第八章 排列组合（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要考查无限制条件的排列或组合问题、问题的解决方法（优先法、捆绑法、插空法）、分组与分配、二项式定理。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），那么所有凸数的个数为（） A. 240 B. 204 C. 729 D. 920 【答案】A 【分析】本题主要考查分类讨论思想和分步乘法计数原理，属于有限制条件的数字组数问题。 【详解】分8类： 当中间数为2时，有1×2=2个； 当中间数为3时，有2×3=6个； 当中间数为4时，有3×4=12个； 当中间数为5时，有4×5=20个； 当中间数为6时，有5×6=30个； 当中间数为7时，有6×7=42个； 当中间数为8时，有7×8=56个； 当中间数为9时，有8×9=72个。 故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个凸数，所以A选项正确。 故选：A. 2．计算1.9985(精确到0.001)（ ） A．≈31.840 B．≈32.540 C．≈30.005 D．≈31.800 【答案】A 【分析】本题考虑到1.998=2-0.002，而0.002很小，故可用二项式展开式求近似值。 【详解】1.9985=(2-0.002)5=·25-×24×0.002+×23×0.0022-×22×0.0023+×2×0.0024+(-0.002)5≈32-0.16+0.00032≈31.840，故A选项正确。 故选：A. 3．已知(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，那么a1+a2+⋯+a9=（ ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】本题考查的是求展开式系数和的问题一般都用赋值法，多令未知数为1,0或-1求解。 【详解】令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a9=-1，令x=0，则a0=1，所以a1+a2+⋯+a9=-2，故D选项正确； 故选：D 4. 若从集合P到集合Q={a,b,c}所有不同的映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同的映射共有（ ） A．32个 B．27个 C．81个 D．64个 【答案】D 【分析】本题考查从集合A到集合B的映射个数为|B||A|，这源于排列组合中的分步乘法计数原理（即给A中每个元素独立选像，相当于可重复排列问题）。 【详解】由已知，从集合 P 到集合 Q={a,b,c}的映射共有 81个，即 3∣P∣=81，解得 ∣P∣=4。 则从集合Q 到集合P 的映射个数为 43=64。故D选项正确. 故选：D. 5. 某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ） A．36 B．42 C．30 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是分步乘法计数原理及插空法的应用。 【详解】将两个新节目插入原五个节目的节目单中，原五个节目顺序固定，共有6个空隙（包括首尾）。先插入第一个节目，有6种选择；此时节目单变为6个节目，再插入第二个节目，有7种选择。由分步乘法计数原理，总插法数为 6×7=42，故选项B正确 故选：B. 6. 全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P，排成前后两排，每排24人，排法总数为Q，则有（ ） A．P>Q B．P<Q C．P=Q D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是排列的定义：将 n个不同元素排到 n个不同的位置（每个位置互异），无论怎样分组，排法总数均为 n!，即与分组方式无关。 【详解】两种排法都是将48个学生安排到48个不同的座位上（座位有区别），因此排法总数均为48!，即 P=Q，故C选项正确。 故选：C. 7. 从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A．8种 B．12种 C． 16种 D．20种 【答案】B 【分析】本题考察的是组合问题中的排除法以及立体几何中平面与平面的相邻关系（正方体的面相邻情况）。 【详解】从正方体的六个面中选3个面，总共有 =20种选法。其中三个面两两相邻（即共顶点）的情况有8种（对应8个顶点）。要求存在两个面不相邻，即排除上述8种，故符合条件的选法为 20−8=12种。故选项B正确。 故选：B. 8. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ） A．种 B．3种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】本题考查的是排列组合中的分组分配问题。 【详解】将12名不同学生分配到三个不同路口，每个路口4人，先从12人中选4人去第一个路口，再从剩下8人中选4人去第二个路口，最后4人去第三个路口，分配方案共有： 种，故选项A正确。 故选：A. 9. 某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1~6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内装修，则不同的装饰效果有（ ） A．350种 B．300种 C．65种 D．50种 【答案】B 【分析】本题考察的是排列组合中的有限制条件的排列问题。 【详解】总方案数为从6种石材中选4种进行排列，再减去办公室使用1号石材的方案数： −=6×5×4×3−5×4×3=360−60=300种，故选项B正确。 故选：B 10. 一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，不同的坐法共有（ ） A．7200种 B．3600种 C．2400种 D．1200种 【答案】A 【分析】本题考查的是排列组合中的“插空法”与“不相邻问题”。 【详解】根据条件“每个空位两边都坐有人”，可知空位不能出现在两端，且空位之间不能相邻。总共有9个座位，6个人坐，即3个空位。先安排6个人（有区别）全排列，有 6!=720种坐法。6个人产生5个内部间隙（人与人之间），从中选择3个间隙各放入一个空位，有 =10种方式。因此总坐法数为：6!×=720×10=7200. 故选：A. 11. 在(1+ax)7的展开式中，x3项的系数是x2项系数与x5项系数的等比中项，则a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二项式定理与等比中项的综合应用。 【详解】在 (1+ax)7的展开式中，通项为 Tk+1=akxk。 x2项的系数为 a2=21a2， x3项的系数为 a3=35a3， x5项的系数为a5=21a5。 由题意，x3项的系数是 x2项与 x5项系数的等比中项，即(35a3)2=(21a2)(21a5). 化简得 1225a6=441a7，若 a≠0，两边除以 a6，得 1225=441a，解得 a==。 若 a=0，则所有系数均为零，也满足条件，但通常题目隐含 a≠0，故取 a=，故C选项正确。 故选：C. 12. 