大题专项04立体几何（讲义）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题4 立体几何 一、课标解读 1.理解直线与平面的位置关系，了解直线与平面平行的判定和性质，了解直线与平面垂直的判定和性质，了解直线与平面所成的角的含义；理解三垂线定理；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题 2.了解两平面的位置关系，了解两平面平行的判定和性质，了解二面角及其平面角，理解两平面相互垂直的判定和性质；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 17 立体几何 10 （1）题型：一个解答题 （2）分值：10分. （3）内容：等差数列，等比数列，数列综合 2024 解答题 18 立体几何 10 2023 解答题 19 立体几何 10 2022 解答题 19 立体几何 10 2021 解答题 16 等比数列 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试会有1道题目考查立体几何。分值共10分.具体考点可能涉及如下内容： · 面位置关系、面面位置关系 四、知识梳理 （一）直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α， a∥b a∥α a∥α，a⊂β， α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α （二）直线、平面垂直的判定与性质 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 2.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.　 五、10分钟小测验 1．如图所示，直四棱柱的底面为梯形，．    (1)证明：平面； (2)若直四棱柱的体积为36，求二面角的正切值． 2．如图，在四棱锥中，平面底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点. (1)证明：∥底面； (2)求四棱锥的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过证明面面平行，再证明平面即可. （2）过点作于，连接，通过线面垂直证明线线垂直，得出二面角，再求出结果即可. 【详解】（1）证明：因为,平面， 平面,所以平面. 又因为,平面,平面 所以平面. 因为 平面, 平面,所以平面平面. 因为平面,所以平面. （2）    过点作于，连接. 在中,. 所以. 因为四棱柱的体积为， 所以. 因为平面平面， 所以. 又因为 平面， 所以平面. 因为平面,所以. 由此可知为二面角的平面角. 故. 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知的条件分析出EF//BD，利用线面平行判定定理即可证明； （2）证明PM⊥底面ABCD，代入锥体体积公式即可求解棱锥的体积. 【详解】（1）连接BD， 在中，为的中点，为的中点，所以EF//BD， 又底面，底面，所以∥底面； （2）取AB的中点M，连接PM， 因为，所以，且， 又平面底面，平面底面=AB，平面， 所以底面，所以， 即四棱锥的体积为. 六、经典例题解析 立体几何 【例1】（2020·湖南对口升学高考）如图，在四棱锥的底面为正方形，O为与的交点，底面． (1)若E，F分别为，的中点，求证：平面； (2)若求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）由四棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）因为分别为的中点. 所以. 因为不在平面内，在平面内. 所以平面. （2）因为底面是正方形.所以.得. 因为底面.平面.所以. 所以. 所以. 【例2】（2021·湖南对口升学高考）如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点.    (1)证明：平面ACE； (2)设，，直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，由三角形的中位线定理可知，结合线面平行的判定定理可证明平面. （2）由题意可知，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）连接交于点，连接， 在中，因为， 即EO为的中位线， 所以，因为平面，平面， 则平面. （2）因为平面ABCD， 所以就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以， 又，，所以， 所以四棱锥的体积， 所以四棱锥的体积为. 【例3】（2022·湖南对口升学高考）如图，在三棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）根据平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直. （2）根据三棱锥体积公式求解. 【详解】（1）如图： ∵平面，平面， ∴， ∵，且，且两直线在平面内， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面. （2）∵平面, ∴为三棱锥的高，且为在平面上的射影， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵, ∴在直角三角形中，， ∵， ∴， ∴三棱锥的体积： . 【例43】（2023·湖南对口升学高考）如图，在三棱锥A-BCD中，．平面α交AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H，且平面，平面．    (1)证明：四边形为矩形； (2)若，求矩形面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题目条件先证，，，，再证即可证明四边形为矩形. （2）设长为，再通过相似三角形把用表示，再用面积公式表示出来，进而求最值即可. 【详解】（1）平面，平面， 平面平面，， 又 平面，平面平面， ，， 平面，平面， 平面平面， 又 平面，平面平面， ，， 四边形为平行四边形， ，， ，又， ，四边形为矩形， （2）设长为，由（1）知， ，， ，则 又 ， ， ，即，， 矩形面积， 当，即时，矩形面积最大，最大为. 【例5】（2024·湖南对口升学高考）如图，在正四棱柱-中，.    (1)证明：； (2)若三棱锥-的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先用直线与平面垂直的判定证明平面，然后运用直线与平面垂直的定义来证明； （2）先用三棱锥的体积公式求出的长度，然后根据平面，找出直线与平面所成的角，最后利用直角三角形的正弦的定义求出的正弦值即可. 【详解】（1）证：连接， 因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 且是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，.    （2）由， 得， 由平面，得直线与平面所成角为， 在直角中，，，， 所以． 【例6】（2025·湖南对口升学高考）如图，长方体中，，，为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.55 【知识点】证明线面垂直、求线面角、由线面角的大小求其它量 【分析】（1）先根据题意证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）先根据线面垂直找到线面角进而求解. 【详解】（1）由题意可知，， 同理，， 又因为，所以，所以， 已知长方体中，面，面， 则 又因为面，面， 所以平面. （2）因为面，所以在面的射影是， 那么就是在平面上的射影， 所以就是直线与平面所成的角， 在直角三角形中，， 则， 则直线与平面所成的角的正切值为. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 证明题“路径法” ​核心思想：分析结论，逆向寻找条件，形成一条清晰的证明路径（即“执果索因”）。 证明平行：线线平行 → 线面平行 → 面面平行。 证明垂直：线线垂直 → 线面垂直 → 面面垂直。 【专题内容总结2】易错点 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 三视图还原直观图时线实虚不分 忽视虚线表示的不可见轮廓线 空间想象能力不足，还原图形错误 “长对正、高平齐、宽相等”，尤其注意虚线与实线的区别 证明条件不充分 证明线面垂直时，只证明一条线垂直面内一条线 缺少“面内两条相交直线”的条件 严格按判定定理书写，缺一不可 公式记忆错误 球体积公式误用：V=πR3 系数错误 强化公式记忆 【专题内容总结3】备考策略 1、学生能力培养重点： 模型化思维：将复杂几何体放入长方体、正方体等常见模型中思考。 双重解法能力：一道题既用综合几何法证明，又用空间向量法验证，培养空间想象和计算能力。 规范表述训练：严格按“作、证、求”三步书写，避免跳步失分。 2. 真题演练方向： 题型1：三视图还原与表面积体积计算。 题型2：平行与垂直的证明（尤其关注棱柱、棱锥中的中点、中位线）。 题型3：空间角（尤其是线面角和二面角）的求解。 题型4：距离（点面距、线面距）的求解。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $