无限制条件的排列或组合问题、问题的解决方法（优先法、捆绑法、插空法）、分组与分配、二项式定理等常见考点。 第八章 排列组合 目录 考点一 无限制条件的排列或组合问题 1 考点二 特殊元素或特殊位置问题（优先法） 2 考点三 相邻问题（捆绑法） 2 考点四 不相邻问题（插空法） 2 考点五 至多、至少问题（分类法或排除法） 3 考点六 数字组数问题（常与优先法结合） 3 考点七 分组与分配问题 3 考点八 求二项展开式的特定项 4 考点九 求项的系数或二项式系数 4 考点十 二项式系数和与系数和问题（赋值法） 4 考点一 无限制条件的排列或组合问题 1.有5本不同的书。 （1）从中选3本借给3位同学（每人一本），有多少种不同的借法？ （2）从中选3本捐给灾区，有多少种不同的捐法？ 2. 某校高二年级有 8个班级，现要组织一场篮球赛： （1）从这8个班级中选出3个班级分别担任第一、第二、第三支抽签队伍，有多少种不同的选法？ （2）从这8个班级中选出3个班级组成“文明观赛督查小组”，有多少种不同的选法？ 考点二 特殊元素或特殊位置问题（优先法） 3. 用 0、1、2、3、4 这五个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？ 4. 从0、1、2、3、4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是 . 考点三 相邻问题（捆绑法） 5. 3名女生和4名男生排成一排，要求3名女生必须排在一起，有多少种不同的排法？ 6. 有8人站成一排，现要求其中甲、乙、丙、丁四人必须相邻，其余4人任意排列，问有多少种不同的排法？（ ） A. 1680种 B. 256种 C. 630种​ D. 2880种 考点四 不相邻问题（插空法） 7. 3名女生和4名男生排成一排，要求3名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ 8. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ） A. 72 B. 120 C. 144 ​ D. 168 考点五 至多、至少问题（分类法或排除法） 9. 从5名男生和4名女生中，选出3人参加志愿者活动，至少有一名女生被选中的选法有多少种？ 10. 从10件产品中，有4件次品，6件正品，现从中任取5件，求至少有两件次品的取法有多少种？ 考点六 数字组数问题（常与优先法结合） 11. 用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？ 12. 用 0、1、2、3、4、5 这六个数字： （1） 可以组成多少个不同的自然数？ （2） 可以组成多少个无重复数字的五位奇数？ （3） 可以组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？ （4） 可以组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？ 考点七 分组与分配问题 13. 有4本不同的书，按下列方式分配，各有多少种分法？ （1）分成两堆，每堆2本。 （2）分给甲、乙两个人，每人2本。 14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种. 考点八 求二项展开式的特定项 15. 求 (x2+)6的展开式中的常数项。 16. 若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84，则实数a等于（ ） A.2 B.  C. 1 ​ D. 考点九 求项的系数或二项式系数 17. 求 (2x−)5的展开式中x的系数。 18. 如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数为0，则展开式中含x4项的系数为 . 考点十 二项式系数和与系数和问题（赋值法） 19.已知 (2x−1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求： （1）二项式系数和； （2）各项系数之和 a0+a1+a2+a3+a4+a5.​ 20. 在二项式(x2-)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ） A.32 B.-32 C. 0 ​ D. 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $