大题专项04立体几何（B卷·能力提升）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题4 立体几何 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．如图，已知正方体的棱长为．    (1)证明：平面； (2)证明：⊥平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明为平行四边形，即可得到，从而得证； （2）由正方体的性质可得、，从而得证. 【详解】（1）在正方体中，且， ∴为平行四边形，∴，∵平面，平面， ∴平面； （2）∵正方体，底面，底面，∴， ∵正方形中，， 又∵平面，平面，， ∴平面； 2．如图所示，在三棱锥中，，，M为的中点，D为的中点，且为正三角形. (1)求证：平面. (2)求证：平面. (3)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见详解; (2)证明见详解; (3) 【分析】(1)先证可证平面. (2)先证平面,得结合可证得平面. (3)等积转换,由可求得体积. 【详解】（1）证明:因为为的中点, D为的中点, 所以是的中位线, 又平面,平面, 所以平面. （2）证明:因为为正三角形, D为的中点,所以 又所以 又因为,且两直线在平面内， 所以平面. 因为平面,所以 又因为且两直线在平面内， 所以平面. （3）因为平面, 所以平面,即是三棱锥的高. 因为, M为的中点,为正三角形, 所以 由平面,可得 在直角三角形中,由可得 于是 所以. 3．如图所示，在三棱柱中，平面平面，，，，分别为，的中点，且. (1)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)存在，点与点重合，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，连接，结合线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据题意，结合面面垂直的性质定理可推出为三棱锥的高，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1） 存在，当点与点重合时平面. 证明如下：连接，，分别为，的中点， ，且，可得四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面，即平面； （2）平面平面，且平面平面， 又，平面， 平面，则为三棱锥的高， 在中，，，则， 为的中点，， . 即三棱锥的体积为. 4．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，平面平面，． (1)证明： ； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）取的中点H，连接.易证平面，可得平面，从而得证； （2）由于平面,故点到平面的距离可转化为H到平面的距离，在内作垂直于M，易证平面，即为所求.在中，利用等面积法可求得. 【详解】（1） 如图，取的中点H，连接. 因为底面是边长为1的菱形，， 所以是等边角形， ， 平面 ， 平面， （2）平面， 所以平面, 所以点B到平面的距离与H到平面的距离相等. 在内作垂直于M， 由（1）知平面， ，又 平面，即为所求. 因为平面平面，， 所以平面， ， 在中，， 在中，， 在中，， . 故点B到平面的距离. 5．如图，正三棱柱中，D是的中点，. (1)求点C到平面的距离； (2)试判断与平面的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)平行，证明过程见解析. 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）利用线面平行的判定即可求解. 【详解】（1）解：正三棱柱中，D是的中点， 所以，， 正三棱柱中， 所以 又因为正三棱柱中，侧面平面且交线为 且平面中， 所以平面 又平面 所以 设点C到平面的距离为 在三棱锥中， 即 所以点C到平面的距离为. （2）与平面的位置，证明如下： 连接交于点，连接，如下图所示， 因为正三棱柱的侧面为矩形 所以为的中点 又因为为中点 所以为的中位线 所以 又因为平面，且平面 所以平面 6．如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位线得线线平行，再证线面平行即可； （2）根据线面夹角的定义及已知可求得AB长，再根据线面垂直判定直线与平面所成角即∠CPD，解三角形即可. 【详解】（1）连接，记， 为中点， 为中点， ， 又，，∴平面；    （2）因为平面， 所以即为直线与平面所成线面角，则.   因为矩形中，所以.   因为平面，平面，所以， 计算可得. 又，，，平面，所以， 所以即为直线与平面所成线面角，解得. 7．如图，已知在长方体中，，，，为的中点． (1)证明：平面 (2)求与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理即可得结果； （2）由底面可得线面角为，即可解得结果. 【详解】（1）证明：由题图连接交于点，连接，因为底面为长方形， 所以为的中点，又因为为的中点，所以为的中位线， 因此，，又因为平面，且不属于平面，所以平面； （2）解：由题知为长方体，所以底面， 所以为与平面所成的角，在直角三角形中， ，因此， 故可知与平面所成的角的大小为. 8．在三棱柱中，是等边三角形，平面，分别为的中点．    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）找出棱柱的底面积和高，计算体积. （2）利用直线与平面平行的判定定理证明. （3）利用直线与平面垂直的判定定理证明. 【详解】（1）解：是等边三角形，为的中点， ， ． 又平面，且， ． （2）证明：连接，由于是的中点，所以与相交与点．   为的中点，又为的中点， ． 平面平面， 平面． （3）证明：连接   在Rt中，， 在Rt中，． 为等腰三角形． 又为的中点，所以． 在Rt中，， 在Rt中，． 为等腰三角形． 又为的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 二、证明题 9．如图所示，在四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明平面，可通过证明，根据已知条件证明 平面，进而得到，从而得证. （2）可根据三棱锥体积公式，以为底面，为高进行计算. 【详解】（1）证明：因为底面，底面， 所以.                          又因为，平面， 所以平面，而平面， 所以. 因为， 所以， 于是，有. 而平面，平面， 所以平面. （2）由（1），，， 可知. 因为底面， 所以三棱锥的体积为 10．如图，在正四棱锥中，，是正方形的中心，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若正四棱锥的体积为，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）先根据正四棱锥体积公式求出高，再找出直线在平面内的射影，进而确定线面角，最后通过解直角三角形求出线面角的大小. 【详解】（1）因为是正方形的中心，所以是的中点， 又因为是的中点，在中，可得， 由于 平面，平面，所以平面. （2）因为平面，所以正四棱锥的高为， 已知正方形中，则正方形的面积， 已知正四棱锥的体积为， 可得，解得， 因为平面，所以是在平面内的射影， 可知是直线与平面所成的角, 在正方形中，是中心，所以， 在中，， 所以，即直线与平面所成的角为. 11．如图，在正四棱锥中，是正方形的中心，是的中点，直线与平面所成的角为.    (1)求证： 平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先连接，再利用直线与平面平行的判定定理即可得证； （2）先根据直线与平面所成的角，求出，再利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）连接，因为是正方形的中心， 所以是的中点. 又因为是的中点， 所以是的中位线， 则 ， 因为平面平面， 所以平面.    （2）在正四棱锥中，平面. 因为直线与平面所成的角为， 则直线与平面所成的角， 在正方形中，， 则， 在中，， 所以， 又正四棱锥的底面积， 则正四棱锥的体积. 12．如图所示，在正方体中，点为的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)在正方体中，先证四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定可证明结论； (2)连结，利用三线合一可证，，可得是二面角的平面角，在直角中可求解. 【详解】（1）在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面； （2）    连结，在正方形中，点为的中点，则有， 又与是两个全等正方形的对角线，则， 所以， 所以是二面角的平面角. 由于平面，平面，所以. 在直角中，， 所以， 即二面角的正切值为. 13．如图所示，在三棱锥中，底面ABC是正三角形，侧面底面ABC，且，，D，E，F分别是PA，AB，AC的中点． (1)求证：平面平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由中位线，分别证平面，平面，即可证平面平面； （2）连接，证平面，即为三棱锥的高，再求出三角形的面积，最后由三棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）在三棱锥中， 因为D，E，F分别是PA，AB，AC的中点， 所以，又平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 因为，平面， 所以平面平面． （2）连接， 因为E是AB的中点，，， 所以，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即为三棱锥的高， 底面ABC是正三角形，又， 所以， 所以三棱锥的体积. 14．如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点    (1)求证：平面； (2)H是线段的中点，证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）由四边形为正方形可知， 连接必与相交于中点，且点分别是线段的中点， 所以在中，， 面，面， 面.    （2）由点分别为中点可得，， 又四边形为正方形，可得， 所以， 平面，平面， 面， 由，面，面，得面， ，平面，平面， 平面平面.      15．如图所示，已知正方体的棱长为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）根据正方体的几何性质得出为与平面所成的角，再由直角三角形中余弦的定义求值即可. 【详解】（1）证明：连接，在正方体中， 且， 四边形为平行四边形， . 又平面，平面， 平面. （2）在正方体中， 平面， 为在平面的射影， 为与平面所成的角， 由已知得， ， ， ， 即所求角的余弦值为. 16．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，，，的中点．求证：平面．    【答案】证明见解析. 【分析】通过平行四边形性质找中点，再利用中位线证线线平行，进一步证线面平行. 【详解】    证明：连接交于点，连接，， 分别是，的中点， 且直三棱柱中， 且， 即四边形为平行四边形， 则为两对角线交点， 即为中点， 又因为为中点， 所以，且， 且平面，平面， 所以平面. 17．如图所示，在三棱柱中，底面，，分别是和的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据中位线定理以及线面平行判定定理求解即可. （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）∵底面， ∴为高，. 故三棱锥的体积：. 18．如图，在正三棱柱中，是的中点，与交于点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定可证明结论； （2）由线面垂直的判定和性质，可得平面，再根据面面垂直的判定可证明结论. 【详解】（1）    如图，连接， 由与交于点，可知是的中点，又是的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱柱中，平面，平面， 所以； 在等边三角形中有，且，都在平面内， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面． 19．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线定理以及线面平行的判定定理求解即可. （2）根据等体积公式以及三角形的性质求解即可. 【详解】（1）    取与的交点为，连接. 由侧面为正方形，可得. 又因为点是棱的中点，所以. 又因为平面，平面， 所以平面； （2）    因为侧面，均为正方形，，， 所以，. 又因为点是棱的中点，所以， 即可得，所以. 又因为， 设点到平面的距离为，则根据等体积公式可得， ．解得， 故到平面的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等、 职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试！ 动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每 !个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 {4个专题，内容为立体几何。