若(-)n展开式中含的项是第8项，则展开式中含的项是第（ ） A．8项 B． 9项 C．10项 D．11项 【答案】B 【分析】本题考查的是二项式定理的通项公式应用、指数运算以及项数与r的对应关系。。 【详解】对于(-)n，其通项公式为：Tr+1 = ()n-r·()r, 化简指数：()n-r= , ()r = (-2)rx-r 所以：Tr+1 = = 利用“含的项是第8项”求n，第8项对应r=7，此时x的指数为： = 计算n = 29。含的项即x-1，令 = -1，解得：r = 8，对应的项数为r+1 = 9，故选项B正确 故选：B. 13. 设(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+⋯+a50x50，则a3的值是（ ） A． B． C． D. 2 【答案】B 【分析】本题主要考查二项式定理中展开式的系数求解与组合数的累加性质。 【详解】对于(1+x)n（n ≥3），展开式中x3的系数是。 题目中的多项式是：(1+x)3 + (1+x)4 + ⋯+ (1+x)50 所以a3就是这些项的x3系数之和：a3= + + +⋯ + 组合数有一个重要性质： + = 可以逐步累加： + = + = + = ⋯ + = 因此：a3 = ，因此B 选项正确。 故选：B. 14. 若(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=（ ） A．244 B．242 C．122 D．121 【答案】C 【分析】本题考查的是二项式定理与赋值法，通过代入 x=1和 x=−1快速求偶次项系数之和。 【详解】要计算展开式中的偶次项系数之和，即 a0+a2+a4，可以利用二项式系数的性质。令 f(x)=(2−x)5，则：f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5=(2−1)5=1 f(−1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(2+1)5=35=243两式相加得：f(1)+f(−1)=2(a0+a2+a4)=1+243=244 因此，a0+a2+a4==122，所以C选项正确。 故选：C. 15. (1-x)8展开式中x2的系数是（ ） A．-36 B．36 C．-28 D．28 【答案】D 【分析】本题考查二项式定理的通项公式，直接利用 Tr+1=(−x)r求指定项系数。 【详解】对于 (1−x)8，展开式的通项为 Tr+1 = ()r=()rxr,。令 k=2，得系数为 (−1)2=28×1=28。因此，x2的系数是 28，故选项D正确。 故选：D 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．某公园现有A，B，C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有______种。 【答案】18 【分析】本题主要考查分类计数与分步计数原理，结合船容量限制及儿童需成人陪同的条件进行组合分配。 【详解】将三个成人和两个儿童分配到三艘船A、B、C，其中A可乘3人，B可乘2人，C可乘1人，每船必须坐人，且儿童必须由成人陪同。先确定C船只能坐1人，故C船必须有人，且不能是儿童（否则无成人陪同），因此C船坐一名成人，有3种选择。 剩余四人（两成人两儿童）分配到A、B两船，需满足A≤3，B≤2，且每船至少一人，可能的人数分配为：A船2人，B船2人：从四人中选两人去A，有=6种，但需排除A全为儿童或B全为儿童的情况（各1种），故安全分配有4种，对应3×4=12种。 A船3人，B船1人：B船只能为成人（否则儿童无陪同），从两成人中选一人去B有2种，剩余三人去A，对应3×2=6种。总方法数为12+6=18种。 17. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98756），若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数是______。 【答案】65431 【分析】本题主要考查利用组合数计算递减数字的个数，并按字典序确定第k个数的位置。 【详解】五位渐减数按从小到大的顺序排列，前20个数依次为：43210, 53210, 54210, 54310, 54320, 54321, 63210, 64210, 64310, 64320, 64321, 65210, 65310, 65320, 65321, 65410, 65420, 65421, 65430, 65431。因此第20个数是65431。 18.体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放法有______种。 【答案】10 【分析】本题考察利用变量代换将下限条件转化为非负整数解，再用隔板法求方程解的个数。 【详解】将9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子，每个箱子放的球数不小于其编号。设三个箱子分别放入 x1,x2,x3个球，则x1≥1,x2≥2,x3≥3,x1+x2+x3=9.令 y1=x1−1≥0，y2=x2−2≥0，y3=x3−3≥0，则y1+y2+y3=9−1−2−3=3.非负整数解的个数为 ==10，因此，不同的放法有10种。 19. 若(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+⋯+a2005x2005(x∈R)，则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+⋯+(a0+a2005)=______(数字作答)。 【答案】2003 【分析】本题主要考查二项式定理的赋值法，通过代入 x=1 求系数和，结合常数项计算目标式。 【详解】由二项式展开，令 f(x)=(1−2x)2005，则 f(1)=(1−2)2005=−1，且常数项 a0=1。 所求式为(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+⋯+(a0+a2005)=2005a0+(a1+a2+a3+⋯+a2005)=2005×1+(f(1)−a0)=2005+(−1−1)=2003. 20.(x+7)n的展开式中，第7项和第8项的二项式系数最大，则n=______。 【答案】13 【分析】本题主要考查二项式系数的性质：当 n为奇数时，中间两项的二项式系数最大且相等，由此确定 n=13。 【详解】在 (x+7)n的展开式中，第 k 项的二项式系数为 。因此，第7项和第8项的二项式系数分别为和。根据二项式系数的性质，当 n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。由= 得 n=6+7=13。此时，第7项和第8项恰好是中间两项，二项式系数最大。故 n=13。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知(-)n展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求x的系数. 【答案】-672 【分析】本题主要考查二项展开式中偶数项的二项式系数和2n-1。 【详解】由二项式系数性质：二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2n-1，得2n-1=256，所以n=9，通项公式 Tr+1=()9-r(-)r=()r，令=1，得r=3，所以x的二项式系数为，而x的系数为-672. 