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题4立体几何 (B卷·能力提升) 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2. D C A B D B (1)证明：CD1//平面A1BD (2)证明：BD1平面A1AC, 原创精品资源学科网独家享有版权.侵权必究 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 2.如图所示，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点，D为PB的 中点，且△PMB为正三角形 M D B (1)求证：DM/平面APC. (2)求证：BC⊥平面APC (3)若BC=4,AB=10,求三棱锥D-BCM的体积. 3.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC,AA1⊥AC AA1=AB=BC=2,D,D1分别为AC,A1C1的中点，且∠BAC=30°. B B (1)在棱AA1上是否存在点M,使得D1M//平面DBC1?若存在，请找出点M的位置；若不 存在，请说明理由 (2)求三棱锥C-DBC1的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=60°， 平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=四 ⊙ (1)证明：PC⊥CD (2)求点B到平面PCD的距离. 5.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AB=BB1=2. B D A (1)求点C到平面AC1D的距离； (2)试判断A1B与平面AC1D的位置关系，并证明你的结论 6.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 D (1)证明：PB//平面AEC 2)设直线PB与底面ABCD所成角的正切值为号，AP=1,AD=V5,求直线PC与平面 PAD所成角的正弦值. 7.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,BC=V2,A41=V5,E为 AA1的中点 A B D E y. B D (1)证明：A1C平面BDE (2)求A1C与平面ABCD所成的角的大小· 8.在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AB=2,A1A⊥平面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 ABC,AB=V2BB1,E,F,M分别为A1CAB1BC的中点 E B (1)求三棱锥B1一ABM的体积； (2)求证：EF//平面BB1C1C, 3)求证：AB1⊥平面EFM 二、证明题 9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=4,BC=2, A8=2V5. P 、D B (1)若AD⊥PB,证明：AD/平面PBC (2)求三棱锥P-ABC的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 10.如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=2,O是正方形ABCD的中心，E是PC的中点， (1)求证：0E//平面PAD 2若正四棱锥P-ABCD的体积为4 等， 求直线PB与平面ABCD所成的角. 11.如图，在正四棱锥P一ABCD中，AB=2,O是正方形ABCD的中心，E是PC的中点， 直线PB与平面ABCD所成的角为45°. (1)求证：0E//平面PAD (2)求四棱锥P-ABCD的体积， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 12.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点0为B1D1的中点. D B (1)求证：BD//平面AB1D1 (2)求二面角A1-B1D1-A的正切值 13.如图所示，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是正三角形，侧面PAB⊥底面ABC,且 PA=PB=2,∠APB=90°，D,E,F分别是PA,AB,AC的中点. D (1)求证：平面DEF//平面PBC (2)求三棱锥P-ABC的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 14,如图所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G,F分别是线段 EC,BD的中点 E (1)求证：GF/平面ABC, (2H是线段BC的中点，证明：平面GFH/平面ACD. 15.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3cm. D B A B (1)求证：AC//平面A1B1C1D1 (2)求直线AC1与平面A1B1C1D1所成角的余弦值， 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 16.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，D,M,N,P分别是AB,AA1,BB1,CC1的 中点，求证：BP平面MDC, A M 17.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB11底面ABC,AA1=AB=BC=2, AB⊥BC,E,F分别是B1A和B1C的中点. C A F B (1)求证：EF//平面ABC: (2)求三棱锥B1-ABC的体积. 18.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点，A1C与AC1交于点0· 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 B B (1)求证：BC1//平面A1CD (2)求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1 19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1,ABB1A1均为正方形 AB=BC=1,∠ABC=90°，点D是棱的A1C1中点. D C B (1)求证：BC/平面AB1D: (2)求B1到平面A1BC1的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！