22．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素材品种？ 【答案】7 【分析】本题考查的是组合数的计算与乘法原理，通过不等式确定满足条件的整数解。 【详解】在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有=10种，设素菜为x种，则·≥200，解得x≥7，所以至少应有7种素菜。 23．(x-1)(4x2+-4)3的展开式中的常数项为？ 【答案】160 【分析】本题主要考查二项式展开式的常数项。 【详解】(x-1)(4x2+-4)3=(x-1)(2x-)6， 其中(2x-)6展开式的第r+1项 Tr+1=()6-r·(-)r=()r·, 令r=3，可得T4=(-1)3·23=-160，所以二项式(x-1)(4x2+-4)3的展开式中常数项为(-1)×(-160)=160. 24． 在二项式(+2x)n的展开式中， （1）若第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项； （2）若前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）n=7时，T4=x3和T5=70x4最大；n=14时，T8=3432x7最大； （2）T11=28x10=16896x10​ 【分析】本题考察的是二项式定理中二项式系数的性质、等差数列条件及系数最大项的求解方法。 【详解】（1）由题意得+=2，解得n=7或n=14. ​当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4=x3和T5=70x4； 当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8=3432x7。 （2）由++=79得n=12，设第r+1项系数最大， 则有,⇒≤r≤，因为r∈Z，所以r=10，故T11=28x10=16896x10. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要考查无限制条件的排列或组合问题、问题的解决方法（优先法、捆绑法、插空法）、分组与分配、二项式定理。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），那么所有凸数的个数为（ ） A. 240 B. 204 C. 729 D. 920 2．计算1.9985(精确到0.001)（ ） A．≈31.840 B．≈32.540 C．≈30.005 D．≈31.800 3．已知(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，那么a1+a2+⋯+a9=（ ） A．0 B．1 C． -1 D．-2 4. 若从集合P到集合Q={a,b,c}所有不同的映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同的映射共有（ ） A．32个 B．27个 C．81个 D．64个 5. 某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ） A．36 B．42 C．30 D．12 6. 全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P，排成前后两排，每排24人，排法总数为Q，则有（ ） A．P>Q B．P<Q C．P=Q D．不能确定 7. 从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A．8种 B．12种 C． 16种 D．20种 8. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ） A．种 B．3种 C．种 D．种 9. 某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1~6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内装修，则不同的装饰效果有（ ） A．350种 B．300种 C．65种 D．50种 10. 一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，不同的坐法共有（ ） A．7200种 B．3600种 C．2400种 D．1200种 11. 在(1+ax)7的展开式中，x3项的系数是x2项系数与x5项系数的等比中项，则a的值为（ ） A． B． C． D． 12. 若(-)n展开式中含的项是第8项，则展开式中含的项是第（ ） A．8项 B． 9项 C．10项 D．11项 13. 设(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+⋯+a50x50，则a3的值是（ ） A． B． D. 2 14. 若(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=（ ） A．244 B．242 A． C．122 D．121 15. (1-x)8展开式中x2的系数是（ ） A．-36 B．36 C．-28 D．28 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．某公园现有A，B，C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有______种。 17. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98756），若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数是______。 18. 体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放法有______种。 19. 若(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+⋯+a2005x2005(x∈R)，则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+⋯+(a0+a2005)=______(数字作答)。 20. (x+7)n的展开式中，第7项和第8项的二项式系数最大，则n=______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知(-)n展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求x的系数. 22. 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素材品种？ 23．(x-1)(4x2+-4)3的展开式中的常数项为？ 24． 在二项式(+2x)n的展开式中， （1）若第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项； （2）若前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $